1、有限元基础及应用有限元基础及应用课程介绍课程介绍一、课程内容：1、有限元法理论基础；2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进行分析。二、学习方法： 理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实际问题来掌握有限元理论。三、学时数：54学时（36学时理论+18学时实验）四、考核方式：平时成绩+上机考试+笔试成绩第一章第一章 绪论绪论1.1 1.1 有限元法概述有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶（1943年），随着计算机技术和计算方法的发展，已成为计算力学和计算工程科学领域里最为有效的方法，它几乎适用于求解所有连续介质和场的问题。一、什么是有限元法？一、什么是有限元法？ 有限元法是将连续体理
2、想化为有限元法是将连续体理想化为有限个单元集合而成，这些单元仅有限个单元集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，即用有限在有限个节点上相连接，即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。个自由度的连续体。二、有限元法的基本思想二、有限元法的基本思想有限元法的基本思想是：“分与合”。 “分”是为了划分单元，进行单元分析；“合”则是为了集合单元，对整体结构进行综合分析。结构离散结构离散-单元分析单元分析-整体求解整体求解三、有限元法的基本步骤三、有限元法的基本步骤 无论对于什么样的结构，有限元分析过程都是类似的。其基本步骤为：（1）研究分析结构的特点，包
3、括结构形状与边界、载荷工况等；（2）将连续体划分成有限单元，形成计算模型，包括确定单元类型与边界条件、材料特性等；（3 3）以单元）以单元节点位移节点位移作为未知量，选择适当的作为未知量，选择适当的位移函数来表示位移函数来表示单元中的位移单元中的位移，再用位移函数，再用位移函数求求单元中的应变单元中的应变，根据材料的物理关系，把，根据材料的物理关系，把单单元中的应力元中的应力也用位移函数表示出来，最后将作也用位移函数表示出来，最后将作用在用在单元上的载荷单元上的载荷转化成作用在单元上的转化成作用在单元上的等效等效节点力节点力，建立单元，建立单元等效节点力和节点位移等效节点力和节点位移的的关关系
4、系。这一过程就是单元特性分析。这一过程就是单元特性分析。（4 4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体的有限元方程，求解出节点位移。的有限元方程，求解出节点位移。重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但各种单元的分析方法又是一致的。各种单元的分析方法又是一致的。四、有限元法的学习路线四、有限元法的学习路线 从最简单的杆、梁及平面结构从最简单的杆、梁及平面结构入手，由浅入深，介绍有限元理论入手，由浅入深，介绍有限元理论以及应用。利用以及
5、应用。利用ANSYSANSYS软件分析问题。软件分析问题。 五、有限元法的发展与应用五、有限元法的发展与应用 有限元法不仅能应用于结构分析，有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。提供了有力的工具。（一）算法与有限元软件（一）算法与有限元软件 从二十世纪从二十世纪6060年代中期以来，进行了年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用
6、领域，还开发了许多通用或专用的有应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。限元分析软件。 理论研究的一个重要领域是计算方法的研理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有：究，主要有：n大型线性方程组的解法；大型线性方程组的解法；n非线性问题的解法；非线性问题的解法；n动力问题计算方法。动力问题计算方法。目前应用较多的通用有限元软件如下表：目前应用较多的通用有限元软件如下表： 软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件
7、 另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。（二）应用实例（二）应用实例有限元法已经成功地应用在以下一些领域： 固体力学：包括强度、稳定性、振动和瞬态问题的分析； 传热学； 电磁场； 流体力学 ； 。转向机构支架的强度分析转向机构支架的强度分析基于基于ANSYSANSYS的齿轮啮合仿真的齿轮啮合仿真 1.2 1.2 有限元法在汽车工程中的应用有限元法在汽车工程中的应用 随着大型有限元通用程序的推广和普及以及计算机硬件技术的飞速发展，有限元已成为汽车设计中的重要环节，无论在车型改造，还是在新车开发阶段，就产
8、品中的强度、疲劳、振动、噪声等问题进行设计计算分析，可提高设计质量，缩短开发周期，节省开发费用，从而真正形成自主的产品开发能力。 车辆结构由不同的材料组成，其结构也非常复杂，包括板、梁、轴、块等通过铆接或焊接而成。 车辆结构承受的载荷也十分复杂，其中包括自重，路面激励、惯性力及构件之间的约束力。 各种汽车结构件都可以应用有限元进行静态分析、模态分析和动态分析。现代汽车设计中，已从早期的静态分析为主转化为以模态分析和动态分析为主。 汽车结构有限元分析的应用主要体现在以下几方面：1.整车及零部件强度和疲劳寿命分析2.整车及零部件刚度分析3.整车及零部件模态及动态分析4.汽车NVH（噪声、振动、声振
9、粗糙度）分析5.整车碰撞安全性分析6.设计优化分析7.气动或流场分析8.热结构耦合分析n有限元应用实例n接触问题n有限元应用实例n冲压成型n有限元应用实例n汽车安全气囊计算n有限元应用实例n汽车碰撞1n有限元应用实例n汽车碰撞2n有限元应用实例n超弹性 总之，在工业产品设计开发的各个阶段，有限元的引入对降低开发成本，缩短研制周期，实施优化设计等都非常关键且效果显著。设计设计计算计算判断（强度，判断（强度，刚度，稳定刚度，稳定性等）性等）结束结束不合理不合理合理合理学习有限元需要的基础知识学习有限元需要的基础知识1.线性代数线性代数2.数值计算：数值代数、数值逼近、数值积分等数值计算：数值代数、
10、数值逼近、数值积分等3.弹性力学弹性力学4.变分原理变分原理第第 2章章 有限元分析过程的概要有限元分析过程的概要2.1 有限元分析的目的和概念有限元分析的目的和概念描述可承力构件的力学信息一般有三类： (1)位移：构件因承载在任意位置上所引起的移动； (2)应变：构件因承载在任意位置上所引起的变形状态； (3)应力：构件因承载在任意位置上所引起的受力状态。 为什么采用有限元方法就可以针对具有任为什么采用有限元方法就可以针对具有任意复杂几何形状的结构进行分析，并能够意复杂几何形状的结构进行分析，并能够得到准确的结果呢？得到准确的结果呢？有限元方法是基于“离散逼近”的基本策略，可以采用较多数量的
11、简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原函数。 一个复杂的函数，可以通过一系列的基函数的组合来“近似” ，也就是函数逼近，其中有两种典型的方法：(1)基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开)；(2)基于子域的分段函数组合(如采用分段线性函数的连接)例：例：一个一维函数的两种展开方式的比较一个一维函数的两种展开方式的比较两种方法特点第一种方第一种方法法（经典瑞利经典瑞利-里兹方法里兹方法(Rayleigh-Ritz )的思想的思想）：）： 所采用的基本函数非常复杂，而且是在全域上定所采用的基本函数非常复杂，而且是在全域上定义的，但它是高次连续函数，一般情况下，仅采义的，但它是高次连续函数，一般情况
12、下，仅采用几个基底函数就可以得到较高的逼近精度；用几个基底函数就可以得到较高的逼近精度；第二种方式第二种方式（有限元方法的思想）：（有限元方法的思想）： 所采用的基本函数非常简单，而且是在子域上定所采用的基本函数非常简单，而且是在子域上定义的，它通过各个子域组合出全域义的，它通过各个子域组合出全域 ，但它是线性函，但它是线性函数，函数的连续性阶次较低，因此需要使用较多的数，函数的连续性阶次较低，因此需要使用较多的分段才能得到较好的逼近效果，则计算工作量较大。分段才能得到较好的逼近效果，则计算工作量较大。基于分段的函数描述具有非常明显的优势：基于分段的函数描述具有非常明显的优势：(1)可以将原函
13、数的复杂性“化繁为简” ，使得描述和求解成为可能(2)所采用的简单函数可以人工选取，因此，可取最简单的线性函数，或取从低阶到高阶的多项式函数(3)可以将原始的微分求解变为线性代数方程。但分段的做法可能会带来的问题有：(1) 因采用了“化繁为简”，所采用简单函数的描述的能力和效率都较低，(2) 由于简单函数的描述能力较低，必然使用数量众多的分段来进行弥补，因此带来较多的工作量。 2.2 一维阶梯杆结构问题的求解一维阶梯杆结构问题的求解 以 1D阶梯杆结构为例，详细给出各种方法求解的过程，直观地引入有限元分析的基本思路，以此逐步介绍有限元分析的过程。方法一：方法一：材料力学求解材料力学求解（1）求
14、内力（2）求）求应力应力（3）求应变）求应变（4）求伸长量）求伸长量（5）求位移）求位移计算结果图示讨论：讨论：（1）求解的基本力学变量是力（或应力），由于以上问题非常简单，而且是静定问题，所以可以直接求出；（2）对于静不定问题，则需要变形协调方程，才能求解出应力变量，在构建问题的变形协调方程时，则需要一定的技巧；（3）若采用位移作为首先求解的基本变量，则可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基于 A、B、C 三个点的位移 来进行以上问题的求解。方法二：方法二：节点位移求解及平衡关系节点位移求解及平衡关系 要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建相应的平衡关系，然后再进行求解。首先分析杆
15、内部的受力及变形状况节点 A、B、C的受力状况，分别建立它们各自的平衡关系写成矩阵形式代入已知数值求解得：已知已知回代求出应变和应力回代求出应变和应力讨论：物理含义就是内力与外力的平衡关系。物理含义就是内力与外力的平衡关系。内力表现为各个节点上的内力，并且可内力表现为各个节点上的内力，并且可以通过节点位移来获取。以通过节点位移来获取。方法三：方法三：基于位移求解的通用形式基于位移求解的通用形式此方程的左端就是杆件的内力此方程的左端就是杆件的内力表达和杆件的内力表达之和，表达和杆件的内力表达之和，这样就将原来的基于节点的平衡这样就将原来的基于节点的平衡关系，变为通过每一个杆件的平关系，变为通过每
16、一个杆件的平衡关系来进行叠加。衡关系来进行叠加。标准化过程标准化过程单元节点位移单元节点位移单元节点外力单元节点外力单元节点内力单元节点内力单元节点的内力与外力平衡：单元节点的内力与外力平衡：即：即：或其中其中为单元的刚度矩阵为单元的刚度矩阵例：例：三连杆结构的有限元分析过程三连杆结构的有限元分析过程(1)(1)节点编号和单元划分节点编号和单元划分(2)(2)计算各单元的单元刚度方程计算各单元的单元刚度方程(3)(3)组装各单元刚度方程组装各单元刚度方程(4)(4)处理边界条件并求解处理边界条件并求解(5)求支反力求支反力由方程组的最后一行方程，可求出支反力为由方程组的最后一行方程，可求出支反
17、力为(6)求各个单元的其它力学量（应变、应力）求各个单元的其它力学量（应变、应力）有限元分析的基本流程总结：总结：（1）有限元分析的最主要内容，就是研究单元，即首先给出单元的节点有限元分析的最主要内容，就是研究单元，即首先给出单元的节点位移和节点力位移和节点力；（2）然后然后，基于单元节点位移与节点力的相互关系可以直接获得相应的基于单元节点位移与节点力的相互关系可以直接获得相应的刚度系数，进而得到单元的刚度方程刚度系数，进而得到单元的刚度方程；（3）再）再针对实际的复杂结构，根据实际的连接关系，将单元组装为整体针对实际的复杂结构，根据实际的连接关系，将单元组装为整体刚度方程，这实际上也是得到整
18、体结构的基于节点位移的整体平衡方程。刚度方程，这实际上也是得到整体结构的基于节点位移的整体平衡方程。（4）因此，有限元方法的主要任务就是对常用的各种单元（包括因此，有限元方法的主要任务就是对常用的各种单元（包括 1D、2D、3D问题的单元）构造出相应的单元刚度矩阵；问题的单元）构造出相应的单元刚度矩阵；（5）当然，如果采用直接法来进行构造，会非常烦琐，而采用能量原理当然，如果采用直接法来进行构造，会非常烦琐，而采用能量原理（如：虚功原理或最小势能原理）来建立相应的平衡关系则比较简单，（如：虚功原理或最小势能原理）来建立相应的平衡关系则比较简单，这种方法可以针对任何类型的单元进行构建，以得到相应
19、的刚度矩阵，这种方法可以针对任何类型的单元进行构建，以得到相应的刚度矩阵，推导单元刚度矩阵的方法的力学基础推导单元刚度矩阵的方法的力学基础在后面介绍在后面介绍。第第3 3章章 杆梁结构分析的有限元方法杆梁结构分析的有限元方法 一、杆件有限元分析的标准化表征与算例1 杆件分析的基本力学原理 连接它的两端一般都是铰接接头，因此，它主要是承受沿轴线的轴向力，它不传递和承受弯矩。平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程物理方程位移边界条件位移边界条件力边界条件力边界条件（1）1D问题的基本变量问题的基本变量（2）1D问题的基本方程问题的基本方程（3 3） 虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程BAbaB
20、APbPaABBAPbPa0 AABBPP 图（图（a a）所示一平衡的杠杆，对）所示一平衡的杠杆，对C C点写力矩点写力矩平衡方程：平衡方程：图（图（b b）表示杠杆绕支点）表示杠杆绕支点C C转动时的刚体位转动时的刚体位移图：移图：综合可得：综合可得：即：即：上式是以功的形式表述的。表明：图上式是以功的形式表述的。表明：图a a的的平衡力系在图平衡力系在图b b的位移上作功时，功的总的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。和必须等于零。这就叫做虚功原理。 进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，进一步分析。当杠杆处于平衡状态时， 和和 这两个这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，
21、例如人为地振一下让它倾斜，位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足上式的关系。一定满足上式的关系。 将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。和计算结构。 对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，否真正发生了位移，而假想它发生了位移，( (由于是假想，故称为由于是假想，故称为虚位移虚位移) )，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零
22、。零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图中的这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图中的 和和 所作的功就不是发生在它本身所作的功就不是发生在它本身( (状态状态a)a)的位移上，的位移上，( (因为它本身因为它本身是平衡的，不存在位移是平衡的，不存在位移) )，而是在状态，而是在状态(b)(b)的位移上作的功。可见，的位移上作的功。可见，这个位移对于状态这个位移对于状态(a)(a)来说就是虚位移，亦即是状态来说就是虚位移，亦即是状态(a)(a)假象的位移。假象的位移。虚功原理虚功原理APABPB 必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它
23、所涉及到的两个方面，两个方面，力和位移并不是随意的。力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。 还要注意，还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该这时该约束力叫做被动力。约
24、束力叫做被动力。( (如图中的反力如图中的反力 ，由于支点，由于支点C C没有位移，故没有位移，故 所作的虚功对于零所作的虚功对于零) )。反之，如图的。反之，如图的 和和 是在位移过程是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。而被动力是不作虚功的。虚功原理虚功原理cRBPAP虚功原理与虚功方程虚功原理与虚功方程虚功原理表述如下：虚功原理表述如下： 在力的作用下处于平衡状态
25、的体系，当发生与约束条件在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功移上所作的总功( (各力所作的功的代数和各力所作的功的代数和) )恒对于零。恒对于零。虚功原理用公式表示为：虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中这就是虚功方程，其中P P和和 相应的代表力和虚位移。相应的代表力和虚位移。0 WP 虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况 虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设图中的杠杆是绝对刚性，没虚功方程是按刚体的情况得出的，即假设图中的杠杆是绝对刚性，没有
26、任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。 将虚功原理用于弹性变形时，总虚功将虚功原理用于弹性变形时，总虚功要要包括外力虚功包括外力虚功( ( W)W)和内力虚功和内力虚功( ( U)U)两部分，即：两部分，即： W - W - U U ；内力虚功；内力虚功(-(- U)U)前面有一负号，是由于前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。变形的方向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功
27、等于零得：根据虚功原理，总功等于零得： W - W - U = 0U = 0 外力虚功外力虚功 （ W W） = = 内力虚功内力虚功 （ U U） 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功( (外力功外力功) )等于等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功整个弹性体内应力在虚应变上的虚功( (内力功内力功) )。注意这里的虚位移是指仅注意这里的虚位移是指仅满足位移边界条件满足位移边界条件 BC(u) BC(u)的许
28、可位移。的许可位移。（4）1D问题的虚功原理求解试函数（满位移足边界条件）：试函数（满位移足边界条件）：由虚功原理：由虚功原理：（5）1D问题的最小势能原理求解设有满足位移边界条件设有满足位移边界条件 BC(u)的许可位移场的许可位移场计算该系统的势能计算该系统的势能(potential energy)为为 对于包含有待定系数的试函数而言，真实的位移函数应使对于包含有待定系数的试函数而言，真实的位移函数应使得该系统的势能取极小值，即得该系统的势能取极小值，即由上面的计算可以看出，基于由上面的计算可以看出，基于试函数试函数的方法，包括虚功原的方法，包括虚功原理以及最小势能原理，仅计算系统的能量，
29、实际上就是计理以及最小势能原理，仅计算系统的能量，实际上就是计算积分，然后算积分，然后转化为求解线性方程转化为求解线性方程，不需求解微分方程，不需求解微分方程，这样就大大地降低了求解难度。同时，也可以看出，试函这样就大大地降低了求解难度。同时，也可以看出，试函数的方法的关键就是如何构造出适合于所求问题的数的方法的关键就是如何构造出适合于所求问题的位移试位移试函数函数，并且该构造方法还应具有，并且该构造方法还应具有规范性以及标准化规范性以及标准化，基于，基于“单元单元”的构造方法就可以完全满足这些要求。的构造方法就可以完全满足这些要求。2. 局部坐标系中的杆单元描述 1）杆单元的描述）杆单元的描
30、述(1) 单元的几何及节点描述单元的几何及节点描述2. 局部坐标系中的杆单元描述 1）杆单元的描述）杆单元的描述(2) 单元位移场的表达单元位移场的表达该函数将由两个端节点的位移该函数将由两个端节点的位移 ， 确定，故取：确定，故取：单元节点条件为将其代回位移试函数表达式得：将其代回位移试函数表达式得：形状函数矩阵形状函数矩阵(3) 单元应变场的表达单元应变场的表达几何矩阵几何矩阵(4) 单元应力场的表达单元应力场的表达应力矩阵应力矩阵(5) 单元势能的表达单元势能的表达单元刚度矩阵单元刚度矩阵节点力列阵节点力列阵(6) 单元的刚度方程单元的刚度方程利用最小势能原理，取极小值，可以得到单元的刚
31、度方程利用最小势能原理，取极小值，可以得到单元的刚度方程2. 局部坐标系中的杆单元描述 2）变截面杆单元的推导）变截面杆单元的推导标准化过程：1) 平面杆单元的坐标变换平面杆单元的坐标变换 3. 杆单元的坐标变换局部坐标系中的节点位移为局部坐标系中的节点位移为整体坐标系中的节点位移为整体坐标系中的节点位移为1) 平面杆单元的坐标变换平面杆单元的坐标变换 3. 杆单元的坐标变换等价变换关系等价变换关系写成矩阵形式写成矩阵形式坐标变换矩阵坐标变换矩阵整体坐标系下刚度方程的推导整体坐标系下刚度方程的推导整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的节点力列阵整体坐标系下的节点力列
32、阵由最小势能原理可得到整体坐标系中的刚度方程由最小势能原理可得到整体坐标系中的刚度方程 2） 空间杆单元的坐标变换空间杆单元的坐标变换局部坐标系中的节点位移为局部坐标系中的节点位移为整体坐标系中的节点位移为整体坐标系中的节点位移为杆单元轴线在整体坐标系中的方向余弦为杆单元轴线在整体坐标系中的方向余弦为2） 空间杆单元的坐标变换空间杆单元的坐标变换刚度矩阵和节点力的变换与平面情形相同，但刚度矩阵和节点力的变换与平面情形相同，但2） 空间杆单元的坐标变换空间杆单元的坐标变换3.杆结构分析的算例杆结构分析的算例 各杆的弹性模量和横截面积都为 ，试求解该结构的节点位移、单元应力以及支反力。（1） 结构
33、的离散化与编号结构的离散化与编号（1） 结构的离散化与编号结构的离散化与编号（2）各个单元的矩阵描述）各个单元的矩阵描述 （2）各个单元的矩阵描述）各个单元的矩阵描述 （3） 建立整体刚度方程建立整体刚度方程刚度矩阵：刚度矩阵：节点位移：节点位移：节点力：节点力：整体刚度方程为整体刚度方程为（3） 建立整体刚度方程建立整体刚度方程(4) 边界条件的处理及刚度方程求解边界条件的处理及刚度方程求解边界条件边界条件 BC(u)为：为：(5) 各单元应力的计算各单元应力的计算同理，可求出其它单元的应力。同理，可求出其它单元的应力。(6) 支反力的计算支反力的计算将节点位移的结果代入整体刚度方程中，可求
34、出将节点位移的结果代入整体刚度方程中，可求出训练题训练题1. P.91习题3,4. 等效载荷。 2. 总刚度矩阵组装方法。二、二、 梁件有限元分析的标准化表征与算例梁件有限元分析的标准化表征与算例1 梁件分析的基本力学原理梁件分析的基本力学原理 图图. 受分布载荷作用的简支梁受分布载荷作用的简支梁图图. 梁问题的梁问题的dx“微段微段”及受力平衡及受力平衡梁特征：（梁特征：（1）梁为细长梁）梁为细长梁 ，可只用可只用 x 坐标来刻画，坐标来刻画， （2）主要变形为垂直于）主要变形为垂直于 x 的挠度，可只用挠度来描述的挠度，可只用挠度来描述位移场。位移场。针对这两个特征，可以对梁针对这两个特征
35、，可以对梁沿高度方向的变形做出以下沿高度方向的变形做出以下设定：设定：(1)变形后的直线假变形后的直线假定；定；(2)小变形假定。小变形假定。 应变：应变： (采用采用 ，沿高度方向满足直线假定，沿高度方向满足直线假定) 应力：应力： (采用采用 ，其它应力分量很小，不考虑，其它应力分量很小，不考虑)，该，该变量对应于梁截面上的弯矩变量对应于梁截面上的弯矩 M。 【基本变量基本变量】 平面梁的基本变量平面梁的基本变量位移：位移：（中性层的挠度）（中性层的挠度）xx( ,0)v x y【基本方程基本方程】 平面梁的基本方程平面梁的基本方程 （1） 平衡方程平衡方程（2） 几何方程几何方程（3）
36、物理方程物理方程（4） 边界条件边界条件或：或：对以上方程进行整理对以上方程进行整理, 有描述平面梁弯曲问题的基本方程：有描述平面梁弯曲问题的基本方程：为梁截面的惯性矩为梁截面的惯性矩222( )xAAd vM xydAy Ev dAEIdx 44( )0d vEIp xdx(y方向的平衡）方向的平衡）(x方向的平衡）方向的平衡）22( )xd vxEydx 22( )xd vxydx (物理方程物理方程）(几何方程几何方程）2AIy dA其中：其中：【求解原理求解原理】 （1）简支梁的微分方程解）简支梁的微分方程解这是一个常微分方程，其解的形式为这是一个常微分方程，其解的形式为由四个边界条件
37、求出待定参数，最后有结果由四个边界条件求出待定参数，最后有结果【求解原理求解原理】 （2）简支梁的虚功原理求解）简支梁的虚功原理求解假设有一个只满足位移边界条件假设有一个只满足位移边界条件 BC(u)的位移场为的位移场为该简支梁的虚应变能为：该简支梁的虚应变能为：由几何方程：由几何方程：0lxxxxAUdEdAdx 该简支梁的外力虚功为该简支梁的外力虚功为由虚功原理由虚功原理 ，则则 00011002sinlp lxWpvdxpcdxclUW4011122p lEIlcccl41054lcpEI【求解原理求解原理】 （3) ) 简支梁的最小势能原理求解简支梁的最小势能原理求解 为提高计算精度，
38、可以选取多项函数的组合，这里取满为提高计算精度，可以选取多项函数的组合，这里取满足位移边界条件足位移边界条件 BC(u)的许可位移场为的许可位移场为计算应变能计算应变能U 为为22201122lxxd vUdEIdxdx 442222221212013333sinsin2sinsin2lxxxxEI ccc cdxllllllll 4422123222EIllccll123( )sinsinxxv xccll则为使总势能则为使总势能( ) 取极小值，则有取极小值，则有相应的外力功相应的外力功W 为为解出解出 和和 后得后得0120120322sinsin3lxxllWpccdxpccll1c2
39、c注：注：该方法得到的第一项与前面虚功原理求解出来的结果该方法得到的第一项与前面虚功原理求解出来的结果相同，与精确解相同，与精确解相比，该结果比前面由虚功原理得到的结相比，该结果比前面由虚功原理得到的结果更为精确，这时因为选取两项函数作为试函数，这也是果更为精确，这时因为选取两项函数作为试函数，这也是提高计算精度的重要途径。以上求解过程所用的试函数为提高计算精度的重要途径。以上求解过程所用的试函数为许可基底函数的线性组合，因此，上述求解方法也是瑞利许可基底函数的线性组合，因此，上述求解方法也是瑞利-里兹方法。里兹方法。 以上的以上的【求解原理求解原理】（2）和（）和（3）都是基于试函数的能量）
40、都是基于试函数的能量方法方法(也称为泛函极值方法也称为泛函极值方法)，基本要点是不需求解原微分方，基本要点是不需求解原微分方程，但需要假设一个满足位移边界条件程，但需要假设一个满足位移边界条件 BC(u)的许可位移的许可位移场。因此，如何寻找或构建满足所需要求的许可位移场是场。因此，如何寻找或构建满足所需要求的许可位移场是一个关键，并且，还期望这种构建许可位移场的方法还应一个关键，并且，还期望这种构建许可位移场的方法还应具有标准化和规范性。下面的重点将讨论通过基于具有标准化和规范性。下面的重点将讨论通过基于“单元单元”的位移函数的构建就可以满足这些要求。的位移函数的构建就可以满足这些要求。 【
41、局部坐标系中的平面梁单元局部坐标系中的平面梁单元 】【单元构造单元构造】平面纯弯梁单元的描述平面纯弯梁单元的描述(1) 单元的几何及节点描述单元的几何及节点描述节点力列阵为节点力列阵为节点位移列阵为节点位移列阵为(2) 单元位移场的表达单元位移场的表达由该单元的节点位移条件由该单元的节点位移条件其中：其中：叫做单元的形状函数矩阵叫做单元的形状函数矩阵xl( )N(3) 单元应变场的表达单元应变场的表达由纯弯梁的几何方程，有梁的应变表达式由纯弯梁的几何方程，有梁的应变表达式叫做单元的几何矩阵，即叫做单元的几何矩阵，即(4) 单元应力场的表达单元应力场的表达由梁的物理方程由梁的物理方程叫做单元的应
42、力矩阵叫做单元的应力矩阵其中：其中： E 为弹性模量，为弹性模量，(5) 单元势能的表达单元势能的表达该单元的势能为该单元的势能为外力功为：外力功为：其中：其中：(6) 单元的刚度方程单元的刚度方程由最小势能原理，将式由最小势能原理，将式 中的中的对对取极小值，有单元刚度方程取极小值，有单元刚度方程 【单元构造单元构造】 一般平面梁单元的描述一般平面梁单元的描述为推导局部坐标系中的一般平面梁单元，在纯弯梁的基础为推导局部坐标系中的一般平面梁单元，在纯弯梁的基础上叠加进轴向位移上叠加进轴向位移(由于为线弹性问题，满足叠加原理由于为线弹性问题，满足叠加原理)，这时的节点位移自由度这时的节点位移自由
43、度(DOF)共有共有 6 个。个。平面梁单元图平面梁单元图 平面梁单元的节点位移列阵：平面梁单元的节点位移列阵：平面梁单元的节点力列阵：平面梁单元的节点力列阵：对应于图中的节点位移和式中节点位移列阵的排列次序，对应于图中的节点位移和式中节点位移列阵的排列次序，将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组合，可得将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组合，可得到单元刚度矩阵，即到单元刚度矩阵，即【典型例题典型例题】 受均布载荷平面梁单元的等效节点载荷受均布载荷平面梁单元的等效节点载荷解答：解答：讨论讨论 1：若凭一种直觉，直接按照静力等效的方式来进行计算，即，：若凭一种直觉，直接按照静力等效的方
44、式来进行计算，即，每个节点各分一半进行静力等效，则计算出的节点等效力为每个节点各分一半进行静力等效，则计算出的节点等效力为显然这样计算出的显然这样计算出的 M1和和M2都是错误的！都是错误的！讨论讨论 2：该等效节点载荷是按照：该等效节点载荷是按照外力功外力功进行计算的，是通用的均布载进行计算的，是通用的均布载荷的节点等效载荷，与节点的实际约束状态没有关系。也就是说，图荷的节点等效载荷，与节点的实际约束状态没有关系。也就是说，图 （a）中的几种情况的节点等效载荷都用式（）中的几种情况的节点等效载荷都用式（*）。）。000( )( )()lleeTeWp xv x dxpx dxNqPq(*)【
45、典型例题典型例题】 悬臂悬臂-简支平面连续梁的有限元分析简支平面连续梁的有限元分析试确定节点试确定节点 3 的竖向位移、节点的竖向位移、节点 2 和节点和节点 3 的转角。的转角。同时计算节点同时计算节点 1 和节点和节点 2 的反力。的反力。解答：由于该梁在其中的一个位置有一个支撑，因此采用两解答：由于该梁在其中的一个位置有一个支撑，因此采用两个梁单元。则该结构的整体节点位移列阵个梁单元。则该结构的整体节点位移列阵 该结构的整体刚度方程为该结构的整体刚度方程为考虑位移边界条件：考虑位移边界条件：然后，根据下述关系求解得各节点反力和弯矩然后，根据下述关系求解得各节点反力和弯矩注意：转角注意：转
46、角 在两个坐标系中是相同的在两个坐标系中是相同的平面梁单元的坐标变换平面梁单元的坐标变换 设局部坐标系下的节点位移列阵为设局部坐标系下的节点位移列阵为整体坐标系中的节点位移列阵为整体坐标系中的节点位移列阵为按照两个坐标系中的位移向量相等效的原则，可推导出以按照两个坐标系中的位移向量相等效的原则，可推导出以下变换关系。下变换关系。 与平面杆单元的坐标变换类似，梁单元在整体坐标系中的与平面杆单元的坐标变换类似，梁单元在整体坐标系中的刚度方程为刚度方程为其中：其中：空间梁单元及坐标变换空间梁单元及坐标变换 1. 空间梁单元空间梁单元(1) 对应于图对应于图 中的节点位移中的节点位移有对应于杆单元的刚
47、度矩阵为有对应于杆单元的刚度矩阵为 (2) 对应于图对应于图 中的节点位移中的节点位移有对应于轴单元的刚度矩阵为有对应于轴单元的刚度矩阵为 (3) 对应于图对应于图 中中 Oxy 平面内的节点位移平面内的节点位移(4) 对应于图中对应于图中 Oxz 平面内的节点位移平面内的节点位移这是梁在这是梁在 Oxz 平面内的纯弯曲情形，可得到与上式平面内的纯弯曲情形，可得到与上式类似的刚度矩阵，但所对应的节点位移是不同的。类似的刚度矩阵，但所对应的节点位移是不同的。(6) 将各分刚度矩阵进行组合以形成完整的单元刚度矩阵将各分刚度矩阵进行组合以形成完整的单元刚度矩阵2. 空间梁单元的坐标变换空间梁单元的坐
48、标变换局部坐标系中空间梁单元的节点位移列阵为局部坐标系中空间梁单元的节点位移列阵为整体坐标系中的节点位移列阵为整体坐标系中的节点位移列阵为有了坐标变换矩阵，就很容易写出整体坐标系下的刚度有了坐标变换矩阵，就很容易写出整体坐标系下的刚度矩阵和刚度方程。矩阵和刚度方程。梁单元的常用等效节点载荷梁单元的常用等效节点载荷 表表 3-4 列出了常用的梁单元在承受非节点载荷下的节点载列出了常用的梁单元在承受非节点载荷下的节点载荷等效值，该等效值是根据外力功的计算公式得到的，因此，荷等效值，该等效值是根据外力功的计算公式得到的，因此，它与梁单元的边界条件没有关系它与梁单元的边界条件没有关系(表表 3-4 中
49、的图示虽为固支，中的图示虽为固支，这些节点载荷等效值也可以用在其它边界情况这些节点载荷等效值也可以用在其它边界情况)。【典型例题典型例题】 三梁平面框架结构的有限元分析三梁平面框架结构的有限元分析 解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。（1） 结构的离散化与编号结构的离散化与编号节点位移列阵为节点位移列阵为节点外载列阵为节点外载列阵为支反力列阵为支反力列阵为总的节点载荷列阵为总的节点载荷列阵为（2） 各个单元的描述各个单元的描述单元的局部坐标与整体坐标是一致的，则可以直接得到单元的局部坐标与整体坐标是一致的，则可以直接得到单元和单元的情况相同，只是节点
50、编号不同而已，单元和单元的情况相同，只是节点编号不同而已，其局部坐标系下的单元刚度矩阵为其局部坐标系下的单元刚度矩阵为这两个单元轴线的方向余弦为这两个单元轴线的方向余弦为则可以计算出整体坐标下的单元刚度矩阵（单元和单元）则可以计算出整体坐标下的单元刚度矩阵（单元和单元）注意这两个单元所对应的节点位移列阵分别为注意这两个单元所对应的节点位移列阵分别为对于单元：对于单元：对于单元：对于单元：（3） 建立整体刚度方程建立整体刚度方程组装整体刚度矩阵并形成整体刚度方程组装整体刚度矩阵并形成整体刚度方程其中刚度矩阵的组装关系为其中刚度矩阵的组装关系为（4） 边界条件的处理及刚度方程求解边界条件的处理及刚
