1、1量子力学 为什么要学习量子力学和统计物理学？为什么要学习量子力学和统计物理学？1960年代，著名微波电子学家Pirls曾说，量子力学、统计物理学是高度抽象的科学，不需要所有的人都懂得这种理论物理科学。然而，在1990年代，随着高技术科学的发展，要求我们必须掌握理论物理学，包括量子力学和统计物理学。例如：微电子器件的集成度越来越高，组成器件的每一个元件的体积越来越小。目前，元件的尺寸可以达到nm级。2Page 3这面临着两个问题：1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的元件，每个元件的工作状态有随机性，但器件的响应具有统计性；2、构成元件的材料的体积属于原子团物理的范畴，即每个粒子含有有限个原子（
2、102109个原子）。这时的统计平均具有显著的涨落，必须考虑量子效应。3Page 4量子力学南京工业大学理学院 吴高建第一章 绪论41.1 经典物理学的困难5Page 6 19世纪末，物理学界建立了牛顿力学、电动力学、热力学与统计物理，统称为经典物理学。其中的两个结论为 1、能量永远是连续的。 2、电磁波（包括光）是这样产生的：带电体做加速运动时，会向外辐射电磁波。6Page 7牛顿力学牛顿力学- -支配天体和力学对象的运动；支配天体和力学对象的运动；杨氏衍射实验杨氏衍射实验- -确定了光的波动性；确定了光的波动性；MaxwellMaxwell方程组的建立方程组的建立- -把光和电磁现象建立在
3、牢固的基础上；把光和电磁现象建立在牢固的基础上；统计力学的建立。统计力学的建立。 经典物理学的成就经典物理学的成就7Page 8 而一旦深入到分子、原子领域，而一旦深入到分子、原子领域， 一些实验事实就与经典理论发生矛盾或一些实验事实就与经典理论发生矛盾或者无法理解。者无法理解。8Page 920世纪初物理学界遇到的几个难题1 两朵乌云（W.Thomson)电动力学中的“以太”：人们无法通过实验测出以太本身的运动速度物体的比热：观察到的物体比热总是低于经典物理学中能量均分定理给出的值。9Page 102 原子的稳定性问题原子塌缩 按照经典理论，电子将掉到原子核里，原子的寿命约为1纳秒。3 黑体
4、辐射问题紫外灾难 按照经典理论，黑体向外辐射电磁波的能量E与频率 的关系为238)(ckTEE10Page 11 4.光电效应的解释光照射到金属材料上，会产生光电子。但产生条件与光的频率有关，与光的强度无关。Light beamelectric currentmetal 11Page 1212能量量子化的假设造成以上难题的原因是经典物理学认为能量永远是连续的。如果能量是量子化的，即原子吸收或发射电磁波，只能以“量子”的方式进行，那末上述问题都能得到很好的解释。Page 1313能量量子化概念对难题的解释原子寿命原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。即E1, E2, . En。 当电子从能级
5、En变化到Em时，将伴随着能量的吸收或发射，能量的形式是电磁波。能量的大小为E =h = EnEm 由此，提出了产生电磁波的量子论观点，即电磁波源于原子中电子能态的跃迁。从而，电子就不会掉到原子核里，原子的寿命就会很长。 Page 14能量量子化概念对难题的解释n 黑体辐射 从能量量子化假设出发，可以推导出同实验观测极为吻合的黑体辐射公式，即Planck公式TcecE/312)(32/8)(ckTE1)(/312TcecE14Page 15 nhnnh, 2 , 1 , 0n 普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以分立的能量 显示，即能量模式是不
6、连续的。所以，辐射的平均能量可如此计算得：15Page 16dEEE 0kTEkTEdEedEe 0kTEkTE0dEedEeEE 0kTE0kTE0kTEdEe)dEeeE(kTkT经典的能量分布几率 所以对于连续分布的辐射平均能量为 （玻尔兹曼几率分布）在 能量范围内，16Page 170nkTnhkTnhee 0nkTnhkTnh0neenhE 0nnx0nnxeedxdh 1x1x)e1 ()e1 (dxdh ) 1e (hkTh 而对于Planck假设的能量分布几率，则为 从而17Page 18kTc2)T,(E22 ) 1e (ch2)T,(EkTh23 于是，用电动力学和统计力学
7、导出的公式 （RayleighJeans） 这就是Planck假设下的辐射本领，它与实验完全符合。应改为18Page 19 当当 （高频区）（高频区） Wein公式 当当 （低频区）（低频区） RayleighJeans公式 kThc 2hckT52 hcE( ,T)e kThc 42 cE( ,T)kT 19Page 2020能量量子化概念对难题的解释对光电效应的解释 如果电子处于分立能级且入射光的能量也是量子化的，那么只有当光子的能量（E =h）大于电子的能级差，即E =h EnEm时，光电子才会产生。如果入射光的强度足够强，但频率足够小，光电子是无法产生的。1.2 光的波粒二象性21Pa
8、ge 22爱因斯坦方程Wmh221v 对光电效应的解释是爱因斯坦于1905年做出的，他也因此获得诺贝尔奖。其中，他 对 光 子 的 能 量 E 是 如 此 假 定 的hE 22Page 2323光子的能量与动量 并用= c / 和狭义相对论中的公式p =E/c推出光子的动量p为p=h/，E=h. 频率， 波长， h普朗克常数Page 2424光的波粒二象性波粒二象性，又称为波动粒子两重性，是指物体，小到光子、电子、原子，大到子弹、足球、地球，都既有波动性，又有粒子性。频率为的单色光波是由能量为E =h 的一个个粒子组成的，这样的粒子被称为光子，或光量子。光子的粒子性光电效应；光子的波动性光的衍
9、射和干涉。Page 25光的波粒二象性n 杨氏干涉实验和惠更斯衍射实验都表明了光的波动性。n 光电效应又证实了光子的粒子性。251.3 微粒的波粒二象性26Page 27271 物质波的概念法国人De Broglie从光的量子论中得到启发，假设任何物体，无论是静止质量为零的光子，还是静止质量不为零的实物粒子，都具有粒子波动两重性。其中的波动，通称为物质波。认为物质波的频率和波长分别为 =E/h，= h /p 这就是著名的德布罗意公式。Page 28282 实物粒子的波动从德布罗意物质波的观点出发，就会得出一种违背常理的结论：躲在靶子后面仍然会被绕过来的子弹打中。子弹之所以不能绕到靶子后面，是因
10、为子弹的波长= h /p太小了。 h6.6210-34Js，p=mvPage 293 电子与分子的衍射与干涉实验n 电子衍射 C60分子干涉图29Page 304 波粒二象性既不是经典的粒子，也不是经典的波5 物理意义：概率波与概率幅概率波（M.Born,1926)：物质波描述了粒子在各处发现的概率。概率幅：波函数也叫概率幅，概率密度2波的叠加是概率幅叠加，而非概率叠加22212122112PPP301.4 不确定关系31Page 32n物质波的观点直接导致这样一个结论： 无法同时准确测量一个粒子的坐标和动量无法同时准确测量一个粒子的坐标和动量q q坐标，坐标，p p动量动量2/pq另有：能量
11、和时间的不确定关系：另有：能量和时间的不确定关系：2/tE32Page 3333量子力学的特点：能量量子化；波粒二象性；不确定关系。需要用一个完整的理论将这些离散的假设和概念统一起来：量子力学应运而生。Page 3434量子力学的作用一般工科：建立概念与启迪思维，重点在了解。材料学：重点是建立正确的、系统的、完整的概念，为后续课程以及将来从事材料学领域的研究奠定基础。理科：四大力学之一，应该精通，并作为日后从事研究的工具。Page 3535学习量子力学时应注意的问题概念是灵魂建立起清晰的概念数学是桥梁不必过分拘泥于数学推导结论是收获铭记结论在材料学中的作用Page 36学习量子力学，其困难在于
12、：a.发现它与我们熟悉的经典物理学中的习惯或概念不一致；b. 量子力学中的新的物理概念不是直观的；c. 处理问题时，与经典物理学在手法上截然不同。它的重要性在状态，算符和演化。36Page 37所以，我们强调a.掌握实验事实，及它给我们的启示，不直接与主观经验联系，不先入为主；b.b.掌握和理解量子力学的基本概念。新的概念的依据和特点，新在什么地方，如何理解；c.c.掌握理论中建立的方程和所用的数学方法以及处理它们的思路和步骤。37Page 3838参考书目曾谨言量子力学，科学出版社周世勋量子力学教程，高等教育出版社量子力学第二章波函数及薛定谔方程392.1 波函数及其统计解释40Page 4
13、1 自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量E 和动量 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为 又因为波矢为 ，因此，自由粒子的 和k都为常量。得到 epp hEkehp 一、自由粒子的波函数/2khE/ph/41Page 42n 和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述 或将上式代入，得到 这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即)(exptrkiA)(expEtrpiA( , , , )x y z t )cos(trkA42Page 43二、一般粒子的波函数及其物理意义1 当粒子受到外
14、力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用简单的函数来描述，但总可以用一个函数 来描述这个粒子的特性，称其为粒子的波函数。( , , , )x y z t 43Page 442 物理意义：对实物粒子的波动性有两种解释 （1）第一种解释，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。44Page 45n 能量和动量的关系为，n 利用n 得到n 物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。, hE, kpmpE2/2,2/h,2,/2k22
15、0,( )dtx tdkm 所以，45Page 46（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言， 弱电子密度长时间强电子密度短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置。46Page 473、概率波n 粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以， 应该应该表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率大小的一个量。 因此，粒子的波函数又称为概率波。( , , )( , , ) | ( , , )|ix y zx
16、 y zx y z e2|( , , )|x y z47Page 48保留经典概念的哪些特征不具有经典概念的哪些特征粒子性 有确定的质量、电荷、自旋等没有确定的轨道波动性 有干涉、衍射等现象振幅不直接可测由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写在本质上具有统计的特征。48Page 49三、波函数的统计诠释n 表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。n 表示点(x,y,z)处的体积元 中找到粒子的概率。n 这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件2|( , , )|1x y zdxdydz*( ,),ddd
17、xdydz ( ,)1 归一化条件可表示为2|( , , )|x y z2|( , , )|x y zx y z x y z 49Page 50四、常数因子不定性n 设C是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。n 如果则有，n 等同于( , , )x y z( , )Cx y z2|( , , )|0 x y zdxdydzA21|( , , )|1x y zdxdydzA( , )x y z1( , , )x y zA50Page 51说明：1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个位相因子的不确定性（相位不确定性）。例如：常数 ，则 和 对粒子在点（x,y,z
18、）附近出现概率的描述是相同的。2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面波。iec ),(zyx),(zyxc51Page 52五、对波函数的要求n 1、可积性n 2、归一化n 3、单值性，要求 单值n 4、连续性02|( , , )|x y zdxdydz有限值2|( , , )|1x y zdxdydz2|( , , )|x y z( , , )x y z及其各阶导数连续52Page 53六、态的叠加原理 波的干涉，衍射现象的本质原因是因为它满足叠加原理。微观粒子所显示的波动性表明：波函数也应满足叠加原理。53Page 54如果1和2是体系可能的状态，那么=c11+c22也是体系的可能状态。
19、对于合成的状态： 211222212121212ccc cc c,其中c cc c12121212 就是干涉项。 其中c cc c12121212 其中就是干涉项。 c cc c12121212 其中54Page 55一般地说，叠加原理可以写成ncnc.这导致了量子力学中的一个重要概念：对于一个指定的量子体系，如果我们找到了它的“完备的基本状态”，例如 ，那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。np pi Etp rr t( , )e,()/ ( , )( , ),r tcr tppp运动的状态是平面波因此，自由电子的任何状态都可以写成：即是各种不同动量的平面波的叠加。 例如：一个自由电子
20、以动量Ep22/和能量55Page 56 pip rr ( )()e,/123( , )( , )()e,/ r tc p td pip r1233()d pdp dp dpxyz3c p tr td rip r( , )( , )()e,/ 1233()d rdxdydz3c p t( , )这个例子在数学上就是函数的Fourier变换。引入那么任何波函数(不一定是自由粒子的)都可以写成 其中的系数由下式得出： 这个的物理意义是“动量测量几率振幅”。( , )( , )e,/x tc p tdpipx12c p tx tdxipx( , )( , )e./12对于一维情形，56Page 57
21、七、动量分布概率n 设 ，则 表示粒子出现在点 附件的概率。n 设 为粒子的动量，那么粒子具有动量 的概率如何表示？ n 平面波的波函数为n 任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开kzj yi xrrkpjpippzyx/)(rp ierppdeprrp i3/23)()2(1)(22| ( , , )| | ( )|x y zr57Page 58n 其中，rderprp i3/23)()2(1)(2| )(|p/rp ie2| )(|pp( ) r可见， 代表 中含有平面波 的成分，因此， 应该代表粒子具有动量 的概率。582.2 薛定谔方程59Page 60一 Schrodinger方
22、程量子力学的基本定律是波函数所满足的偏微分方程。这个基本定律在本质上是一个假说。/ )(),(rpEtietrde Broglie波满足的方程是： itE, ipp,.222而Ep22/, 所以it 222.60Page 61Ep22/Eitpi ,这可以看做是在经典关系中进行代换可以推广地说：若粒子在外势场U r ( )中运动，其能量的表达式为EpU r122( ),61Page 62则它的波函数应该满足方程itU r 222( ) .此即单粒子运动的Schrodinger方程(1926)。62Page 63二 几率守恒定律 粒子的空间几率密度是w r tr tr tr t( , )( ,
23、)( , )( , ),2wttt.根据Schrodinger方程，tiiU212, tiiU212,63Page 64wtii 2222()(). 记Ji2(),则wtJ 0,而这表示了一种守恒定律。 64Page 65因为，对任何体积V，VVwtdJd ,等式右方用Gauss定理，得 ddtWJ dSVS ,WVSJ dSJ是在体积V内发现粒子的总几率，而穿过封闭曲面S向外的总通量。所以是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。几率守恒也就是粒子数守恒。 65Page 66三 定态Schrodinger方程U r ( )若 与时间无关，则Schrodinger方程可以分离变量求解， ( ,
24、)( ) ( ),r tf trif tdfdtrU r( )( )( ),1222idfdtEf t( ),f tiEt( )e.222U rEr( )( ).66Page 67波函数成为 ( , )e( ),r triEt这样的波函数(或者是波函数 ）称为定态波函数。对比de Broglie波，我们发现常数E的物理意义正是粒子的能量。所以定态是体系的能量有确定值的状态。在定态中，体系的各种力学性质不随时间而改变。( )r67Page 68的方程称为该算符的本征方程，常数称为本征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值的)本征函数。所以定态Schrodinger方程也就是能量本征方程。 形如算
25、符作用于波函数 = 常数乘以这波函数682.3 一维运动的一般分析69Page 70一、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质1、定态2、简并 如果系统的能级是分立的，即 ，若对同一个能级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的。nEE 70Page 713、宇称函数在空间反演下表现出的特性。)sin()sin()sin()cos()cos()cos()()()()()()()()()(:xxxPxxxPxxxxPxxxPxxPP奇宇称偶宇称宇称，如具有确定的偶宇称或奇称，或如果为算符定义空间反演（反射）71Page 724、定态薛定格方程能量本征方程也就是能量本征方程。此即定态
26、薛定格方程，代入上式得对于定态，有为为实数，则薛定格方程且方向运动，势能为的粒子，沿设质量为) 1 ()()()(2,)(),(),()(2),()()(),(222/222*xExxVxmextxtxxVxmtxtixVxVxVxmiEt72Page 735、束缚态与非束缚态或散射态这种状态叫非束缚态，出现现从而粒子可能在无穷0,(x)反之，为束缚态。现的概率为零，称从而粒子在无穷0,(x)时，x则在),U(-和)U(E如果),U(-)U(时有确定的极限，记作x在U(x)若远远出73Page 74n 定理1。量也是程的一个解，对应的能也是能量本征方，则能量本征值为解，对应的是能量本征方程的一
27、个设ExEx)()(*74Page 75n 推论1为实函数。不简并，则这个解可取，能量本征方程的解值对应于能量的某个本征)(xE75Page 76n 定理2组实解的线性叠加。这一的任何解，均可表示为组实解，凡是属于方程的一，总可以找到能量本征的某个本征值解，对应于能量是能量本征方程的一个设EEx)(76Page 77的解。也是方程对应于则的解，能量本征值是能量本征方程对应于如果，具有确定的偶宇称，即：设定理ExExxVxVxV)()()()()(377Page 78有确定的宇称。具无简并，则若的解，如果能量本征值是能量本征方程对应于推论：设)()(),()()(xxxVxVEx78Page 7
28、9来展开。的任何解，都可用它们定的宇称，而属于个解都有确程的一组解，其中的每总可以找到能量本征方，量本征值，则对应于任何一个能：设定理EExVxV)()(479Page 80点必定是连续的。在及其导数函数有限，则能量本征若：设定理axxVVaxVaxVxV)()(,;,)(5122180Page 81处是连续的。时在当为能量本征函数，则有限，若推论：设axxxVVaxVaxVxV0)()(ln)(,;,)(122181Page 82。都是束缚态，则和解，若的同一能量均为能量本征方程属于和推论：设常数。的解，则能量同一均为能量本征方程属于和：设定理12212121122121)()(6EExx8
29、2Page 83并的。束缚态，则必定是不简中运动，如存在：设粒子在无奇点势场定理)(7xV832.4 一维无限深势阱和方势阱84Page 85一、一维无限深方势阱1、势函数如果在 ，由能量本征方程， 有其解为 ，其中由边界条件 和 ，有 和 ，波函数为., 0,;0, 0)()(axxaxxVrV)(xVxa0ax 00)(2)(222xmExdxd)sin()(kxAx/2mEk 0)0(0)(a00)sin(ka)sin()()(xanAxxnnka , 3 , 2 , 1 n)0(ax 85Page 862、能量量子化n 由 ， 和n 得到 ，n 这说明，一维无限深方势阱中的粒子的能量是
30、量子化量子化的。n 称为体系的能量本征值，与 对应的波函数 称为能量本征函数。 nka , 3 , 2 , 1 n/2mEk 22222manEEn, 3 , 2 , 1 nnEnEn86Page 87将波函数 进行归一化：即令 ，得到归一化波函数为)sin()(xanAxn)0(ax 1| )(|20dxxnaaA/2| , 3 , 2 , 1., 0, 0;0),sin(2)(naxxaxaxnaxn3、归一化波函数87Page 88n 最低能量n 经典粒子，可以有n 一维无限深方势阱中的粒子 ，由测不准关系 ，得到n 因此，粒子能量 022221maE0Eax px0/ap02/2/)(
31、2/2222mampmpE4、讨论88Page 89n 在 ， n 有 个节点 ，其上 n 说明粒子在这些节点上 出现的概率为零。n 对于经典粒子来说，它 在 内任何一点都 有可能出现。)sin()(xanAxn1nnx0)sin()(nnnxanAxax 0ax 089Page 90二、有限深对称方势阱n 设n 粒子能量n 条件n 在阱内能量本征方程n 解2a)(xVx00V0V2aE. 2/|,; 2/|, 0)(0axVaxxVE00VE 2/|ax 0)(2)(222xEmxdxdikxikxBeAex)(/2mEk 90Page 91n 在阱外 能量本征方程n 解n ，说明粒子不会出
32、现在n ，说明 的粒子也有到达势阱外的可能。2/|ax 0)()(2)(0222xEVmxdxd. 2/,; 2/,)(axDeaxCexxx2a)(xVx00V0V2aE/)(20EVm0| )(|2x0| )(|2x0VE 912.5 量子隧道效应92Page 93一、方势垒的反射与透射n 在 ，能量本征方程n 解n 粒子流密度n 反射系数 透射系数axx , 00)(2)(222xEmxdxd.,0,Re)()(axTexexxikxikxikx透反入外ikxTeikxeikxRea00V)(2),(*mitrjvmkj/入vj2|R| 反vTj2| 透2|R|/入反jj2|T|/入透j
33、j93Page 94n 在 ，能量本征方程n 解ax 00)(20222EVmdxd/)(20EVmxxBeAexx)()(内ikxeikxRea00VikxTe)0()0(内外)()(aa内外)0()0(内外dxddxd)()(adxdadxd内外BAR1BARik/ )1 (ikaaaTeBeAeikaaaTeikBeAe94Page 95n 解代数方程，得到n 势垒贯穿n 隧穿效应aikeikTA)()1 (2aikeikTB)()1 (22222222224)()(|kashkashkR1|22 TR222222224)(4|kashkkTikxTeikxikxe Re0Va0入射波反
34、射波透射波95Page 96n 电子的势垒贯穿n 1 2 5 10n 当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观kgm31101 . 9Js34101 . 1JEV190108)10A(10oma2|T1 . 02102 . 15107 .110100 . 3ikxeikxRea00V96Page 97二、势的反射与透射n 设质量为m的粒子(E0)从左射入势垒常数, 0,0, 00,)()(xxxxV)0()0()0()0()0()0(,)0()()()(222222 不连续不存在薛定格方程为xdxdxxdxdxxxxExdxdm97Page 98变关系。点不连续，满足上述跳在时，所以，当0)(0)
35、0()0(2)0()0()()()(2202220limlimxxmdxxxEdxxdxdm98Page 99)0(21,1)0(2)0()0()0()0(1(0,0,Re)(, 0)()()()()(2/2, 0)(0222222SikSmSRSRmxSexexexkxxxExdxdmmEkxxikxikxikxikx 得到和由边界条件）入射波振幅为表示为可形式的解具有变为令当99Page 100122222122124222122122)21 (2|R|)21 ()1 (|S|1)1 (,)1 (21,1EmEmEmkmkimkimRkimSikSmSRSR反射系数透射系数入射波振幅为得到
36、由100Page 101完全贯穿势垒。，说明高能粒子将时，、当反射与透射系数不变。时，当相关，反射与透射系数与、说明存在势垒贯穿。，、1|S|/431|20|1222222mESRS讨论1012.6 线性谐振子102Page 1031、能量本征方程n 简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动n 一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为n 例如，双原子分子中两原子之间的势能 n 一维谐振子的能量本征方程 25 . 0)(KxxV20)(5 . 0)(axKVxVa)(xV0 x0)()21(2)(2222xEKxmxdxdmKm)/(21Ex103Page 1042、能量本征
37、方程的解n 能量本征方程变为n 当 时， ，有 ，其解n 能量本征方程的解可表示为n 其中， 为待求函数，代入能量本征方程，有n 其解为n 亦即厄密多项式。当 时，要求 得到 0)(222dd222dd2/2e)()(2/2HAe)(H0) 1(222HddHdHd0)(., 2 , 1 , 0, 12 nn., 2 , 1 , 0,) 1()(22 neddeHnnnn104Page 1053、能量本征值n 因为 同时n 故n 讨论 (1)能级是均匀分布的；n (2)相邻能级差相同： ；n (3)基态能量 ，称为零点能；n (4)谐振子吸收 能量后，有可能从下能级跃迁到上能级。相反，放出 能
38、量后，有可能从上能级跃迁到下能级。)/(21E., 2 , 1 , 0, 12 nn., 2 , 1 , 0,)2/1( nnEEn012302/0E105Page 1064、能量本征态（1）n 因为 ，n 其中， 要根据 的归一化条件确定，即n 由于n 得到n 能量本征态n 正交归一化)()(2/2HAe., 2 , 1 , 0,) 1()(22 neddeHnnnnmnnnmndeHH!2)()(2nmnmmn, 0, 1A)(1)(|)()(222*deHAdn21)!2/(naAAnnma )()()(2/22axHeAnxannmnnmdxxx)()(106Page 1074、能量本
39、征态（2）n 最低三条能级上的波函数为2/0E2/31E2/52E2/4/1022)(xaeax2/4/11222)(xaaxeax2/224/1222) 12(21)(xaexaax2| )(|xn012n0 x107扫描隧道显微镜108Page 109扫描隧道显微镜 109Page 110扫描出的纳米级图像 110Page 111扫描隧道显微镜拍下的DNA 111Page 112“扫描隧道显微镜”下拍摄的“血细胞” 112Page 113用扫描隧道显微镜拍摄到的图像 113Page 114STM工作原理 114Page 115用STM移动氙原子排出的“IBM”图案 115Page 116作
40、为一种扫描探针显微术工具，扫描隧道显微镜可以让科学家观察和定位单个原子，它具有比它的同类原子力显微镜更加高的分辨率。此外，扫描隧道显微镜在低温下（4K）可以利用探针尖端精确操纵原子，因此它在纳米科技既是重要的测量工具又是加工工具。 扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜 scanning tunneling microscopescanning tunneling microscope116Page 117STM使人类第一次能够实时地观察单个原子在物质表面的排列状态和与表面电子行为有关的物化性质，在表面科学、材料科学、生命科学等领域的研究中有着重大的意义和广泛的应用前景，被国际科学界公认为20世纪80年
41、代世界十大科技成就之一 117Page 118基本结构 隧道针尖 三维扫描控制器 减震系统 电子学控制系统 在线扫描控制和离线数据处理软件 118Page 119工作原理 扫描隧道显微镜的工作原理简单得出乎意料。就如同一根唱针扫过一张唱片，一根探针慢慢地通过要被分析的材料（针尖极为尖锐，仅仅由一个原子组成）。一个小小的电荷被放置在探针上，一股电流从探针流出，通过整个材料，到底层表面。当探针通过单个的原子，流过探针的电流量便有所不同，这些变化被记录下来。电流在流过一个原子的时候有涨有落，如此便极其细致地探出它的轮廓。在许多的流通后，通过绘出电流量的波动，人们可以得到组成一个网格结构的单个原子的美
42、丽图片。 119Page 120优越性 具有原子级高分辨率，STM 在平行于样品表面方向上的分辨率分别可达 0.1 nm 和 0.01 nm，即可以分辨出单个原子。 可实时得到实空间中样品表面的三维图像，可用于具有周期性或不具备周期性的表面结构的研究，这种可实时观察的性能可用于表面扩散等动态过程的研究。 120Page 121可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是对体相或整个表面的平均性质，因而可直接观察到表面缺陷。表面重构、表面吸附体的形态和位置，以及由吸附体引起的表面重构等。 可在真空、大气、常温等不同环境下工作，样品甚至可浸在水和其他溶液中 不需要特别的制样技术并且探测过程对样品无损伤
43、 121Page 122 配合扫描隧道谱（STS）可以得到有关表面电子结构的信息，例如表面不同层次的态密度。表面电子阱、电荷密度波、表面势垒的变化和能隙结构等。 利用STM针尖，可实现对原子和分子的移动和操纵，这为纳米科技的全面发展奠定了基础。 122Page 123局限性 STM所观察的样品必须具有一定程度的导电性，对于半导体，观测的效果就差于导体；对于绝缘体则根本无法直接观察。如果在样品表面覆盖导电层，则由于导电层的粒度和均匀性等问题又限制了图象对真实表面的分辨率。宾尼等人1986年研制成功的AFM可以弥补STM这方面的不足。 123量子力学第二章波函数及薛定谔方程1242.1 波函数及其
44、统计解释125Page 126 自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量E 和动量 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为 又因为波矢为 ，因此，自由粒子的 和k都为常量。得到 epp hEkehp 一、自由粒子的波函数/2khE/ph/126Page 127n 和k都为常量的波应该是平面波，可用以下函数描述 或将上式代入，得到 这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即)(exptrkiA)(expEtrpiA( , , , )x y z t )cos(trkA127Page 128二、一般粒子
45、的波函数及其物理意义1 当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用简单的函数来描述，但总可以用一个函数 来描述这个粒子的特性，称其为粒子的波函数。( , , , )x y z t 128Page 1292 物理意义：对实物粒子的波动性有两种解释 （1）第一种解释，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。129Page 130n 能量和动量的关系为，n 利用n 得到n 物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，与实际不符。, hE
46、, kpmpE2/2,2/h,2,/2k220,( )dtx tdkm 所以，130Page 131（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言， 弱电子密度长时间强电子密度短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个位置。131Page 1323、概率波n 粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以， 应该应该表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率大小的一个量。 因此，粒子的波函数又称为概率波。( , ,
47、)( , , ) | ( , , )|ix y zx y zx y z e2|( , , )|x y z132Page 133保留经典概念的哪些特征不具有经典概念的哪些特征粒子性 有确定的质量、电荷、自旋等没有确定的轨道波动性 有干涉、衍射等现象振幅不直接可测由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写在本质上具有统计的特征。133Page 134三、波函数的统计诠释n 表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。n 表示点(x,y,z)处的体积元 中找到粒子的概率。n 这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件2
48、|( , , )|1x y zdxdydz*( ,),dddxdydz ( ,)1 归一化条件可表示为2|( , , )|x y z2|( , , )|x y zx y z x y z 134Page 135四、常数因子不定性n 设C是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。n 如果则有，n 等同于( , , )x y z( , )Cx y z2|( , , )|0 x y zdxdydzA21|( , , )|1x y zdxdydzA( , )x y z1( , , )x y zA135Page 136说明：1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个位相因子的不
49、确定性（相位不确定性）。例如：常数 ，则 和 对粒子在点（x,y,z）附近出现概率的描述是相同的。2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面波。iec ),(zyx),(zyxc136Page 137五、对波函数的要求n 1、可积性n 2、归一化n 3、单值性，要求 单值n 4、连续性02|( , , )|x y zdxdydz有限值2|( , , )|1x y zdxdydz2|( , , )|x y z( , , )x y z及其各阶导数连续137Page 138六、态的叠加原理 波的干涉，衍射现象的本质原因是因为它满足叠加原理。微观粒子所显示的波动性表明：波函数也应满足叠加原理。138Pa
50、ge 139如果1和2是体系可能的状态，那么=c11+c22也是体系的可能状态。对于合成的状态： 211222212121212ccc cc c,其中c cc c12121212 就是干涉项。 其中c cc c12121212 其中就是干涉项。 c cc c12121212 其中139Page 140一般地说，叠加原理可以写成ncnc.这导致了量子力学中的一个重要概念：对于一个指定的量子体系，如果我们找到了它的“完备的基本状态”，例如 ，那么任何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。np pi Etp rr t( , )e,()/ ( , )( , ),r tcr tppp运动的状态是平面波因此
