1、第十三章第十三章 幂级数幂级数形如：形如：2010200()()()nnaa xxaxxaxx的函数项级数的函数项级数00()nnnaxx称为幂级数。称为幂级数。00 x 时为时为20120nnnnxaa xa xa x主要讨论后者主要讨论后者 1. 1.收敛域？收敛域？ 2. 2.一致收敛域？一致收敛域？ 3. 3.和函数的性质？和函数的性质？ 4. 4.函数展成幂函数函数展成幂函数 ？“无穷次无穷次”的多项式。的多项式。 幂级数是一类特殊的函数项级数。幂级数是一类特殊的函数项级数。多项式的推广多项式的推广特别特别 13.1 13.1 幂级数的收敛半径与收敛域幂级数的收敛半径与收敛域问题：问
2、题：（阿贝尔第一定理）（阿贝尔第一定理） 0nnna x在点在点 收敛，收敛，1(0)x 1xx 则对满足不等式则对满足不等式的一切点的一切点x，幂级数幂级数 都绝对收敛；都绝对收敛；定理定理13.1i) 若幂级数若幂级数0nnna x0nnna x在点在点 发散发散， 则对满足不等式则对满足不等式的一切点的一切点x，幂级数幂级数 都发散。都发散。ii) 若幂级数若幂级数2(0)x 2xx0nnna x定理中的定理中的r称为幂级数的收敛半径。收敛区间为称为幂级数的收敛半径。收敛区间为00(, )(,)r rxr xr或 对任意给定的幂级数，必存在唯一的对任意给定的幂级数，必存在唯一的r（r满满
3、 足足0)r 使得幂级数在使得幂级数在xr绝对收敛，在绝对收敛，在xr发散。发散。定理定理13.2考察幂级数考察幂级数2011(1); (2); (3).nnnnnnxxxnn 1）收敛半径都是）收敛半径都是1；3） (1)在在x=1 (2)( ), ) 在x1收敛2 的收敛域为 1 1在x=1发散 (3),( ),x 在1均收敛3 的收敛域为 1 1总之：对每一个幂级数，都存在一收敛半径总之：对每一个幂级数，都存在一收敛半径r，使得级数在，使得级数在(, )r r内绝对收敛。但在两个端点的收敛性要做专门的讨论。内绝对收敛。但在两个端点的收敛性要做专门的讨论。2）都在（）都在（-1，1）绝对收
4、敛；）绝对收敛；例例1的收敛半径的收敛半径均发散均发散，故，故(1)的收敛域为的收敛域为(-1,1).若幂级数：若幂级数：0nnna x的相邻两项数之比满足条件1limnxnaa则幂级数的收敛半径则幂级数的收敛半径 r =1(0时理解为r=+ , =+ 时理解为r=0).求求 幂级数的收敛半径与收敛域。幂级数的收敛半径与收敛域。111.11 2lim112.2nxnnn级数为级数为11nnn收敛，故收敛域为收敛，故收敛域为 2,2).解解 : 由由故收敛半径等于故收敛半径等于 2。当。当x=2时，级数为时，级数为11nn，发散；当，发散；当x=-2时时例例2定理定理13.211( )2nnxn
5、求求1213253712222nnnxxxxx的收敛半径与收敛域的收敛半径与收敛域20na不能用定理不能用定理13.3计算收敛半径计算收敛半径21221212limlim22.2nnnnnnxxxx因此当因此当22121,;12xxx即时 级数绝对收敛 当2即即1,2x 时 级数发散,1x=时级数一般项不趋向与02故级数发散。于是，级数收敛半径为故级数发散。于是，级数收敛半径为12收敛域为收敛域为11,22解：解： 这个幂级数的偶次幂的系数这个幂级数的偶次幂的系数但可以用达朗贝尔判别法直接求收敛区域：但可以用达朗贝尔判别法直接求收敛区域：例例30r ，则对任意，则对任意b b：0,br幂级数在
6、幂级数在, b b(2)(2)若幂级数的收敛半径为若幂级数的收敛半径为0r ，且幂级数在，且幂级数在0, r(3)(3)若幂级数的收敛半径为若幂级数的收敛半径为,0r一致收敛。一致收敛。 幂级数在什么地方一致收敛。幂级数在什么地方一致收敛。定理定理13.413.4（阿贝尔第二定理）（阿贝尔第二定理）(1)(1)若幂级数的收敛半径为若幂级数的收敛半径为一致收敛；一致收敛；幂级数在幂级数在一致收敛；一致收敛；0,r 且幂级数在且幂级数在收敛，则收敛，则r则幂级数在则幂级数在r收敛，收敛，13.2 13.2 幂级数的性质幂级数的性质(),nnnna xa bxb当而而0nnna b收敛，根据一致收敛
7、的收敛，根据一致收敛的M判别法，知幂级数判别法，知幂级数0nnna x在在, b b一致收敛。一致收敛。00nnnnnnnxa xa rr,其中其中nxr对任意对任意0, xr1,0,0,1, 2,nxxrnr根据一致收敛的阿贝尔判别法知根据一致收敛的阿贝尔判别法知0nnna x在在0, r一致收敛。一致收敛。证明证明 （1）由于）由于（2）已知）已知0nnna r收敛，而收敛，而关于关于 n 单调下降，且单调下降，且推论推论1 若幂级数若幂级数0nnna x的收敛半径为的收敛半径为0r ，则它的和，则它的和(, )r r证明：证明： 000, r+令b=则2xxr rxbr由定理由定理13.
8、4知，幂级数在知，幂级数在, b b一致收敛，而一致收敛，而nna x在在, 连续，因此和函数在连续，因此和函数在, b b连续，由连续，由0,xr r 的任意性，知和的任意性，知和, r r连续连续函数在函数在连续。连续。连续，连续，特别地在特别地在0 x函数在函数在推论推论2 若幂级数的收敛半径为若幂级数的收敛半径为0r 且幂级数在且幂级数在 r 收敛，则收敛，则0, r00lim.nnnnxrnna xa r连续。特别地连续。特别地它的和函数在它的和函数在若幂级数若幂级数0nnna x的收敛半径为的收敛半径为 r，和函数为，和函数为S(x)，即，即02012( ),nnnnnS xa x
9、aa xa xa xrxr 则幂级数在收敛区域区间内部可以逐项微商与逐项积分，即则幂级数在收敛区域区间内部可以逐项微商与逐项积分，即1121123( )23,nnnnnS xna xaa xa xna xrxr 且（且（2)，(3) 中的幂级数收敛半径仍然是中的幂级数收敛半径仍然是 r 100231120( )11,231xnnnnnaS t dtxnaaa xxxa xrxrn ( 3 )( 1 )( 2 )定理定理13.5（任意次可微）（任意次可微）0nnna x的收敛半径为的收敛半径为0,r 则其和函数则其和函数 S x在在, r r内任意次可微，且内任意次可微，且 kSx等于等于0nn
10、na x逐项微商次所得的幂级数。逐项微商次所得的幂级数。 11,.kn knn kSxn nnka xrxr 若幂级数若幂级数定理定理13.60nnna x0nnna x幂级数幂级数 在收敛区间内部可以逐项微商与逐项积分的在收敛区间内部可以逐项微商与逐项积分的,对每个幂级数，都存在收敛半径对每个幂级数，都存在收敛半径总结总结(0) rr幂级数幂级数 在在(-r,+r)内绝对收敛，在内绝对收敛，在 发散发散,xr但在要具体分析；但在要具体分析；(i)xr(ii)(iii)0nnna x且收敛半径不变；且收敛半径不变；幂级数幂级数 在收敛区间内部所表示的函数是任意次可在收敛区间内部所表示的函数是任
11、意次可微的。微的。0nnna x前面的讨论，都是从幂级数出发，看它所表示的前面的讨论，都是从幂级数出发，看它所表示的函数（和函数）具有什么性质。本节从函数出发看函数（和函数）具有什么性质。本节从函数出发看它能否用幂级数表示。从而用幂级数这个工具研究它能否用幂级数表示。从而用幂级数这个工具研究函数。函数。 000,nnnfxaxxrxxr 0nnna x, r r收敛到函数收敛到函数 f x 0,nnnf xa xrxr 如果幂级数如果幂级数在在1. 1.满足什么条件满足什么条件, ,就可以展开成幂级数？就可以展开成幂级数？2. 2.若可以展开的话，展开式是什么形式？若可以展开的话，展开式是什么
12、形式？13.313.3函数的幂级数展开函数的幂级数展开定义定义问题：问题：即即则则称称 f x在在可以展开成幂级数可以展开成幂级数；, r r如果如果则则称称 f x在在可以展开成幂级数可以展开成幂级数。00,xr xr( (唯一性唯一性) ) fx在在,0r rr那么必有那么必有20120( ),kkkknf xa xaax a xa xrx r （ii ii）如果函数）如果函数( )f x在在00,xr xr(0)r 可以展开成可以展开成00010000( )()()(),kkkkkf xa x xaa x xa x xxrxxr （i i）如果函数）如果函数可以展开可以展开成幂级数成幂级
13、数( )1(0)!kkafk幂级数展开的唯一性定理定理13.713.7幂级数幂级数那么系数那么系数ka满足满足( )01()!kkafxk( )( )20(0)(0)(0)(0)(0)!2!kkkknfffxffxxkk为为( )f x的麦克劳林级数，称的麦克劳林级数，称( )000( )20000000( )()!( )1( )( )()( )()()2!kkkkkfxx xkfxf xf xx xfxx xx xk为为 f x在在0 x的泰勒级数。的泰勒级数。Taloy级数与麦克劳林级数通常称通常称( )f x若若, r r一致有界，即存在一致有界，即存在0M ，使，使 |,0,1,2,n
14、fxMxr rn 则则 f x在在, r r可以展开成幂级数可以展开成幂级数 00.!nnnffxxrxrn定理定理13.813.8的各阶微商在的各阶微商在证明：用拉格朗日余项证明：用拉格朗日余项 111( )0 ().(1)!(1)! nnnnxfR xxMnrxrnn初等函数的幂级数展开（i i） e x 的展开式：的展开式：2312!3!nxxxxexn 0,!nnxxn （ii）sin x 和和 con x 的展开式：的展开式：35721sin( 1)3!5!7!(21)!kkxxxxxxk 210( 1),(21)!kkkxxk 2462cos1( 1)2!4!6!(2 )!kkxx
15、xxxk 20( 1),(2 )!kkkxxk （iii iii）幂函数幂函数 的展开式：的展开式：(1)x2(1)(1)12!xxx (1)(1)!nnxn 1(1)(1)1,11!nnnxxn （iv）对数函数）对数函数 ln ( 1 + x ) 的展开式的展开式：2341ln(1)( 1)234nnxxxxxxn11( 1),11nnnxxn 已知已知2011, 111nnnxxxxxx 根据逐项微分定理，得根据逐项微分定理，得：12111nnnxx例例3 32311234,nxxxnx 11.x 两边乘以两边乘以x得得212341234, 11.nnnxnxxxxxxnxx 再逐项微商
16、，有再逐项微商，有21312222321111 234, 11.nnnxn xxxxxn xx 这样，通过逐项微分，我们可以得到许多新的级数展开这样，通过逐项微分，我们可以得到许多新的级数展开12x 得得21112,12,22nnnnnn还可以计算很多特殊数项级数的和。还可以计算很多特殊数项级数的和。在上面两个级数中，令在上面两个级数中，令二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论Rx 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .内容小结内容小结 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和
17、映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和nnnxa0四、函数的幂级数和付式级数展开法四、函数的幂级数和付式级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1. 将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x1. 函数的幂级数展开法习题例例1. 若级数11nnnnba 与均收敛 , 且nnnbca, ),2,
18、1(n证明级数1nnc收敛 .证证: nnnnabac0, ),2,1(n则由题设)(1nnnab 收敛)(1nnnac 收敛1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收敛例2. 设正项级数1nnu和1nnv12)(nnnvu也收敛 .提示提示: 因,0limlimnnnnvu存在 N 0,nnnnvvuu22,又因)(222nnvu)()(2Nnvunn利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛, 证明级数当n N 时2)(nnvu 例3. 设级数1nnu收敛 , 且,1limnnnuv1nnv是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛 .,) 1(nunn问级数提
19、示提示: 对正项级数,由比较判别法可知1nnv级数1nnu收敛 ,1nnvnnnuvlim收敛,级数发散 .nnn) 1(lim11例如, 取nnvnn1) 1(例例4. 求幂级数.!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为),(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x例例5.) 1(31的收敛半径求幂级数nnnnxn解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx121
20、12122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原级数 =1)(kkx1)(kkx 其收敛半径4121,minRRR注意: 补充题例1.设)(xf0,arctan12xxxx0,1x, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,1241) 1(nnn的和. ( 01考研 )解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求级数02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1
21、212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f21400! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sin例2、 求级数.) 1()4(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x = 0 时上式也正确,. )2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxS例3、 求下列幂级数的和函数：级数发散,(4)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd110作业 P93:2.3 P103:3.4.5.6 P110:1.2.3.
