1、7.3 区间估计区间估计 不能反映估计的精度不能反映估计的精度, 这里引入这里引入.,. 对对于于未未知知参参数数除除了了求求出出它它的的点点估估计计外外我我们们还还希希望望估估计计出出一一个个范范围围 并并期期望望知知道道这这个个范范围围包包含含真真值值的的可可信信程程度度,. 这这样样的的范范围围通通常常以以区区间间的的形形式式给给出出 同同时时还还给给出出了了此此区区间间包包含含参参数数真真值值的的可可信信程程度度.这这种种形形式式的的估估计计称称为为区区间间估估计计这这样样的的区区间间即即所所谓谓的的置置信信区区间间121212( ; ), (01), ,(,)(,) ,nnnXF x
2、XXXXXXXXX 设设总总体体的的分分布布函函数数含含有有一一个个未未知知参参数数对对于于给给定定值值若若由由样样本本确确定定的的两两个个统统计计量量和和对对于于任任意意的的满满足足( , )1, 1, 1. 则则称称随随机机区区间间是是 的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间和和分分别别称称为为置置信信水水平平为为的的双双侧侧置置信信区区间间的的置置信信下下限限和和置置信信上上限限为为置置信信水水平平1. 置信区间的定义置信区间的定义1212 (,)(,)1,nnPXXXXXX 说明说明 , , , ( , ). 被被估估计计的的参参数数虽虽然然未未知知 但但它它是是一一个个常常数数
3、没没有有随随机机性性 而而区区间间是是随随机机的的 : 1),(),(2121的本质是的本质是因此定义中下表达式因此定义中下表达式 nnXXXXXXP( , )1, 1( , ). 随随机机区区间间以以的的概概率率包包含含着着参参数数 的的真真值值而而不不能能说说参参数数 以以的的概概率率落落入入随随机机区区间间 : 1),(),(2121还可以描述为还可以描述为另外定义中的表达式另外定义中的表达式 nnXXXXXXP若反复抽样多次若反复抽样多次 (各次得到的样本容量相等各次得到的样本容量相等, 都是都是n )( , ), 每每个个样样本本值值确确定定一一个个区区间间按按伯努利大数定理伯努利大
4、数定理, 在这样多的区间中在这样多的区间中, .%100 ,)%1(100 不不包包含含的的约约占占真真值值的的约约占占包包含含 , 每每个个这这样样的的区区间间或或包包含含的的真真值值或或不不包包含含的的真真值值例如例如 , 1000 0.01, 次次反复抽样反复抽样若若 .10 1000 个个真真值值的的约约为为个个区区间间中中不不包包含含则则得得到到的的 求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤 ( (共共3步步) )1212,:(,; ),().nnXXXWW XXXZ 即即寻寻求求一一个个样样本本的的函函数数其其中中仅仅包包含含待待估估参参数数并并且且的的分分布布已已知知且且不不依依
5、赖赖于于任任何何未未知知参参数数 包包括括2. 置信区间的求法置信区间的求法(1) W构构造造 枢枢轴轴量量121212 (,; ) , 1, (,),(,), ( ,) 1 .nnnaW XXXbPXXXXXX 即即从从得得到到等等价价的的不不等等式式则则其其中中都都是是统统计计量量 那那么么就就是是的的一一个个置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间121, , (,; )1.na bP aW XXXb 即即对对于于给给定定的的置置信信水水平平定定出出两两个个常常数数使使(2), a b确确定定常常数数(3)( ,) 求求出出置置信信区区间间.,1,区间估计精度降低区间估计精度降低可信程度
6、增大可信程度增大间长度增大间长度增大置信区置信区增大增大置信水平置信水平固定固定样本容量样本容量 n.,1区间估计精度提高区间估计精度提高可信程度不变可信程度不变间长度减小间长度减小置信区置信区增大增大样本容量样本容量固定固定置信水平置信水平n 注意注意解解.1 , , , ),(,2221的的置置信信区区间间为为的的置置信信水水平平求求为为未未知知为为已已知知其其中中的的样样本本是是来来自自正正态态总总体体设设 NXXXn , X 因因为为是是的的无无偏偏估估计计(0,1),/XZNn 且且(0,1),/XNn 是是不不依依赖赖于于任任何何未未知知参参数数的的例例1/21, /XPzn /2
7、/2 1,PXzXznn即即 分位点的定义知分位点的定义知由标准正态分布的上由标准正态分布的上 /2/21 ,.XzXznn 于于是是得得的的一一个个置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间这样的置信区间常写成这样的置信区间常写成/2.Xzn 其置信区间的长度为其置信区间的长度为. 22/ zn 1 16, 1, 0.05,n 如如果果在在例例 中中取取,96. 1 025. 02/ zz 查表可得查表可得10.951.96 .16X得得一一个个置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间由一个样本值算得样本均值的观察值由一个样本值算得样本均值的观察值5.20,x 则置信区间为则置信区间为),49
8、. 020. 5( ).69. 5,71. 4(即即1 0.05, 在在例例 中中如如果果给给定定0.040.01 0.95, /XPzzn 则则又又有有0.010.04 0.95,P XzXznn 即即0.010.04 ,0.95. XzXznn 故故也也是是的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间其置信区间的长度为其置信区间的长度为. )(01. 004. 0zzn .1 :的的置置信信区区间间是是不不唯唯一一的的置置信信水水平平为为注注意意 比较两个置信区间的长度比较两个置信区间的长度, 4.08)(01. 004. 02nzznL ,3.922025. 01nznL . 21LL
9、显显然然置信区间短表示估计的精度高置信区间短表示估计的精度高.说明说明: 对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对称的情况标轴对称的情况, 易证取易证取 a 和和 b 关于原点对称时关于原点对称时,能使置信区间长度最小能使置信区间长度最小.今抽今抽 9 件测量其长度件测量其长度, 得数据如下得数据如下 (单位单位: mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 解解/2/21 1 ,XzXznn 根根据据例例 得得的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间0.0259,4,0.05,1.96,147.33
10、3,nzx 由由知知0.95 (144.720,149.946). 的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间为为),16,( NX 服服从从正正态态分分布布设设某某工工件件的的长长度度. 95 的的置置信信区区间间的的置置信信水水平平为为试试求求参参数数 例例2 点估计不能反映估计的精度点估计不能反映估计的精度, 故而本节引入故而本节引入了区间估计了区间估计.求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤 (分三步分三步).1 , )( ),( P有有意意的的即即对对于于任任置置信信水水平平数数具具有有预预先先给给定定的的概概率率它它覆覆盖盖未未知知参参间间置置信信区区间间是是一一个个随随机机区
11、区小 结 从一批钉子中抽取从一批钉子中抽取16枚枚,测得其长度为测得其长度为(单位单位: cm) 2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11.设钉长分布为正态分布，若已知设钉长分布为正态分布，若已知 = 0.01(cm), 求总求总体期望值体期望值的的90置信区间置信区间.解解 已知时已知时, 的置信水平为的置信水平为1 的置信区间为的置信区间为这里这里2.125,x 0.01, 4,n 0.1, 0.051.645,z /2/2,(2.1209,2.1291).xzxznn /2/2,XzXznn
