1、 在上一章中，我们把随机事件看作样本空间在上一章中，我们把随机事件看作样本空间的子集；这一章里我们将引入随机变量的概念，的子集；这一章里我们将引入随机变量的概念，用随机变量的取值来描述随机事件。用随机变量的取值来描述随机事件。一、随机变量一、随机变量引例：引例：E1: 将一枚硬币连掷两次，观察正反面出现的情况。将一枚硬币连掷两次，观察正反面出现的情况。e1=（正，正）（正，正） 2e2=（正，反）（正，反） 1e3=（反，正（反，正) 1e4=（反，反）（反，反） 0 令令X=“正面出现的次数正面出现的次数”，则则X是一个随着试是一个随着试验结果不同而取值不同的量，其对应关系如下：验结果不同而
2、取值不同的量，其对应关系如下：由上可知，对每一个样本点由上可知，对每一个样本点e，都有一个，都有一个X的取值的取值X(e)基本结果基本结果(e) 正面出现的次数正面出现的次数X(e)与之对应。与之对应。我们把我们把X称为定义在这个试验上的随机变量。称为定义在这个试验上的随机变量。 E2：掷一枚骰子，观察出现的点数：掷一枚骰子，观察出现的点数. 令令X=“正面出现的点数正面出现的点数” E3：某产品的使用寿命：某产品的使用寿命X,X=0. 反面反面正面正面令令, 0, 1X E4：掷一枚质地均匀的硬币，观察正反面出现的：掷一枚质地均匀的硬币，观察正反面出现的情况情况. 一般地，对每一个随机试验，
3、我们都可以引入一般地，对每一个随机试验，我们都可以引入一个变量一个变量X，使得试验的每一个样本点都有一个，使得试验的每一个样本点都有一个X的取值的取值X(e)与之对应，这样与之对应，这样就得到随机变量的概念就得到随机变量的概念. 设设E是一个随机试验，其样本空间为是一个随机试验，其样本空间为S=e，在，在E上引入一个变量上引入一个变量X，如果对，如果对S中每一个样本点中每一个样本点e，都，都有有一个一个X的取值的取值X(e)与之对应，我们就与之对应，我们就称称X为定义为定义在随机试验在随机试验E的一个随机变量的一个随机变量. （2）引入随机变量的目的：）引入随机变量的目的：用随机变量的取值范围
4、表示随机事件，利用高等数用随机变量的取值范围表示随机事件，利用高等数学的工具研究随机现象。学的工具研究随机现象。事件事件“正面至少出现一次正面至少出现一次”可表示为可表示为:“X1 1”；2、随机变量的表示：随机变量的表示：常用字母常用字母X,Y,Z，.表示表示; 例如：上例中，事件例如：上例中，事件“正面出现两次正面出现两次”可表示为可表示为:“0X2”表示事件表示事件“正面至少出现一次正面至少出现一次”。“X=2” ；例如：上例中例如：上例中P(X=2)=1/4； P(X)=3/4； P(0X 2)=3/4；随机变量的取值具有一定的概率随机变量的取值具有一定的概率：(4)随机变量的类型：随
5、机变量的类型： 这两种类型的随机变量因其取值方式的不同这两种类型的随机变量因其取值方式的不同各有特点，学习时注意它们各自的特点及描述方各有特点，学习时注意它们各自的特点及描述方式的不同。式的不同。具有随机性具有随机性:在一次试验之前不知道它取哪一个在一次试验之前不知道它取哪一个值，但事先知道它全部可能的取值。值，但事先知道它全部可能的取值。 随机变量的特点随机变量的特点:离散型与连续型随机变量离散型与连续型随机变量。 例例1（用随机变量的取值表示随机事件）用随机变量的取值表示随机事件）一报童一报童卖报，每份报卖报，每份报0.50元元, 其成本为其成本为0.30元。元。 报馆每天给报馆每天给报童
6、报童1000份报纸，并规定卖不出的报纸不得退回。份报纸，并规定卖不出的报纸不得退回。解：分析解：分析报童赔钱报童赔钱 卖出报纸的钱不够成本卖出报纸的钱不够成本当当 0.50 X1000 0.3时，报童赔钱时，报童赔钱. 故故报童赔钱报童赔钱 X 600 令令X=“报童每天卖出的报纸份数报童每天卖出的报纸份数”试将试将“报童赔钱报童赔钱”这一事件用这一事件用X的取值表的取值表示出来。示出来。（1）随机变量）随机变量X可能取哪些值？可能取哪些值？（2）随机变量）随机变量X取某个值的概率是多大？取某个值的概率是多大？3、随机变量的概率分布、随机变量的概率分布引入随机变量后引入随机变量后, 上述说法相
7、应变为下列表述方式：上述说法相应变为下列表述方式：对于一个随机试验，我们关心下列两件事情：对于一个随机试验，我们关心下列两件事情： （1）试验会发生一些什么事件？）试验会发生一些什么事件？（2）每个事件发生的概率是多大？）每个事件发生的概率是多大？ 对一个随机变量对一个随机变量X，若给出了以上两条，我们，若给出了以上两条，我们就说给出了就说给出了随机变量随机变量X的概率分布的概率分布(也称分布律）。也称分布律）。 这一章我们的中心任务是学习这一章我们的中心任务是学习离散型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布与连续型随机变量的概率分布.2 离散型随机变量及其分布 如果随机变量如果随机
8、变量X X所有可能的取值是有限个或无所有可能的取值是有限个或无穷可列个，则穷可列个，则称称X X为离散型随机变量。为离散型随机变量。一、一、离散型随机变量的离散型随机变量的2.离散型随机变量离散型随机变量的分布律的分布律 要掌握一个离散型随机变量的分布律，必须要掌握一个离散型随机变量的分布律，必须且只需知道以下两点：且只需知道以下两点： (1) X所有可能的取值所有可能的取值: :(2)(2)X取每个值时的概率取每个值时的概率:, 3 , 2 , 1,)(,21 kpxXPxxxXkkk称称 (1) 式为式为离散型随机变量离散型随机变量X X的分布律的分布律.)1(, 3 , 2 , 1)(
9、kpxXPkk离散型离散型随机变量随机变量X的分布律可用公式法和表格的分布律可用公式法和表格法描述。法描述。1)1)公式法公式法:2)2) 表格法表格法:, 3 , 2 , 1)( kpxXPkk21kpppxxX21X012pk1/42/41/4 例例1：将一枚硬币连掷两次，求将一枚硬币连掷两次，求“正面出现的次正面出现的次数数X ”的分布律。的分布律。解：解：在此试验中，所有可能的结果有：在此试验中，所有可能的结果有：e1=（正，正）；（正，正）；e2=（正，反）；（正，反）；e3=（反，正（反，正) ；e4=（反，反）。（反，反）。于是，正面出现的次数于是，正面出现的次数X ”的分布律：
10、的分布律：图形表示程序x=0, 1, 2;pk=1/4,2/4,1/4;figure(color,w)plot(x,pk,r.,MarkerSize,31)ylim(0 0.6)xlim(0,2.3)text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21);text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21);text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21); figure(color,w)plot(x,pk,r.,MarkerSize,31)hold onplot(x,pk,r-.)ylim
11、(0 0.6)hold offxlim(0,2.3)text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21);text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21);text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21); figure(color,w)bar(x,pk,0.1,r)ylim(0 0.6)text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21);xlim(0,2.3)text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21);t
12、ext(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21); figure(color,w)stem(x,pk,r.,MarkerSize,31)ylim(0 0.6)xlim(0,2.3)text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21);text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21);text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21);离散型随机变量分布律的性质离散型随机变量分布律的性质 例例: 设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：1)2, 3
13、 , 2 , 1,0) 1kkkpkp.10, 2 , 1,10)( kakXP试求常数试求常数a. 11101apkk解：由为常数。为常数。0,.,2 , 1 , 0,!)( kkakXPk例例3: 设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：xkkekx 0!提示：提示：试求常数试求常数a.0001,!.kkkkkkpaaaekkae解解：由由得得，练习练习:设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：,3,2, 1,)32( kbkXpk试确定常数试确定常数b.解：由分布律的性质，有解：由分布律的性质，有 11)32()(kkkbkXP1213232 bb21 b297. 003.
14、03 X所有可能的取值为：所有可能的取值为：0，1，2，3；取到正品；取到次品令AA97. 0)(,03. 0)( APAP则：则：)()0(AAAPXP )()1(AAAAAAAAAPXP 设有产品设有产品100件，其中件，其中3件是次品。从中有放回件是次品。从中有放回地任取地任取3件，求件，求“取得次品件数取得次品件数X ”的分布律。的分布律。211397. 003. 0 C397. 0 30397. 0C 3 , 2 , 1 , 0,97. 003. 0)(33 kCkXPkkk97. 003. 03297. 003. 0223 C33303. 0C)()2(AAAAAAAAAPXP 这
15、个分布其实就是将要介绍二项分布。我们先来这个分布其实就是将要介绍二项分布。我们先来看一个重要的试验看一个重要的试验伯努利（伯努利（Bernoulli）试验。）试验。303. 0)()3(AAAPXP(1)n(1)n次独立重复试验次独立重复试验1、伯努利（、伯努利（Bernoulli）试验）试验将试验将试验E重复进行重复进行n次次,若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响,则称这则称这n次试验是相互独立的次试验是相互独立的. (2)n重重努利试验努利试验满足下列条件的试验称为伯努利（满足下列条件的试验称为伯努利（Bernoulli）试验）试验:每次试验都在相同的条件下每次试验都在相同的条
16、件下重复重复进行；进行； 每次试验只有每次试验只有两个两个可能的结果可能的结果:A及及 每次试验的结果相互每次试验的结果相互独立。独立。nkppCkXPknkkn,.,2 , 1 , 0,)1()( 若用若用X表示表示n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次数发生的次数, 则则n次试验中事件次试验中事件A发生发生k次的概率为：次的概率为： 证明：证明：在在n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A在前在前k次出次出现，而在后现，而在后n-k次不出现的概率为次不出现的概率为: 若满足上述条件的试验重复进行若满足上述条件的试验重复进行n次次,则称这则称这一串试验为一串试验为n重伯努利重伯
17、努利(Bernoulii)试验。试验。.)(pAPA 且且knkknppCkXP )1()(., 2 , 1 , 0nkknkknkppAAAAAAP )1()(_ 而事件而事件A在在n次试验中发生次试验中发生k次的方式为：次的方式为：knC 所所以以为为二二项项展展开开式式中中的的一一项项而而由由于于,)1(, 1)1()1(0knkknnknknkknppCppppC :,记记作作的的二二项项分分布布服服从从参参数数为为称称pnX),(pnBX 用用X表示表示n重重Bernoulli试验中事件试验中事件A发生的次发生的次数，数， ，则，则X的分布律为的分布律为:;.,2,1 ,0)1(nk
18、ppCkXPknkkn 此时此时称称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布的二项分布,记为记为 XB(n,p). 将将 一枚均匀的骰子掷一枚均匀的骰子掷4次，求次，求3次掷出次掷出5点点pAP )(且且 解：解：令令A=“掷出掷出5 5点点”，点点”“掷掷不不出出5 A65)(,61)( APAP且且)61,4( bX32456561)3(334 CXP程序和结果x = 0:4;y = binopdf(x,4,1/6);figure(color,w)plot(x,y,r.,MarkerSize,31)figure(color,w)bar(x,y,0.1,r)pxequal3=y(4)pxequ
19、al3 = 0.01543209876543例例2 2： 设有设有8080台同类型设备，各台工作是相互独台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是立的，发生故障的概率都是0.010.01，且一台设备，且一台设备的故障能有一个人处理。的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，考虑两种配备维修工人的方法， 其一是由其一是由4 4个人维护，每人负责个人维护，每人负责2020台；台； 其二是由其二是由3 3个人共同维护个人共同维护8080台。台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。维修的概率的大小。1,2,3,420i
20、XA ii解：以 记“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”。 以表示事件“第 人维护的台中发生故障不能 及时维修”，则知80台中发生故障不按第一种方法。 能及时维修的 概率为：123412P AAAAP AP X20,0.01 ,Xb而故有：1021kP XP Xk 12020010.010.990.0169kkkkC 12340.0169P AAAA即有：80,80,0.01 ,80YYb按第二种以 记台中同一时刻发生故障的台数，此时故台中发生故障而不能及时维修方法。的概率为： 380800410.010.990.0087kkkkP YC 例例3 3：某人骑了自行车从学校到火车站，一
21、路 上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次红灯的概率。 (3, )Ybp 331 ()(1), 0,1,2,3kkkP YkC ppk 2232 (2)(1)P YC pp 解：这是三重贝努利试验例例4 4：某人独立射击n次，设每次命中率为p， 0p0为一常数，为一常数，n是任意正整数。设是任意正整数。设npn=, , 则对任一固定的非负整数则对任一固定的非负整数k，有，有 考虑到直接计算上式较麻烦，当考虑到直接计算上式较麻烦，当n很大很大p很小时，很小时，有下列近似计算公式：
22、有下列近似计算公式：1、 故故证明：设证明：设,npn knkknnnknnnk )1()1()1()1(! ennkn）时，（时，（当当对固定的对固定的-1,knkknnknknnnkknnnppC )1()(!)1()1()1( !)1(limkeppCkknnknknn !)1(limkeppCkknnknknn 若随机变量若随机变量X所有可能的取值为所有可能的取值为0,1,2, 而而取每个值的概率为取每个值的概率为:.2,1 ,0,! kekkXPk 则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布(Poisson),记为记为 :1) 泊松分布与二项分布的关系：这两个分布的泊松分布
23、与二项分布的关系：这两个分布的X ( ).说明说明：数学模型都是数学模型都是Bernoulli概型。概型。Poisson分布分布是二项分布当是二项分布当n很大很大p 很小时的近似计算。很小时的近似计算。20,0.05, 1, kn kkknnpeC ppnpk二项分布与泊松分布有以下近 公 式 似：当时其中！程序对比程序对比泊松分布与二项分布泊松分布与二项分布 poisspdf(k, Lambda) （a) n=20; p=0.04; (b) n=8; p=0.4; 上两图程序代码figure(color,w)n=20;p=0.04;x = 0:n;y = binopdf(x,n,p);plo
24、t(x,y,r, LineWidth,3)xlim(0,n)lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);hold onplot(x,z,g-., LineWidth,3)hold offlegend(二项分布:n=20,p=0.04,lambda=n*p=0.8) figure(color,w)n=8;p=0.4;x = 0:n;y = binopdf(x,n,p);plot(x,y,r, LineWidth,3)xlim(0,n)lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);hold onplot(x,z,g-., LineWidth,3)hold offlegend(
25、二项分布:n=8,p=0.4,lambda=n*p=3.2) 上述例上述例2的解答：的解答：53003000(5)0.010.99kkkkP XC 5030030099. 001. 0)5(kkkkCXP求解求解3503!kkek0.9161查查表表300 0.013np3、 Poisson分布的应用分布的应用分别用binopdf(x,n,p)和poisspdf(k, Lambda)函数编程解上一题 n=300; p=0.01; n1=5; x = 0:n1; y = binopdf(x,n,p); binosum=sum(y) lama=n*p; z=poisspdf(x,lama); Po
26、issonsum=sum(z)binosum = 0.91709643671569Poissonsum = 0.91608205796870分别用binocdf(x,n,p)和poisscdf(k, Lambda)函数编程解上一题 n=300; p=0.01; n1=5; y = binocdf(n1,n,p) % binosum=sum(y) lama=n*p; z=poisscdf(n1,lama) % Poissonsum=sum(z)y = 0.91709643671569z = 0.91608205796870 X 0 1 pk 1-p p 一个只有两个结果的随机试验，都可以一个只有
27、两个结果的随机试验，都可以用（用（0）分布来描述。如新生婴儿的性别，）分布来描述。如新生婴儿的性别，打靶中与不中等等。打靶中与不中等等。即即X的分布律为：的分布律为：1, 0,)1 ()(, 1),(1kppkXPnpnBXkk则中，若在二项分布则称则称X服从（服从（0 ）分布。）分布。3 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数引例：设引例：设X=“掷一颗骰子时掷出的点数掷一颗骰子时掷出的点数”，记，记PX1= F(1）PX2= F(2）PX3= F(3）一般地：对任意的实数一般地：对任意的实数记记, x)()(xFxXP 我们把我们把 称为称为)(xF设设X X为一随机变量为一随机变量,
28、, 为任意实数为任意实数, ,称称为为定义域为：定义域为：值域为：值域为：x)()(xXPxF xa函数函数F(a)的值等于的值等于X的取值落入区间的取值落入区间(-,a内的概率值。如何求？内的概率值。如何求？),( x1 , 0)( xF 3）)()()()()()2(aFbFaXPbXPbXaP )()()1(bFbXP 0（ab)(1)(1)()3(bFbXPbXP )(xF)(xF()( )( )P aXbF bF a()P aXb( )( )()F bF aP Xa()P aXb( )( )()()F bF aP XaP Xb()P aXb( )( )()F bF aP Xb ； 0
29、 0 01 0 0 aFaXaFbFbXaaFaXaFbFbXaaFaFaXaFbFbXaPPPPPP例例1：已知随机变量已知随机变量X的分布律为的分布律为: X 0 1 2 pk 1/4 2/4 1/4)23()23()1( : XPF解解),(),()2( xxF求求.23)(处的值处的值在在 xxF.),(并作图并作图xF(1)求求X的分布函数的分布函数(2)求求X的分布函数的分布函数43)1()0( XPXP0)()(0 xXPxFx时，时，当当)()(10 xXPxFx 时时，当当)()(21xXPxFx 时时，当当)()(2xXPxFx 时时，当当 2, 121, 4/310, 4
30、/ 10, 0)(xxxxxF41) 0( XP43) 1() 0( XPXP1) 2() 1() 0( XPXPXPP(0 x 1)=F(1)-F(0)=? P(0 x 1)=F(1)-F(0)+P(x=0) =3/4-1/4+1/4 =3/4 是右连续函数，即是右连续函数，即0)(lim)( xFFx是一个单调不减函数是一个单调不减函数且且, 1)(0)2( xF)() 1 (xF)()3(xF1)(lim)( xFFx)()(lim0 xFxFxx 试说明试说明F(x)能否作为某个随机变量能否作为某个随机变量X的的分布函数分布函数其他, 00,sin)(xxxF例例1：设有函数设有函数求
31、求: (1) 常数常数A，B的值；的值； (2) P(0X1)例例2：设随机变量设随机变量X的分布函数为：的分布函数为：xBarctgxAxF,)( 1)(0)()1(FF由性质由性质解：解： 1)2(0)2( BABA 121BA)0()1()10()2(FFXP 41 0,10,0)()(xxxxxFC例例3:下列函数中可作为随机变量分布函数的是下列函数中可作为随机变量分布函数的是 ( )arctgxxFBxxFA2143)()(11)()(212)()(arctgxxFD10)()(FA 说明：021)()(FB 12)()(FD ) 0()(lim)1)(, 0)()()(00FxFi
32、iiFFiixFiCx单增为正确答案易证C4 连续型随机变量及其概率密度定义： 对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有： ( ),f x()( )( )xP XxF xf t dt( ),F x, x( )f x其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度概率密度。 则称X为连续型随机变量， 连续型随机变量的取值充满一个区间，对这连续型随机变量的取值充满一个区间，对这种类型的随机变量不能象离散型的那样用种类型的随机变量不能象离散型的那样用分分布律布律描述，而是用描述，而是用概率密度概率密度描述。描述。 与物理学中的质量线密度的定义相类似()( )P xXxxf xx00(
33、)( )()( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx( )f x 的性质：1) ( )0f x +2) ( )1f x dx2112211221 () ( ) ( )( )xxxx xxP xXxf t dtF xF x3) 对于任意的实数 ，4) ( ) ( )( )f xx F xf x在连续点 ，( )f x即在的连续点( )f xXx表示 落在点 附近的概率的多少( )yf x1面积为1x2x12 P xXx5）连续型随机变量）连续型随机变量X取任一实数的概率值取任一实数的概率值为零为零.)(0)(:为任一实数即aaXP注意注意: 5)表明求连续型随机变量
34、落在一个表明求连续型随机变量落在一个区间上的概率值时，不必考虑区间端点的区间上的概率值时，不必考虑区间端点的情况。即情况。即)()()(bXaPbXaPbXaP随机变量的分布函数、分布率、密度函数有什么联系和区别？ 区别区别：分布函数数描述随随机变变量的取值规值规律，随随机变变量可以是离散型的，也可以是连续连续型的；分布率只能描述离散型随随机变变量的取值规值规律；密度函数数只能描述连续连续型随随机变变量的取值规值规律。 联联系：()( )discrete random variableskP XxF x： ( )( )continuous random variablesf xF x：例例1、
35、已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的分布函数为：的分布函数为：1, 110,0, 0)(2xxxxxF求求(1) P(0. 3 X 0为常数，则称X服从参数为的指数指数分布分布。记为 0( )0 0 xexf xx( )XE1 0( )0 0 xexF xx 00(|)P Xtt Xt00()()P XttP Xt001()1()tF tteF t()P Xt X具有如下的无记忆性： 正态分布定义：设X的概率密度为其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)，记为可以验算：22()21( ) 2xf xex，2( ,)XN ( )1f x dx+ ( )f x dx22 tI
36、edt记2212xttedt令2212tedt22()22xyIedxdy22200rdredr2I( )1f x dx2, 2, 称为位置参数(决定对称轴位置) 为尺度参数(决定曲线分散性)max21 ( )12 ( )23 ( )0( ,)xf xxfflimf xXN 关于对称0 f x1x550.51.0 f xx1.50.7980.3990.2660X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散， 是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。 (0 1) ZNZ记， ，称 服从标
37、准正态分布 221 2xZxe的概率密度：221 ( )2txZxedt的分布函数： 1xx( )yx( )x()x0yxxx) 1 , 0(, ),(2NXNX则定理：若XZ证明：设则则Z的分布函数为的分布函数为:）（xZPxF)(）（xXPxXP一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化)(xxtdte222)(21xzZzdet2221令) 1 , 0( NX即：重要结论：)() 1 (xXPxF)()()2(1221xFxFxXxP)()(12xx) 1 , 0(),(2NXNX则若)(xXP)(x 例：2( ,)XN ()() (1)( 1)2 (1) 10.6826P XPX (2
38、)2 (2) 10.9544P X (3 )2 (3) 10.9974P X 查书后附表99.74%3268.26%2395.44% 例：一批钢材(线材)长度(1)若=100，=2，求这批钢材长度小于97.8cm的概率；(2)若=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间(97,103)内，问至多取何值？2() ( ,)X cmN (97.8)P X 解：(1)97.8 100()21(1.1) 1 0.86430.1357查附表= 9710390%PX(2) 令：103 10097 1003 ()()2 () 190% 即3()0.9531.6451.8237 例：设某地区男子身高(1)
39、 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于175cm的概率；(2) 若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？2()(169.7,4.1 )X cmN (175)P X 解： (1) 5175(5, ), 0.0985cmbpp(2) 设 人中有Y人身高大于，则Y其中175 169.71()4.1 1(1.293) 1 0.90150.0985 查表5(1)1(0)1 (1)0.4045P YP Yp 1145(1)(1)0.3253P YC ppmu=169.7;sigma=4.1;plarge175=1-normcdf
40、(175,mu,sigma)plargeless1=1-binopdf(0,5,plarge175)plargeequal1=binopdf(1,5,plarge175) plarge175 = 0.09806037254757plargeless1 = 0.40311956686400plargeequal1 = 0.32446915435455编程画出几个正态分布的概率密度和分布函数曲线mu=10;sigma=3;x=(mu-3.1*sigma):0.1:(mu+3.1*sigma);y1=normpdf(x,mu,sigma);y2=normcdf(x,mu,sigma);figure(
41、color,w)plot(x,y1,r,LineWidth,3)legend(Normal probability density function (pdf)mu=10 sigma=3)figure(color,w)plot(x,y2,g,LineWidth,3)legend(Normal cumulative distribution function (cdf)mu=10 sigma=3) 10()(zXP.分位点为标准正态分布的上的点z标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点 1）定义：）定义：设设XN（0，1），称满足），称满足z阴影部分面阴影部分面积为积为001.0005.0
42、05.0)3()2()1 (zzz例例5：求求95. 005. 01)(05. 0 z解：57. 2005. 0z同理得645. 105. 0z查表得10. 3001. 0z编程计算例5的结果 X=norminv(p,mu,sigma) %p为累积概率值，mu为均值，sigma为标准差，X为临界值，满足：p=PXx。 因为例5是标准正态分布，所以mu0，sigma=1. P1，所以当分别取0.05, 0.005, 0.001时候，对应的上分位点的标准正态分布函数值分别为0.95，0.995, 0.999mu=0;sigma=1;z0_05=norminv(1-0.05,mu,sigma)z0_
43、005=norminv(1-0.005,mu,sigma)z0_001=norminv(1-0.001,mu,sigma)z0_05 =1.64485362695147z0_005 =2.57582930354890z0_001 =3.09023230616782一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布1. X离散离散,:)(21kyyyXgY离散离散 )()(kkyXgPyYP )(关键关键反解反解GX )(GXP miiixxxG,21 如如加法加法使使 对应的对应的X的那些可能值的那些可能值,其概率之和其概率之和kyXg )(1)先求出先求出Y的分布函数与的分布函数与X的分布函数之间
44、的关系：的分布函数之间的关系：)()Y()(yXgPyPyFY)()(11ygFygXPX (2)再两边同时对再两边同时对y求导数求导数yXYygygfyf) )()()(11）的的一一般般步步骤骤是是：（则则求求的的概概率率密密度度为为：设设yfXgYxfXY),(),( 小小结结2. X连续连续例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。13X-110p131323Z01p1313Y-220p1313解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1)故得：例： 2( ) ( )YXf xxYXYfy 设
45、的概率密度为，求 的概率密度( )YYFy解：设 的概率分布函数为 0( )YyFy当时，()P Yy2()P Xy( )yyf t dt00( )( )yyf t dtf t dt( )( )YYfyFy1 ()(), 02 0 , 0fyfyyyy 0( )YyFy当时，()0P Yy( ),( )0 ( )0)() XXfxxg xg xYg XY 定理：设，或。， 则 具有概率密度为：( ( )( ) , ( ) 0, XYfh yh yyfy其他min( (),() max( (),()( )( )ggggh yxyg x其中，( )0,g x 证明：不妨设( )0h y 且：( )
46、( ( ) ( )( ( )( )YXXfyfh y h yfh yh y( )0 g x 同理可证：当时，定理为真xh(y),yy0y=g(x)y g x则为单调增函数, ( )()( ()()0YyFyP YyP g XyP X 当时，； y当时，( )1YFy ； y当时，( )()YFyP Yy( ()P g Xy( )P Xh y( )( )h yXft dt( ),( )0,( )0 ( )0)() ( ( )( ) , ( ) 0, min( ( ), ( ) max( ( ), ( )( )( )XXYXfxx f xa bxa bg xg xYg XYfh yh yyfyg
47、a g bg a g bh yxyg x推论：设当时或。， 则 具有概率密度为：其他其中，例：2( ,) ( )YXXNYYfy 设， 求 的概率密度( )xyg x，3, 04( ) ( )80, YxxXf xYXfy。若， 求 其他3( ) yg xx，131, 064( )24 0 , Yyyfy其他222( ,) (,)XNYaXbYN ab a 一般若，1 ( )0g x ，( )xh yy( )()YXfyfy2212ye(0,1)YN13 ( )xyh y2( )30g xx ，21331( )()3YXfyyfy解：例： 解：93精品课件精品课件！94精品课件精品课件！ 1 2,0,1XF xXF xYF XYU例：设 服从参数为 的指数分布，为 的分布函数。求；设试证即均匀分布 。 ,01 0 , 0 xexXf xx解：由前知, 1,0 0 ,0 xexF xx 1,02 0 ,0XeXYF XX 01Y YFyY记为 的概率分布函数, 00YyFyP Yy当时， 11YyFyP Yy当时， 011XYyFyPey当时，1XP ey 11P Xlny 0, 0 , 01 , 0,11, 1YyFyyyYUy即111lnyey
