1、 第第 四四 章章 测试装置的基本特性测试装置的基本特性4.3动态特性动态特性n动态特性是研究当测试与检测系统的输入和输出均为随时间而变化的信号时，系统对输出信号的影响。n系统的动态特性一般通过描述系统的数学模型如微分方程、或找出系统的动态特性函数如传递函数、频率响应函数等来进行研究。n描述系统动态特性更为广泛的函数是传递函数。n传递函数的定义：x(t)、y(t)及其各阶导数的初始值为零，系统输出信号的拉普拉斯变换(拉氏变换)与输入信号的拉氏变换之比，记为 式中 为输出信号的拉氏变换 为输入信号的拉氏变换 s为拉氏变换算子: 和 皆为实变量 4.3.1传递函数( )H s( )( )( )Y
2、sH sX s( )Y s0( )( )stY sy t edt0( )( )stX sx t edt( )X s,0,sj 复频率复频率11101110mmmmnnnnb SbSb Sba SaSa Saxy输入量输入量输出量输出量11101110mmmmnnnnb SbSbSba SaSa SaH(s) = H(s)与输入x(t)及系统的初始状态无关，作为一种数学模型，和其它数学模型一样，只表示测量装置本身在传输和转换测量信号中的特性或行为方式。 传递函数与系统的结构无关，不同的测试系统可能具有相同的传递函数。 H(s)的分母由系统的结构决定，分子则与输入点的位置等外界因素有关。按n 的大
3、小定义系统的阶次。n 线性系统的输出输入关系为：n将此公式两边作单边傅里叶变换，在变换过程中利用富里叶变换的微分性质得：( )( )()()nnF ftjF j1110111101( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd y tdy tdy taaaa y tdtdtdtdx tdx tdx tbbbb x tdtdtdt 11101110()()()()()()()()nnnnmmmmYajajajaXbjbjbjb 4.3. 2 频率响应函数n以 代入（1）式，也可以得到频响函数，说明频率响应函数是传递函数的特例。sj( )( )( )YXHF物理意义是频
4、率响应函数是在正弦信号的激励下，测量装置达到稳态后输出和输入之间的关系。则线性系统的频响函数为：11101110()()()( )()( )()()()mmmmnnnnb jbjb jbYH jXa jaja ja重要结论n频响函数频响函数的含义是一系统对输入与输出皆为正的含义是一系统对输入与输出皆为正弦信号传递关系的描述。它反映了系统稳态输弦信号传递关系的描述。它反映了系统稳态输出与输入之间的关系，也称为出与输入之间的关系，也称为正弦传递函数正弦传递函数。n传递函数传递函数是系统对输入是正弦信号，而输出是是系统对输入是正弦信号，而输出是正弦叠加瞬态信号正弦叠加瞬态信号传递关系的描述。它反映了
5、传递关系的描述。它反映了系统包括系统包括稳态稳态和和瞬态瞬态输出与输入之间的关系。输出与输入之间的关系。n如只研究稳态过程的信号，则用频响函数来分如只研究稳态过程的信号，则用频响函数来分析系统。如研究稳态和瞬态全过程信号，析系统。如研究稳态和瞬态全过程信号，则用则用传递函数来分析系统。传递函数来分析系统。()22, ()( )( )()( )( )()( )( )I ( )( )()arctan( )emjemmeH jRjIH jAeAH jRIH jR 或：其中，：幅频特性相频特性A()- 曲线称为幅频特性曲线，()- 曲线称为相频特性曲线。实际作图时，常画出20lgA()-lg和()-l
6、g曲线，两者分别称为对数幅频曲线和对数相频曲线，总称为伯德图（Bode图）。Im()-Re()曲线并注出相应频率，称为奈魁斯特（Nyquist)图。H(j)一般为复数，写成实部和虚部的形式：4.3.3 脉冲响应函数 若装置的输人为单位脉冲若装置的输人为单位脉冲(t)，因，因(t)的傅立叶变换为的傅立叶变换为1，因此装置输出，因此装置输出y(t)的傅立叶必将是的傅立叶必将是H(f)，即，即Y(f)=H(f)，或或y(t)=F-1H(S)，并可以记为，并可以记为h(t)，常称它为装置的脉冲，常称它为装置的脉冲响应函数或权函数。响应函数或权函数。脉冲响应函数可作为系统特性的时域描述。脉冲响应函数可作
7、为系统特性的时域描述。 至此，系统特性在时域可以用至此，系统特性在时域可以用h h( (t t) )来描述，在频域可来描述，在频域可以用以用H H( () )来描述，在复数域可以用来描述，在复数域可以用H H( (s s) ) 来描述。三来描述。三者的关系也是一一对应的。者的关系也是一一对应的。 脉冲响应函数测量脉冲响应函数测量 实验求脉冲响应函数简单明了，产生一个冲击信号，实验求脉冲响应函数简单明了，产生一个冲击信号，再测量系统输出就可以了。再测量系统输出就可以了。案例：案例：桥梁固有频率测量桥梁固有频率测量原理：在桥中设置一三角形障碍物，利用汽车碍时的冲击对桥梁进行激励，再通过应变片测量桥
8、梁动态变形，得到桥梁固有频率。环节的串联和并联环节的串联和并联n串联：串联： n并联：并联： )()(1SHSHnii)()(1SHSHnii)()(1wHwHnii)()(1wHwHnii 4.3.4 典型系统频响函数n系统阶次由系统阶次由输出量最高微分阶次输出量最高微分阶次确定。最常见的测确定。最常见的测试系统可概括为零阶系统、一阶系统、二阶系统试系统可概括为零阶系统、一阶系统、二阶系统。n零阶系统（Zero-order system)q数学表述数学表述q传递函数传递函数qK：静态灵敏度静态灵敏度n零阶系统的输出和输入同步变化，不产生任何的失真和延迟，零阶系统的输出和输入同步变化，不产生任
9、何的失真和延迟，因此是一种理想的测试系统，如位移电位器、电子示波器等。因此是一种理想的测试系统，如位移电位器、电子示波器等。00a yb x 00bYSKXaq数学表述q传递函数q 静态灵敏度q 时间常数一阶系统 (First-order System) 1YKsXs100dyaa yb xdt10aa00bKa在工程实际中，一个忽略了质量的在工程实际中，一个忽略了质量的单自由度振动系统，在施于单自由度振动系统，在施于A点的点的外力外力f(t)作用下，其运动方程为作用下，其运动方程为一阶系统的频率响应函数为：一阶系统的频率响应函数为：负值表示相角的滞后负值表示相角的滞后22211()11()1
10、()11()( )()arctan()H jjjH j 它的幅频、相频特性的为：A( )= H(j )一阶系统的微分方程通式为：一阶系统的微分方程通式为：)()()(tKxtydttdy一阶系统的传递函数为：一阶系统的传递函数为：11)(sSH00abK 01aa 一阶系统的频率特性：一阶系统的频率特性：1. 一阶系统是一个一阶系统是一个低通低通环节。只有环节。只有当当 远小于远小于1/ 时，幅频响时，幅频响应才接近于应才接近于1，因此一阶系统只适用于被测量缓慢或低频，因此一阶系统只适用于被测量缓慢或低频的参数。的参数。2. 幅频特性降为原来的幅频特性降为原来的0.707（即（即3dB)，相位
11、角滞后，相位角滞后45o ,时间常数时间常数 决定了测试系统适应的工作频率范围。决定了测试系统适应的工作频率范围。实际应用中常限定实际应用中常限定幅值误差：幅值误差： 幅频特性幅频特性A()和相频特性和相频特性?()表示输入和输表示输入和输出之间的差异，称为出之间的差异，称为稳态响应动态误差稳态响应动态误差。1给定值%1001)(%100)0()0()(AAAA二阶系统（Second-order system)数学表述传递函数频率响应函数：q静态灵敏度(Transduction constant)q系统固有频率(The angular natural frequency)q阻尼比(Dampin
12、g ratio) 22( )/2/1nnYKH ssXss221002dydyaaa yb xdtdt00bKa02naa1022aa annjH211)(2 RLC RLC电路，如果输入电压是随时间变化的电路，如果输入电压是随时间变化的 ，其输出是随时，其输出是随时间变化的电压间变化的电压 则输入和输出之间的微分方程：则输入和输出之间的微分方程： 22( )( )( )( )ccrcd utdututLCRCutdtdt( )ru t( )cu t( )( )1( )( )( ), ( )crdu tdi tLRi ti t dtu ti tCdtCdt例例：如图所示的弹簧质量阻尼系统，其运
13、动方程为：F将此公式左右作付里叶变换得：2( )()( )()( )( )mYjcYjKYXF该系统的频响函数为2( )1()( )()()YH jXm jc jK2222()212nnnnnkHjjkj nKm2cKm1kK22( )( )( )( )d y tdy tmcKy tx tdtdt1222221241 nnnnkjHA arctan)()()(1）当）当n时，时，A()1；当；当 n时，时， A() 0，即系统具有低通，即系统具有低通特性。特性。4）在在0.60.8之间，之间， n0.5，A()=1，系统可获得较好的综系统可获得较好的综合特性。合特性。2）当）当 n时，相角变化
14、较小；时，相角变化较小；当当 n时，时， () 180，输出与输入几乎反相。输出与输入几乎反相。3）n和和是影响系统动态特性的是影响系统动态特性的参数。在参数。在n附近系统将出附近系统将出现现“共振共振”。二阶系统的特点：二阶系统的特点：从测试工作的角度看，总是希望测量装置在宽广的频带内由于频率特从测试工作的角度看，总是希望测量装置在宽广的频带内由于频率特性不理想所引起的误差尽可能小。性不理想所引起的误差尽可能小。思考题思考题 4.4 测试装置对任意输入的响应 瞬态过程，反映了系统的固有特性。评价系统动态特性的一瞬态过程，反映了系统的固有特性。评价系统动态特性的一个重要方法就是分析系统对瞬态输
15、入信号的响应。个重要方法就是分析系统对瞬态输入信号的响应。)()()(thtxty 一、系统对任意输入的响应利用拉普拉斯变换、傅立叶变换的卷积定理，可以将卷积利用拉普拉斯变换、傅立叶变换的卷积定理，可以将卷积计算转化为复数域、频率域的乘法运算，从而简化计算。计算转化为复数域、频率域的乘法运算，从而简化计算。)()()( )()()(XHYSXSHSYx(t)h(t)y(t)二、系统对单位阶跃输入的响应二、系统对单位阶跃输入的响应 /1)(tety 一阶系统二阶系统 222221arctan,1)sin(11)( nddttetyn一阶系统的时间常数一阶系统的时间常数 越小越好。越小越好。1结论
16、：系统的响应在结论：系统的响应在很大程度上取决于很大程度上取决于固有频率和阻尼比。固有频率和阻尼比。n越高，系统的响应越高，系统的响应越快；越快；影响超调量和振荡次影响超调量和振荡次数。数。如果如果选在选在0.60.8之间，之间，则系统以较短时间则系统以较短时间进入稳态范围内。进入稳态范围内。二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应三、系统对脉冲输入的响应：如果输入信号是如果输入信号是单位脉冲信号单位脉冲信号，即，即: 经拉氏变换经拉氏变换, h(t) 常称为脉冲响应函数常称为脉冲响应函数.( )( )x tt( )( ( )1( )( )( )( )X sLtY sH s X sH s1
17、1( ) ( ) ( )( )y tL Y sL H sh t一阶系统的脉冲响应函数 /1)()(,11)(tethtysSH 响应二阶系统的脉冲响应函数tethtyssSHntnnnnn 222221sin1)()(2)( 响应1 单位阶跃函数是单位脉冲函数的积单位阶跃函数是单位脉冲函数的积分，故单位阶跃输入信号的响应就分，故单位阶跃输入信号的响应就是单位脉冲响应的积分。是单位脉冲响应的积分。 4.5 实现波形不失真测试的条件 信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度大小和时间先后的不同，而没有波形的变化。只有幅度大小和时间先后
18、的不同，而没有波形的变化。t tA Ax(t)x(t)y(t)=Ay(t)=A0 0 x(t)x(t)y(t)=Ay(t)=A0 0 x(t- tx(t- t0 0) )n时域： 式中，A0和t0都是常量。00( )()y tA x ttn频域：n选择合适的测量装置选择合适的测量装置n对输入信号做必要的前置处理对输入信号做必要的前置处理 4.6 测试装置动态特性的测量n测定频响函数的测定频响函数的目的目的：在作动态参数检测时，：在作动态参数检测时，要确定系统的不失真工作频段是否符合要求。要确定系统的不失真工作频段是否符合要求。n测定频响函数的测定频响函数的方法方法：用标准信号输入，测：用标准信
19、号输入，测出其输出信号，从而求得需要的特性。出其输出信号，从而求得需要的特性。n输入的标准信号有输入的标准信号有正弦信号正弦信号频率响应法频率响应法 阶跃信号阶跃信号阶跃响应法阶跃响应法正弦信号激励n理论依据：理论依据：n方法：输入各种频率的正弦信号，检测系方法：输入各种频率的正弦信号，检测系统的输出信号，作出对应频率成分的输出统的输出信号，作出对应频率成分的输出与输入信号的幅值比（幅频特性）和相位与输入信号的幅值比（幅频特性）和相位差（相频特性）。是差（相频特性）。是最为精确的方法最为精确的方法。( )()( )YH jXn对于一阶测试系统，主要特性参数是对于一阶测试系统，主要特性参数是时间
20、常时间常数数 ，可以通过幅频、相频特性数据直接计，可以通过幅频、相频特性数据直接计算算 值。值。22211()11()1()11()( )()arctan()H jjjH j 它的幅频、相频特性的为：A( )= H(j )n 方法二：据理论分析，欠阻尼系统（据理论分析，欠阻尼系统（ 1)幅频特性曲线峰值幅频特性曲线峰值 r不在固有频率不在固有频率 n处，而满足：处，而满足：n对于二阶系统，通常通过对于二阶系统，通常通过幅频幅频特性曲线估计特性曲线估计其其固有频率固有频率 n和和阻尼比阻尼比 。 方法一：通过通过相频相频特性曲线：在特性曲线：在 处输出与输入的相位差处输出与输入的相位差为为90o
21、，曲线在该点的斜率反映了阻尼比的大小。缺点：，曲线在该点的斜率反映了阻尼比的大小。缺点：相位的精确测量很难实现。相位的精确测量很难实现。Arn0.70712n2/ )(12A( r )A( 0 )2212()1(0)21rnrAA阶跃信号激励 阶跃信号激励是用来测量系统频响函数中的阶跃信号激励是用来测量系统频响函数中的决定性参数，如决定性参数，如固有频率固有频率 和和阻尼率阻尼率1.一阶系统2.二阶系统n一阶测试系统的阶跃响应函数为一阶测试系统的阶跃响应函数为/1( )ty teln1( )Zy ttZ 1dZdt /( )1ty teln1( )y t两边取对数：t0.632 欠阻尼二阶测试
22、系统的阶跃响应欠阻尼二阶测试系统的阶跃响应严格的理论分析表明，它是以严格的理论分析表明，它是以 的圆频率作衰减的圆频率作衰减振荡。阻尼比振荡。阻尼比 越大，超调量越大，超调量M就越小，振荡波形衰减越快。就越小，振荡波形衰减越快。d d 2d 321nd2121()1ln21ndMT) 1 . 0( 2lnnMMniiU1=ER2Rm/R1(Rm+R2)+RmR24.6 负载效应 实际测量工作中，测量系统和被测对象会产生相互实际测量工作中，测量系统和被测对象会产生相互作用。测量装置构成被测对象的负载。彼此间存在能作用。测量装置构成被测对象的负载。彼此间存在能量交换和相互影响，以致系统的传递函数不再是各组量交换和相互影响，以致系统的传递函数不再是各组成环节传递函数的叠加或连乘。成环节传递函数的叠加或连乘。 ER1R2令令R1=100K,R2=150K,Rm=150K,E=150V,得得:U0=90V,U1=64.3V，误差达误差达28.6%。V VU0=ER2/(R2+R1) V VRm传函、频响函数、静态特性指标含义；传函、频响函数、静态特性指标含义；一阶、二阶动特性参数；不失真测试条件；动一阶、二阶动特性参数；不失真测试条件；动态特性的测试；态特性的测试；理想测试系统的特性：叠加、比例、积分、微理想测试系统的特性：叠加、比例、积分、微分、频率保持性。分、频率保持性。4.4、4.5
