1、OORrrK 系系K 系系相对相对绝对绝对牵连牵连 从从K系变换到系变换到K系系AaaVvvRrr运动学运动学动力学动力学研究牛顿定律在参考系变换中的情况研究牛顿定律在参考系变换中的情况 平动和转动平动：固联在参考系上的任一条直线，在各时刻方向总保持平行平动：固联在参考系上的任一条直线，在各时刻方向总保持平行的运动的运动平动不一定就是直线运动平动不一定就是直线运动转动：参考系上的直线绕同一转轴作圆周运动转动：参考系上的直线绕同一转轴作圆周运动平动平动转动转动两个相对运动的参考系两个相对运动的参考系K，K之间存在之间存在“牵连牵连”加速度加速度A 相对于相对于“静止静止”参考系，牛顿定律成立：参
2、考系，牛顿定律成立： aFma：“绝对绝对” 在运动参考系中，在运动参考系中， a：“相对相对”Aaa AaAaaFmmmmA = 0 和和 A 0 不同情况不同情况 A = 0 A 0 平动平动转动转动 伽利略相对性原理与伽利略坐标变换A = 0如如 K 相对于相对于“静止静止”参考系参考系 K 作匀速直线运动作匀速直线运动“牵连牵连”速度速度 V 不变不变aaA 0aaFmm 相对于匀速直线运动参考系相对于匀速直线运动参考系 K，牛顿运动定律仍然成立，力学牛顿运动定律仍然成立，力学现象的进行就和在现象的进行就和在“静止静止”参考系中一样参考系中一样 伽利略相对性原理一个对于惯性系作匀速直线
3、运动的其他参考系，其内部所发生一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系，其内部所发生的一切物理过程，都不受系统作为整体的匀速直线运动的影响的一切物理过程，都不受系统作为整体的匀速直线运动的影响 相互作匀速直线运动的各个参考系都是等价的相互作匀速直线运动的各个参考系都是等价的 如果把某个惯性系认定为如果把某个惯性系认定为静止静止的，那么相对于它作匀速直的，那么相对于它作匀速直 线运动的参考系也是惯性参考系线运动的参考系也是惯性参考系 同样有资格被称为同样有资格被称为静止静止的的 对于物理学规律而言，一切惯性系都是等价的对于物理学规律而言，一切惯性系都是等价的 注意：注意： “一切惯性系都是等价的
4、一切惯性系都是等价的”并不是说在不同惯性系中所并不是说在不同惯性系中所看到的现象都是一样，而是指不同惯性系中的动力学规律都一看到的现象都是一样，而是指不同惯性系中的动力学规律都一样，从而都能正确地解释所看到的现象。例如：样，从而都能正确地解释所看到的现象。例如：F = ma 形式不形式不变变 经典力学中，经典力学中，“静止静止”并无绝对的意义并无绝对的意义无论在惯性系内部进行什么样的力学测量，力学实验或力无论在惯性系内部进行什么样的力学测量，力学实验或力学现象的观察，都不可能判断参考系是学现象的观察，都不可能判断参考系是“静止的静止的”还是还是“作匀作匀速直线运动速直线运动”在力学中，不存在绝
5、对静止参考系，这就是在力学中，不存在绝对静止参考系，这就是伽利略相对性伽利略相对性原理原理或或力学相对性原理力学相对性原理伽利略坐标变换KK aaVvvRrraaVvvRrr0A适当选择坐标原点和时间起点，假定在适当选择坐标原点和时间起点，假定在 t = 0 时刻两坐标系重合时刻两坐标系重合 R = VtaaVvvVrrtK, K 分别取直角坐标系分别取直角坐标系 (x, y, z) 和和 (x,y, z)由于坐标轴的取向可任意选择，可选取由于坐标轴的取向可任意选择，可选取 x 轴沿相对速度轴沿相对速度V 的方向的方向 ttzzyyVtxx两惯性系间坐两惯性系间坐标的变换关系标的变换关系 伽利
6、略坐标变换式伽利略坐标变换式 伽利略坐标变换中强调了伽利略坐标变换中强调了 t, t 是相同的，即采用了是相同的，即采用了绝对时间概绝对时间概念念 古典力学中时间的绝对性古典力学中时间的绝对性 但是在但是在 V c 光速时，要采用狭义相对论中的光速时，要采用狭义相对论中的洛伦兹变换洛伦兹变换)/()(2cVxttzzyyVtxx211cV其中其中相对论力学既适用于低速运动，也适用于高速运动相对论力学既适用于低速运动，也适用于高速运动在低速运动下，在低速运动下，V c，有有 mg 超重超重 加速度方向向下，即与加速度方向向下，即与 g 同向，则同向，则 a f惯 = - m(a) = -ma N
7、 = mg f惯 m(g - a) mg 失重失重 当升降机自由降落时，当升降机自由降落时，a = g，人的重量为人的重量为0，完全失重，完全失重例：宇宙飞船获得必要的速度以后，停止了发动机的工作，试求例：宇宙飞船获得必要的速度以后，停止了发动机的工作，试求飞船中质量为飞船中质量为 m 的质点的视重，其时飞船的重心的质点的视重，其时飞船的重心 C 距地心距离距地心距离为为0。 CF惯惯PN视重：是静止于飞船中的物体施视重：是静止于飞船中的物体施于承托物的作用力于承托物的作用力 求承托物给予质点的作用力求承托物给予质点的作用力N， 其反作用力即是质点的视重其反作用力即是质点的视重 以飞船为参考系
8、来研究质点，质点相对于飞船为静止以飞船为参考系来研究质点，质点相对于飞船为静止202)cos(rmgRP 质点受到重力质点受到重力P作用，指向地心，大小作用，指向地心，大小 质点受到承托物给予的作用力质点受到承托物给予的作用力N ?飞船在停止了发动机的工作之后，就成为地球重力场中的飞船在停止了发动机的工作之后，就成为地球重力场中的“落体落体” 飞船所受重力指向地心，大小飞船所受重力指向地心，大小 202MgRM 是飞船的质量是飞船的质量R 为地球半径为地球半径 飞船的加速度飞船的加速度a0 指向地心，大小指向地心，大小2020gRa 飞船是具有加速度的参考系飞船是具有加速度的参考系 考虑惯性力
9、考虑惯性力F惯惯 方向与方向与a0指向相反，背离地心指向相反，背离地心大小大小 2020mgRma PFNFNP惯00惯惯FNPxPF惯惯N 若质点位于若质点位于A点，质点与地心距离大于飞船质心点，质点与地心距离大于飞船质心C与地心距离与地心距离0cos,2202202)cos(mgRFrmgRP惯0惯PFN则视重则视重 -N 背离地心背离地心 指向地心指向地心CF惯惯PNA视重视重 若质点位于若质点位于B 点，质点与地心距离小于飞船质心点，质点与地心距离小于飞船质心C与地心距离与地心距离0cos,2202202)cos(mgRFrmgRP惯0惯PFN则视重则视重 -N 指向地心指向地心 指向
10、背离地心指向背离地心CF惯惯PNB视重视重人们往往把视重的方向看作人们往往把视重的方向看作“下下”方，若飞船足够大，方，若飞船足够大，则：则： 在在 A 处的人将感觉到地球在处的人将感觉到地球在“上上”方方 在在 B 处的人将感觉到地球在处的人将感觉到地球在“下下”方方 事实上，飞船的尺度远小于其与地心的距离事实上，飞船的尺度远小于其与地心的距离0，飞船中质点与飞飞船中质点与飞船重心船重心C的距离的距离 r 0，所以所以0 +rcos0惯FmgRrmgRP202202)cos(0 N飞船中所有质点的视重都等于飞船中所有质点的视重都等于0即使撤去承托物，质点也能保持平衡即使撤去承托物，质点也能保
11、持平衡 失重失重 地球、飞船、飞船中的质点地球、飞船、飞船中的质点 太阳、地球、地球上的质点太阳、地球、地球上的质点 由于地球的公转，就太阳的引力而言，地球上所有物体都由于地球的公转，就太阳的引力而言，地球上所有物体都是是“失重失重”的的 相对于地球，研究地球上物体的运动，所有物体就和没有相对于地球，研究地球上物体的运动，所有物体就和没有受到太阳的引力一样受到太阳的引力一样 转动参考系中的惯性力转动圆盘转动圆盘OOO点点“静止静止” 先讨论转动参考系最简单的情况先讨论转动参考系最简单的情况质点相对于转系质点相对于转系“相对静止相对静止” 相对于转动圆盘：小球相对于转动圆盘：小球 m 静止静止
12、相对速度相对速度 v = 0；相对加速度相对加速度 a = 0 绝对运动：相对于绝对运动：相对于“静止静止”参考系参考系 小球作圆周运动小球作圆周运动 “绝对绝对”加速度包括：加速度包括：向心加速度向心加速度切向加速度切向加速度 RvRRvan22Rvat 若转速若转速 随时间而变随时间而变 考虑动力学考虑动力学 相对于相对于“静止静止”参考系，牛顿运动定律成立参考系，牛顿运动定律成立 “绝对绝对”加速度加速度 a，牛顿力牛顿力F = ma小球有向心加速度小球有向心加速度 受到向心力作用受到向心力作用小球如有切向加速度小球如有切向加速度 受到切向力受到切向力不是凭空而来的不是凭空而来的Rmma
13、Fnn2RmmaFttF合合 Fn + Ft向心力向心力 Fn 的反作用力，即小球对的反作用力，即小球对弹簧弹簧的反作用力，向外拉的反作用力，向外拉称为离心力称为离心力 Fn 相对于转动参考系相对于转动参考系 小球静止：小球静止：v = 0，a = 0 向心力与切向力是牛顿力，向心力与切向力是牛顿力， 与参考系选择无关与参考系选择无关 小球受力作用而不运动小球受力作用而不运动 0 maF 转动参考系为非惯性参考系转动参考系为非惯性参考系 如果要把牛顿定律运用到这种情况，则存在一个力如果要把牛顿定律运用到这种情况，则存在一个力 F惯惯 F 作用于物体上，才能使物体平衡作用于物体上，才能使物体平衡
14、 惯性离心力：指向与惯性离心力：指向与 Fn 相反，大小相等相反，大小相等 若转速变化，则切向惯性力若转速变化，则切向惯性力 RmRm2离心力 vs. 惯性离心力 要区别离心力和惯性离心力要区别离心力和惯性离心力 离心力离心力F：不是作用于质点（小球）的力，是质点施于其它物不是作用于质点（小球）的力，是质点施于其它物体的体的牛顿力牛顿力 惯性离心力惯性离心力F惯惯：是在非惯性转动参考系中的观察者：是在非惯性转动参考系中的观察者假想假想作用在作用在物体上的一种惯性力物体上的一种惯性力 例：试研究地面上物体的重量。例：试研究地面上物体的重量。 所谓重量即静止于地球上的物体施于其承托物的力所谓重量即
15、静止于地球上的物体施于其承托物的力物体的重量是用它作用于支撑物上的力来衡量的物体的重量是用它作用于支撑物上的力来衡量的 以地球为参考系研究物体：以地球为参考系研究物体：物体相对于地球是静止的，物体受到地球的引力物体相对于地球是静止的，物体受到地球的引力 引力指向地心，大小引力指向地心，大小 2RGMmF 引m物体质量，物体质量，M地球质量，地球质量，R地球半径地球半径 地球不断自转，是一个转动惯性系地球不断自转，是一个转动惯性系 考虑惯性力考虑惯性力 如物体所处纬度为如物体所处纬度为 ，则与地轴垂直距离则与地轴垂直距离 cosRcos2RmF惯与地轴垂直而背离地轴与地轴垂直而背离地轴 地球自转
16、角速度地球自转角速度 变动极小变动极小 切向离心力可忽略切向离心力可忽略 取如图坐标系，物体相对于地球静止取如图坐标系，物体相对于地球静止 x方向：方向： sincossin2RmFPx惯z方向：方向： 222coscosRmRGMmFFPz惯引zxF惯惯F引引P)cos(sincosarctg)sincos()cos(222222222222RmRGMmRmRmRmRGMmPPPzx = 2弧度弧度/恒星日恒星日= 7.29212105 弧度弧度/秒，是一很小的数值秒，是一很小的数值 sincosarctgsincosarctg222mgRmRGMmRmgRgR22sin22sinarctg
17、22)()cos)(2)(422222高次项RmRGMmRGMmP2222222coscos1RmRGMmRGMmRmRGMmP)cos)(2)(22222RmRGMmRGMm2222/cos21RGMmRmRGMm二项式展开二项式展开 2! 2111xxx惯性离心力对重量的影响有两方面：惯性离心力对重量的影响有两方面： 惯性离心力的惯性离心力的 z 分力，与引力指向相反，以致重量分力，与引力指向相反，以致重量P比起真正比起真正的引力减小了。的引力减小了。222cosRmRGMmP 赤道上赤道上 1cos02，惯性离心力最大惯性离心力最大 视重最小视重最小 两极两极 惯性离心力最小惯性离心力最
18、小 视重最大视重最大 0cos2，同一物体，在纬度越低的地点重量越小同一物体，在纬度越低的地点重量越小 重量是引力与惯性离心力的合力，所以重量的指向偏离了引重量是引力与惯性离心力的合力，所以重量的指向偏离了引力的指向。力的指向。 gR22sin2偏离的角度由偏离的角度由 给出给出 在两极，由于没有惯性离心力在两极，由于没有惯性离心力 无偏离无偏离 在赤道惯性离心力最大，但是与引力在同一直线上在赤道惯性离心力最大，但是与引力在同一直线上 无偏离无偏离平常所说的竖直方向，即重量的方向，严格说来，并不指向地平常所说的竖直方向，即重量的方向，严格说来，并不指向地心而偏离一个小角度心而偏离一个小角度。由
19、于由于很小，所以这个偏角很小，所以这个偏角在大多数在大多数情况下可以忽略。情况下可以忽略。 惯性离心力正比于惯性离心力正比于2，它的变化是二级小量它的变化是二级小量 在运动距离变化不太大的情况，在运动距离变化不太大的情况，惯性离心力可作为常力处理惯性离心力可作为常力处理 作为常力，惯性力的效应是使重力的指向偏离地球吸引的指向，作为常力，惯性力的效应是使重力的指向偏离地球吸引的指向，使重量小于地球引力使重量小于地球引力 只要总是用重力代替地球引力（其实其间的微小差别往往只要总是用重力代替地球引力（其实其间的微小差别往往可以忽略），就已包含了惯性离心力的效应在内，不必另外再可以忽略），就已包含了惯
20、性离心力的效应在内，不必另外再提出惯性离心力提出惯性离心力P80页页 例例14一水桶绕自身的铅直轴以角速度一水桶绕自身的铅直轴以角速度旋转，当水与桶一起转动时，旋转，当水与桶一起转动时，水面的形状如何？水面的形状如何？ zr求解水面形状，即求解求解水面形状，即求解 zr曲线，曲线，即即z(r) 的函数形式的函数形式 在水桶参考系中，在水桶参考系中，取右图坐标系取右图坐标系液块液块 dm 受力：受力： 重力重力 (dm)g 惯性离心力惯性离心力 r2dm 有效重力为有效重力为 N = dm(g +2r )N 与液面处处垂直与液面处处垂直 rgrzgrgmrmrzddddtgdd222积分得：积分
21、得： zzrrrgz0dd02rzzrgz022202202rgzzP80页页 例例15质量为质量为 m 的小环套在半径为的小环套在半径为 R 的光滑大圆环上，后者绕竖直直径的光滑大圆环上，后者绕竖直直径以匀角速以匀角速转动。试求小环的平衡位置随转动。试求小环的平衡位置随的变化。的变化。小环的平衡位置处，小环相对大环静止小环的平衡位置处，小环相对大环静止 在大环参考系内，小环受到切向力在大环参考系内，小环受到切向力 rm2mgRsincoscossin22Rmrmmg平衡：平衡： 点）点）（或或或DCRgBARggR,(arccos,0cos0sin0cos0sin222RgRg12只有在只有
22、在超过超过 时，才成为可能时，才成为可能 Rgsincossin2Rmmg0)cos(sin2gRm平衡位置是否稳定要从能量角度考虑平衡位置是否稳定要从能量角度考虑 从静止缓慢增大，在未出现平衡位置从静止缓慢增大，在未出现平衡位置 C, D 前，前，A是稳定的，是稳定的，B不稳不稳 后，后，C、D稳定，而稳定，而 A 失稳失稳 Rg参见第三章：一维势能曲线部分参见第三章：一维势能曲线部分 矢量表示 角速度角速度的矢量表示的矢量表示转动转动 绕什么轴线转动？绕什么轴线转动？ 绕此轴线向哪一方向转动？绕此轴线向哪一方向转动？ 转动的快慢？转动的快慢？物理学中规定：角速度物理学中规定：角速度是个矢量
23、是个矢量 该矢量所在的直线就表明转动轴线方向沿转轴该矢量所在的直线就表明转动轴线方向沿转轴 指向按右手法则表明转动方向拇指指向矢量指向，弯曲四指向按右手法则表明转动方向拇指指向矢量指向，弯曲四指代表旋转方向指代表旋转方向 长短表明转动快慢长短表明转动快慢 矢量积O2RrvO1 v O1情况：情况：v = R，方向与方向与、R平面垂直平面垂直 O2情况：情况： v = (r sin)，方向与方向与、r 平面垂直平面垂直规定右手螺旋：从规定右手螺旋：从 转到转到 r，前进方向为前进方向为 v 的方向的方向 v的大小：等于的大小：等于的大小、的大小、r的大小、的大小、 与与r夹角夹角 的正弦的正弦三
24、者乘积三者乘积 v的方向的方向:rv用矢量积形式来描述用矢量积形式来描述 v、r的关系的关系矢量的乘积，结果有两种矢量的乘积，结果有两种 两矢量相乘后，得出一标量，称为标积，或点乘：两矢量相乘后，得出一标量，称为标积，或点乘：AB 两矢量相乘后，得出一矢量，称为矢积，或叉乘：两矢量相乘后，得出一矢量，称为矢积，或叉乘： AB v、r的关系显然为叉乘的关系显然为叉乘 W = F S 为点乘为点乘 矢量的点乘点乘服从交换律和分配律：点乘服从交换律和分配律：AB BA A(B + C) AB + AC 交换律交换律分配律分配律 基矢存在下列性质：基矢存在下列性质：01ikkjjikkjjiiAB =
25、 |A|B|cos为为A、B 间夹角间夹角 Bcos可看作可看作B 在在A上的投影上的投影A = Axi + Ayj + AzkB = Bxi + Byj + BzkAB = AxBx + AyBy +AzBz kjikjiBAzyxzyxBBBAAAkkjjiizzyyxxBABABAikkjjixzzxyzzyxyyxBABABABABABAzzyyxxBABABA2AAA两个矢量垂直的充要条件是：两个矢量垂直的充要条件是：AB = 0 矢量的叉乘ABBA定义：定义：AB = |A|B|sinnono为同时垂直于为同时垂直于A、B的单位向量的单位向量为为A、B 间夹角，满足右手系间夹角，满
26、足右手系 基矢存在下列性质：基矢存在下列性质：jikikjkjikkjjii,0点乘服从反交换律和分配律：点乘服从反交换律和分配律：AB BA A(B + C) AB + AC 交换律交换律分配律分配律 kjikjiBAzyxzyxBBBAAAkijiiizxyxxxBABABAkjjjijzyyyxyBABABAkkjkikzzyzxzBABABAkjixyyxzxxzyzzyBABABABABABA0AA叉乘叉乘AB的几何意义：的几何意义：数值等于由数值等于由 A、B为边组成的平行四边形的面积为边组成的平行四边形的面积方向与方向与A、B组成的平面垂直，指向由右手法则规定组成的平面垂直，指向
27、由右手法则规定kjiBAyxyxxzxzZyzyBBAABBAABBAAzyxzyxBBBAAAkji叉乘的行列式表示行列式求值法：行列式求值法： 2阶行列式：阶行列式：2112221122211211aaaaaaaaA红色实线乘积红色实线乘积 减去减去 蓝色虚线乘积蓝色虚线乘积 3阶行列式：阶行列式：Sarrus法则法则333231232221131211aaaaaaaaaA 322113312312332211aaaaaaaaaA332112322311312213aaaaaaaaazyxzyxBBBAAAkjiBAkjixyyxzxxzyzzyBABABABABABA 矢量的三重积I.三
28、重标积三重标积或混合积或混合积标量CBAzyxzyxzyxCCCBBBAAACBA xyyxzxxzyzzyzyxCBCBCBCBCBCBAAA,CBAxyyxzxxzyzzyCBCBCBCBCBCB,CBzyxzyxzyxCCCBBBAAA,CBA xyzyxzzxyxzyyzxzyxCBACBACBACBACBACBA xyzzxyyzxyxzxzyzyxCBACBACBACBACBACBAzyxzyxzyxCCCBBBAAA混合积的几何意义：混合积的几何意义： BC 是以是以 B 和和 C 为边组成平行四边形的面积，方向沿法向为边组成平行四边形的面积，方向沿法向 A(BC) 则相当于再乘
29、上则相当于再乘上 A 在法线上的投影在法线上的投影 三重积的绝对值等于以三重积的绝对值等于以A、B、C三矢量为棱构成的平行六面三矢量为棱构成的平行六面体的体积体的体积 其正负号与三重积中三矢量的循环次序有关其正负号与三重积中三矢量的循环次序有关定理：定理：A、B、C三矢量共面三矢量共面的充的充要条件是它们的混合积等于要条件是它们的混合积等于0 其中至少有一个矢量为其中至少有一个矢量为0矢量矢量 其中至少有两个矢量共线、平行或反平行其中至少有两个矢量共线、平行或反平行 其中有一矢量与其余两矢量的叉乘垂直其中有一矢量与其余两矢量的叉乘垂直 计算平行六面体的体积与取哪一面为底无关计算平行六面体的体积
30、与取哪一面为底无关 点乘是可以交换的点乘是可以交换的 三矢量的轮换，以及三矢量的轮换，以及 “” “”的对调，都不影响计算结果的对调，都不影响计算结果 但是三矢量的循环次序不能变，否则差一个负号但是三矢量的循环次序不能变，否则差一个负号BACACBCBABACACBCBAABCCABBCACABABCBCAII. 三重矢积三重矢积矢量CBA三重矢积的几何意义：三重矢积的几何意义： BC 与与B、C 组成的平面组成的平面垂直垂直 A(BC) 则与则与A 和和 (BC ) 组成的平面垂直组成的平面垂直 A(BC) 与与B、C共面共面 A(BC) 是是B、C的线性组合：的线性组合： A(BC) =
31、a1B + a2C CBABCACBA解析证明：解析证明：zyxAAA,AzyxBBB,BzyxCCC,CxyyxzxxzyzzyCBCBCBCBCBCB,CBCBAyzzyyzxxzxxyyxxyzzyzzxxzzxyyxyCBCBACBCBAkCBCBACBCBAjCBCBACBCBAi分量：分量：分量：i分量：分量：zxxzzxyyxyCBCBACBCBAxzzyyxzzyyCBABABCACAxxxxxxCBACBAxzzyyxxxzzyyxxCBABABABCACACAxxCBBACA同理可得：同理可得：j分量：分量：k分量：分量：yyCBBACAzzCBBACA CBABCACBA
32、加速度的矢量表示rvO2RrvO1 法向加速度大小：法向加速度大小： an= 2R = (R) = v = vsin90o 是是的大小、的大小、 v的大小、的大小、 与与 v的夹角的正弦三者的乘积的夹角的正弦三者的乘积 方向：既与方向：既与垂直，也与垂直，也与v垂直垂直 右手螺旋从右手螺旋从转到转到v，正好沿，正好沿an方向方向rvanan 切向：若转速有变化切向：若转速有变化 大小：大小： 是是 的大小、的大小、 r 的大小、的大小、 与与 r 的夹角的正弦三者的乘积的夹角的正弦三者的乘积 方向：方向： 则则at 与与 v 同向；同向； 则则at 与与 v 反向反向 指向不变：指向不变： 指
33、向与指向与相同相同 指向与指向与反向反向sinrRat 0 0 0 0 tar, 满足右手螺旋满足右手螺旋组成的平面与ratratO2RrvO1at 小球的小球的“绝对绝对”加速度：加速度：rraaatn 对于对于“静止静止”参考系，牛顿定律成立：参考系，牛顿定律成立：rraFmmm 对于转动参考系，牛顿定律不成立：对于转动参考系，牛顿定律不成立：0aFm 引入惯性离心力：引入惯性离心力：rm若有转速变化若有转速变化 切向惯性力：切向惯性力：rm0rrFmmr rR/rR为位矢为位矢r在垂直于在垂直于方向的分量方向的分量r/rrR2rr/cosr标量，标量，r在在上的分量大小上的分量大小2/r
34、rR2222/rrRrrrrfm惯指向指向 CBABCACBA 科里奥利力 (Coriolis force)质点在转动参考系中作质点在转动参考系中作“相对相对” 运动运动对任意矢量对任意矢量 P若矢量若矢量 P 相对于旋转系是恒定的相对于旋转系是恒定的 从从 t 到到 t+t 时间间隔内，转过角度时间间隔内，转过角度t，增量增量P 大小为：大小为：tPPsinsinlimddsin0PtPtPPtPtPPtddPP + PPsinPt牵连运动牵连运动为便于区分，令静止系中微分符号为为便于区分，令静止系中微分符号为D，转动系中为转动系中为d即：在静止系中即：在静止系中PPtDD若若 P 不是恒定
35、的，则不是恒定的，则ttddDDPPPP 可为可为 r，也可为也可为 v 取取 P = rvrrrrttddDDv是质点相对于旋转系的速度是质点相对于旋转系的速度牵连牵连 相对相对再次在静止系内取对时间导数再次在静止系内取对时间导数ttttttDDDDDDDDDDDD22vrvrrravrrtDDttddDDvvvavrvvrvvvr2dd2ddttavraFmmmm2aFm牛顿定律不成立牛顿定律不成立avrFmmm2rFm惯惯性离心力惯性离心力vFCm2科里奥利力科里奥利力若转速变化，则加入切向惯性力若转速变化，则加入切向惯性力arvrFmmmm2地球自转对地面上物体运动的影响地球不断自转，
36、是一个转动系地球不断自转，是一个转动系 研究相对于地球为静止的物体，应当计入惯性离心力，至于切研究相对于地球为静止的物体，应当计入惯性离心力，至于切向惯性力极为微小可以忽略向惯性力极为微小可以忽略 相对于地球运动着的物体，除了惯性离心力之外，还应计入科相对于地球运动着的物体，除了惯性离心力之外，还应计入科里奥利力里奥利力自然界中的实例在北半球，物体沿各方向以在北半球，物体沿各方向以 v 运动时，相应的科里奥利力运动时，相应的科里奥利力 Fc 指向指向运动物体的运动物体的右侧方右侧方AvvB北半球北半球CDFCFCFCFCA点：向北运动，点：向北运动，FC沿纬线指向东沿纬线指向东B点：向南运动，
37、点：向南运动，FC沿纬线指向西沿纬线指向西C点：向西运动，点：向西运动，FC垂直指向地轴垂直指向地轴D点：向东运动，点：向东运动，FC垂直背离地轴垂直背离地轴在南半球，情况则正好相反在南半球，情况则正好相反物体在地面上的运动，受科里奥利力作用而自行向右偏转，在日物体在地面上的运动，受科里奥利力作用而自行向右偏转，在日常生活中从来没有观察到常生活中从来没有观察到 这是因为科里奥利力正比于地球自转这是因为科里奥利力正比于地球自转，很小以致于很小以致于FC也很小，也很小，其效应被其它作用力的效应所掩盖其效应被其它作用力的效应所掩盖 FC的效应只有在长时间累积的条件下才容易察觉；此外，极精的效应只有在
38、长时间累积的条件下才容易察觉；此外，极精密的测量也能表明密的测量也能表明FCF 自然界中的柏尔定律：自然界中的柏尔定律： 北半球河流右岸比较陡峭，南半球则左岸比较陡峭北半球河流右岸比较陡峭，南半球则左岸比较陡峭 北半球河水在北半球河水在 FC 作用下，对右岸冲刷甚于左岸，成千累万年作用下，对右岸冲刷甚于左岸，成千累万年代积累结果，右岸比较陡峭代积累结果，右岸比较陡峭F 信风：信风： 信风本是自北向南，在信风本是自北向南，在“长途旅行长途旅行”中不断受到中不断受到 FC 作用累积作用累积的结果，风向逐渐转为自东北而西南，最后甚至变为自东向西的结果，风向逐渐转为自东北而西南，最后甚至变为自东向西惯
39、性离心力 vs. 科里奥利力 科里奥利力科里奥利力 FC 正比于正比于（一级小量），与半径无关一级小量），与半径无关 惯性离心力惯性离心力 F惯 正比于正比于2 （二级小量）与质点离地轴的距离的二级小量）与质点离地轴的距离的 乘积乘积在运动过程中，质点离地轴的距离的变化一般并不很大在运动过程中，质点离地轴的距离的变化一般并不很大 惯性离心力的变化是二级小量惯性离心力的变化是二级小量 惯性离心力可作为常力处理惯性离心力可作为常力处理 其作用：使重力的指向偏离地球引力的指向，使重量小其作用：使重力的指向偏离地球引力的指向，使重量小 于地球引力于地球引力 只要总是用重力代替地球引力，就已包含了惯性离
40、心力只要总是用重力代替地球引力，就已包含了惯性离心力 的效应在内，不必再另外提出的效应在内，不必再另外提出F惯离例：考察地球自转对单摆运动的影响例：考察地球自转对单摆运动的影响若没有惯性力，单摆将在直线若没有惯性力，单摆将在直线 AB 上来回摆动上来回摆动但实事上，单摆从但实事上，单摆从 A 向向 B 摆动时，由于摆动时，由于 FC 作用逐渐向右偏，并不作用逐渐向右偏，并不达到达到 B 点，而达到点，而达到 C 点回摆时同样逐渐右偏，结果达到点回摆时同样逐渐右偏，结果达到 D 点，依点，依此类推，摆动平面将顺时针方向不断偏转此类推，摆动平面将顺时针方向不断偏转ABCDEF实事上，实事上，FC
41、是微小的，每次来回，摆是微小的，每次来回，摆动平面所偏转角度是很小的，必须累积动平面所偏转角度是很小的，必须累积很多次来回，才显出可察觉的偏转很多次来回，才显出可察觉的偏转求解摆动平面偏转的速率求解摆动平面偏转的速率t时刻摆处于时刻摆处于O，t +t时刻摆处于时刻摆处于O通过通过O、O作子午线的切线，共同交地轴于作子午线的切线，共同交地轴于N点点在在O点的水平面上选直角坐标系点的水平面上选直角坐标系xOy，平移到平移到O点，点，Ox、Oy与与Ox、Oy平行平行ONO就是摆面转过的角度就是摆面转过的角度ONOOONOsinOCON sinsinsintOCOOCOOsintONO摆面摆面“偏转偏
42、转”的角速度的角速度很小很小 很小很小两极两极 时，时，最大最大赤道赤道 ，020纬度越低，偏转越慢纬度越低，偏转越慢任何可察觉的偏转角都要求长的时间任何可察觉的偏转角都要求长的时间普通的单摆完全不能显示这种现象，因为在其偏转达到可察觉之普通的单摆完全不能显示这种现象，因为在其偏转达到可察觉之前，它早已停止摆动了前，它早已停止摆动了应当用能够长时间摆动的摆应当用能够长时间摆动的摆适应此种要求的，摆长较大而摆球较重的摆称为适应此种要求的，摆长较大而摆球较重的摆称为傅科摆傅科摆法国物理学家傅科法国物理学家傅科 (J.B.L. Foucault)1851年在巴黎万神殿年在巴黎万神殿(Panthon)
43、中所用的摆长达中所用的摆长达6767m m，重达重达2828kgkg。发现在摆的过程中，发现在摆的过程中，摆动平面不断作顺时针方向的偏转，傅科以此第一次直接显示了摆动平面不断作顺时针方向的偏转，傅科以此第一次直接显示了地球的自转地球的自转Foucaults Pendulum in the Panthon, Parishttp:/en.wikipedia.org/wiki/Foucalt_PendulumP84 P84 例例1616质量为质量为 m 的小环套在半径为的小环套在半径为 R 的光滑大圆环上，后者在水平面内的光滑大圆环上，后者在水平面内以匀角速以匀角速绕其上一点绕其上一点 O 转动。试
44、分析小环在大环上运动时的切转动。试分析小环在大环上运动时的切向加速度和水平面内所受的约束力。向加速度和水平面内所受的约束力。cos2ROAr水平面内，小环受到水平面内，小环受到 大环的约束力大环的约束力 N 惯性离心力惯性离心力 科里奥利力科里奥利力cos222RmrmF惯离vmFC2vFC沿法向沿法向轴CF在大环平面内在大环平面内 切向切向sin2sinsincos2sindd222RRRmFtvat惯离RvttRRvddddRvvtvtvRddddddddsin2vvRddsin22vvvvR00ddsin22022202222coscos221cos00RvvvRvv 法向：指向法向：指
45、向 C 点为正向点为正向RvmmaFFNnC2cos惯离RmvmvmRRmvFFNC2222cos1cos惯离本章小结 惯性参考系惯性参考系 vs vs 非惯性参考系非惯性参考系 相互作匀速直线运动的各个参考系都是等价的相互作匀速直线运动的各个参考系都是等价的 avvtPFmtmtmdddddd常量PvtPF0dddd0tmttzzyyVtxx伽利略坐标变换式伽利略坐标变换式 在非惯性系中，引入惯性力，牛顿运动定律就在非惯性系中，引入惯性力，牛顿运动定律就“仍然仍然”成立成立 F惯惯 = -mA 惯性力惯性力 F惯 是假想的，从而不存在反作用力是假想的，从而不存在反作用力 惯性离心力：指向与惯性离心力：指向与 Fn 相反，大小为相反，大小为 惯性离心力的矢量表示：惯性离心力的矢量表示： 科里奥利力：科里奥利力： Rm2rmvFCm2xxvvxtvxx ddddddxvvtxxvxdddddd
