1、1 1上海应用技术学院101 引引 言言102 梁的计算简图梁的计算简图103 剪力与弯矩剪力与弯矩104 剪力方程、弯矩方程与剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程与剪力图、弯矩图105 剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系第第 十十 章章 弯弯 曲曲 内内 力力主要介绍：主要介绍：梁的弯曲内力、梁的梁的弯曲内力、梁的剪力图、弯矩图剪力图、弯矩图、 剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系。2 2上海应用技术学院一、弯曲实例一、弯曲实例101 引引 言言房屋、桥梁：大梁房屋、桥梁：大梁火车：车轮轴火车：车轮轴车床：车刀杆车床：车刀杆桥式吊
2、车：横梁桥式吊车：横梁此外：轧钢机轧辊、齿轮轴等。此外：轧钢机轧辊、齿轮轴等。3 3上海应用技术学院特点：外力垂直于构件的轴线，原为直线的轴线变形后成为特点：外力垂直于构件的轴线，原为直线的轴线变形后成为 曲线。曲线。梁：以梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。弯曲变形为主的构件通常称为梁。二、对称弯曲的概念二、对称弯曲的概念构件特点：具有纵向对称平面。构件特点：具有纵向对称平面。纵向对称面纵向对称面xy变形特点：轴线由直线变为曲线，曲线仍位于纵向对称平面内。变形特点：轴线由直线变为曲线，曲线仍位于纵向对称平面内。MF1F2q4 4上海应用技术学院非对称弯曲：非对称弯曲：若梁不具有纵对称面，或者
3、，梁虽具有纵对称面但外力并不若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。 纵向对称面纵向对称面xy变形特点：轴线由直线变为曲线，曲线仍位于纵向对称平面内。变形特点：轴线由直线变为曲线，曲线仍位于纵向对称平面内。MF1F2q5 5上海应用技术学院梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。构件的简化：简化为一直线，通常取梁的轴线来代替梁。构件的简化：简化为一直线，通常取梁的轴线来代替梁。一、一、 梁的支座形式与支反力梁的支座形式与支反力102 梁的计算简图
4、梁的计算简图约束力：约束力：约束力：约束力：AFAAAAAAAAFAxFAy可动铰支座：可动铰支座：固定铰支座：固定铰支座：6 6上海应用技术学院固定端支座：固定端支座：二、二、 梁的类型梁的类型(1) 简支梁简支梁A约束力：约束力：MAAFAxFAy(2) 外伸梁外伸梁(3) 悬臂梁悬臂梁ABABCDAB1. 静定梁静定梁2. 静不定梁静不定梁ABCAB7 7上海应用技术学院简支梁如图示，简支梁如图示，F1、F2、 F3、a1、l 已知。已知。求求 1-1 截面上的内力。截面上的内力。解：解：103 剪力与弯矩剪力与弯矩lABa1F1F2F311xFAFBa1F1由平衡条件：由平衡条件：S
5、SFy= 0 S SMA(F)= 0可确定可确定约束力约束力 FA、FB截面法：截面截面法：截面1-1取左段梁分析：取左段梁分析：外力：外力： F1、 FA11Ax截面截面1-1上内力：上内力： FS1、M1 FS1M1S SFy= 0 FA F1 FS1 = 0 FS1 = F 1 FAFA8 8上海应用技术学院截面截面1-1上内力：上内力： FS1、M1 S SFy= 0 FA F1 FS1 = 0 FS1 = F 1 FAFS1 ：剪力，为截面上切应力的：剪力，为截面上切应力的 合力。合力。S SMC1(F)= 0 M1 + F1 (x a1) FAx = 0 M1 = FAx F1(x
6、 a1) M1 ：弯矩，为截面上正应力的合：弯矩，为截面上正应力的合 力偶矩。力偶矩。若取右段梁分析：若取右段梁分析：同样可得截面同样可得截面1-1上剪力上剪力FS1、弯矩弯矩M1 FS1、M1 数值与数值与FS1、M1相等，但方向相反。相等，但方向相反。 11BF2S1F1MFBF3lABa1F1F2F311xFAFBa1F111AxFS1M1FA9 9上海应用技术学院规定：规定：FSFS(+)FSFS()MM(+)MM()即：即：“左上右下，剪力为正左上右下，剪力为正”“左顺右逆，弯矩为正左顺右逆，弯矩为正” 弯曲时梁横截面上内力为：剪力、弯矩。弯曲时梁横截面上内力为：剪力、弯矩。11BF
7、2S1F1MFBF3lABa1F1F2F311xFAFBa1F111AxFS1M1FA1010上海应用技术学院F=qaMe=qa2qABCDaaa例例1：外伸梁如图示，：外伸梁如图示，q、a 已知。已知。 试试求截面求截面1、2、3、4上的剪力和弯矩。上的剪力和弯矩。解：解：(1) 约束力约束力 11332244截面截面1-1：S SMC(F) = 0FCFDFDa + qa2/2 F2a Me = 0 FD = (5/2)qa S SFy= 0 FC+ FD F qa = 0 FC = (1/2)qa (2) 内力内力 q11FS1M1S SFy= 0 qa FS1 = 0 FS1 = qa
8、 S SMC1(F) = 0 M1+ qa2/2 = 0 M1 = qa2/2 1111上海应用技术学院截面截面1-1： FC = (1/2)qa FD = (5/2)qa FS1 = qa M1 = qa2/2 S SMC2(F) = 0 M1+ qa2/2 = 0 M2 = qa2/2 截面截面2-2：M2q22FCFS2S SFy= 0 FC qa FS2 = 0 FS2 = FC qa = (3/2)qa S SMC3(F) = 0 M3+qa(3a/2) FCa= 0 M3 =Fca qa(3a/2) = 2qa2截面截面3-3：S SFy= 0 FC qa FS3 = 0 FS3
9、= FC qa = (3/2)qa qFC33M3FS3F=qaMe=qa2qABCDaaa11332244FCFDq11FS1M11212上海应用技术学院截面截面1-1： FC = (1/2)qa FD = (5/2)qa FS1 = qa M1 = qa2/2 截面截面2-2： FS2 = (3/2)qa M2 = qa2/2 S SMC4(F) = 0 M4+qa(3a/2) Fca Me = 0 M4 =Me+Fca qa(3a/2) = qa2截面截面3-3： FS3 = (3/2)qa M3 = 2qa2M4FS4截面截面4-4：Me=qa2FDqFC44S SFy= 0 FC +
10、 FD qa FS4 = 0 FS4 = FC + FD qa = qa 若取右侧计算：若取右侧计算：F44FS4M4S SFy= 0 FS4 F= 0 FS4 = qaS SMC4(F) = 0 M4+ Fa = 0 M4 = qa2F=qaMe=qa2qABCDaaa11332244FCFD1313上海应用技术学院截面截面1-1： FS1 = qa M1 = qa2/2 截面截面2-2： FS2 = (3/2)qa M2 = qa2/2 截面截面3-3： FS3 = (3/2)qa M3 = 2qa2截面截面4-4： FS4 = qa M4 = qa2可知：只要按规定确定可知：只要按规定确
11、定FS、M 的方向后，从截面左段梁或右段的方向后，从截面左段梁或右段 梁计算所得梁计算所得FS、M的数值和符号都相同。的数值和符号都相同。 FC = (1/2)qa FD = (5/2)qaM4FS4Me=qa2FDqFC44F44FS4M4F=qaMe=qa2qABCDaaa11332244FCFD1414上海应用技术学院FC = (1/2)qa FD = (5/2)qaFS1 = qa M1 = qa2/2 FS2 = (3/2)qa M2 = qa2/2 FS3 = (3/2)qa M3 = 2qa2FS4 = qa M4 = qa2计算规律：计算规律：剪力剪力：等于截面左侧梁上所有外力
12、的代数和，向上的外力产生正的：等于截面左侧梁上所有外力的代数和，向上的外力产生正的 剪力；剪力；弯矩弯矩：等于截面左侧梁上所有外力对截面形心力矩的代数和，向上：等于截面左侧梁上所有外力对截面形心力矩的代数和，向上 的外力产生正的弯矩，顺时针的集中力偶矩产生正的弯矩。的外力产生正的弯矩，顺时针的集中力偶矩产生正的弯矩。特点特点：集中力作用处左右截面的剪力产生突变，突变值与集中力相集中力作用处左右截面的剪力产生突变，突变值与集中力相等，突变方向与集中力方向相同；等，突变方向与集中力方向相同；集中力偶作用处左右截面的弯矩产生突变，突变值与集中力集中力偶作用处左右截面的弯矩产生突变，突变值与集中力偶矩
13、相等，顺时针的力偶矩产生正的突变。偶矩相等，顺时针的力偶矩产生正的突变。F=qaMe=qa2qABCDaaa11332244FCFD1515上海应用技术学院一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程旋臂梁受均布载荷作用，求离左端旋臂梁受均布载荷作用，求离左端A为为 x 处截面上的内力。处截面上的内力。截面法：截面法：FSMS SFy= 0 qx FS = 0 FS = qxS SMC(F) = 0 M + qx2/2 = 0 M = qx2/2103 剪力方程、弯矩方程与剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程与剪力图、弯矩图ABlqqx可知：梁横截面上的剪力、弯矩一般随横截面的位置而变化。可知：梁
14、横截面上的剪力、弯矩一般随横截面的位置而变化。若以横坐标若以横坐标 x 表示横截面的位置，则表示横截面的位置，则FS、M可表示为可表示为x的函数：的函数：xFS = FS(x) M = M(x) 分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。= FS(x)= M(x) x1616上海应用技术学院二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图以平行于梁轴线的横坐标以平行于梁轴线的横坐标 x 表示表示横截面的位置，横截面的位置，注意：注意：当梁上载荷将梁分成几段时，应分段写出梁的剪力方程、弯矩当梁上载荷将梁分成几段时，应分段写出梁的剪力方程、弯矩方程，方程，再分段作再分段作剪力图、弯矩图。
15、剪力图、弯矩图。分别写出梁的剪力方程、弯矩方程，根据方程用描点法作图。分别写出梁的剪力方程、弯矩方程，根据方程用描点法作图。以纵坐标以纵坐标表示相应表示相应横截面上的剪力横截面上的剪力 FS 或弯矩或弯矩 M，绘出绘出 FS =FS(x) 或或M = M(x) 的图形，的图形，分别称为剪力图和弯矩图。分别称为剪力图和弯矩图。绘图的基本方法：绘图的基本方法：xFSM1717上海应用技术学院例例2 作图示悬臂梁的作图示悬臂梁的 FS 图图、M 图图。解：解：(1) FS 方程方程、M 方程方程x截面法：截面法：FS 方程方程：FxFSMFS = F ( 0 x l )M 方程：方程：M = F x
16、 ( 0 x l )(2) 作作FS 图图、M 图图FFSxOFlxMO可知：可知：FSmax = Fx = l 时：时： Mmax= Fl FlAB 位于梁的位于梁的B截面上。截面上。1818上海应用技术学院例例3 作图示简支梁的作图示简支梁的 FS 图图、M 图图。解：解：(1) 约束力约束力FA 、FBxS SMB(F) = 0 FAl + Fb = 0FA = Fb/ l FSMS SFy= 0 FA + FB F = 0FB = F FA = Fa /l (2) FS 方程方程、M 方程方程AC段段：FS = FA = Fb/ l ( 0 x a )( 0 x a )CB段段：xFS
17、MxFAxlFbxFMAxFAFFS = FA F = Fa / l ( a x l )()(AxllFaaxFxFM( a x l )ABalFbCFAFB1919上海应用技术学院AC段段：FS = FA = Fb/ l ( 0 x a )( 0 x a )CB段段：xlFbxFMAFS = FA F = Fa / l ( a x l )()(AxllFaaxFxFM( a x l )(3) 作作FS 图图、M 图图AC段段：x = 0，FS = 0 x = a ，FS = Fb /l Fb /lCB段段：x = a，FS = Fb /l x = l ，FS = Fa /l xxABalFb
18、CFAFBFSxACBFa /l2020上海应用技术学院AC段段：FS = FA = Fb/ l ( 0 x a )( 0 x a )BC段段：xlFbxFMAFS = FA F = Fa / l ( a x l )()(AxllFaaxFxFM( a x l )(3) 作作FS 图图、M 图图xMACBAC段段：x = 0， M = 0CB段段：lFabM x = a，x = a ，x = l ， M = 0lFabM lFabFb /lABalFbCFAFBFSxACBFa /l2121上海应用技术学院由由FS 图可知：图可知：称称|FS |max、Mmax 所在截面为危所在截面为危险截面
19、。险截面。lFabMmaxC截面截面：x = a，CB段段：|FS |max= Fa / l由由M 图可知：图可知：xMACBlFabFb /lABalFbCFAFBFSxACBFa /l2222上海应用技术学院例例4 作图示悬臂梁的作图示悬臂梁的 FS 图图、M 图图。解：解：由前得由前得FS 方程方程、M 方程方程FS = qx ( 0 x l )作作FS 图图、M 图：图：由由 FS = qx ，FS 图图为一斜直线。为一斜直线。( 0 x l )取点取点：221qxMFSMlABqxqx ql221qxMM 图图为一抛物线。为一抛物线。x = 0， M = 0 x =l /4，2321
20、qlMx =l /2，281qlMx =3l /4，2329qlMx =l ，221qlM221ql固定端：固定端：x =l， |FS|max = ql 2max21|qlMFSxABMxBA2323上海应用技术学院例例5 作图示简支梁的作图示简支梁的 FS 图图、M 图图。解：解：(1) 约束力约束力FA 、FBxS SMB(F) = 0 FA= Me/lFSMS SFy= 0 FB = Me/l(2) FS 方程方程、M 方程方程AC段段：FS = FA = Me/l ( 0 x a )( 0 x a )CB段段：xFSMxFAxlMxFMeAFS = FA = Me/l ( a x l
21、)eeeAMxlMMxFM( a x l )lbaMeABCxFAMeFAFB2424上海应用技术学院(3) FS 图图、M 图图AC段段：FS = FA = Me/l ( 0 x a )( 0 x a )CB段段：xlMxFMeAFS = FA = Me/l ( a x 0斜直线斜直线向下突变向下突变xFSC无变化无变化斜直线斜直线xM增函数增函数抛物线抛物线产生折点产生折点 向下突变向下突变q0q0CFxFSFS 0增函数增函数xFS减函数减函数xFS减函数减函数xM开口向上开口向上xM开口向下开口向下xMM1M2=MeM1M2xMCxMCxFSCFS1FS2FS1FS2=F3131上海应
22、用技术学院例例7 试试用微分关系作出图示悬臂梁的用微分关系作出图示悬臂梁的FS、M 图。图。解解: :特殊点特殊点：端点、分区点和驻点等。：端点、分区点和驻点等。aaqaqBACAB段段：q = 0，FS图为一水平直图为一水平直 线；线；CB段段：q 为一正的常数，为一正的常数，FS图图 为一斜直线。为一斜直线。FS 图：图：A点点：F=qa，方向向下，方向向下，FS 图图 上有一向下的突变；上有一向下的突变；qaC点点：FSC=FSB+qa = qa +qa = 0 FSxABCxMABC3232上海应用技术学院例例7 试试用微分关系作出图示悬臂梁的用微分关系作出图示悬臂梁的FS、M 图。图
23、。解解: :特殊点特殊点：端点、分区点和驻点等。：端点、分区点和驻点等。aaqaqBACAB段段：FS 图为一水平直线，图为一水平直线，CB段段：FS 图为一斜直线。图为一斜直线。M 图：图：M 图为一斜直线；图为一斜直线；B点点：MB =MA qaa = 0 qa2 = qa2 qa2M 图为一抛物线，开口向上。图为一抛物线，开口向上。C点点：MC=MB qaa/2 = qa2 qa2/2 =223qa223qaqaFSxABCxMABC可知：可知： |FS|max = qx 2max23|qaM3333上海应用技术学院例例8 外伸梁如图示，外伸梁如图示，试试用微分关系作用微分关系作FS、M
24、 图。图。 20kNFSxCABMxCABF=20kNMe= 40kNmq= 10kN/mABC1m4mFAFB解：解：(1) 约束力约束力FA 、FBS SMB(F) = 0FA = 25 kN用用S SFy= 0 验算：所求验算：所求FA、FB 正确。正确。 S SMA(F) = 0(2) 作作FS 图图15kN 25kN 20kNmFB = 35 kN2.5mDD(3) 作作 M 图图20kNm31.25 kNm可知：可知： |FS|max = 25kNMmax = 31.25 kNm3434上海应用技术学院例例9 作图示铰接梁的作图示铰接梁的 FS、M 图。图。解：解：(1) 约束力约
25、束力FA、FB、MAS SM C(F) = 0FD = qa/2 S SFy= 0 FA = 5qa/2S SMA(F) = 0MA = 3qa2 qF=2qaABDCaaaFDFAMAqFDFCxFCy拆开中间铰，取右部分研究：拆开中间铰，取右部分研究：取梁整体研究：取梁整体研究：3535上海应用技术学院例例9 作图示铰接梁的作图示铰接梁的 FS、M 图。图。解：解：(1) 约束力约束力FA、FB、MAFD = 0.5qaFA = 2.5qa(2) 作作FS 图图MA = 3qa2 (3) 作作 M 图图可知：可知：FSmax = 2.5qa|M| max = 3qa2CADBFSxxMCABD2.5qa0.5qa0.5qa0.5aEE3qa20.5qa20.125qa2qF=2qaABDCaaaFDFAMAp 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly, And You Will Know Everything. The More You Know, The More Powerful You Will Be写在最后感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings结束语讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
