1、9.1.2分层随机抽样分层随机抽样分层随机抽样一般地一般地, ,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体, ,每个个体属于且仅属于一个子总体每个个体属于且仅属于一个子总体, ,在每个子总体中独在每个子总体中独立地进行简单随机抽样立地进行简单随机抽样, ,再把所有子总体中抽取的样本再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本合在一起作为总样本, ,这样的抽样方法称为这样的抽样方法称为分层随机抽分层随机抽样样, ,每一个子总体称为每一个子总体称为层层. .在分层随机抽样中在分层随机抽样中, ,如果每层样本量都与层的大小成比如果每层样本量都与层的大小成比例例,
2、 ,那么称这种样本量的分配方式为比例分配那么称这种样本量的分配方式为比例分配. .在比例在比例分配的分层随机抽样中分配的分层随机抽样中, ,我们可以直接用样本平均数估我们可以直接用样本平均数估计总体平均数计总体平均数. .【思考思考】(1)(1)哪种情况下适合选用分层随机抽样？哪种情况下适合选用分层随机抽样？提示提示: :在个体之间差异较大的情形下在个体之间差异较大的情形下, ,只要选取的分层只要选取的分层变量合适变量合适, ,使得各层间差异明显、层内差异不大使得各层间差异明显、层内差异不大, ,分层分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样. .(2)(2)
3、简单随机抽样与分层随机抽样有何异同？简单随机抽样与分层随机抽样有何异同？提示提示: :简单随机抽简单随机抽样样分层随机抽样分层随机抽样方方法法要要点点随机随机“搅搅拌均匀拌均匀”抽取抽取分层分层比例比例抽取抽取共共同同点点抽样过程中每个个体被抽到的机会抽样过程中每个个体被抽到的机会均相等均相等; ;均为不放回抽样均为不放回抽样简单随机抽简单随机抽样样分层随机抽样分层随机抽样不不同同点点从总体中逐从总体中逐个随机抽取个随机抽取将总体分成不交叉的将总体分成不交叉的若干层若干层, ,各层中按比例各层中按比例抽取抽取相相互互联联系系各层的抽样可采用简各层的抽样可采用简单随机抽样单随机抽样适适用用范范围
4、围【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小的大小. .( () )(2)(2)分层随机抽样有时也需要剔除若干个个体分层随机抽样有时也需要剔除若干个个体, ,对这些对这些个体来说是不公平的个体来说是不公平的. . ( () )(3)(3)从全班从全班5050名同学中抽取名同学中抽取5 5人调查作业完成情况适合人调查作业完成情况适合用分层随机抽样用分层随机抽样. .( () )提示提示: :(1)(1). .在统计实践中选择哪种抽样方法
5、除看总体在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本量大小外和样本量大小外, ,还要依据总体的构成情况还要依据总体的构成情况. .(2)(2). .根据抽样的意义根据抽样的意义, ,对每个个体都是公平的对每个个体都是公平的. .(3)(3). .适合用简单随机抽样适合用简单随机抽样. .2.2.某集团有老年职工某集团有老年职工270270人人, ,中年职工中年职工540540人人, ,青年职工青年职工810810人人. .为了更好地调查他们的健康情况为了更好地调查他们的健康情况, ,需从所有职工需从所有职工中抽取一个容量为中抽取一个容量为3636的样本的样本, ,应采用的抽样方法是应采用的抽样方
6、法是_.【解析解析】由于健康情况与年龄密切相关由于健康情况与年龄密切相关, ,不同年龄的人不同年龄的人群其健康情况会有明显的差异群其健康情况会有明显的差异, ,因此采用分层随机抽样因此采用分层随机抽样的方法较合适的方法较合适. .答案答案: :分层随机抽样分层随机抽样3.3.简单随机抽样、分层随机抽样之间的共同点是简单随机抽样、分层随机抽样之间的共同点是_.(_.(填序号填序号)都是从总体中逐个抽取都是从总体中逐个抽取. .将总体分成几部分将总体分成几部分, ,按事先确定的规则在各部分抽取按事先确定的规则在各部分抽取. .抽样过程中每个个体被抽到的可能性是相等的抽样过程中每个个体被抽到的可能性
7、是相等的. .将总体分成几层将总体分成几层, ,然后分层按比例抽取然后分层按比例抽取. .答案答案: :类型一分层随机抽样的概念类型一分层随机抽样的概念【典例典例】1.1.下列问题中下列问题中, ,最适合用分层随机抽样方法抽最适合用分层随机抽样方法抽样的是样的是( () )A.A.某电影院有某电影院有3232排座位排座位, ,每排有每排有4040个座位个座位, ,座位号是座位号是1 140.40.有一次报告会坐满了听众有一次报告会坐满了听众, ,报告会结束以后为听取报告会结束以后为听取意见意见, ,要留下要留下3232名听众进行座谈名听众进行座谈B.B.从从1010台冰箱中抽出台冰箱中抽出3
8、3台进行质量检查台进行质量检查C.C.某乡农田有山地某乡农田有山地8 0008 000亩亩, ,丘陵丘陵12 00012 000亩亩, ,平地平地24 00024 000亩亩, ,洼地洼地4 0004 000亩亩, ,现抽取农田现抽取农田480480亩估计全乡农田平均亩估计全乡农田平均产量产量D.D.从从5050个零件中抽取个零件中抽取5 5个做质量检验个做质量检验2.2.分层随机抽样又称为类型抽样分层随机抽样又称为类型抽样, ,即将相似的个体归入一即将相似的个体归入一类类( (层层),),然后每类然后每类( (层层) )各抽若干个个体构成样本各抽若干个个体构成样本, ,所以分层所以分层随机抽
9、样为保证每个个体等可能入样随机抽样为保证每个个体等可能入样, ,必须进行必须进行( () )A.A.每层内等可能抽样每层内等可能抽样 B.B.每层内不等可能抽样每层内不等可能抽样C.C.所有层用同一抽样比所有层用同一抽样比D.D.所有层抽同样多的样本量所有层抽同样多的样本量【思维思维引引】根据分层随机抽样的特点和适用情况进根据分层随机抽样的特点和适用情况进行判断即可行判断即可. .【解析解析】1.1.选选C.AC.A的总体容量较大的总体容量较大, ,且个体的差异性不且个体的差异性不明显明显; ;B B的总体容量较小的总体容量较小, ,用简单随机抽样法比较方便用简单随机抽样法比较方便; ;C C
10、的总体容量较大的总体容量较大, ,且各类田地的产量差别很大且各类田地的产量差别很大, ,宜采用宜采用分层随机抽样方法分层随机抽样方法;D;D与与B B类似类似. .2.2.选选C.C.由分层随机抽样的定义和特点可知由分层随机抽样的定义和特点可知, ,所有层用同所有层用同一个抽样比一个抽样比, ,等可能抽样等可能抽样. .【内化内化悟悟】辨别分层随机抽样问题的关键是什么？辨别分层随机抽样问题的关键是什么？提示提示: :总体可以分层且层与层之间有明显区别总体可以分层且层与层之间有明显区别. .【类题类题通通】分层随机抽样的前提和遵循的两条原则分层随机抽样的前提和遵循的两条原则(1)(1)前提前提:
11、 :分层随机抽样使用的前提是总体可以分层分层随机抽样使用的前提是总体可以分层, ,层层与层之间有明显区别与层之间有明显区别, ,而层内个体间差异较小而层内个体间差异较小, ,每层中每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取占比例抽取. .(2)(2)遵循的两条原则遵循的两条原则: :每层的各个个体互不交叉每层的各个个体互不交叉, ,即遵循不重复、不遗漏的即遵循不重复、不遗漏的原则原则; ;每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比. .提醒提醒: :要明确分层随机抽样的前提要明确分层随机抽样的前
12、提, ,是用来判断是否是是用来判断是否是分层随机抽样的依据分层随机抽样的依据. .【习练习练破破】某校高三年级有男生某校高三年级有男生500500人人, ,女生女生400400人人, ,为了解该年级为了解该年级学生的健康情况学生的健康情况, ,从男生中任意抽取从男生中任意抽取2525人人, ,从女生中任从女生中任意抽取意抽取2020人进行调查人进行调查, ,这种抽样方法是这种抽样方法是_._.【解析解析】了解学生的健康情况了解学生的健康情况, ,男、女生抽取比例相同男、女生抽取比例相同, ,因此应用了分层随机抽样法因此应用了分层随机抽样法. .答案答案: :分层随机抽样分层随机抽样【加练加练固
13、固】某书法社团有男生某书法社团有男生3030名名, ,女生女生2020名名, ,从中抽取一个从中抽取一个5 5人的人的样本样本, ,恰好抽到了恰好抽到了2 2名男生和名男生和3 3名女生名女生. .该抽样可能是随机抽样该抽样可能是随机抽样; ;该抽样不可能是分层随机抽样该抽样不可能是分层随机抽样; ;男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率. .其中说法正确的为其中说法正确的为( () )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选A.A.该抽样可能是随机抽样该抽样可能是随机抽样, ,故正确故正确; ;若是若是分层随机抽样分层随机抽样, ,则抽到的是则抽到的
14、是3 3名男生、名男生、2 2名女生名女生, ,所以该所以该抽样不可能是分层随机抽样抽样不可能是分层随机抽样, ,故正确故正确; ;该抽样男生被该抽样男生被抽到的概率为抽到的概率为 , ,女生被抽到的概率为女生被抽到的概率为 , ,女生女生被抽到的概率大于男生被抽到概率被抽到的概率大于男生被抽到概率, ,故错误故错误. .213015320类型二分层随机抽样的应用类型二分层随机抽样的应用角度角度1 1用样本平均数估计总体平均数用样本平均数估计总体平均数【典例典例】假设某公司的假设某公司的3333名职工的月工资名职工的月工资( (单位单位: :元元) )如如表表: :职务职务董事长董事长副董事长
15、副董事长董事董事总经理总经理经理经理管理员管理员职员职员人数人数1 11 12 21 15 53 32020工资工资5 5005 5005 0005 0003 3 5005003 0003 0002 5002 5002 0002 0001 1 500500样本中职工月工资的平均数是样本中职工月工资的平均数是_,_,估计该公司职估计该公司职工月工资的平均数是工月工资的平均数是_.(_.(精确到元精确到元) )世纪金世纪金榜导学号榜导学号【思维思维引引】求解样本中职工月工资的平均数求解样本中职工月工资的平均数. .【解析解析】样本中职工月工资平均数是样本中职工月工资平均数是 (5 500+(5 5
16、00+5 000+3 5005 000+3 5002+3 000+2 5002+3 000+2 5005+2 0005+2 0003+1 5003+1 50020)2 091,20)2 091,估计该公司职工月工资的平均数是估计该公司职工月工资的平均数是2 091.2 091.答案答案: :2 0912 0912 0912 091133【素养素养探探】用样本平均数估计总体平均数用样本平均数估计总体平均数, ,体现了数据分析的核体现了数据分析的核心素养心素养. . 某学员在一次射击测试中射靶某学员在一次射击测试中射靶1010次次, ,命中环数如命中环数如下下:7,8,7,9,5,4,9,10,7
17、,4.:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则平均命中环数为则平均命中环数为_;_;估计该学员射击一次命中估计该学员射击一次命中环数为环数为_._.【解析解析】 用样本估计总体用样本估计总体, ,估计环数最可能为估计环数最可能为7.7.答案答案: :7 77 77 8 7 9 5 4 9 10 7 4x7.10 角度角度2 2比例分配的应用比例分配的应用【典例典例】1.1.某校老年、中年和青年教师的人数如表所某校老年、中年和青年教师的人数如表所示示, ,采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况, ,在在抽取的样本中抽取的样本中, ,青年教师有青年教
18、师有320320人人, ,则该样本中的老年教则该样本中的老年教师人数为师人数为世纪金榜导学号世纪金榜导学号( () )A.90A.90B.100B.100C.180C.180D.300D.300类别类别人数人数老年教师老年教师900900中年教师中年教师1 8001 800青年教师青年教师1 6001 600合计合计4 3004 3002.2.某高中共有学生某高中共有学生1 0001 000名名, ,其中高一年级共有学生其中高一年级共有学生380380人人, ,高二年级男生有高二年级男生有180180人人. .高二年级女生占全校学生总高二年级女生占全校学生总数的数的19%.19%.现采用分层随
19、机抽样现采用分层随机抽样( (按年级分层按年级分层) )在全校抽在全校抽取取100100人人, ,则应在高三年级中抽取的人数等于则应在高三年级中抽取的人数等于_._.【思维思维引引】1.1.按各层的抽样比例相等按各层的抽样比例相等, ,列出等式求解列出等式求解即可即可. .2.2.先算出高二年级女生人数先算出高二年级女生人数, ,再算出高三年级人数再算出高三年级人数, ,最最后根据各层的抽样比例相等后根据各层的抽样比例相等, ,列出等式求解列出等式求解. .【解析解析】1.1.选选C.C.设该样本中的老年教师人数为设该样本中的老年教师人数为x,x,由已由已知及分层随机抽样的特点得知及分层随机抽
20、样的特点得 , ,故故x=180.x=180.x320900 1 6002.2.由已知由已知, ,高二年级女生有高二年级女生有1 0001 0000.19=190(0.19=190(人人),),则高则高二年级共有学生二年级共有学生180+190=370(180+190=370(人人),),所以高三年级共有所以高三年级共有学生学生1 000-370-380=250(1 000-370-380=250(人人),),则采用分层随机抽样则采用分层随机抽样( (按按年级分层年级分层) )在全校抽取在全校抽取100100人人, ,应在高三年级中抽取的人应在高三年级中抽取的人数为数为 100=25.100=
21、25.答案答案: :25252501 000【内化内化悟悟】求解分层随机抽样问题的关键是什么？求解分层随机抽样问题的关键是什么？提示提示: :分析总体分成的各个层以及各个层中抽取的个体分析总体分成的各个层以及各个层中抽取的个体数量数量. .【类题类题通通】分层随机抽样的操作步骤分层随机抽样的操作步骤第一步第一步, ,计算样本量与总体量之比计算样本量与总体量之比. .第二步第二步, ,将总体分成互不交叉的层将总体分成互不交叉的层, ,按比例确定各层要按比例确定各层要抽取的个体数抽取的个体数. .第三步第三步, ,用简单随机抽样在各层中抽取相应数量的个体用简单随机抽样在各层中抽取相应数量的个体.
22、.第四步第四步, ,将各层抽取的个体合在一起将各层抽取的个体合在一起, ,就得到所取样本就得到所取样本. .【习练习练破破】1.(20191.(2019全国卷全国卷)西游记西游记三国演义三国演义水浒水浒传传和和红楼梦红楼梦是中国古典文学瑰宝是中国古典文学瑰宝, ,并称为中国古并称为中国古典小说四大名著典小说四大名著. .某中学为了解本校学生阅读四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况的情况, ,随机调查了随机调查了100100位学生位学生, ,其中阅读过其中阅读过西游记西游记或或红楼梦红楼梦的学生共有的学生共有9090位位, ,阅读过阅读过红楼梦红楼梦的学的学生共有生共有8080位位,
23、,阅读过阅读过西游记西游记且阅读过且阅读过红楼梦红楼梦的的学生共有学生共有6060位位, ,则该校阅读过则该校阅读过西游记西游记的学生人数与的学生人数与该校学生总数比值的估计值为该校学生总数比值的估计值为( () )A.0.5A.0.5B.0.6B.0.6C.0.7C.0.7D.0.8D.0.8【解析解析】选选C.C.由题意知阅读过由题意知阅读过红楼梦红楼梦而没有阅读而没有阅读过过西游记西游记的学生人数为的学生人数为80-60=20,80-60=20,所以阅读过所以阅读过西游记西游记的学生人数为的学生人数为90-20=70,90-20=70,故所求的估计值故所求的估计值为为 =0.7.=0.7
24、.70100【加练加练固固】一个总体分为一个总体分为A,B,CA,B,C三层三层, ,其个体数之比为其个体数之比为532.532.若若用分层随机抽样方法抽取容量为用分层随机抽样方法抽取容量为100100的样本的样本, ,则应从则应从C C中中抽取抽取_个个体个个体.【解析解析】因为因为A,B,CA,B,C三层个体数之比为三层个体数之比为532,532,又总体又总体中每个个体被抽到的概率相等中每个个体被抽到的概率相等, ,所以用分层随机抽样应所以用分层随机抽样应从从C C中抽取中抽取100100 =20. =20.答案答案: :20202102.2.已知某单位有职工已知某单位有职工120120人
25、人, ,其中男职工其中男职工9090人人, ,现采用分现采用分层随机抽样的方法层随机抽样的方法( (按男、女分层按男、女分层) )抽取一个样本抽取一个样本, ,若已若已知样本中有知样本中有2727名男职工名男职工, ,则样本量为则样本量为_._.【解析解析】分层随机抽样中抽样比一定相同分层随机抽样中抽样比一定相同, ,设样本量为设样本量为n,n,由题意得由题意得, , ,解得解得n=36.n=36.答案答案: :3636n2712090类型三抽样方法的综合应用类型三抽样方法的综合应用【典例典例】在下列问题中在下列问题中, ,各采用什么抽样方法抽取样本各采用什么抽样方法抽取样本较为合适？较为合适
26、？(1)(1)从从8 8台彩电中抽取台彩电中抽取2 2台进行质量检验台进行质量检验. .(2)(2)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150150个、个、120120个、个、180180个、个、150150个销售点个销售点. .公司为了调查产品销售公司为了调查产品销售的情况的情况, ,需从这需从这600600个销售点中抽取一个样本量为个销售点中抽取一个样本量为100100的的样本样本. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维思维引引】总体容量较小总体容量较小, ,宜采用抽签法宜采用抽签法; ;总体容量总体容量较大且总体中的个体无明显差异较大且总体中的个体无明
27、显差异, ,而样本量较小而样本量较小, ,宜用宜用随机数法随机数法. .总体是由差异明显的几个部分组成总体是由差异明显的几个部分组成, ,宜用分宜用分层随机抽样法层随机抽样法. .【解析解析】(1)(1)总体容量为总体容量为8,8,样本量为样本量为2,2,因此选择抽签法因此选择抽签法进行样本的抽取进行样本的抽取. .(2)(2)总体由差异明显的四部分组成总体由差异明显的四部分组成, ,因此可采用分层随因此可采用分层随机抽样法机抽样法. .【内化内化悟悟】抽样方法选取的关键是什么？抽样方法选取的关键是什么？提示提示: :根据总体容量大小根据总体容量大小, ,个体有无明显差异判断抽样个体有无明显差
28、异判断抽样方法方法. .【类题类题通通】抽样方法的选取抽样方法的选取(1)(1)若总体由差异明显的几个层次组成若总体由差异明显的几个层次组成, ,则选用分层随则选用分层随机抽样机抽样. .(2)(2)若总体没有差异明显的层次若总体没有差异明显的层次, ,则考虑采用简单随机则考虑采用简单随机抽样抽样. .【习练习练破破】某企业共有某企业共有3 2003 200名职工名职工, ,其中中、青、老年职工的比其中中、青、老年职工的比例为例为532.532.(1)(1)若从所有职工中抽取一个容量为若从所有职工中抽取一个容量为400400的样本的样本, ,应采用应采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分
29、别抽取哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？多少人？(2)(2)若从青年职工中抽取若从青年职工中抽取120120人人, ,试求所抽取的样本量试求所抽取的样本量. .【解析解析】(1)(1)由于中、青、老年职工有明显的差异由于中、青、老年职工有明显的差异, ,采用分层随机抽样更合理采用分层随机抽样更合理. .按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为: : 400=200, 400=200, 400=120, 400=120, 400=80,400=80,因此应抽取的中、青、老年职工分别为因此应抽取的中、青、老年职工分别为200200人、人、
30、120120人、人、8080人人. .510310210(2)(2)由已知由已知, ,青年职工共有青年职工共有 3 200=960(3 200=960(人人).).设抽取的样本量为设抽取的样本量为n,n,则有则有 960=120.960=120.所以所以n=400,n=400,因此所抽取的样本量为因此所抽取的样本量为400.400.310n3 200【加练加练固固】在在100100个零件中个零件中, ,有一级品有一级品2020个个, ,二级品二级品3030个个, ,三级品三级品5050个个, ,从中抽取从中抽取2020个作为样本个作为样本. .方法一方法一: :采用简单随机抽样的方法采用简单随
31、机抽样的方法, ,将零件编号为将零件编号为00,01,99,00,01,99,用抽签法抽取用抽签法抽取2020个个; ;方法二方法二: :采用分层随机抽样的方法采用分层随机抽样的方法, ,从一级品中随机抽从一级品中随机抽取取4 4个个, ,从二级品中随机抽取从二级品中随机抽取6 6个个, ,从三级品中随机抽取从三级品中随机抽取1010个个. .对于上述问题对于上述问题, ,下列说法中正确的有下列说法中正确的有_.(_.(填序填序号号)不论采用哪种抽样方法不论采用哪种抽样方法, ,这这100100个零件中每个零件被个零件中每个零件被抽到的概率都是抽到的概率都是 ; ;采用上述两种抽样方法采用上述两种抽样方法, ,这这100100个零件中每个零件被个零件中每个零件被抽到的概率各不相同抽到的概率各不相同; ;在上述两种抽样方法中在上述两种抽样方法中, ,方法二抽到的样本比方法一方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征抽到的样本更能反映总体的特征. .15【解析解析】根据抽样方法的定义知根据抽样方法的定义知, ,两种方法都是等可能两种方法都是等可能抽样抽样. .对于明显分层的总体对于明显分层的总体, ,方法二抽到的样本更能准方法二抽到的样本更能准确地反映总体特征确地反映总体特征, ,故正确故正确. .答案答案: :
