1、绪论及基本概念、知识绪论及基本概念、知识空空 气气 动动 力力 学学22vpconstLVcAndA 0DDtnV11V a 21VV120shDm VVPRTDVpRDt22Vpconst11211231112123yxxxxzxyyyyxzyvDvvvvvpRVDtxxxyyxzzxDvvvvvvpRVDtxyxyyyzz1111223yxzzzzzyvvDvvvvpRVDtxzxyyzzzz 0,0uuau xf xtx1121nnnnjjnnjjjjnnnjjjuuuuuutOtOttttuuuOxxx11110,0nnnnnnnnjjjjjjjjjjtuuauuuuuuaOtxxtx
2、uf 相对飞行原理（空气动力学实验原理）相对飞行原理（空气动力学实验原理） 当飞行器以某一速度在静止空气中运动时，飞行器与空气当飞行器以某一速度在静止空气中运动时，飞行器与空气的相对运动规律和相互作用力，与飞行器固定不动而让空的相对运动规律和相互作用力，与飞行器固定不动而让空气以同样大小和相反方向的速度流过飞行器的情况是等效气以同样大小和相反方向的速度流过飞行器的情况是等效的。的。 相对飞行原理，为空气动力学的研究提供了便利。人们相对飞行原理，为空气动力学的研究提供了便利。人们在实验研究时，可以将飞行器模型固定不动，人工制造在实验研究时，可以将飞行器模型固定不动，人工制造直匀气流流过模型，以便
3、观察流动现象，测量模型受到直匀气流流过模型，以便观察流动现象，测量模型受到的空气动力，进行试验空气动力学研究。的空气动力，进行试验空气动力学研究。 在理论上，对飞行器空气绕流现象和受力情况进行分析在理论上，对飞行器空气绕流现象和受力情况进行分析研究时，可用固接在飞行器上的观察者所看到的绕流图研究时，可用固接在飞行器上的观察者所看到的绕流图画进行研究，只要远前方气流速度画进行研究，只要远前方气流速度V是常数，空气流过是常数，空气流过物体的绕流图画就不随时间变化。物体的绕流图画就不随时间变化。 牛顿简介牛顿简介 英国著名的数学家和物理学家（英国著名的数学家和物理学家（1643-1727）。）。牛顿
4、出生于英国林肯郡伍尔索普乡村，是一个牛顿出生于英国林肯郡伍尔索普乡村，是一个遗腹子，遗腹子，3岁母亲改嫁，将他留给外祖父母。岁母亲改嫁，将他留给外祖父母。1661年进入剑桥三一学院学习，年进入剑桥三一学院学习，1665年大学毕年大学毕业，获得学士学位。业，获得学士学位。1667年成为三一学院研究年成为三一学院研究员，次年获得文学硕士学位。员，次年获得文学硕士学位。1669年牛顿的数年牛顿的数学老师辞职，推举牛顿接替数学教授。学老师辞职，推举牛顿接替数学教授。1686年年完成完成“自然哲学之数学原理自然哲学之数学原理”，提出了流体运，提出了流体运动的内摩擦定律。动的内摩擦定律。1695年出任造币
5、厂督办。年出任造币厂督办。1701年辞去三一学院教职，年辞去三一学院教职，1704年出版年出版“光学光学”，晚年一直担任英国皇家学会主席，从事圣，晚年一直担任英国皇家学会主席，从事圣经的研究。后人评价：牛顿是人类史上最伟大经的研究。后人评价：牛顿是人类史上最伟大的天才：在数学上，发明了微积分；在天文学的天才：在数学上，发明了微积分；在天文学上，发现了万有引力定律，开辟了天文学的新上，发现了万有引力定律，开辟了天文学的新纪元；在力学上，总结了三大运动定律，建立纪元；在力学上，总结了三大运动定律，建立了牛顿力学体系；在光学上，发现了太阳光的了牛顿力学体系；在光学上，发现了太阳光的光谱，发明了反射式
6、望远镜。光谱，发明了反射式望远镜。莱布尼慈简介莱布尼慈简介 莱布尼慈，德国著名的哲学家和数学家莱布尼慈，德国著名的哲学家和数学家（Leibniz，1646-1716）。）。1646年年7月月生于莱比锡一个名门世家，其父亲是生于莱比锡一个名门世家，其父亲是一位哲学教授。莱布尼慈从小好学，一位哲学教授。莱布尼慈从小好学，一生才华横溢，在许多领域做出不同一生才华横溢，在许多领域做出不同凡响的成就。在数学方面最大的成就凡响的成就。在数学方面最大的成就是发明了微积分，今天微积分中使用是发明了微积分，今天微积分中使用的符号是莱布尼慈提出的。后来为了的符号是莱布尼慈提出的。后来为了与牛顿争发明权问题，他们之
7、间进行与牛顿争发明权问题，他们之间进行了一场著名的争吵。莱布尼慈自定发了一场著名的争吵。莱布尼慈自定发明权时间明权时间1674年，牛顿年，牛顿1665-1666年。年。这场争论使英国与欧洲大陆之间的数这场争论使英国与欧洲大陆之间的数学交流中断，严重影响了英国数学的学交流中断，严重影响了英国数学的发展。发展。 微积分问世后，流体成为数学家们应用微积分的最佳领微积分问世后，流体成为数学家们应用微积分的最佳领域。域。 1738年年Daniel Bernoulli出版了出版了“流体力学流体力学”一书，一书，将微积分方法引进流体力学中，建立了分析流体力学的将微积分方法引进流体力学中，建立了分析流体力学的
8、理论体系，提出无粘流动流速和压强的关系式，即理论体系，提出无粘流动流速和压强的关系式，即Bernoulli能量方程。能量方程。 1755年瑞士数学家欧拉建立了理想年瑞士数学家欧拉建立了理想不可压流体运动的微分方程组（欧拉方程）。六年后，不可压流体运动的微分方程组（欧拉方程）。六年后，拉格朗日引入流函数的概念，建立了理想流体无旋运动拉格朗日引入流函数的概念，建立了理想流体无旋运动所满足的动力学条件，提出求解这类运动的复位势法。所满足的动力学条件，提出求解这类运动的复位势法。 伯努利，伯努利，D(Daniel Bernoulli 17001782)瑞士物理学家、数学家、医学家。瑞士物理学家、数学家
9、、医学家。1700年年2月月8日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利数日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利数学家族中最杰出的一位。他是数学家学家族中最杰出的一位。他是数学家J伯伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。学、论理学、医学。1721年取得医学硕士年取得医学硕士学位。伯努利在学位。伯努利在25岁时岁时(1725)就应聘为圣彼就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。得堡科学院的数学院士。8年后回到瑞士的年后回到
10、瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教授，授，1750年成为物理学教授。年成为物理学教授。 在在17251749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。的年度奖。 1782年年3月月17日，伯努利在瑞士日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年巴塞尔逝世，终年82岁。岁。 欧拉欧拉 Leonhard Euler （17071783 年）年）瑞士数学家欧拉是世界史上最瑞士数学家欧拉是世界史上最 伟大的伟大的数学家之一他从数学家之一他从19岁就开始著书，直岁就开始著书，直到到76岁高龄仍继续写作几岁高龄仍继续写作几 乎每个数学乎每个数
11、学领域，都可以看到欧拉的名字如初等领域，都可以看到欧拉的名字如初等几何的欧拉线、多面体几何的欧拉线、多面体 的欧拉定理、立的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、四次方程体解析几何的欧拉变换公式、四次方程的欧拉解法、数论中的欧拉函数、微分的欧拉解法、数论中的欧拉函数、微分方程的欧拉方程、级数论中欧拉常数、方程的欧拉方程、级数论中欧拉常数、变分学的欧拉方变分学的欧拉方 程、复变函数论欧拉公程、复变函数论欧拉公式等欧拉晚年不幸双目失明，在失明式等欧拉晚年不幸双目失明，在失明后的后的17年年 里，他还口述著了几本书和约里，他还口述著了几本书和约400篇篇 论文论文 17431743年在动力学一书中年
12、在动力学一书中，达朗贝尔提出了达朗贝尔原理，达朗贝尔提出了达朗贝尔原理，它与牛顿第二定律相似，但它，它与牛顿第二定律相似，但它的发展在于可以把动力学问题转的发展在于可以把动力学问题转化为静力学问题处理，还可以用化为静力学问题处理，还可以用平面静力的方法分析刚体的平面平面静力的方法分析刚体的平面运动，这一原理使一些力学问题运动，这一原理使一些力学问题的分析简单化，而且为分析力学的分析简单化，而且为分析力学的创立打下了基础。的创立打下了基础。 1744 1744年达年达朗贝尔提出了著名的朗贝尔提出了著名的“达朗贝尔达朗贝尔疑题疑题”，即不计流体粘性的话，即不计流体粘性的话，任意形状的封闭物体，阻力
13、任意形状的封闭物体，阻力都是零。都是零。 1783年年10月月29日，一位为人们留下了无限光明的科学巨日，一位为人们留下了无限光明的科学巨星悄然远逝。这一天，伟大的达朗贝尔永远的离开了世星悄然远逝。这一天，伟大的达朗贝尔永远的离开了世界，永远的离开了他为之奉献终生的科学。界，永远的离开了他为之奉献终生的科学。达朗贝尔达朗贝尔(Jean Le Rond dAlembert,1717-1783) 法国著法国著名的物理学家、数学家和天文学家，一生研究了大量课名的物理学家、数学家和天文学家，一生研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著
14、名的有名的有8卷巨著数学手册、力学专著动力学、卷巨著数学手册、力学专著动力学、23卷的文集、百科全书的序言等等。他的很多卷的文集、百科全书的序言等等。他的很多研究成果记载于宇宙体系的几个要点研究中。达朗研究成果记载于宇宙体系的几个要点研究中。达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教会的阻挠没有举到了许多荣誉。但在他临终时，却因教会的阻挠没有举行任何形式的葬礼。行任何形式的葬礼。 19世纪人们开始认识粘性流体动力学的世纪人们开始认识粘性流体动力学的基本问题。基本问题。1826年法国工程师纳维（年法国工程
15、师纳维（L. M. H.Navavier, 17851836）将欧拉流）将欧拉流体运动方程加以推广，加入了粘性项体运动方程加以推广，加入了粘性项，导出了粘性流体运动方程。，导出了粘性流体运动方程。1845年年爱尔兰数学家斯托克斯（爱尔兰数学家斯托克斯（S. G. G. Stockes， 18191903)在剑桥大学从另在剑桥大学从另外不同的出发点，也导出了粘性流体外不同的出发点，也导出了粘性流体运动方程。现在粘性流体运动方程称运动方程。现在粘性流体运动方程称为纳维为纳维-斯托克斯方程或斯托克斯方程或N-S方程。方程。NavierNavierStockesStockes 雷诺在雷诺在1883年试
16、验粘性流体在小直径圆管流动时，发现年试验粘性流体在小直径圆管流动时，发现实际流动有两种流态，分别称为层流和湍流，相应的阻实际流动有两种流态，分别称为层流和湍流，相应的阻力规律也不同，决定流态的是一个复合参数力规律也不同，决定流态的是一个复合参数 ，该参数此，该参数此后被称为雷诺数。后被称为雷诺数。1895年他导出了雷诺方程年他导出了雷诺方程时均时均流动懂得流动懂得N-S方程。方程。 雷诺（雷诺（Osborne Reynolds，18421921），英国工程师），英国工程师兼物理学家，维多利亚大学（在曼彻斯特市）教授。兼物理学家，维多利亚大学（在曼彻斯特市）教授。 1904年普朗特提出了边界层理
17、论。他认识到，虽然所有年普朗特提出了边界层理论。他认识到，虽然所有的实际流体都是有粘性的，但如果流动的雷诺数很大，的实际流体都是有粘性的，但如果流动的雷诺数很大，那么在流动中粘性力的重要性并不是到处一样的，离开那么在流动中粘性力的重要性并不是到处一样的，离开物体表面很远的地方粘性力基本上不起作用，只在物面物体表面很远的地方粘性力基本上不起作用，只在物面附近，一层很薄的流体附近，一层很薄的流体(称边界层称边界层)内，粘性力才是重要的内，粘性力才是重要的，才是必须考虑的。这样就可以把整个流动分成两部分，才是必须考虑的。这样就可以把整个流动分成两部分来处理：远离物面的大部分地区可以用无粘的理论作计来
18、处理：远离物面的大部分地区可以用无粘的理论作计算，而贴近物面的一层流体的流动需要作粘流计算。这算，而贴近物面的一层流体的流动需要作粘流计算。这个概念之所以是突破性的，是因为有了它，无粘流的理个概念之所以是突破性的，是因为有了它，无粘流的理论就可以无所顾忌地大踏步向前发展了；另一方面粘流论就可以无所顾忌地大踏步向前发展了；另一方面粘流计算限制在薄薄的边界面层内，使纳维计算限制在薄薄的边界面层内，使纳维斯托克斯方程斯托克斯方程得以大大地简化，使许多有实用意义的问题能得到解答得以大大地简化，使许多有实用意义的问题能得到解答；这样粘性流理论也得到了一条新的发展道路。普朗特；这样粘性流理论也得到了一条新
19、的发展道路。普朗特也被称为近代粘性流体力学之父。也被称为近代粘性流体力学之父。 Ludwig Prandtl 1875年年2月月4日出生于德国弗赖津（日出生于德国弗赖津（Freising） 。其父亲是一位在。其父亲是一位在Freising附近农业大学的测量学与工程教授附近农业大学的测量学与工程教授，母亲常年有病在家。从小受父亲的影响，他对物理学、机械，母亲常年有病在家。从小受父亲的影响，他对物理学、机械和仪器特别感兴趣。和仪器特别感兴趣。1894年入年入Munich大学深造，大学深造，1900年获博年获博士学位，博士论文方向是弯曲变形下的不稳定弹性平衡问题研士学位，博士论文方向是弯曲变形下的不
20、稳定弹性平衡问题研究。毕业后负责为一家新工厂设计吸尘器设备时，通过实验解究。毕业后负责为一家新工厂设计吸尘器设备时，通过实验解决了管道流动中一些基本的流体力学问题，他所设计的吸尘器决了管道流动中一些基本的流体力学问题，他所设计的吸尘器仅需要原设计功率的仅需要原设计功率的1/3，从此对流体力学感兴趣。，从此对流体力学感兴趣。1901年担年担任汉诺威（任汉诺威（Hanover)科技大学数学工程系的力学教授，在这里科技大学数学工程系的力学教授，在这里Prandtl提出边界层理论（提出边界层理论（Boundary layer theory），并开始研），并开始研究通过喷管的超音速流动问题。究通过喷管的
21、超音速流动问题。1904年年Prandtl在德国海德尔在德国海德尔堡（堡（Heidelberg）第三次国际数学年会上发表了著名的关于边）第三次国际数学年会上发表了著名的关于边界层概念的论文，这一理论为流体力学中物面摩擦阻力、热传界层概念的论文，这一理论为流体力学中物面摩擦阻力、热传导、流动分离的计算奠定了基础，是现代流体力学的里程碑论导、流动分离的计算奠定了基础，是现代流体力学的里程碑论文，从此文，从此Prandtl成为流体力学界的知名学者。以后不久他出成为流体力学界的知名学者。以后不久他出任德任德 国著名的哥廷根（国著名的哥廷根（Gottingen）大学应用力学系主任、教授，）大学应用力学系
22、主任、教授，在这里他建造了在这里他建造了1904-1930年期间世界上最大的空气动力学研年期间世界上最大的空气动力学研究中心。在究中心。在1905-1908年期间，年期间，Prandtl进行了大量的通过喷管进行了大量的通过喷管的超音速流动问题，发展了斜激波（的超音速流动问题，发展了斜激波（oblique shock wave)和膨和膨胀波（胀波（expansion wave）理论；在）理论；在1910年年-1920年期间，其主年期间，其主要精力转到低速翼型和机翼绕流问题，提出著名的有限展长要精力转到低速翼型和机翼绕流问题，提出著名的有限展长机翼的升力线理论（机翼的升力线理论（lifting l
23、ine theory）和升力面理论；从）和升力面理论；从1920年以后年以后,Prandtl再次研究高速流动问题（再次研究高速流动问题（high speed flows），提出著名的），提出著名的Prandtl-Glauert压缩性修正准则压缩性修正准则(compressibility correction rule）。）。1930年以后，年以后，Prandtl被认被认为是国际著名的流体力学大师，为是国际著名的流体力学大师，1953年在哥廷根病故。年在哥廷根病故。Prandtl毕生在流体力学和空气动力学中的贡献是瞩目的，被毕生在流体力学和空气动力学中的贡献是瞩目的，被认为是现代流体力学和空气动
24、力学之父（认为是现代流体力学和空气动力学之父（the father of modern fluid mechanics）,他对流体力学的贡献是可获他对流体力学的贡献是可获Nobel奖的。在第二次世界大战期间（奖的。在第二次世界大战期间（1939年年9月月1日日-1945年年9月月2日日），），Prandtl一直在哥廷根工作，一直在哥廷根工作，Nazi德国空军为德国空军为Prandtl实验实验室提供了新的实验设备和财政资助。室提供了新的实验设备和财政资助。 20世纪创建了空气动力学完整的科学体系，并得到了蓬世纪创建了空气动力学完整的科学体系，并得到了蓬勃的发展。美国莱特兄弟是两个既有实践经验又有
25、理论勃的发展。美国莱特兄弟是两个既有实践经验又有理论知识，且富有想象力和远见的工程师，知识，且富有想象力和远见的工程师， 1903年年12月月27日日，奥维尔，奥维尔莱特驾驶他们设计制造莱特驾驶他们设计制造“飞行者一号飞行者一号”首次试首次试飞成功，这是人类历史上第一架有动力、载人、持续、飞成功，这是人类历史上第一架有动力、载人、持续、稳定、可操纵的飞行器。从此开创了飞行的新纪元。其稳定、可操纵的飞行器。从此开创了飞行的新纪元。其后，飞机的发展推动了空气动力学的迅速发展。后，飞机的发展推动了空气动力学的迅速发展。 20世纪世纪2030年代，空气动力学的理论和实验得到迅速年代，空气动力学的理论和
26、实验得到迅速发展，所建造的许多低速风洞，对各种飞行器研制进行发展，所建造的许多低速风洞，对各种飞行器研制进行了大量的实验，从而很大程度上改进了飞机的气动外形了大量的实验，从而很大程度上改进了飞机的气动外形，实现了飞机动力增加不大的情况下，使飞机的飞行速，实现了飞机动力增加不大的情况下，使飞机的飞行速度从度从50m/s增大到增大到170m/s。 20世纪世纪3040年代，建造了一批超音速风洞，使飞机在年代，建造了一批超音速风洞，使飞机在40年代末突破了年代末突破了“音障音障”，50年代随后突破了年代随后突破了“热障热障”，实现了超音速飞行和人造卫星。，实现了超音速飞行和人造卫星。 20世纪世纪5
27、0年代以后，电子计算机的出现，使计算空气动年代以后，电子计算机的出现，使计算空气动力学得到迅速发展，理论、实验、计算成为飞行器设计力学得到迅速发展，理论、实验、计算成为飞行器设计必不可少的途径。必不可少的途径。Wilbur Wright（18671912） Oville Wright（18711948） 儒可夫斯基（儒可夫斯基（Joukowski，18471921），俄国数学家和空气动力学家，科），俄国数学家和空气动力学家，科学院院士。学院院士。 1868年毕业于莫斯科大学物理系，年毕业于莫斯科大学物理系，1886年起历任莫斯科大学和莫斯科高年起历任莫斯科大学和莫斯科高等技术学校教授，直至等技
28、术学校教授，直至1921去世，一去世，一直在这两所学校工作。他一生有直在这两所学校工作。他一生有170多部著作，其中多部著作，其中60多部是论述空气动多部是论述空气动力学和飞行器的，是实验和理论空气力学和飞行器的，是实验和理论空气动力学的创始人。提出著名的环量升动力学的创始人。提出著名的环量升力定理。力定理。1902年创建了莫斯科大学空年创建了莫斯科大学空气动力学实验室。气动力学实验室。 冯冯.卡门（卡门（Von,Karman,18811963），），超声速时代之父，美国空军科技奠基超声速时代之父，美国空军科技奠基石，现代空气动力学家。石，现代空气动力学家。1881年出生年出生于匈牙利的布达佩
29、斯。祖父是一个很于匈牙利的布达佩斯。祖父是一个很有名的犹太人，父亲是布达佩斯大学有名的犹太人，父亲是布达佩斯大学教授。教授。1902年，在布达佩斯皇家理工年，在布达佩斯皇家理工综合大学获得硕士学位，综合大学获得硕士学位，1908在德国在德国哥廷根大学获得博士学位，师从普朗哥廷根大学获得博士学位，师从普朗特教授。特教授。1926年移居美国，负责加州年移居美国，负责加州理工大学风洞设计工作，提出卡门涡理工大学风洞设计工作，提出卡门涡街理论；街理论；1935年，提出超声速阻力原年，提出超声速阻力原则；则；1938年提出边界层控制理论；年提出边界层控制理论；1941年提出高速飞行机翼压力分布公年提出高
30、速飞行机翼压力分布公式；式；1946年提出超声速相似律。年提出超声速相似律。 我国学者钱学森师从冯我国学者钱学森师从冯.卡门教授。卡门教授。22VpgzconstDVpRDt0Vt222sin0.5pppCV22222220uuuuxyz20V 20DVpRDtLVa 或aLa39301010acmcm0, , ,limmdmx y z tdmd 0limppdpKd 211111dddpaKdpddp 2dVdMaVyT(y+ y)xyT(y)Qy yyyQdTqSdy qT FdVSdydtgddvdtdtdyddtdvvdy dtdyvdtddy T yFhv(y)ABxvffbRm或0
31、0, , ,limlimbbbxyzmRRdRR x y z tR iR jR kmd RdRdbbdRR, , ,R x y z tgk ZXYkdbdRg npnnpnp0, , ,limnnSppx y z tS nnpnnp dsp dsdVdynpnnpnp0dV dy 0npnnpp npRT, ,T p, ,u h s, ,0pp Tuu Tf T p, q w uu T hupu TRTh T11qdupdqdhdp21212121TTconstTpppppTp constqduCduC dTuC dTC TuCTTdTdTqdhCdhC dThC dTC ThCTTTdT 1
32、1ppvpvvpvkRppChudhdudC dTC dTRdTCCRkRCkCCk5321.4722vpCRuRTRTkCR 2222exp32exp1312exp111exp312exp1vevevvevvveppvveveveveTTTcRRRTTTccTRTuRTRTccTcTTkkk TRTTTTTT NONONNeOOeNONOerevqdsT21122211111lnln111lnlnvvppqdsdTdTdsdupdCRsCRTTTTqdupdqCdsTpdpdpdsdhdTRsCRTTTpTpqdhdp 111121222222121111111122222222111111
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34、d =constd eeererered, ,rzA rzrezerzdAdrerd edzerrzrrrrzrrzAAAdAdrddzrzeArrezeererrrreArrezeerredAdrerd edzedArreeee ZRenRRdRdRdn1dRPP1Q =const + d =constijkijkxyzxyzijkxyz ddxdydzidxjdykdzijkxyzxyzddR110ddRdRconst等势面cos ,cosRRddRe dR nddnendRdn nn + d =const间最小距离间最小距离RRdddRe dRedR 1rzrzddRdrerd edze
35、eeerrzddrddzrz VVVVijkVijkxyzxyzyxzyxzyxzijkvvvixxxVvvvjyyyvvvkzzzxyzyxzyxzyxzivjvkvvvvVijkxxxxxvvvVijkyyyyvvvVijkzzzzVDSA11()()2211()()2211()()2210(2yxxxzyxzyyyyxxzzyyxxzzzzyvvvvvVVVxxyxzxxxVvvvVvVvyyyyxyyzVvVvVvvvzzzzxzyzvx1)()211()0()2211()()022xxzyyxzyxzzvvvyxzvvvvyxyzvvvvzxzy0limsA ndsA dsn VVd
36、sn0001111lim1limlimstssV t ndsdddV ndsdtdttV ndsdVdt Vds nyyzxzxvvvvvvyzzxxyxyzijkVijkxyzvvv AALndAV ndAV dr sssn dsdn adsadnadsad a2222222xyz n222221111rzrzrrrrrrrzeeeeeerrzrrzeeeeeeeeerrrrrrrzrrr 2222222221111,111zrrrreerrzzrrrrrz2VVVV 21212111212111, , , , ,x y z tx y z txxyyxyzzttzt高阶项2121212121
37、21212121212121limlimlimlimttttttttxxyyzzttxttyttzttt21212121lim12ttDDttttt 点与 点趋向重合212121212121212121limlimlimxyzttttttxxyyzzVVVttttttxyzDVVVVDtxyzttDVDtttV VVtVVt, , ,Ix y z t d22IdIVdVIedIrV d (t) (t+ t)SS2nV t 3S1ndAdAV t 2 1 3100limlimtttttIttItIttIttDI tI ttI tDdDtDttttt 12123313ttt 0limtttIttItddttt 31112000limlimlimSSSttttV ndAIttIttV ndAV ndAttt dtV ndA ADddV ndADttADVDttDddV ndADttsAa ndsadV ndAV d DdVdDtt F 00DFDDFDF dFV dFFV dDtDtDtDtDDFF ddDtDtVVV 00DDdVV dV dDttDtDD0VV=0DtDtDddDt
