1、矩形的性质与判定 学 习 目 标1 1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及相相 关结论关结论；2 2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算、能用矩形的性质进行简单的证明与计算请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？些性质？边：对边平行且相等；边：对边平行且相等；角：对角相等；角：对角相等；对角线：对角线互相平分对角线：对角线互相平分 新 课 导 入ABCDABCD一个角变形成直角 分析：（分析：（1 1）矩形的形成过程是平行四边形的一个）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的
2、变化过程角由量变到质变的变化过程（2 2）矩形只比平行四边形多一个条件：）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角一个角是直角是直角”，不能用，不能用“四个角都是直角的平行四边形四个角都是直角的平行四边形是矩形是矩形”来定义矩形来定义矩形定义：定义：有一个角是直角的平行四边形是有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形 知 识 讲 解矩形与平行四边形之间的关系矩形与平行四边形之间的关系平行四边形平行四边形矩形矩形（3 3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性）（4
3、 4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质特殊性质边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；相垂直；角：四个角是直角（性质角：四个角是直角（性质1 1）；）；对角线：相等且互相平分对角线：相等且互相平分ABCDO定理定理: :矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角. .已知已知: :如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .分析分析: :由矩形的定义由矩形的定义, ,利用对角相等利用对角相等, ,邻角互补可使问题得证邻角互补可使问题得证. .证明证明: : 四
4、边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .A=90A=90 , ,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .C=A=90C=A=90 , ,B=180B=180 -A=90-A=90 , , D=180D=180 -A=90-A=90 . .求证求证:A=B=C=D=90:A=B=C=D=90 . .四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .DBCA定理定理: :矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等. .已知已知: :如图如图,AC,BD,AC,BD是矩形是矩形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线. .求证求证: AC=BD.: AC=BD.证明证明: : 四边形
5、四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .AB=DC,ABC=DCB=90AB=DC,ABC=DCB=90. .分析分析: :根据矩形的性质根据矩形的性质, ,可转化可转化为全等三角形为全等三角形(SAS)(SAS)来证明来证明. .D DB BC CA ABC=CB.BC=CB.ABCABCDCB(SAS).DCB(SAS).AC=DB.AC=DB.ABCDO推论：推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半练一练：如图，在矩形练一练：如图，在矩形ABCDABCD中：中： ABABCDCD，AB=AB=CDCD；ADADBCBC，AD=AD=BC BC BAD
6、=BAD=ADCADC=BCDBCD=ABCABC=90=90AC = AC = BDBD= 2= 2AOAO = 2 = 2OCOC=2=2OBOB =2=2ODOD 问：在问：在RtRtABCABC中，斜边中，斜边ACAC上的中线是上的中线是OBOB，它与斜边的，它与斜边的关系是关系是OB= OB= ACAC问：是不是所有的三角形都有这样的性质问：是不是所有的三角形都有这样的性质? ? 关键是是不关键是是不是任何一个三角形都可以放进一个矩形里是任何一个三角形都可以放进一个矩形里? ?21【例例1 1】已知已知: :如图如图,AC,BD,AC,BD是矩形是矩形ABCDABCD的两条对角线的两
7、条对角线,AC,BD,AC,BD相交于点相交于点O,AOD=120O,AOD=120,AB=2.5cm.,AB=2.5cm.求矩形对角线的长求矩形对角线的长. .解析解析: :四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .BD=2AB=2BD=2AB=22.5=5(cm).2.5=5(cm).21ACOCOAAC=BD,AC=BD,且且DAB=90DAB=90. .DBCAO.21BDODOB.ODOA AOD=120AOD=120. .302120180000ODA=OAD=ODA=OAD=你认为例你认为例1 1还可以怎还可以怎么去解？么去解？例 题定理定理: :有三个角是直角的四边形是矩形
8、有三个角是直角的四边形是矩形. .已知已知: :如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中, A=B=C=90, A=B=C=90. .分析分析: :利用同旁内角互补利用同旁内角互补, ,两直线平行来证明四边形是平行两直线平行来证明四边形是平行四边形四边形, ,可使问题得证可使问题得证. .证明证明: : A=B=C=90 A=B=C=90. .A+B=180A+B=180,B+C=180,B+C=180. .ADBC,ABCD.ADBC,ABCD.求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .DBCA四边形四边形
9、ABCDABCD是矩形是矩形. .结论：结论：定理定理: :对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形. .已知已知: :如图如图, ,在在ABCDABCD中中, ,对角线对角线AC=BD.AC=BD.求证求证: :平行四边形平行四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .DBCA分析分析: :要证明要证明ABCDABCD是矩形是矩形, ,只要证明有一个角是直角即可只要证明有一个角是直角即可. .证明证明: :AB=CD,ABCD.AB=CD,ABCD.AC=DB,BC=CB.AC=DB,BC=CB. ABCABCDCB.DCB.ABC=DCB.ABC=DCB.四边形四边形ABCDA
10、BCD是平行四边形是平行四边形. .ABC+DCB=180ABC+DCB=180. .ABC=90ABC=90. . 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1 1）对角线相等的四边形是矩形；（）对角线相等的四边形是矩形；（ ）（2 2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）（3 3）有四个角是直角的四边形是矩形；（）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ）（4 4）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ）XX
11、 跟踪训练定理定理: :如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半, ,那那么这个三角形是直角三角形么这个三角形是直角三角形. .求证求证: :ABCABC是直角三角形是直角三角形. .21ABCD已知已知:CD:CD是是ABCABC边边ABAB上的中线上的中线, ,且且EABCD分析分析: :要证明要证明ABCABC是直角三角形是直角三角形, ,可以将点可以将点A,B,CA,B,C构造平构造平行四边形行四边形, ,然后证明其对角线相等然后证明其对角线相等, ,即可证明是矩形即可证明是矩形. .证明证明: :延长延长CDCD到到E,E,使使DE=DC,DE
12、=DC,连接连接AE,BE.AE,BE.四边形四边形ACBEACBE是平行四边形是平行四边形. .AB=2CD,CE=2CD.AB=2CD,CE=2CD. AC=DB. AC=DB.四边形四边形ACBEACBE是矩形是矩形. . AD=BD,CD=ED. AD=BD,CD=ED.ACB=90ACB=90. .ABCABC是直角三角形是直角三角形. .1 1如图所示，已知如图所示，已知ABCDABCD，下列条件：，下列条件：AC=BDAC=BD，AB=ADAB=AD，1=21=2，ABBCABBC中，能说明中，能说明ABCDABCD是矩是矩形的有形的有（填写序号）（填写序号）. .解析：解析：根
13、据对角线相等的平行四边根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形的定义形是矩形；矩形的定义. .答案：答案： 随随 堂堂 练练 习习2 2如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC8 8，ADAD是底边上的高，是底边上的高，E E为为ACAC的中点，则的中点，则DEDE解析：解析：根据直角三角形斜边的中线根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，等于斜边的一半可得，DEDE等于等于ACAC的的一半，所以一半，所以DE=4.DE=4.答案：答案：4 43 3如图，在等边如图，在等边ABCABC中，点中，点D D是是BCBC边的中点，以边的中点，以ADAD为边作为边作等边等边ADEADE（
14、1 1）求）求CAECAE的度数；的度数；（2 2）取）取ABAB边的中点边的中点F F，连结，连结CFCF、CECE，试证明四边形，试证明四边形AFCEAFCE是是矩形矩形解析：解析：（1）在等边）在等边ABC中，中，点点D是是BC边的中点，边的中点，DAC30，又，又等边等边ADE，DAE60，CAE30.（2 2）在等边）在等边ABCABC中，中，F F是是ABAB边的中点，边的中点，D D是是BCBC边的中点，边的中点，CFCFADAD，CFACFA9090，又，又ADADAEAE，AEAECFCF，由（，由（1 1）知知CAECAE3030，EAFEAF60+3060+309090，
15、CFACFAEAFEAF，CFAECFAE，AEAECFCF，四边形四边形AFCEAFCE是平行四边形，又是平行四边形，又CFACFA9090，四边形四边形AFCEAFCE是矩形是矩形4 4已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD是由两个全等的正三角形是由两个全等的正三角形ABDABD和和BCDBCD组成的，组成的，M M、NN分别为分别为BCBC、ADAD的中点的中点求证：四边形求证：四边形BMDNBMDN是矩形是矩形证明：证明：在正三角形在正三角形ABDABD和和BCDBCD中，中，M M、NN分分别为别为BCBC、ADAD的中点的中点. .BNADBNAD，DMBCDMBC，
16、DBC=60DBC=60，BND=DMB=90BND=DMB=90，NBD=30NBD=30. .NBM=90NBM=90. .四边形四边形BMDNBMDN是矩形是矩形. .5 5、已知、已知: :如图如图,AC,BD,AC,BD是矩形是矩形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线,AC,BD,AC,BD相交相交于点于点O,AOD=120O,AOD=120,AB=2.5cm.,AB=2.5cm.求矩形对角线的长求矩形对角线的长.解解: :四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形. .AC=BD,AC=BD,且且OA=OD. OA=OD. AOD=120AOD=120. .ODA=OAD=ODA
17、=OAD=DAB=90DAB=90. .BD=2AB=2BD=2AB=22.5=5(cm).2.5=5(cm).AC21OCOAD DB BC CA AO O.BD21ODOB.302120180000你认为本题还可以你认为本题还可以怎样解？怎样解？通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：1 1、矩形的性质：、矩形的性质：（1 1）矩形的四个角都是直角；）矩形的四个角都是直角；（2 2）矩形的对角线相等；）矩形的对角线相等；（3 3）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. .2 2、矩形的判定定理：、矩形的判定定理：（1 1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2 2）对角线相等的平行四边形是矩形；）对角线相等的平行四边形是矩形；（3 3）有三个角是直角的四边形是矩形）有三个角是直角的四边形是矩形. .3 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半. . 本本 课课 小小 结结
