1、1 .1 .恒定磁场恒定磁场中的准经典运动中的准经典运动准经典运动的两个方程：准经典运动的两个方程：一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动1()()krv kk() ( )dke v kBdt 所以，在所以，在 空间中，波矢空间中，波矢 满足满足 ： kkdkdt1). 垂直于垂直于 的方向的方向 B0kB/0,zzdkBzkdt设轴，则保持为常量。2). (波矢的变化波矢的变化)垂直于垂直于 的方向的方向 dkdt()v k0kv10dkdddtdkdt说明电子沿着等能面运动说明电子沿着等能面运动 因而因而,在在k空间空间,电子总是沿着电子总是沿着垂直于磁场
2、的垂直于磁场的平面和等能面平面和等能面的交线运动的交线运动.说明说明k k沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量 1()()kv kk() ()dke v kBdt222km 自由电子的等能面是球面自由电子的等能面是球面,与与 kz 垂直垂直的平面与等能面的交线就是一系列圆的平面与等能面的交线就是一系列圆.0 xyyxzdkeBkdtmdkeBkdtmdkdt ( )kv kmdkekBdtm zkBkxkykk(1)电子在电子在 空间的运动图象空间的运动图象k 在在k空间，电子总是沿着垂直于空间，电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动磁场的平面和
3、等能面的交线运动以以自由电子为例自由电子为例加以讨论：加以讨论：222km(0,0,)BB kz 保持不变保持不变,在在 kx ky 面内做匀速面内做匀速圆周运动圆周运动,回转的频率回转的频率 0/eB m(2)电子在实空间的运动图象电子在实空间的运动图象0yyxxxyzxydvdkeBeBdtm dtmmdvdkeBdtm dtmkvmkvdvdeBmmt ( )kv kmxxyyzzvkmvkmvkm 电子在电子在r 空间做空间做螺旋运动螺旋运动，即在，即在垂直磁场垂直磁场的平面内的平面内做匀速圆周运动，回旋频率为做匀速圆周运动，回旋频率为0/eB m 以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子
4、，由于以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于晶格周期场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但形晶格周期场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但形式上仍可写成：式上仍可写成：*;()ccceBmcyclotroneffective massm称为回旋有效质量相应的周期为：相应的周期为：2( ,)zcdkdkdkTkeBeBvkvdd() ( )ddkkeBe v kBvtt 设设(k)是垂直于磁场的轨道平面内能量为是垂直于磁场的轨道平面内能量为和和 + 两两个等能面间法线距离。个等能面间法线距离。 kdk( )k如图：如图：由由 得：得： 1()()krv kk()()vkvk22( )( ,)zc
5、dkk dkTkeBveB2( ,)zAkeB( ,)zzAkkk是用 ， 标记的轨道在 空间所围面积*cceBm与与 比较可知：比较可知： 2*( ,)2zcAkm2*( ,)2zcAkm*cm是与轨道相关的回旋有效质量它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。对方程对方程 两边用两边用 叉乘，得：叉乘，得：() ( )dke v kBdt /BBB() ( )drdkBe Bv kBeBveBdtdt drdkBdteBdt r是电子在实空间位置矢量在垂直磁场方向的投影( )(0) ( )(0)rtrBk tkeB 积分得：所以所以,电子在
6、实空间的轨道可由在电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁空间的轨道绕磁场轴旋转场轴旋转90度度,并乘以因子并乘以因子 得到得到./eB( )(0)r trB ( )(0)k tkeB电子在实空间的轨道可由在电子在实空间的轨道可由在k空间的轨道绕磁场轴旋转空间的轨道绕磁场轴旋转90度度,并乘以因子并乘以因子 得到得到./eB( )(0) ( )(0)rtrBk tkeB 二、均匀磁场中自由电子的量子化理论二、均匀磁场中自由电子的量子化理论 考虑边长为考虑边长为 L 的立方体的立方体,以它们的边长为以它们的边长为 x,y,z 轴轴,外磁场平行于外磁场平行于z 轴且均匀轴且均匀. 即：即：BBz
7、自由电子在外加磁场自由电子在外加磁场(沿沿z轴方向轴方向)的哈密顿算的哈密顿算符为：符为：2)(21AepmH p：电子的：电子的运动学动量运动学动量，A：电子的：电子的场动量场动量，Ae：矢量势矢量势1. 朗道能级朗道能级则由于则由于 且且 (,0,0)ABy AB 2)(21AepmH 22221zyxpppeBymBBz(0,0) )(or ABx 中不含中不含x，z,所以它和算符所以它和算符 及及 是对易的。根据量子力学，可选是对易的。根据量子力学，可选 的本征波函的本征波函数同时为数同时为 的本征波函数。的本征波函数。zxpp, Hxpixzpiz H可令可令 这时波函数可以写成这时
8、波函数可以写成：)()(yezkxkizx zzxxkpkp ,代入方程代入方程 得到得到:HE)()()(22202222yyyymymc ,2,220mkEkeBymeBzxc 其其中中 与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是一个中心在一个中心在y0的谐振子波动方程的谐振子波动方程。222 21() ( )( )2xyzkeBypkyE ym2222221() ( )() ( )222zxkkeByyEym ymm谐振子能量谐振子能量回旋频率回旋频率电子的能量电子的能量由量子力学知由量子力学知mknEzc2)21(22 从准连续的能量从准连续的能量 变
9、成变成(n+1/2) c)(2222yxkkm 沿磁场沿磁场B方向方向,电子保持自由运动电子保持自由运动,mkz222相应的动能为相应的动能为 在与磁场垂直的在与磁场垂直的kz常数的平面内常数的平面内,轨道是量子化的轨道是量子化的.这些量子化的能级称为这些量子化的能级称为朗道能级朗道能级。在垂直磁场的在垂直磁场的x-y平面上平面上,电子的运动是量子化的电子的运动是量子化的 mkEz222 1()2cn0,1,2,n 电子的能量电子的能量222222222yxzkkkEmmm和自由电子比较mknEzc2)21(22 因此，电子的能量从准连续的因此，电子的能量从准连续的能谱能谱变成一维的变成一维的
10、磁次能带磁次能带如图如图,每个磁次能带是一条抛物线每个磁次能带是一条抛物线,开口向上开口向上.磁次能带磁次能带的能量极小值是：的能量极小值是：1(),2cnn量子数 就是次能带的序号。0zk0B 0n 1n2n3n( )nzE k 由于能量由于能量波矢关系的改变波矢关系的改变,在在k空间描写状态的代表点的分空间描写状态的代表点的分布也改变了布也改变了.在没有外磁场时在没有外磁场时,状态的代表点状态的代表点在在 平面是均匀分布的平面是均匀分布的,每个每个代表点占据的面积为：代表点占据的面积为： xyk k222(,2 )(2 )yyxxLL LLL这里 、是晶体与磁场垂直的平面的线度。 在有外磁
11、场在有外磁场B时时， 平面上的能量变为：平面上的能量变为： 变成了谐振子，其中心位置在变成了谐振子，其中心位置在 ,代表电子的平均位置代表电子的平均位置, 可以位于晶体中不同的可以位于晶体中不同的地点。所以：地点。所以：xykk(1/2)ncn 00/;(/)xyykeB or xkeB00()y or x0max22()2xyyyxeBkLLyeLkBmax( )xxkk所以，在的范围内电子（包含自旋）的状态数为：2max2( )24222 /22xxcxyxyekmeBmDL LL LLLhhBm 这个数目代表由于线性谐振子中心位置的不同而这个数目代表由于线性谐振子中心位置的不同而产生的简
12、并度。产生的简并度。2222221()22221()2xyxcyeBkkknmknm此外，由可知可知,当当n等于某整数时等于某整数时,在在 平面内是一个圆环平面内是一个圆环,称称为朗道环为朗道环.两个两个相邻圆环之间的面积相邻圆环之间的面积为：为：xykk22()xySkk 2221212)()(1)22xyeBeBeBkknn(222()xyeBSkk 所以，是一个是一个正比于外磁场的常量正比于外磁场的常量 在此面积中含有的原来没有外磁场时的状态数为：在此面积中含有的原来没有外磁场时的状态数为：222222222(2 )(2 )SeBLeBLDhL 即简并度。即简并度。222222222(2
13、 )(2 )SeBLeBLhL包含了所有的简并态。包含了所有的简并态。加了外磁场后加了外磁场后，这些，这些代表点都聚合到了圆周上代表点都聚合到了圆周上。xkyk无外磁场无外磁场 0n 1 23xkyk 有外磁场有外磁场 2221()2xyeBkkn由于沿磁场方向由于沿磁场方向 仍准连续变化仍准连续变化,所以在三维所以在三维k空间空间的代表点将聚集到一系列圆柱面上的代表点将聚集到一系列圆柱面上,每一个圆柱面对每一个圆柱面对应一个确定的量子数应一个确定的量子数n，最后形成所谓的最后形成所谓的朗道管朗道管。zk n一定，电子的能带是一条抛物一定，电子的能带是一条抛物线，线，n=0是最低的次能带，是最
14、低的次能带，n增加，增加，次能带向上移，如图给出磁次能次能带向上移，如图给出磁次能带的简图。带的简图。 如图所示，在如图所示，在波矢空间波矢空间形成一系列形成一系列“圆柱面圆柱面”，每一个圆柱面对应一个确定，每一个圆柱面对应一个确定的量子数的量子数n，可以看成是一个子带，在每可以看成是一个子带，在每一个子带中一个子带中只有一维自由度只有一维自由度 kz 。 电子的能量由电子的能量由准连续的能谱准连续的能谱变成一维变成一维的的磁次能带磁次能带。n= =3n= =2n= =1n= =0B= =0)(znkE0 0zk自由电子在磁场自由电子在磁场中的能量中的能量mknEzc2)21(22 不同的不同
15、的y0并不影响谐振子的本征值并不影响谐振子的本征值 ，而，而y0又依赖于波又依赖于波矢分量矢分量kx，因此不同的状态可能会是简并态。因此不同的状态可能会是简并态。其简并度是多少呢？其简并度是多少呢？22220yxyyyLkeBLLyL ，即即2yxeBLk 2. 2. 朗道能级简并度朗道能级简并度 )()()(22202222yyyymymc xkeBy 0该范围内的该范围内的波矢数波矢数为：为：2max2( )22 /22cxxyxyxkmeBmDL LLeBmLLLhh朗道能级简并度朗道能级简并度(考虑自旋考虑自旋)：meBc 此简并度与磁感应强度此简并度与磁感应强度B和晶体在垂直于磁场方
16、向和晶体在垂直于磁场方向的截面积成正比，与能级序号无关，即无论的截面积成正比，与能级序号无关，即无论n为何值为何值，简并度不变。，简并度不变。2222xyceBmmDL LLhhm0n 1 23xkyk有外磁场有外磁场 xkyk无外磁场无外磁场 在恒定磁场下在恒定磁场下形成朗道能级，形成朗道能级，实际上只是量实际上只是量子态的一种重子态的一种重新分布，量子新分布，量子态的总数是不态的总数是不变的。变的。3. 布洛赫电子的轨道量子化布洛赫电子的轨道量子化 对于布洛赫电子，电子的半经典闭合轨道将按玻对于布洛赫电子，电子的半经典闭合轨道将按玻尔量子化条件来量子化。即：尔量子化条件来量子化。即：()2
17、p drnpkeA这里: 可以证明：布洛赫电子的闭合轨道在可以证明：布洛赫电子的闭合轨道在k空间所围面积空间所围面积也是以也是以2 eB为单位量子化的。 这与自由电子相同这与自由电子相同, 相邻闭合轨道的能量差为相邻闭合轨道的能量差为: c1( 1)2n为整数,为相位因子,对自由电子三、三、 德哈斯德哈斯- -范阿尔芬效应范阿尔芬效应(de Hass-Van Alphen effect) 德哈斯德哈斯-范阿尔芬效应范阿尔芬效应,是是1930年年de Hass和和Van Alphen在低温、强磁场中研究在低温、强磁场中研究铋单晶的磁化率铋单晶的磁化率时发现的时发现的.他们他们发现发现,低温下强磁
18、场中金属的磁化率随磁场倒数低温下强磁场中金属的磁化率随磁场倒数(1/B)周周期性振荡期性振荡,人们把这种现象称为人们把这种现象称为德哈斯德哈斯-范阿尔芬效应范阿尔芬效应. 后来后来,人们进一步研究发现人们进一步研究发现,电导率、比热电导率、比热等物理量在等物理量在低温下强磁场中也有类似的振荡现象低温下强磁场中也有类似的振荡现象,这些现象同金属这些现象同金属费米面费米面附近电子在强磁场中的行为有关附近电子在强磁场中的行为有关,因而因而它是研究它是研究金属费米面的一种有力工具。金属费米面的一种有力工具。 在磁场中在磁场中,电子的能级形成一系列高度简并的分立能电子的能级形成一系列高度简并的分立能级级
19、,类似于简谐振动的能量量子化类似于简谐振动的能量量子化,使得电子气系统能量使得电子气系统能量随磁感应强度发生变化随磁感应强度发生变化,从而导致磁化率随磁场的振荡从而导致磁化率随磁场的振荡.这就是产生这就是产生德哈斯德哈斯-范阿尔芬效应的原因范阿尔芬效应的原因下面我们以二维自由电子系统为例对下面我们以二维自由电子系统为例对德哈斯德哈斯-范阿尔芬范阿尔芬效应效应进行简单说明。进行简单说明。0K,/TBzxy设轴，电子位于平面 由于绝对零度时，电子由于绝对零度时，电子系统的最高能量为系统的最高能量为费米费米能量能量，它所包围的面积，它所包围的面积就是费米圆的面积。就是费米圆的面积。 加上磁场后加上磁
20、场后,费米圆内的状态收缩到朗道环上费米圆内的状态收缩到朗道环上,但但总状态总状态数目不变数目不变.外磁场外磁场B的变化的变化,将引起朗道能级间距的变化将引起朗道能级间距的变化. 因此，因此，总能够通过改变磁场的大小总能够通过改变磁场的大小，使得费米园内，使得费米园内的状态的状态恰好填满某一朗道能级恰好填满某一朗道能级。 磁场增大磁场增大,朗道环上的简并度增加朗道环上的简并度增加,而总电子态数目一而总电子态数目一定定,所以所以,随着磁场的增大随着磁场的增大,电子对应的电子对应的填满的朗道能级的填满的朗道能级的级次变小级次变小,即即n变小变小.2220()2110()()22xyncBkkmeBB
21、nnm图图3.32 朗道能级填充状况随朗道能级填充状况随磁场增大磁场增大的变化的变化222eBDLBh简并度随 增大而增大，所以，B越大，电子填充朗道能级数目越小。0B0B0B0B0B0B222eBDLBh简并度随 增大而增大，所以，B越大，电子填充朗道能级数目越小。0B0B0B0B01111);2(1)2cFcn110111;cFeBn emBm所以，11(nB 大 )0 022211);22cFcnBBn恰好填时，电子第 个能级。则满(：220211)1;cFeBnemBm(所以，0 2(nB小 ) 随着磁场连续变化，随着磁场连续变化，相邻两相邻两个系统能量增量为零的范围个系统能量增量为零
22、的范围对对应一个能量周期应一个能量周期。11B Bn电子恰好填设时,第个满能级。则： 如果以电子系统能量增值为零的两个相邻如果以电子系统能量增值为零的两个相邻1/B值之值之差，表示系统能量变化的周期差，表示系统能量变化的周期. 则：则： 0211111()FeBBBm由于对二维自由电子系统：由于对二维自由电子系统：2020002();()2FFFFkSkm为二维电子系统的费米圆面积。0111Fn eBm0211)1FneBm(为常数。为常数。2002FFSm所 以 ，所以，所以，系统能量变化的周期系统能量变化的周期为：为：0202011111()22FFFBSSeemeBBmm由于系统的磁化强
23、度和单位体积的由于系统的磁化强度和单位体积的自由能自由能满足：满足：( )FM BB 亦即亦即和磁场垂直的费米圆面积随周期的变化而变化和磁场垂直的费米圆面积随周期的变化而变化，周期大，则对应费米面积小。周期大，则对应费米面积小。 所以所以,系统的磁化率也将以系统的磁化率也将以1/B为变量振荡。为变量振荡。所以所以, 磁化强度将以磁化强度将以1/B为变量振荡为变量振荡.0MMHB由于系统的磁化率为：由于系统的磁化率为：系统的磁化率随系统的磁化率随1/B变化的周期也将是：变化的周期也将是：021()FBSe 在低温下，从实验上测出在低温下，从实验上测出 随随1/B变化的周变化的周期，便可确定期，便
24、可确定 ,即即垂直磁场方向的费米面的垂直磁场方向的费米面的极值面积。极值面积。因而，因而，只要从实验上测定只要从实验上测定磁化率磁化率 在不同方向上随在不同方向上随1/B的变化周期的变化周期，便，便可确定沿可确定沿不同晶向的费米面不同晶向的费米面，进而得到金属费米面的形进而得到金属费米面的形状。状。0FS222eBDLh对于二维自由电子系统对于二维自由电子系统, ,朗道能级简并度朗道能级简并度：小结：小结： 所以所以, ,磁场磁场B B增大增大, ,则朗道则朗道能级的简并度变大能级的简并度变大, ,也就是每也就是每一朗道能级上电子数目变多一朗道能级上电子数目变多. . 假如假如,当磁场当磁场B
25、=B1时时,电子恰好填满了电子恰好填满了n-1个朗个朗道能级道能级;而磁场而磁场B=B2时时,电子恰好填满了电子恰好填满了n个朗道个朗道能级能级; 则则B2 B1 ,磁场磁场B B越强越强, ,则则N N个电子所需占个电子所需占据的朗道能级的级次越小据的朗道能级的级次越小. . 每当调节磁场恰好每当调节磁场恰好填满一个级次填满一个级次,则相应能量则相应能量增量为零增量为零;而当而当一个级次的能量恰好和费米能量一个级次的能量恰好和费米能量相等相等,则相应能量增量最大则相应能量增量最大.两次最大或最小间两次最大或最小间相应的相应的(1/B)即为所求的周期即为所求的周期.对于三维情况，我们不再讨论。
26、对于三维情况，我们不再讨论。 总之总之,对于自由电子系统对于自由电子系统,磁场的引入磁场的引入,导致系统导致系统能量增大能量增大,能量的增量依赖于能量的增量依赖于01()2Fcn与的相对位置。 这就导致能量增量随这就导致能量增量随1/B发生周期性变化发生周期性变化,从从而导致磁化强度或磁化率随而导致磁化强度或磁化率随1/B发生周期性变化发生周期性变化.01()2Fcn每当与重合时，能量增量最大， 变化的周期决定于变化的周期决定于费米面在垂直磁场方向的费米面在垂直磁场方向的最大截面最大截面(称为极值截面称为极值截面 ,测定磁场沿各测定磁场沿各种不同晶向时种不同晶向时德哈斯德哈斯-范阿尔芬效应范阿
27、尔芬效应的周期的周期,便可便可确定沿不同晶向的确定沿不同晶向的极值截面面积极值截面面积,从而勾画出从而勾画出金金属费米面属费米面的形状的形状.(, )eFzAk21(,)1(eFzeAkB,1()()eFzBAk当为极反之，小时，周期为极大； 变化的周期与费米面在垂直磁场方向的最大截变化的周期与费米面在垂直磁场方向的最大截面面 的关系为：的关系为：(, )eFzAk四、四、 回旋共振方法回旋共振方法(cyclotron resonance) 在恒定外磁场作用下在恒定外磁场作用下,费米面上由一个电子费米面上由一个电子的的k矢量所描绘的轨道矢量所描绘的轨道,就是费米面与一个垂直就是费米面与一个垂直
28、于于B的平面的交线的平面的交线.对于一个闭合轨道对于一个闭合轨道,具有确定具有确定的的回旋频率：回旋频率：*cceB m这是所有研究费米面方法的核心这是所有研究费米面方法的核心.(,)1()eFzkBA当为极大时，周期为极小； 回旋共振实验回旋共振实验,是是在施加磁场的同时在施加磁场的同时,在垂直磁场方在垂直磁场方向加上频率为向加上频率为 的微波场的微波场,通过与微波场的共振来观察通过与微波场的共振来观察回旋频率回旋频率 c. 实际上的程序是保持实际上的程序是保持微波场的微波场的频率频率 不变不变,而改变磁场而改变磁场的大小的大小, 当当 = c时时,微波场的能量将迅速被电子共振吸收，微波场的
29、能量将迅速被电子共振吸收，从一个从一个朗道能级跳到另一个高能量的朗道能级上朗道能级跳到另一个高能量的朗道能级上. .这样这样, ,测量磁场与测量磁场与微波吸收功率的关系曲线微波吸收功率的关系曲线,就可得电子沿就可得电子沿闭闭合轨道运动的合轨道运动的回旋回旋频率频率 c .进而得到进而得到电子的有效质量电子的有效质量. .*cceB m2*,;()2cczceBmmAk即：然后由：( ,)zAk得到，从而确定极值轨道。回旋共振实验回旋共振实验是一个很精致的实验是一个很精致的实验, ,它要求：它要求： (1) 样品很纯净；样品很纯净； (2) 测量温度极低而磁场很强；测量温度极低而磁场很强； 这两
30、个条件是为了保证在目前可实现的磁场范围这两个条件是为了保证在目前可实现的磁场范围内内, ,让电子在两次相邻的碰撞时间间隔内让电子在两次相邻的碰撞时间间隔内, , 绕绕B B旋转许旋转许多圈，形成位相相干的回旋轨道多圈，形成位相相干的回旋轨道. .从而观察到明显的从而观察到明显的吸收峰吸收峰( (较小的吸收线宽和较大的吸收强度较小的吸收线宽和较大的吸收强度).).金属材料的各种物理过程，大部分都与费米面附近的电子行为金属材料的各种物理过程，大部分都与费米面附近的电子行为有关，所以，从实验上测出费米面就很重要了。目前，用得最有关，所以，从实验上测出费米面就很重要了。目前，用得最多的实验是多的实验是德哈斯德哈斯-范阿尔芬效应范阿尔芬效应和和回旋共振法回旋共振法。 不过，这些效应仅仅对不过，这些效应仅仅对闭合轨道闭合轨道有效，比如可以测出金属铜有效，比如可以测出金属铜费米面存在费米面存在“肚子肚子”、“脖子脖子”、“狗骨头狗骨头”等形状。但是对等形状。但是对于一个多连通的费米面，还存在于一个多连通的费米面，还存在开轨道开轨道，开轨道的信息可由，开轨道的信息可由高高场磁致电阻效应场磁致电阻效应的测量来判断。的测量来判断。谢谢！
