1、 常常见见的的基基本本立立体体平平面面立立体体曲曲面面立立体体由若干个平面围成的立体由若干个平面围成的立体由回转面或平面与回转面由回转面或平面与回转面所围成的立体所围成的立体VWH一、常见平面立体的投影一、常见平面立体的投影（一）棱柱体的投影（一）棱柱体的投影上顶面及下底面为多边形，上顶面及下底面为多边形，各棱线平行且相等。各棱线平行且相等。侧棱面侧棱面底面底面棱线棱线底边底边棱柱的棱线相互平行棱柱的棱线相互平行 先画反映实形的上、下底先画反映实形的上、下底面（正六边形）的三个投面（正六边形）的三个投影，然后将上、下底面对影，然后将上、下底面对应顶点的同面投影连接起应顶点的同面投影连接起来。来
2、。注意：注意：绘制绘制对称图形对称图形时，时，应先用应先用细点划线细点划线画出对称画出对称中心线，以确定三个投影中心线，以确定三个投影图的位置。图的位置。主主、俯视图长对正俯视图长对正 主主、左视图高平齐左视图高平齐左左、俯视图宽相等俯视图宽相等“三等三等”关关系系（二）棱锥体的投影（二）棱锥体的投影底面为多边形，各棱线交底面为多边形，各棱线交于一点于一点锥顶锥顶棱锥的棱线相交于锥顶棱锥的棱线相交于锥顶侧棱面侧棱面底面底面棱线棱线底边底边锥顶锥顶sabcacbsba(c)s1)画底面的水平投影，画底面的水平投影，2)画底面的另外两个投画底面的另外两个投影及锥顶的水平、正面、影及锥顶的水平、正面
3、、侧面投影，侧面投影，3)分别将顶点与下底面分别将顶点与下底面各点对应的同面投影连各点对应的同面投影连接起来，接起来，4)作图完成。作图完成。SA BC 画平面立体的投画平面立体的投影就是画出组成平面影就是画出组成平面立体各表面及各棱线立体各表面及各棱线的投影，并将可见的的投影，并将可见的棱线的投影画成粗实棱线的投影画成粗实线，不可见的棱线的线，不可见的棱线的投影画成虚线。投影画成虚线。1. 1.棱柱体表面上取点棱柱体表面上取点 在平面立体表面上取点时在平面立体表面上取点时必须首先确定该点在平面立必须首先确定该点在平面立体的哪一个棱面上。体的哪一个棱面上。 BCDABCDA1)分析点位于哪一个
4、棱分析点位于哪一个棱面上，面上，2)利用面上找点的方法利用面上找点的方法作图作图3)判别可见性。判别可见性。aabcdbcdbc(d)aSABC(k)nM SA N SBK SBCmmnksacacbsba(c)sbmknO O1O O二、常见曲面立体的投影二、常见曲面立体的投影（一）圆柱体的投影（一）圆柱体的投影母线母线素线素线底面底面圆柱面圆柱面轴线轴线母线母线素线素线轴线轴线正面投正面投影外形影外形轮廓线轮廓线圆柱的圆柱的外形外形轮廓线轮廓线侧面投侧面投影外形影外形轮廓线轮廓线作图方法作图方法利用圆利用圆柱面投影的积聚性柱面投影的积聚性aaAB（1 1）圆柱面上的点）圆柱面上的点 a(b
5、 )( (b ) )bmmnmn（2 2）外形轮廓线上的点）外形轮廓线上的点kkkn1)分析点的位置分析点的位置2)确定作图方法确定作图方法3)判别可见性判别可见性e(a)(b)a b(a )(b )dcdc(e )e( )c(d)（二）、圆锥体的投影（二）、圆锥体的投影ABO O1O O母线母线素线素线轴线轴线O O1O O底面底面圆锥面圆锥面bb)(a ba (a )c ccdd)(d11b 2(3 )1 33 22 aaa b(b )（三）、圆球的投影（三）、圆球的投影OO轴线轴线圆球表面无直线！圆球表面无直线！圆绕其直径旋转而成圆绕其直径旋转而成球面球面最大正平圆最大正平圆最大水平圆最
6、大水平圆最大侧平圆最大侧平圆注意：注意：三个圆绝不是空间一个圆三个圆绝不是空间一个圆的三个投影。的三个投影。先画各投影的中心线，再先画各投影的中心线，再画球的三面投影画球的三面投影均为均为大小相等的圆。大小相等的圆。球的投影特性：球的投影特性： 三个投影均为平行于投三个投影均为平行于投影面的最大圆的投影（转影面的最大圆的投影（转向轮廓线的投影）；向轮廓线的投影）； 圆的直径圆的直径= =球的直径；球的直径； 三个圆均无积聚性。三个圆均无积聚性。方法方法: : 辅助纬圆法辅助纬圆法利用球面上平行于利用球面上平行于投影面的圆作为辅投影面的圆作为辅助线。助线。即：过球表面上的即：过球表面上的点可任意
7、作一个与点可任意作一个与投影面平行的圆。投影面平行的圆。k kk kk kK K( )( )( )( )平面平面 基本体基本体 截交线截交线平面体平面体回转体回转体截平面截平面共有线共有线 截交线的性质：截交线的性质： 是一封闭的平面多边形是一封闭的平面多边形 此多边形的每个顶点此多边形的每个顶点某棱线与截平面的交点某棱线与截平面的交点 此多边形的每条边此多边形的每条边某棱面与截平面的交线某棱面与截平面的交线求截交线的方法：求截交线的方法： 棱线法棱线法截平面截平面 棱线棱线= =交点，顺次连成多边形交点，顺次连成多边形 棱面法棱面法截平面截平面 棱面棱面= =交线，组成多边形交线，组成多边形
8、一、平面与平面立体相交一、平面与平面立体相交ABCacbacbabc 1.1.分析形状，确定作图方法分析形状，确定作图方法 2.2.求截交线（先补全形体的投影）求截交线（先补全形体的投影） 3.3.完成投影图完成投影图l 截交线截交线l 原来立体的投影原来立体的投影正垂面正垂面Pcdde(f)fe作图步骤：作图步骤：1.1.分析截交线的形状；分析截交线的形状；2.2.求截交线（补全立体的左视图）；求截交线（补全立体的左视图）；3.3.完成投影图。完成投影图。 截交线截交线 原来原来立体的投影立体的投影efcabbac(d)a(b)正垂面正垂面水平面水平面正垂面正垂面作图步骤：作图步骤：1.1.
9、分析截交线的形状分析截交线的形状 2.2.求截交线求截交线3.3.完成投影图完成投影图截面截面( (一一) )截面截面( (二二) )截面截面( (一一) )截面截面( (二二) )截交线截交线截平面的交线截平面的交线原来立体的投影原来立体的投影作图步骤：作图步骤：1.1.分析截交线的形状分析截交线的形状 2.2.求截交线求截交线3.3.完成投影图完成投影图截面截面( (一一) )截面截面( (二二) )截面截面( (一一) )截面截面( (二二) )截交线截交线截平面的交线截平面的交线原来立体的投影原来立体的投影71188711121056943961053(4)( 2)1(5)10(6)9
10、(7)8112(4)1(3)9101142135P P 为正垂面为正垂面，p p、p p为类似图形为类似图形 四边形四边形投影分析投影分析Q Q 为铅垂面为铅垂面，q q、q q为类似图形为类似图形 五边形五边形P PQ Q按按“三等三等”关系作图关系作图pq123414342求求q q5675(6)(7)567(2)(3)求求p p类似图形类似图形“三等三等”关系关系检查检查pqp1q 截交线的性质：截交线的性质：l 一般是一般是封闭的平面曲线封闭的平面曲线或或平面曲线与直线围成的平面曲线与直线围成的平面图形；平面图形；l 其形状取决于回转面的形状及其形状取决于回转面的形状及截平面与回转体轴
11、截平面与回转体轴线的相对位置。线的相对位置。二、平面与回转体相交二、平面与回转体相交 求回转体截交线的方法：求回转体截交线的方法： 应用举例：应用举例：平面与圆柱体截切的作图步骤：平面与圆柱体截切的作图步骤：BCDAabcdb(d)cabcd作图步骤：作图步骤： 1.1.分析分析 2.2.作图（先补全基本体的投影）作图（先补全基本体的投影） 特殊位置点特殊位置点 一般位置点一般位置点 顺序连接成光滑曲线顺序连接成光滑曲线 3.3.完成投影图完成投影图 截交线截交线 原来立体的投影原来立体的投影aEFGHeefefg(h)(f)ghgh正垂面正垂面椭圆长短轴随截平椭圆长短轴随截平面与轴线夹角的变
12、面与轴线夹角的变化而改变化而改变4545什么情况下什么情况下投影为圆？投影为圆？截平面与圆截平面与圆柱轴线成柱轴线成4545截平面与轴线相交时，椭圆的长短轴变化情况：截平面与轴线相交时，椭圆的长短轴变化情况：PQpq作图步骤：作图步骤： 1.1.分析分析 2.2.作图作图 特殊位置点特殊位置点 一般位置点一般位置点 顺序连线顺序连线 3.3.完成投影图完成投影图 截交线截交线 截平面的交线截平面的交线 原来立体的投影原来立体的投影若增加圆柱孔若增加圆柱孔结果将如何？结果将如何？ 孔的轮廓线孔的轮廓线无线无线!作图步骤：作图步骤： 1.1.分析分析 2.2.作图作图 3.3.完成投影图完成投影图
13、 截交线截交线 截平面的交线截平面的交线 原来立体的投影原来立体的投影12341(2)3(4)1(3)2(4)作图步骤：作图步骤： 1.1.分析分析 2.2.作图作图 3.3.完成投影图完成投影图 截交线截交线 截平面的交线截平面的交线 原来立体的投影原来立体的投影作图步骤：作图步骤： 1.1.分析分析 2.2.作图作图 3.3.完成投影图完成投影图 截交线截交线 截平面的交线截平面的交线 原来立体的投影原来立体的投影12341(2)3(4)1(3)2(4)作图步骤：作图步骤： 1.1.分析分析 2.2.作图作图 3.3.完成投影图完成投影图 截交线截交线 截平面的交线截平面的交线 原来立体的
14、投影原来立体的投影 应用举例应用举例A B C b 应用举例应用举例PQpqpq双曲线双曲线PQ求与大圆柱的交线求与大圆柱的交线求与小圆柱的交线求与小圆柱的交线求与圆锥的交线求与圆锥的交线加深加深 作图（画截交线的投影）作图（画截交线的投影）当截交线的投影为当截交线的投影为非圆曲线非圆曲线时，其作图步骤为：时，其作图步骤为： 将各点同名投影将各点同名投影顺序光滑顺序光滑地连接起来，并判断截交线的地连接起来，并判断截交线的可见性。可见性。 先找特殊位置点，再补充一般位置点。先找特殊位置点，再补充一般位置点。求截交线的步骤总结：求截交线的步骤总结： 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以
15、及截平面与回转体轴线的分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的 相对位置，以相对位置，以确定截交线的形状。确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的明确截交线的 投影特性，投影特性，如积聚性、类似性等。如积聚性、类似性等。 找出找出截交线的截交线的已知已知投影，投影，预见未知预见未知投影。投影。截平面与立体的截平面与立体的相交形式相交形式单体单面单体单面单体多面单体多面多体多面多体多面分别分析单面分别分析单面与单体交线与单体交线截平面与截平面截平面与截平面之间的交线分析之间的交线分析体与体连接处的体与体连接处的交线分析交线分析立体立体 立体立体
16、 相贯线相贯线平平平相交平相交曲曲曲相交曲相交平平曲相交曲相交空间折线空间折线曲线或直线构成曲线或直线构成空间折线空间折线空间曲线空间曲线共有线共有线交线形状分析交线形状分析求交线求交线实质是求平面体实质是求平面体各表面与回转体各表面与回转体的截交线的截交线平面立体为四棱柱孔平面立体为四棱柱孔有虚线有虚线分别求四棱柱孔分别求四棱柱孔与圆柱内外表面与圆柱内外表面的交线的交线无线无线交线不变交线不变变成圆柱筒变成圆柱筒将如何？将如何？1. 1. 相贯线的性质相贯线的性质 性质性质：相贯线上的点必为两回转：相贯线上的点必为两回转 体表面的体表面的共有点共有点。形状形状： 一般情况下，是一般情况下，是
17、封闭的空封闭的空 间曲线间曲线；在特殊情况下也；在特殊情况下也 可成为可成为平面曲线或直线。平面曲线或直线。2.2.求相贯线的方法求相贯线的方法（1）先求出相贯线上一系列共有点）先求出相贯线上一系列共有点 的投影的投影。（2）顺序地连接成光滑的曲线。）顺序地连接成光滑的曲线。3.3.求共有点的方法求共有点的方法（1）面上找点法面上找点法当一曲面的投影有积聚性时当一曲面的投影有积聚性时（2）辅助平面法辅助平面法 先找特殊位置点先找特殊位置点4.4.相贯线的作图过程相贯线的作图过程 补充一般位置点补充一般位置点 判断可见性，顺序连接成光滑的曲线判断可见性，顺序连接成光滑的曲线极值点极值点轮廓线上的
18、点轮廓线上的点 完成投影图完成投影图 例例1 1：利用表面取点法求相贯线：利用表面取点法求相贯线 空间及投影分析空间及投影分析 求相贯线的投影求相贯线的投影利用积聚性表面取点法利用积聚性表面取点法 找特殊位置点找特殊位置点 补充中间位置点补充中间位置点 光滑连接光滑连接 两空心圆柱相交两空心圆柱相交求内圆柱表面的交线求内圆柱表面的交线轴测图投影图两外表面相交外表面与内表面相交两内表面相交两圆柱相贯的三种形式两圆柱相贯的三种形式例例2 2：利用：利用辅助平面法求相贯线求相贯线yPVQVRVyy作图步骤：作图步骤： 1.1.相贯线分析相贯线分析 2.2.求共有点求共有点 辅助面：水平面辅助面：水平
19、面 特殊位置点特殊位置点 一般位置点一般位置点 3.3.顺序连接成光滑曲顺序连接成光滑曲线，注意其虚、实？线，注意其虚、实？ 4.4.完成投影图完成投影图作图步骤：作图步骤： 1.1.相贯线分析相贯线分析 2.2.求共有点求共有点 特殊位置点特殊位置点 一般位置点一般位置点 3.3.依次光滑连线依次光滑连线 并判别可见性并判别可见性 4.4.完成投影图完成投影图辅助平面辅助平面为水平面为水平面例例2 2：利用辅助平面法求相贯线：利用辅助平面法求相贯线相贯线一般情况相贯线一般情况: :封闭的、光滑的、空间曲线。封闭的、光滑的、空间曲线。相贯线的特殊情况：相贯线的特殊情况： 不封闭的（两体共底面）
20、不封闭的（两体共底面） 不光滑的（有尖点）不光滑的（有尖点） 不是空间曲线是平面曲线（椭圆或圆）不是空间曲线是平面曲线（椭圆或圆） 不是曲线是直线不是曲线是直线相贯线相贯线1.1.同轴回转体相贯同轴回转体相贯相贯线相贯线相贯线相贯线2.2.同切于球的两曲面立体相贯同切于球的两曲面立体相贯 外形交线外形交线 两外表面相贯两外表面相贯 一内表面和一外表面相贯一内表面和一外表面相贯 内形交线内形交线 两内表面相贯两内表面相贯例例1 1：补全主视图：补全主视图3. 3. 两轴线平行的圆柱相贯或共锥顶的圆锥相贯两轴线平行的圆柱相贯或共锥顶的圆锥相贯 4.4.两立体表面相切两立体表面相切5.5.两曲面立体
21、有公切点两曲面立体有公切点 三个或三个以上的立体相交在一起，称为复合相贯。这时三个或三个以上的立体相交在一起，称为复合相贯。这时相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 处理复合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立处理复合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体相贯，从而确定其有几段相贯线组成。体相贯，从而确定其有几段相贯线组成。多体多体 相相 贯贯三面共点三面共点例例2 2：分析并想象出物体相贯线投影的形状：分析并想象出物体相贯线投影的形状1. 1. 方法原理方法原理 （1）任作一辅助面（如平面），任作一辅助面（如平面）， 使之与两曲面体均相交；使之与两曲面体均相交；（2） 求作辅助面与两曲面体的截求作辅助面与两曲面体的截 交线；交线；2.2.选择辅助面的原则选择辅助面的原则（1）辅助面的作图简单易画，为特）辅助面的作图简单易画，为特 殊位置平面殊位置平面。（2）使辅助面与两曲面立体的截交）使辅助面与两曲面立体的截交线线 的投影都是简单易画的图形。的投影都是简单易画的图形。（3） 两截交线的交点即为两截交线的交点即为。两圆柱相贯线的变化趋势分析两圆柱相贯线的变化趋势分析交线总弯向直径大的圆柱的轴线交线总弯向直径大的圆柱的轴线等径圆柱等径圆柱平面曲线平面曲线两圆柱相对位置变化对相贯线的影响
