1、2022-5-251第八章第八章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计2022-5-2528.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 一、玻色系统热力学量的统计表达式一、玻色系统热力学量的统计表达式1lllae 1llllUe 2022-5-2532022-5-254 5、熵2022-5-2552022-5-2562022-5-257. .lnln ()lnlnB Elllllllllaaaa（6.7.4)lnSk玻耳兹曼关系 6、巨热力势2022-5-258 二、费米系统热力学量的统计表达式二、费米系统热力学量的统计表达式 巨配分函数巨配分函数对数：对数：2022-5-2598
2、.2 8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体非简并系统：非简并系统：1lla1e31n弱简并系统：弱简并系统：31n强简并系统：强简并系统：31n121()2hmkT2022-5-2510不考虑分子内部结构，只有平动自由度，分子能量为：不考虑分子内部结构，只有平动自由度，分子能量为：22212xyzpppm 则在体积则在体积V V内，在内，在 到到 的能量范围内，分子可能的的能量范围内，分子可能的微观状态数为：微观状态数为：dg粒子可能的自旋而引入的简并度。粒子可能的自旋而引入的简并度。考虑平动自由度的能级是连续的，系统总分子数满足：考虑平动自由度的能级是连续的，系统
3、总分子数满足：2022-5-2511系统的内能为：系统的内能为：令：令：x2022-5-2512 展开式保留第一项相当于近似为玻尔兹曼分布，弱简展开式保留第一项相当于近似为玻尔兹曼分布，弱简并情形下，保留两项。并情形下，保留两项。积分可得：积分可得：2022-5-2513q 第一项是根据玻尔兹曼分布得到的内能，第一项是根据玻尔兹曼分布得到的内能，第二项是微观全第二项是微观全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。在弱简并在弱简并情形下，附加内能的数值是一个小量。情形下，附加内能的数值是一个小量。q费米气体的附加内能为正，而玻色气体的附加内能为负。
4、费米气体的附加内能为正，而玻色气体的附加内能为负。可以认为，量子统计关联使费米子之间出现等效的可以认为，量子统计关联使费米子之间出现等效的排斥作用排斥作用，而玻色粒子之间出现等效的而玻色粒子之间出现等效的吸引作用吸引作用。2022-5-25148.5 8.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体 在金属中，价电子脱离原子在整个金属中运动，称为公有在金属中，价电子脱离原子在整个金属中运动，称为公有电子。公有电子在离子产生的势场中运动，电子之间存在库电子。公有电子在离子产生的势场中运动，电子之间存在库仑相互作用。在初步的近似下，可以把公有电子看作封闭在仑相互作用。在初步的近似下，可以把公有电子
5、看作封闭在金属体积中的自由粒子，称为自由电子。金属体积中的自由粒子，称为自由电子。 经典统计的困难：经典统计的困难： 根据能量均分定理，一个自由电子对金属的热容量将有根据能量均分定理，一个自由电子对金属的热容量将有3k/23k/2的贡献。但实验发现，除在极低温度下，金属中自由电的贡献。但实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子的热容量基本可以忽略。子的热容量基本可以忽略。2022-5-2515 金属中自由电子的费米统计理论金属中自由电子的费米统计理论q 金属中自由电子形成强简并费米气体。金属中自由电子形成强简并费米气体。 以以CuCu原子为例：原子为例：322334002NhnVmkTq 金属
6、中自由电子的费米统计金属中自由电子的费米统计 根据费米分布，温度为根据费米分布，温度为T T时处在能量为时处在能量为 的一个量子态上的一个量子态上的平均电子数为：的平均电子数为：1111lkTafee 2022-5-2516 则在体积则在体积V V内，在内，在 到到 的能量范围内，电子的微观的能量范围内，电子的微观状态数为：状态数为：d 在体积在体积V V内，在内，在 到到 的能量范围内，平均电子数为：的能量范围内，平均电子数为：d2022-5-2517T=0KT=0K时的电子分布时的电子分布11kTfe q T=0K T=0K时，电子将尽可能占据能量最低的状态，时，电子将尽可能占据能量最低的
7、状态，但泡利不相容原理限制每一个量子态最多只能容但泡利不相容原理限制每一个量子态最多只能容纳一个电子。电子从纳一个电子。电子从 的状态起，依次填充的状态起，依次填充至至 。0(0)q 是是T=0KT=0K时电子的最大能量。时电子的最大能量。(0)2022-5-2518费米能量。费米能量。令：令：2(0)/2Fpm费米动量。费米动量。FFpvm费米速率。费米速率。(0)FTk费米温度。费米温度。2022-5-2519 大小的数值估计，以大小的数值估计，以CuCu为例：为例：(0)费米温度：费米温度：2022-5-25200K0K时电子气体的总能量为：时电子气体的总能量为：0K0K时电子气体的平均
8、内能：时电子气体的平均内能：0K0K时电子气体的压强为：时电子气体的压强为：费米气体在绝对零度下：费米气体在绝对零度下：l 具有很高的平均能量、动量，具有很高的平均能量、动量，并且产生很大的压强。并且产生很大的压强。l 微观状态数确定，熵为微观状态数确定，熵为0 0。2022-5-2521T T0K0K时的电子分布：时的电子分布：11kTfe 2022-5-2522T T0K0K时，只在时，只在附近量级为附近量级为kTkT的范围内，电子的分布与的范围内，电子的分布与0K0K时时的分布有差异。的分布有差异。1260FkTTT2022-5-2523自由电子热容量的定量计算自由电子热容量的定量计算2022-5-25242022-5-25252/332NC0T 当当 时，有：时，有：将将C C代入，有：代入，有：2022-5-2526电子的热容量：电子的热容量：2022-5-2527 常温范围电子的热容量远小于离子振动的常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量。但在低温范围，离子振动的热容量按热容量。但在低温范围，离子振动的热容量按T T3 3迅速下降迅速下降, ,而电子的热容量与而电子的热容量与T T成正比下降比成正比下降比较缓慢。所以，在足够低的温度下，电子的热较缓慢。所以，在足够低的温度下，电子的热容量就不能忽略。容量就不能忽略。
