1、 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事的成因与结果的不同等的形状结构，事与事的成因与结果的不同等等都表现出等都表现出不等关系不等关系，这表明现实世界中的，这表明现实世界中的量，量，不等是普遍的、绝对的不等是普遍的、绝对的，而，而相等则是局相等则是局部的、相对的部的、相对的。 不等式知识贯穿整个高中数学，也是高不等式知识贯穿整个高中数学，也是高等数学的等数学的基础和工具基础和工具，一直是高考的重点内，一直是高考的重点内容，占相当大的比重。不等式具有容，占相当大的比重。不等式具有应用广泛、应用广泛、变换灵活变换灵活的特点。的特点。一、不等式的相关概
2、念：一、不等式的相关概念：1.1.不等式的定义：不等式的定义：用用不等号不等号表示表示不等关系不等关系的式子的式子2.2.不等式不等式 的分类：的分类：按两不等式按两不等式的方向分的方向分同向不等式同向不等式异向异向不等式不等式按未知数最按未知数最高次幂分高次幂分一次不等式一次不等式二次不等式二次不等式高次不等式高次不等式无理不等式无理不等式分式不等式分式不等式3 3、两数在数轴上的表示：、两数在数轴上的表示：在数轴上在数轴上右边右边的点比的点比左边左边的点表示的数大的点表示的数大4 4、比较两式、比较两式大小的方法：大小的方法：作差作差比较法比较法作商作商比较法比较法理论理论根据根据步骤步骤
3、理论理论根据根据步骤步骤二、不等式的性质二、不等式的性质abba ,ab bcac 1 1、对称性：、对称性：2 2、传递性：、传递性：3 3、加法性质：、加法性质：cbcaba dbcadcba 同向可加性同向可加性000abacbdcd 二、不等式的性质二、不等式的性质4 4、乘法性质：、乘法性质：bcaccba 05 5、乘方性质：、乘方性质：0;nnabab（ 取正整数）取正整数）n同向同正可乘同向同正可乘二、不等式的性质二、不等式的性质6 6、开方性质：、开方性质：0nnabab（ 取正整数）取正整数）n110ababab 7 7、倒数性质：、倒数性质：例例1 1：已知已知 ，那么在
4、，那么在 这三个数中，最小的数是这三个数中，最小的数是 _，最大的数是，最大的数是_01, 0 ba2,a ab abaab三、例题分析：三、例题分析：解法解法1 1：特殊值法特殊值法用于简单判断或填空题用于简单判断或填空题解法解法2 2：作差比较法作差比较法例例2 2:(1):(1)已知已知 ，则，则 从小到大的顺序是从小到大的顺序是 _0,1ab ab221, ,2,2a bab ab 22122aababb13,44ab三、例题分析：三、例题分析：特殊值法特殊值法: 取取例例2 2:(2):(2)已知已知 ，比较，比较 与与 的大小的大小_241xy22xy 三、例题分析：三、例题分析：
5、作差比较法作差比较法: 12020122 yx22111()4220 xx24 =1xy （条件（条件 的应用）的应用）2511-+4480 xx 2511-+45100 xx （）251-410 x （）（配方）（配方）0 22120 xy注：特殊值注：特殊值法容易漏法容易漏“=”=”小结：作差比较两数大小的步骤作差比较两数大小的步骤 (1) (1)作差；作差； (2) (2)变形；变形； (3) (3)定号；定号； (4) (4)下结论；下结论；常用常用手段手段: :配方法，因式分配方法，因式分 解法解法三、例题分析：三、例题分析：作差比较法作差比较法: 例例3 3: :已知已知 ，比较，
6、比较 与与 的大小。的大小。211xx221xx 111xx 212111()xxxx212111()()xxxx（分组）（分组）212112()()xxxxx x 21121()(1)xxx x212112(1)()x xxxx x （定号定号）0 （通分）（通分）三、例题分析：三、例题分析：解法解法1:(作差法作差法) 例例4 4: :已知已知 ，比较，比较 与与 的大小。的大小。0,0ab112222()()abba ab 0,0ab112222()() ()ababababbaba（分组通分）（分组通分）abbaba11()()abba()()ababab （定号）（定号）0 2()(
7、)ababab 112222()()ababba三、例题分析：三、例题分析：解法解法2:(作商法作商法) 例例4 4: :已知已知 ，比较，比较 与与 的大小。的大小。0,0ab112222()()abba ab 0,0ab112222()()ababbabaabab 33()()()ababab ababab 2()ababab （定号）（定号）ab1ab （立方和（立方和公式）公式）（配方）（配方）112222()()ababba三、例题分析：三、例题分析：解法解法3:(平方平方作差法作差法) 例例4 4: :已知已知 ，比较，比较 与与 的大小。的大小。0,0ab112222()()ab
8、ba ab 0,0ab11222222()() ()ababba22(2)(2)ababababba33()ababab 2()()0abab ab 112222()()ababba立方和立方和变形变形小结：作差比较大小作差比较大小（变形是关键）（变形是关键） 变形变形常见常见形式形式:变形为常数；变形为常数； 一个常数与几一个常数与几 个平方和；个平方和； 几个因式的积几个因式的积常用常用手段手段: :配方法，因式分配方法，因式分 解法解法注：平方差，完全平方，立方和、注：平方差，完全平方，立方和、 差等公式的应用差等公式的应用三、例题分析：三、例题分析：解：解： 例例5 5: :已知已知
9、，求，求 的取值范围。的取值范围。23, 43ab 2,abab ababba123, 43ab （）-2+0a b243b （ ）3-4b 57ab 23a（加法法则（加法法则-同向可加性）同向可加性）（乘法单调性）（乘法单调性）（加法法则）（加法法则）三、例题分析：三、例题分析：解：解： 例例5 5: :已知已知 ，求，求 的取值范围。的取值范围。23, 43ab 2,abab ababba343b （ ）11134b 1-12ab112ab 23a（倒数法则）（倒数法则）（乘法单调性）（乘法单调性）（乘法法则）（乘法法则）11143b （乘法单调性）（乘法单调性）三、例题分析：三、例题分
10、析：解：解： 例例5 5: :已知已知 ，求，求 的取值范围。的取值范围。23, 43ab 2,abab ababba443b （ ）34b -12-6ab23a（乘法单调性）（乘法单调性）（乘法法则）（乘法法则）612ab （乘法单调性）（乘法单调性）三、例题分析：三、例题分析：解：解： 例例5 5: :已知已知 ，求，求 的取值范围。的取值范围。23, 43ab 2,abab ababba443b （ ）2916b 238ba 23a（乘方法则）（乘方法则）（倒数法则）（倒数法则）11132a（乘法法则）（乘法法则）注意：注意：在求解过程中要避免犯如下错误：在求解过程中要避免犯如下错误：8
11、9ab 得得2343ab 由由错因：错因：用乘法法则时不符合其用乘法法则时不符合其 “同向同正同向同正”的前提条件。的前提条件。小结 主要内容主要内容 基本理论基本理论: a - b 0 a b a - b = 0 a = b a - b 0 a b 基本理论应用之一：比较实数的大小基本理论应用之一：比较实数的大小. 一般步骤：一般步骤： 作差变形判断符号下结论作差变形判断符号下结论 1 1变形常用手段变形常用手段: :配方法，因式分解法配方法，因式分解法 2 2变形常见形式是：变形为常数；变形常见形式是：变形为常数； 一个常数与几个平方和；几个因式的积一个常数与几个平方和；几个因式的积结束1
12、.1.基本概念基本概念 同向不等式：同向不等式： 在两个不等式中在两个不等式中, ,如果每一个的左边都如果每一个的左边都大于右边大于右边, ,或每一个的左边都小于右边或每一个的左边都小于右边. . 异向不等式：异向不等式： 在两个不等式中在两个不等式中, ,如果一个不等式的左如果一个不等式的左边大于右边边大于右边, ,而另一个的左边小于右边而另一个的左边小于右边. .作差比较两数大小的依据作差比较两数大小的依据(2)0abab(3)0abab(1)0abab 上式中的左边反映的是实数的运算性质，上式中的左边反映的是实数的运算性质，而右边则是实数的大小顺序，合起来就成而右边则是实数的大小顺序，合
13、起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系。为实数的运算性质与大小顺序之间的关系。这一性质不仅可以用来这一性质不仅可以用来比较两个实数的大比较两个实数的大小，而且是推导不等式的性质，不等式的小，而且是推导不等式的性质，不等式的证明，解不等式的主要依据。证明，解不等式的主要依据。 判断两个实数判断两个实数a a与与b b的大小，归结为判断的大小，归结为判断它们的差它们的差a-a-b b 的符号，从而归结为实数的符号，从而归结为实数运算的符号法则，分三步进行：运算的符号法则，分三步进行：作差比较两数大小的步骤作差比较两数大小的步骤 (1) (1)作差；作差； (2) (2)变形；变形； (3)
14、(3)定号；定号； (4) (4)下结论；下结论；常用常用手段手段: :配方法，因式分配方法，因式分 解法。解法。常见常见形式形式:变形为常数；变形为常数； 一个常数与几一个常数与几 个平方和；个平方和； 几个因式的积。几个因式的积。作商比较两数大小的依据作商比较两数大小的依据(1)1aabb 若若0b (3)1aabb (2)1aabb 例例1 1：已知已知 ，那么在，那么在 这三个数中，最小的数是这三个数中，最小的数是 _，最大的数是，最大的数是_01, 0 ba2,a ab abaab解法解法1 1：令令21, 2 ba则则21, 12 ababababa 2例例1 1：已知已知 ，那么在，那么在 这三个数中，最小的数是这三个数中，最小的数是 _，最大的数是，最大的数是_01, 0 ba2,a ab abaab解法解法2 2：(1)aabab 22(1)aababababa 2(1)(1)abb2(1)abababb0, 10ab 10,10bb
