1、 美国第二十任总统伽菲尔德美国第二十任总统伽菲尔德的一个故事的一个故事在数学史上被在数学史上被传为佳话。传为佳话。 一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景。他走着走着，突然发现附近有两个小孩正在谈论步，欣赏黄昏的美景。他走着走着，突然发现附近有两个小孩正在谈论着什么着什么。他。他循声向两个小孩走去，只见一个小男孩正俯着身子用树枝在循声向两个小孩走去，只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是地上画着一个直角三角形。于是中年人中年人便问他们在干什么？只见那个小便问他们在干什么？只见那
2、个小男孩头也不抬地说：男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和和4，那么斜边长为多少呢？，那么斜边长为多少呢？” 他他答到：答到：“是是5呀。呀。”小男孩又问道：小男孩又问道：“如果如果两条直角边分别为两条直角边分别为5和和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”他他不加思索地回答到：不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于那斜边的平方一定等于5的平方加上的平方加上7的平方。的平方。”小小男孩又说道：男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？先生，你能说出其中的道理吗？”他他一时语塞，无
3、法解释一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。了，心理很不是滋味。 于是于是中年人中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。经过反复的思考与演算，他终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的经过反复的思考与演算，他终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。证明方法。他就是后来的他就是后来的美国第二十任总统伽菲尔德美国第二十任总统伽菲尔德。 中国最早的一部数学著作中国最早的一部数学著作周髀算经周髀算经的开头，记载着一段对话的开头，记载着一段对话，就提到了，就提到了勾股定理勾股定理，成书不晚于公元前成书不晚于公元前2世纪的西汉时期世纪
4、的西汉时期。就是常说。就是常说的的“勾勾3，股，股4，弦，弦5” 。相传4000多年前大禹在大禹在治水的时候就总结出来治水的时候就总结出来了了。 勾股定理在西方被称为勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯是毕达哥拉斯是公元前五世纪公元前五世纪的的古希腊数学家古希腊数学家。这位善于观察的毕达哥拉斯这位善于观察的毕达哥拉斯在参加宴会时，从在参加宴会时，从主人家地面上那主人家地面上那些排列规则、美丽的方形图案，些排列规则、美丽的方形图案，想到它们和想到它们和“数数”之间的关系，经过思考，发现之间的关系，经过思考，发现了这个定理。了这个定理。勾股定理勾股定理 古今勾股定理的证明方
5、法很多，到目前为古今勾股定理的证明方法很多，到目前为止，大概有止，大概有400多种，在这里仅举几个比较经多种，在这里仅举几个比较经典的证明方法。典的证明方法。勾股定理证明勾股定理证明 赵爽赵爽弦图弦图刘徽的刘徽的青朱出入图青朱出入图欧几里得欧几里得勾股定理证明勾股定理证明 美国总统的证明美国总统的证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理1.数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理主要靠合情推理,而而合情推理得到的结论可靠合情推理得到的结论可靠吗？应该怎样确定吗？应该怎样确定其准确性呢？其准确性呢？2. 数学中证明的方法有哪些呢？数学中证明的方
6、法有哪些呢？思考：思考：证明:观察归纳：本题是如何由已知条件证明出结论的 正确性的？已已知知结结论论定理 归纳：归纳： 利用已知条件和某些数学定义、定理、利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论或所要解决的问题的结果，出所要证明的结论或所要解决的问题的结果，这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法综合法。(顺推证法、由因导果法顺推证法、由因导果法)条件条件结论结论推理论证推理论证条件条件定理定理 公理公理定义定义P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q例例1:1:如图如图, ,ABCABC在平面在平面外外, , 求
7、证求证:P,Q,R:P,Q,R三点共线三点共线. .,RACQBCPABA AB BC CP PQ QR R v分析：立体几何中证明三点共线或三线共点一般分析：立体几何中证明三点共线或三线共点一般要用公理要用公理2 2。公理。公理2 2的内容是什么的内容是什么? ?v此题要证明三点共线，需要说明这三点均在两个此题要证明三点共线，需要说明这三点均在两个平面内，则这三点一定在两平面的交线上。平面内，则这三点一定在两平面的交线上。.，且 ，ACRBCQABPRQPRACQBCPAB证明：ABCRQP平面，的公共点与平面是平面，ABCRQP三点共线，的交线上，即与平面在平面三点，有一条交线，所以因为两
8、平面相交有且只RQPABCRQP222)(|21:求证,设,中在2例babaSbCAaCBABCABC分析：由已知条件和结论我们联想到数量积定义分析：由已知条件和结论我们联想到数量积定义和三解形的面积公式：和三解形的面积公式：CCCabS2cos1sin利用sin21由数量积定义和上公式结合结论探求证明思路由数量积定义和上公式结合结论探求证明思路证明：CbaSABCsin21）cos1（212CbaSABC222)(21baba2)（121bababaSABCbabaCcos例例3 3：在：在中，三个内角、对中，三个内角、对应的边分别为应的边分别为a a、b b、c c，且、成等，且、成等差数
9、列，差数列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边三角形为等边三角形分析：把题中的文字语言转化为符号语分析：把题中的文字语言转化为符号语言：言：A+C=2BA+C=2B，b b2 2 =ac=ac由（由（1 1）联想到内角各能得到什么？）联想到内角各能得到什么？由（由（2 2）联想到三角形什么知识？余弦定理，）联想到三角形什么知识？余弦定理，二者联系起来能得到什么结论？二者联系起来能得到什么结论？证明：证明： 由由A A，B B，C C成等差数列，有成等差数列，有 2B=A+C 2B=A+C CBAABCCBA的内角，所以为，因为由，得由，得3B由，由，a a，b b，c
10、 c成等比数列，有成等比数列，有acb 2由余弦定理及，可得由余弦定理及，可得accaBaccab22222cos2再由，得再由，得0222）即（caacacca因此，因此，a=ca=c从而有从而有 A=CA=C由，得由，得3CBA 综合法综合法 由因导果由因导果 ABC为等边三角形为等边三角形符号语言符号语言图形语言图形语言文字语言文字语言学会语言转换学会语言转换找出隐含条件找出隐含条件.表示出来把其中的隐含条件明显,还要通过细致的分析.言等形语或把符号语言转换成图,语言转换成符号语言如把文字,往往先作语言转换,解决数学问题时 【巩固练习】2cossincos44利用已知条件和某些数学定义、
11、公理、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等定理等, ,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证, ,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立, ,这种证明方这种证明方法叫做法叫做综合法。综合法。用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. .则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为: :1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q小结小结综合法的定义综合法的定义: :特点：由因导果特点：由因导果必做题：教材 第42页 练习 3， 第44页 习题2.2 A组 1,3选做题：教材 第42页 练习 2
