1、第五章第五章 微分方程模型微分方程模型 5.1 传染病模型传染病模型5.2 经济增长模型经济增长模型5.3 正规战与游击战正规战与游击战5.4 药物在体内的分布与排除药物在体内的分布与排除5.5 香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用5.6 人口预测和控制人口预测和控制5.7 烟雾的扩散与消失烟雾的扩散与消失5.8 万有引力定律的发现万有引力定律的发现动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程. 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律. 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态. 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段. 根据函数及其变化率
2、之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数.微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设. 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程.5.1 传染病模型传染病模型 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程. 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律. 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻. 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段.不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.
3、背景背景 与与问题问题传染病的极大危害传染病的极大危害(艾滋病、艾滋病、SARS、)基本基本方法方法 已感染人数已感染人数 (病人病人) i(t) 每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1假设假设ttititti)()()(若有效接触的是病人若有效接触的是病人,则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假
4、设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为 .)(),(tsti 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为 , 且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病.建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接触率接触率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率) tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大最大模型模型3
5、传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染.增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(建模建模 日接触率日接触率1/ 感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数.0)0()1(iiiiidtdi)11 (ii / 1,01,11)(i)11 (iidtdi模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值1感染期内感染期内有效接触使健康者感有效接触使健康者感染的人数不超
6、过原有的病人数染的人数不超过原有的病人数1-1/ i0模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/ i0t 1di/dt 1, i01/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)单调降至单调降至01/ 阈值阈值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率) 卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率) 医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/ 的估计的估计0ln1000sssis 降低降低 s0提高提高 r0 1
7、000ris 提高阈值提高阈值 1/ 降低降低 (= / ) , 群体免疫群体免疫忽略忽略i0模型模型4预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 降低日接触率降低日接触率 提高日提高日治愈率治愈率 提高移出比例提高移出比例r0 以最终未感染比例以最终未感染比例s 和病人比例最大值和病人比例最大值im为度量指标为度量指标. 1/ s0i0s i 10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30.30.700
8、.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200 , s0 (r0 )s , im s , im 模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例记被传染人数比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xx 03) 经济增长的条件经济增长的条件)1 (10120yfLyf11)1(000)1(1)(teKKfty 劳动力相对增长率劳动力相对增长率)()(
9、000LKfyfLLyftZ0/100)1(00teKKdtdydtdZ0/0dtdZ0/, 1/000dtdZKK当每个劳动力的产值每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长增长dZ/dt03) 经济增长的条件经济增长的条件dtdyyfdtdZ10劳动力增长率小于初始投资增长率劳动力增长率小于初始投资增长率5.3 正规战与游击战正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争战争分类：正规战争，游击战争，混合战争.只考虑双方兵力多少和战斗力强弱只考虑双方兵力多少和战斗力强弱.兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加.战斗力与射击次数及命
10、中率有关战斗力与射击次数及命中率有关.建模思路和方法为用数学模型讨论社会建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例领域的实际问题提供了可借鉴的示例.第一次世界大战第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型提出预测战役结局的模型. .0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx一般模型一般模型 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力. 每方非战斗减员率与本方兵力成正比每方非战斗减员率与本方兵力成正比. 甲乙双方的增援率为甲乙双方的增援率为u(t), v(t).f, g 取决于战争类型取决于战争类型
11、x(t) 甲方兵力，甲方兵力，y(t) 乙方兵力乙方兵力模型模型假设假设模型模型)()(tvybxytuxayx正规战争模型正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战双方均以正规部队作战xxprbbxg, 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxf(x, y)= ay, a 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率a=ry py, ry 射击率，射击率， py 命中率命中率)(ty)(tx0ak0k0kbk0k正规战争模型正规战争模型为判断战争的结局，不求为判断战争的结局
12、，不求x(t), y(t)而在相平面上讨论而在相平面上讨论 x 与与 y 的关系的关系.00)0(,)0(yyxxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk时平方律平方律 模型模型甲方胜 0k平局0kyyxxprprabxy200乙方胜乙方胜游击战争模型游击战争模型双方都用游击部队作战双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援yrxxxxssrprddxyyxg/,),(00)0(,)0(yyxxdxyycxyxf(x, y)= cxy, c 乙方每
13、个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率c = ry pyry射击率射击率py 命中率命中率py=sry /sxsx 甲方活动面积甲方活动面积sry 乙方射击有效面积乙方射击有效面积)(tycm0dm)(tx0m0m0m游击战争模型游击战争模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方胜时000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00线性律线性律 模型模型甲方胜 0m平局 0mcddxdy)(ty)(tx0乙方胜, 0n平局, 0n甲方胜, 0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx混合战争模型混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队甲方为游击部队，乙方为正规部
14、队020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方胜0n100)/(200 xy02002xsrsprxyryyxxx乙方必须乙方必须10倍于甲方的兵力倍于甲方的兵力!设设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)5.4 药物在体内的分布与排除药物在体内的分布与排除 药物进入机体形成药物进入机体形成血药浓度血药浓度( (单位体积血液的药物量单位体积血液的药物量).). 血药浓度需保持在一定范围内血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计给药方案设计. . 药物在体内吸收、分布和排除过程药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学药物动力学
15、. . 建立建立房室模型房室模型药物动力学的基本步骤药物动力学的基本步骤. . 房室房室机体的一部分，药物在一个房室内均匀机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布分布( (血药浓度为常数血药浓度为常数) )，在房室间按一定规律转移，在房室间按一定规律转移. . 本节讨论本节讨论二室模型二室模型中心室中心室( (心、肺、肾等心、肺、肾等) )和和周边室周边室( (四肢、肌肉等四肢、肌肉等).).)()(02211131121tfxkxkxktx模型模型假设假设 中心室中心室(1)和周边室和周边室(2), ,容积不变容积不变. . 药物在房室间转移速率及向体外排除速率药物在房室间转移速率及向体外排除
16、速率与该室血药浓度成正比与该室血药浓度成正比. . 药物从体外进入中心室，在二室间相互转移药物从体外进入中心室，在二室间相互转移, , 从中心室排出体外从中心室排出体外. .模型建立模型建立2 , 1)()(iVtctxiii容积浓度药量给药速率0f2211122)(xkxktx 中心室中心室周边室周边室给药给药排除排除)(0tf12k21k13kc1(t), x1(t) V1c2(t), x2(t) V2转移转移tttteBeAtceBeAtc222111)()(1321132112kkkkk2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc
17、2 , 1),()(itcVtxiii线性常系数线性常系数非齐次方程非齐次方程对应齐次对应齐次方程通解方程通解模型建立模型建立)()()()()()()(212022121101tttteeVkDtcekekVDtc0)0(,)0(,0)(21010cVDctf几种常见的给药方式几种常见的给药方式1. .快速静脉注射快速静脉注射t=0 瞬时瞬时注射剂量注射剂量D0的药物进入中心室的药物进入中心室, ,血血药浓度立即为药浓度立即为D0/V12211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktc1321132112kkkkk给药速率给药速率 f0(t)
18、 和初始条件和初始条件12211312121221131212213210122221130111)(,)(0,)(0,)(BVkkkVBAVkkkVATtVkkkkeBeAtcTtVkkeBeAtctttt0)0(, 0)0(,)(2100ccktf2. .恒速静脉滴注恒速静脉滴注2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktct T, c1(t)和和 c2(t)按指数规律趋于零按指数规律趋于零0 t T 药物以速率药物以速率k0进入中心室进入中心室000010)0()(Dxxktx tkttEeBeAetc01)(1tkeDtx0100)
19、(tkekDtxktf010100010)()(3. .口服或肌肉注射口服或肌肉注射相当于药物相当于药物( 剂量剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室先进入吸收室，吸收后进入中心室.吸收室药量吸收室药量x0(t)2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVVckktcEBAcc,0)0(, 0)0(210010 xkf )(0tx吸收室吸收室中心室中心室D0ttBeAetctc)()(11参数估计参数估计各种给药方式下的各种给药方式下的 c1(t), c2(t) 取决于参数取决于参数k12, k21, k13, V1,V2t=0快速静脉注射快速静脉
20、注射D0 , ,在在ti(i=1,2,n)测得测得c1(ti)()()()(2121101ttekekVDtc充分大设t ,由较大的由较大的 用最小二乘法定用最小二乘法定A A, , )(,1iitct由较小的由较小的 用最小二乘法定用最小二乘法定B, , )(,1iitctttAeeVkDtc)()()(12101211312kkkBAVDc101)0(011130)(dttcVkD0,21cct1321132112kkkkkBAVkD1130ABBAk)(131321kk参数估计参数估计进入中心室的药物全部排除进入中心室的药物全部排除 建立建立房室模型房室模型, ,研究体内研究体内血药浓度
21、血药浓度变化过程变化过程, ,确定转确定转移速率、排除速率等参数移速率、排除速率等参数, ,为制订给药方案提供依据为制订给药方案提供依据. . 机理分析确定模型形式，测试分析估计模型参数机理分析确定模型形式，测试分析估计模型参数. .药物在体内的分布与排除药物在体内的分布与排除房室模型：房室模型：一室模型一室模型二室模型二室模型多室模型多室模型非线性非线性( (一室一室) )模型模型12111)(ckcktcc1较小时近似于线性较小时近似于线性 一级一级排除过程排除过程如如c1较大时近似于常数较大时近似于常数 零级零级排除过程排除过程 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系过滤嘴的作用与它的材
22、料和长度有什么关系? ? 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中什么因素影响大，什么因素影响小什么因素影响大，什么因素影响小? ?模型模型分析分析 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型吸烟过程的数学模型. . 设想一个设想一个“机器人机器人”在典型环境下吸烟，在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境在整个过程中不变吸烟方式和外部环境在整个过程中不变. .问题问题5.5 香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用模型模型假设假设定性分析定性分析QvaMl,2?,1Qlb?Qu1）l1烟草长，烟草长， l2过滤嘴长，过滤嘴长，
23、l = l1+ l2， 毒物量毒物量M均匀分布，密度均匀分布，密度w0=M/l1 .2）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是穿行的数量比是a :a, a +a=1.3）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的毒物的(单位时间单位时间)吸收率分别是吸收率分别是b和和 .4）烟雾沿香烟穿行速度是常数）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃，香烟燃烧速度是常数烧速度是常数u， v u.Q 吸一支烟毒物进入人体总量吸一支烟毒物进入人体总量)()(xxqxqlxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(ulTdttlqQT/
24、,),(01模模型型建建立立xx)(xq)(xxqxv0 x1llt=0, x=0，点燃香烟，点燃香烟0)0 ,(wxw000)0(uwHaHqq(x,t) 毒物流量毒物流量w(x,t) 毒物密度毒物密度1) 求求q(x,0)=q(x)vx,)(,0,)(11lxlxqlxxbq流量守恒流量守恒),()(0tutuwtHHlxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(t 时刻，香烟燃至时刻，香烟燃至 x=ut1) 求求q(x,0)=q(x)2) 求求q(l,t)lxlxqvlxxqv
25、bdxdq11),(0),(lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)(11)(),(1111lxlutlllxututxx),(),(txwttxw3) 求求w(ut,t)考察考察 t内毒物密度的增量内毒物密度的增量tvtxqb),(单位长度烟雾毒物被吸收部分单位长度烟雾毒物被吸收部分)vutxbetaHtxq)()(),(),()(tutuwtH0)()0 ,(),(wxwetutauwvbtwvutxbaaaeawtutwvbuta1,1),(0vabutvbutvlvblaeeeeaauw210uldttlqQ/01),(vlvutlbeetutauwtlq21
26、)(),(),(vbutaaeawtutw01),(rervblarr1)(,1),(2raMeQvl4) 计算计算 Qvblavleebavaw1201Q 吸一支烟毒物进入人体总量吸一支烟毒物进入人体总量11vblar结果结果分析分析),(2raMeQvlrervblarr1)(,12/1)(rr vblaaMeQvl2112烟草烟草为什么有作用为什么有作用?1）Q与与a,M成正比，成正比， aM是毒物集中在是毒物集中在x=l 处的吸入量处的吸入量2) 过滤嘴因素，过滤嘴因素， , l2 负指数负指数作用作用vle2vlaMe2是毒物集中在是毒物集中在x=l1 处的吸入量处的吸入量3） (r
27、) 烟草的吸收作用烟草的吸收作用b, l1 线性线性作用作用vblavbleebavawQ12021vlbeQQ2)(21vblavleebavawQ12011带过滤嘴带过滤嘴不带过滤嘴不带过滤嘴21QQb结果结果分析分析4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0, b, a, v, l 均相同，吸至均相同，吸至 x=l1扔掉扔掉.提高提高 -b 与加长与加长l2，效果相同，效果相同.香烟过滤嘴的作用香烟过滤嘴的作用 在基本合理的简化假设下，用精确的数学工具在基本合理的简化假设下，用精确的数学工具解决一个看来不易下手的实际问题解决一个看来不易下手的实际问题. 引入两
28、个基本函数：流量引入两个基本函数：流量q(x,t)和密度和密度w(x,t)，运用物理学的守恒定律建立微分方程，构造动运用物理学的守恒定律建立微分方程，构造动态模型态模型. 对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎实际的结论实际的结论.背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0
29、 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长5.6 人口预测和控制人口预测和控制做出较准确的预报做出较准确的预报 建立人口数学模型建立人口数学模型 指数增长模型指数增长模型马尔萨斯马尔萨斯1798年年提出提出常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1 (0 x(t) 时刻时刻t的的人口人口基本假设基本假设 : 人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxtrextx)()(0trx)1 (0随着时间增加
30、，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长. 与常用公式的一致与常用公式的一致rtextx0)( ?指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合. 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代. 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测. 不符合不符合1919世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律. . 不能预测较长期的人口增长过程不能预测较长期的人口增长过程. .1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r不是常数不是常数
31、( (逐渐下降逐渐下降) )阻滞增长模型阻滞增长模型逻辑斯蒂逻辑斯蒂( (Logistic) )模型模型人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大且阻滞作用随人口数量增加而变大假设假设) 0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1 ()(mxxrxrr是是x的减函数的减函数mxrs 0)(mxrrxdtdxxxrdtdx)(dx/dtx0 xmxm/
32、2x txxxemmrt( )()110tx0 x增加先快后慢增加先快后慢xmx0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型( (Logistic模型模型) )1 (mxxrx)1()(mxxrxr指数增指数增长模型长模型Logistic 模型的应用模型的应用 经济领域中的增长规律经济领域中的增长规律( (耐用消费品的售量耐用消费品的售量).). 种群数量模型种群数量模型 (鱼塘中的鱼群鱼塘中的鱼群, 森林中的树木森林中的树木).S形曲线形曲线参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数预报，必须先估计模型参数 r 或或 r, xm .模
33、型的参数估计、检验和预报模型的参数估计、检验和预报 arty指数增长模型指数增长模型rtextx0)(阻滞增长模型阻滞增长模型)1 (mxxrxdtdxsxrymxrstxxxdtdxy,/0ln,lnxaxy由统计数据用由统计数据用线性最小二乘法线性最小二乘法作参数估计作参数估计例：美国人口数据例：美国人口数据(百万百万) 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 2000 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 txr =0.2022/10年，x0 =6.0450 模型的参数估计、检验和预报模型的参数估计、检验和
34、预报 指数增长模型指数增长模型阻滞增长模型阻滞增长模型r=0.2557/10年，xm =392.0886 年年实际实际人口人口计算人口计算人口(指数增长模型指数增长模型)计算人口计算人口 (阻滞增长模型阻滞增长模型)17903.96.03.918005.37.45.01960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000422.10510152025010020030040050005101520050100150200250300指数增长模型指数增长模型阻滞增长模型阻滞增长模型模型检验模
35、型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口年美国人口/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx误差不到误差不到3%与实际数据与实际数据(2000年年281.4)比较比较=274.5模型的参数估计、检验和预报模型的参数估计、检验和预报 为做模型检验在参数估计时未用为做模型检验在参数估计时未用2000年实际数据年实际数据模型应用模型应用加入加入2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重新估计模型参数r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0预报美国预报美国2010年的人口年的人口考虑年龄结构和生育模式的人口模型考虑年龄结构和
36、生育模式的人口模型)(),(,0),0(tNtrFtFm,),(rFtrp 年龄分布对于人口预测的重要性年龄分布对于人口预测的重要性. 只考虑自然出生与死亡，不计迁移只考虑自然出生与死亡，不计迁移.人口人口发展发展方程方程F(r,t)人口分布函数人口分布函数 (年龄年龄r的人口的人口)p(r,t)人口密度函数人口密度函数N(t)人口总数人口总数rm() 最高年龄最高年龄rdstsptrF0),(),(),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口发展方程人口发展方程死亡率),(trdrtrp),(人数年
37、龄,drrrt死亡人数内),(dttt人数年龄,11drdrrdrrdtt1drdt 一阶偏微分方程一阶偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(1),(),(trptrtprp人口发展方程人口发展方程)(0rp)(tf0trrt rt rt )(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(0),()0 ,(0rrprp0),(), 0(ttftp定解定解条件条件已知函数已知函数(人口调查人口调查)生育率生育率(控制手段控制手段)21),(),(),()(rrd
38、rtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率生育率 f(t) 的分解的分解性别比函数女性 )(),(trk生育数女性 )(),(trb育龄区间,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 总和生育率总和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口控制系统人口控制系统)(t总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(trh生育模式
39、生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp 正反馈系统正反馈系统 滞后作用很大滞后作用很大)(t输入输入输入输入输出输出反馈反馈mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/ )()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指数人口指数1）人口总数）人口总数2）平均年龄）平均年龄3）平均寿命）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按时刻出生的人，死亡率按 (r,t) 计算的平均存活时间计算的平均存活时间4）老龄化指数）老龄化指数控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控制 (t)不过
40、高不过高5.7 烟雾的扩散与消失烟雾的扩散与消失现象现象和和问题问题 炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形 成圆形不透光区域成圆形不透光区域. 不透光区域不断扩大，然后区域边界逐不透光区域不断扩大，然后区域边界逐 渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失. 建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分 析消失时间与各因素的关系析消失时间与各因素的关系.问题问题分析分析 无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程， 用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化. 观察到的烟
41、雾消失与烟雾对光线的吸收、观察到的烟雾消失与烟雾对光线的吸收、 以及仪器对明暗的灵敏程度有关以及仪器对明暗的灵敏程度有关.Ckgradq模型模型假设假设1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风 的影响；扩散服从扩散定律的影响；扩散服从扩散定律.2）光线穿过烟雾时光强的相对减少与烟雾）光线穿过烟雾时光强的相对减少与烟雾 浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强.3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分， 明暗界限由仪器灵敏度决定明暗界限由仪器灵敏度决定.模型模型建立建立1）烟雾浓度）烟雾浓度 的变化规律
42、的变化规律),(tzyxC扩散定律：扩散定律：单位时间通过单位法向单位时间通过单位法向面积的流量面积的流量q与浓度与浓度C的的梯度成正比梯度成正比. . )div(gradCktCVdVttzyxCtzyxCQ),(),(2tttsdtdQnq1VSn1Qq流量通过,ttt内烟雾改变量sVdVdqnqdiv曲面积分曲面积分奥氏公式奥氏公式1）烟雾浓度）烟雾浓度 的变化规律的变化规律),(tzyxCVdVCk) div(grad12QQ的微分形式，并利用积分中值定理的微分形式，并利用积分中值定理222222zCyCxCkktzyxektQtzyxC423222)4(),(),()0 ,(zyxQ
43、zyxC0,222222tzyxzCyCxCktC 初始条件初始条件Q炮弹释放的烟雾总量炮弹释放的烟雾总量 单位强度的点源函数单位强度的点源函数 对任意对任意t, C的等值面是球面的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC 仅当仅当 t, 对任意点对任意点(x,y,z), C01）烟雾浓度）烟雾浓度 的变化规律的变化规律),(tzyxC)()(lIlCdldI2）光强穿过烟雾时的变化规律）光强穿过烟雾时的变化规律假设假设2）光强的相对减少与烟雾浓度成正比）光强的相对减少与烟雾浓度成正比.lldssCeIlI0)(0)(I(l) 沿沿l方向的光强，方向的光强， C(l) 沿沿l方向的烟雾强度
44、方向的烟雾强度记未进入烟雾记未进入烟雾(l l0)时光强为时光强为 I(l0)=I01),(dztzyxCe观测结果为暗仪器灵敏度，当,1/0II3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限）仪器灵敏度与烟雾明暗界限烟雾浓度连续变化烟雾浓度连续变化烟雾中光强连续变化烟雾中光强连续变化lldssCeIlI0)(0)(仪器仪器z- 设光源在设光源在z=- , 仪器在仪器在z= ,则观测到的则观测到的明暗界限为明暗界限为不透光区域有扩大、不透光区域有扩大、缩小、消失的过程缩小、消失的过程穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定分，明暗界限由仪器灵敏度决定.不透光区
45、域边界不透光区域边界tkQkttr4ln4)(ktyxektQ4224adxeax24）不透光区域边界的变化规律）不透光区域边界的变化规律1),(dztzyxCe,)4(),(423222ktzyxektQtzyxC很小）(11ln1),(dztzyxCktyxektQdztzyxC4224),(222ryx对任意对任意t, 不透光区域边界是圆周不透光区域边界是圆周不透光区域不透光区域边界半径边界半径)(41最大值，eQrrekQttm0,42rkQttr(t)rm0t1t2ttkQkttr4ln4)(结果分析结果分析1127 .2tett观测到不透光区域边界达到最大的观测到不透光区域边界达到
46、最大的时刻时刻t1，可以预报烟雾消失的时刻，可以预报烟雾消失的时刻t2mrtQ,11tk5.8 万有引力定律的发现万有引力定律的发现背景背景航海业发展航海业发展天文观测精确天文观测精确“地心说地心说”动动摇摇哥白尼：哥白尼：“日心说日心说”伽利略：落体运动伽利略：落体运动开普勒：行星运动三定律开普勒：行星运动三定律变速运动的计算方法变速运动的计算方法牛顿：一切运动有力学原因牛顿：一切运动有力学原因牛顿运动三定律牛顿运动三定律牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）开普勒三定律开普勒三定律牛顿运动第二定律牛顿运动第二定律万有引力定律万有引力定律自然科学之数
47、学原理自然科学之数学原理(1687)模型假设模型假设极坐标系极坐标系 (r, )1. 行星轨道行星轨道)1 (,cos12222eababpepra长半轴长半轴, b短短半轴半轴, e离心率离心率Ar2/23. 行星运行周期行星运行周期 T32aTrf m行星位置：向径行星位置：向径)()( )(ttrt,r2. 单位时间单位时间 扫过面积为常数扫过面积为常数 Arm 行星质量行星质量 绝对常数绝对常数4. 行星运行受力行星运行受力 f太阳太阳(0,0) O rrP行星行星模型建立模型建立O (太阳太阳) P (行星行星)rr向径向径 的基向量的基向量rjcosisinujsinicosurr
48、uururrrruuuurruuruur)2()(2 rrrrrrAr2/202 rrrur)(2 rr cos1 eprrur224prA rf mrprmArr,rf00224324,2rrArA 32)(4,sin2prrpArpAer rurr模型建立模型建立只需证明只需证明 4A2/p =kM（A2/p与哪一颗行星无关）与哪一颗行星无关）A单位时间单位时间 扫过面积扫过面积rabTA322222),1 (,cos1aTeababpepr与万有引力定律与万有引力定律02rfrkMm比较比较T运行周期运行周期kM/42可以证明可以证明(习题习题10)/22pA4A2/p =kM在正确假设基础上用数学建模方法得到万有引力定律在正确假设基础上用数学建模方法得到万有引力定律rprmArr,rf00224
