1、序言)()()(xfdttfRdxdxal若f(x)在a,b上连续，则)()()( )(aFxFdttFRxal若F (x) 在a,b上连续，则导数（切线斜率）xi-1 xi定积分（面积）创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何）(无穷小)严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass(极限理论(-N, -语言)，实数理论)外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）l外微分形式 (整体微分几何)（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）l复数域上的微积分（复变函数）l微
2、积分的深化和拓展（实变函数）(1) Riemann积分的定义积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1 xiiniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(其中iiiiiixxxxx11 f(x)在a,b上Riemann可积iniiTbaxMdxxf10|lim)(dxxfxmbainiiT)(lim10|: )(inf: )(sup11iiiiiixxxxfmxxxxfM其中：xi-1 xixi-1 xif(x)在a,b上Riemann可积iniixT1, 0，使得分划iiiiiiiiimMxxxxfmxxxxfM: )(inf: )(sup11其
3、中：xi-1 xi f(x)在a,b上Riemann可积注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积的总长度不超过的小区间，使得所有振幅分划，iiT, 0iiiiiniixxxii1上的振幅在为其中,),(baffbaiixxfbaii),(xi-1 xi)(),(abfba例：Dirichlet函数不Riemann可积。注：D(x)的下方图形可看成由0,1中每个有理点长出的单位线段组成。11iniixT，有分划1lim)(10|iniiTbaxMdxxf上积分0lim)(10|iniiTbaxmdxxf下积分QxQxxD1 ,011 ,00)(0 1( )(
4、 )( )xaf t dtf xf a注：推荐大家看看龚升写的l话说微积分， 简明微积分,l数学历史的启示（数学教学，2001.1）,l微积分严格化后(高等数学研究,2002,1-3） 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；例：设rn为0,1中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序列)，作0,1上的函数列, 3 , 2 , 1)(,1, 1 , 00321321nxfnnrrrrxrrrrxndxxfdxxfnnbanban)(lim)(limQxQxnnxDxf1 , 011 , 00)()(lim则 fn(x)在a,b上Riemann可积,但不Ri
5、emann可积。Riemann积分iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(xi-1 xi为使f(x)在a,b上Riemann可积，按Riemann积分思想，必须使得分划后在多数小区间上的振幅足够小，这迫使在较多地方振动的函数不可积。Lebesgue提出，不从分割定义域入手，而从分割值域入手；(积分与分割、介点集的取法无关)1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中提出（参见：Lebesgue积分的产生及其影响，数学进展，2002.1）iniibamEdxxfL10,lim)()(yiyi-1)(:1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei 的“长度”ini
6、ibamEdxxfL10,lim)()(取“极限”)(:1iiiyxfyxE取点集yiyi-1f(x)在 Ei上的振幅不会大于iniimEs1作和iiiyy1其中 mEi 表示 Ei 的“长度”，Mxfmyyii)(,1其中Myyyymn210, 0 作分划即：对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：l假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；l如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会，高等理科教学，2000.1）即采取对
7、值域作分划，相应得到对定义域的分划（每一块不一定是区间），使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类yiyi-10 1l(1) 集合Ei 的“长度”如何定义（第三章 测度论）； l(2)怎样的函数可使 Ei 都有“长度”（第四章 可测函数）；l(3)定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章 积分论）；第一章 集合， 第二章 点集， 第六章 微分与不定积分yiyi-1)(:1iiiyxfyxE(1) Achilles追龟 问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用“时刻数”一样，从而跑过的点的“个数”也一样。21
8、111112222nnn0(甲) （乙） 3/4 7/8 15/16 1甲的速度为1，乙的速度为1/2 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, 问下列情况是否能把新来的人安排下：1 又来了有限个人b1, b2, b3, ，bn3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队）4 又来了0,1个人2 每个人带一个亲戚b1, b2, b3, , bn, 1 b1, b2, b3 , , bn , a1 , a2 , a3 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 4 不能安排进去（0,1是不可数集）2 b1
9、, a1 , b2, a2 , b3, a3 , 3 a1 , a2 , a3 , a4 , a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a31, a32, a33, a34, l周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001)l周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9l胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7l徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002l郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987l夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2lHalmos，测度论(Measure theor
10、y) lRudin , 实分析与复分析(Real and complex analysis).l北京九章图书北京九章图书 http:/.tw/l互动出版网 http:/www.china- 等编高等教育出版社，2003年7月.第一章 集合:BxAxxBABA但或差：不一定成立ABBA)(ABcBABA注：ASACs余：（其中S为全集）,简记为Ac:BxAxxBA或,:AxxA使为指标为指标集，|AA或集簇：nA特别当 时，称集簇为集列，记为N:BxAxxBA且,:AxxA有注：在本书中我们未把0包含在N内,+不在中不在中,11:11NnxxAnnn设0 , 11nnA) 1 , 2(1nnA(
11、 ( ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 11nafnafEE则记设,)(:,:axfExEREfaf ( a-1/n a),(),11nnaa)(11nafnE),(11nna ( ( a-1/n-1 a-1/n a-1/n+1 a则记设,)(:,:axfExEREfaf11nafnafEE( a a+1/n),(11nna)(11nafnE),),(11nnaa,: ),(BbAabaBA,2, 1,:),(211niAxxxxAiinii,2, 1,:),(211niAxxxxAiinnii思考：如何定义任意多个集合的ccAA)(ccAA)(De Morgan公式注：通过取
12、余集，使A与Ac，与互相转换,:nAxNnNx使是一个集合序列设,21nAAA() : :limsuplimnnnnnnnAAx xAxAxA或属于无限多个集合存在无限多个 ，使1NNnnANB例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2() : :limliminfnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限个集外，有当 充分大时，有1NNnnA例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2,下极限集为111limlimnnnnnnnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使() :limsuplimnnnnnAAx xA或属于无限多个集合,:nAxNnNx有NBnAA
13、AAnnnnlimlimAAnnlimnAnA;),(1为单调减少则称满足若集列nnnnANnAAA;),(1为单调增加则称满足若集列nnnnANnAAA.)21limnnnnnAAA 单调减少，则若;,) 11limnnnnnAAA则单调增加若1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA111nnNNnnnnNnnAAAA当An为单调增加集列时11NNNNnnNNnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA
14、 11NNNNnnNNnnAAAA当An为单调减小集列时111nnNNnnnnNnnAAAA则设,),(),11 ,11(212NnnnAnnAnn),(limnnA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA( ( ( ） ) )-n -1 0 1 2 n1 , 1(limnnA则设,1 ,4 ,1121112NnAAnnnnnn1 ,0(limnnA0, 4)limnnA -1 0 1 2 3 41,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx使)(sup
15、limlimnnnnAA111| )()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfxknknnxfxfNnNxfxf11| )()(|, 1, 1:)()(lim有,:AxxA有,:AxxA使111)(:)(:)()(limkNNnknnnaxfxaxfxxfxf，则设knkkaxfNnNaxf111)(, 1,)(, 1有利用极限的保号性知，使得从而aaxfnaxfNnNkknk111)()(, 1, 1取极限，则两边关于有则，若111)(:kNNnknaxfxx,)()(lim,)(axfxfaxfxxnn即：反之若a a+1/k f(x) 注：集合，元素，映射是一相对概念略
16、：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射） 注：模糊集：参见：模糊集合、语言变量及模糊逻辑，L.A.Zadeh 1 , 0 :Xf2、 实数的加法运算+: ba1、 定积分运算 为从a,b上的可积函数集到实数集的映射 (函数,泛函,算子, 变换)AxAxAx10)( 1 , 0:XA3、 集合的特征函数（集合A与特征函数互相决定） 称 为集A的特征函数，1:,() ( ):( ),1)( )( );2) ()( )( ),()();3) ()( )( ),()();fXY A B AXf xxAAf AABf Af Bf ABf Af BfAf Af ABf Af Bf
17、Af A定理 ：设是 的子集，称为 的像集，记作则有：一般地有：一般地有：为单射等号成立当且仅当如常值映射，一般不成立fBfAfBAf,)()()(11111111111112:, ,() :( )( )()1)( )( );2)()( )( ),()();3)()( )( ),()();fXY AX C D CYx f xCCfCfCDfCfDfCDfCfDfCfCfCDfCfDfCfC定理 ：设是 的子集，称为 的原像集，记作不一定有逆映射 ，则有：一般地有：一般地有：注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射， 7）等号成立当且仅当f为满射;)()7);()6;)()
18、()5);( )()()41111111CCffAffACfCfDfCfDCfcc;,)3;)2;) 1)2CACBBAABBAAA传递性：对称性：自反性：性质1）非空注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念的推广ABA ZNNN) 1偶数奇数n2n-12n),() 1 , 1)(2)2(:xtgxf),()3去掉一个点的圆周有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。Galileo在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少,1870Cantor开始系统考虑.；则称若BABA,) 1( 1,1)
19、( 1,1)(,) 如：12),ABBABABBA若则称；相当于： 到 有一个单射，也相当于 到 有一个满射3),ABABABAB若且，则称注：不能用 与 的一个真子集对等描述.,*BABABBABAABA则，使的子集及，使的子集是两个集，若有设.),BAABBA则即：若单射。又满的映射转化找两个；从而我们把找既单，只需找一个单射即可而要证射；间找一个既单又满的映与，需要在注：要证BABABA例：由 可知 ，试问如何构造两者间的既单又满的映射。 1 , 1) 1 , 1() 1 , 1(),( 1 , 1) 1 , 1(么：中的集合两两不交，那两两不交中的集合而且指标集，又是一个是两个集族，引
20、理：设: ,:,:BABABABAABf.,*gABfBA上的一一映射到以及上的一一映射到根据题设，存在*B*A*B*A1A*1 AAA 令2A)(12BgA 3A)(23BgA 3B)(33AfB 2B)(22AfB 1B)(11AfB 令*B*A1A1B2A3A2B3B不交与，故而知由21*1*12*,)()(AAAAAABgAABg不交的象在从而2121,BBfAA不交下的象在3221,AAgBB两两不交故不交与知由32131*3,AAAAAAA 123123,A A AfB B B从而在 下的象也两两不交，11321321), 2 , 1(,nnfnnnfnBAnBABBBAAA所以而
21、且也两两不交两两不交从而1111(1, 2,),ggkkkkkkBAkBA另 外 由可 知*111,ggkkkkBABBAA又所以111111* )(kkkkkkAAAAAAA11kkkkAABBBBBBAAAAkkkkkkkk)()()()(1111此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.注：A可数当且仅当 A可以写成无穷序列的形式a1, a2, a3, 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, 例：1）Z = 0，1，-1，2，-2，3，-3， 与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为02）0,1中的有理数全体 =0,1,1
22、/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 假设这是一个无限集M我们可以取出其中一个点a1显然Ma1还是无限集在Ma1中可以取出一点a2显然Ma1，a2还是无限集我们可以取出一个可数子集a1,a2,a3,. 任何无限集合均含有可数子集（即可数集是无限集中具有最小势的的集合) 可数集的性质（子集）:中的元素可以排列成是一个可数集，则证明：设AA,321naaaa中的一个无穷子序列：中的元素必是上述序列的无限子集，则是若的有限子集，则得证；是若*AAAAA,321knnnnaaaa是可数集。从而,321*knnnnaaaaA 可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集A=a1,
23、a2, a3, a4, a5, a6, 当集合有公共元素时，不重复排。假设A，B，C两两不交，则AB= b1, b2, b3 , , bn ，a1, a2, a3, 可数个可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集C= c1, c2, c3, c4, c5, c6, B=b1, b2, b3, ,bnAC= c1, a1, c2, a2, c3, a3, 当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列;当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；.1是可数集因此nnA1 11 21 31 4,aaaa，2 12 22 32 4,aaaa，3 13 23 33 4,aaaa，4 14
24、24 34 4,aaaa，,，A1A2A3A4说明:与Hilbert旅馆问题比较;如何把无限集分解成无限个无限集合的并?首先0,1中的有理数全体=0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 是可数集，)1, 2()2 , 1 ()0 , 1()1 , 0 (QQQQQ -2 -1 0 1 2 3 4所以Q是可数集（可数个可数集的并）说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).卡氏积设A，B是可数集，则AB也是可数集,| ),(ByAxyxBA从而AB也是可数集（可数个可数集的并）利用数学归纳法即得有限个乘积的情形3 可数集的性质（
25、卡氏积）| ),(ByyxAx x固定，y在变证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯一决定,从而,| ),(QrQyxryxQQQA r(x,y).,00ABABA则若由于0A使得中可以取出子集故从0,MMA或有限或可数知由BB,0BMMABA)(从而ABA所以)()(BMMAAMMA)(有限集与可数集的并仍为可数集可数集并可数集仍为可数集AAMMB.,00ABABA则若；集并可数集仍为可数集为可数集时，利用可数当B特殊情形： 0,1 (0,1) R R-Q；或为有限集或为可数集故由于BB,0；集并有限集仍为可数集为有限集时，利用可数当B 1/2 , 1/3 , , 1/5 ,
26、0 , 1 , , 1/3 , 1/4 ,其他xx 0nnPP为可数集（可数个可数集的并）110|,1,2, ,0nnnnninPa xaxaaZ in a0 (0)()nPZPZZZZnZ个 相乘 为可数集(n1)（有限个可数集作卡氏积）l1874年Cantor开始研究无限集的计数问题;l1873年C.埃尔米特证明了e是超越数;l1882年Lindemann证明了是超越数;l1934年A.O.盖尔丰得证明了若不是0和1的代数数，是无理代数数,则是超越数(此问题为Hilbert于1900年提出的23个问题中的第7问题)。我们证明了代数数全体是可数集合，通过后面可知道超越数全体是不可数集，故超越
27、数比代数数多得多是可数集。而使得是一个无限集，则存在设*,AAAAAAA假设这是集合A从中可以取出可数子集M很容易将M一分为二M1,M2，使得两个都是可数集AMM=a1, a2, a3, a4, a5, a6, M1 =a1, a3, a5, M2=a2, a4, a6, 取A*=(AM)M1=A-M2即可说明：由此我们可得任一无限集一定存在它的一个真子集与它有相同多的元素个数问:为什么不直接令A*=AM ?)(111为可数集是否成立？nnnnNnNAAA注：用现有语言不能对任意集合给出一描述 (集合有描述法与列举法两种)nNnNA11是可数集（有限个可数集的卡氏积仍是可数集）（可数个可数集的
28、并仍是可数集）nnA1是不可数集思路：令每个An=0,1,2,3, ,9，对中每个点(a1, a2, a3, a4, a5, a6, )对应一个小数0. a1a2a3a4a5a6 ，则的势比0,1的势大，又0,1为不可数集，故 不可数nnA1nnA1nnA1, 1011Ix的闭区间，记为含点三等分，取其中一个不，将,221IxI的闭区间，记为含点三等分，取其中一个不再将nIII21 1 , 0闭区间套：这样继续下去得到一个), 2 , 1( ,31|nIxInnnn区间0,1是不可数集) 0 1/3 2/3 1,21nxxx,000 xxnn使得根据假设，应存在,1 , 010nnIx一点由区
29、间套定理，存在唯相矛盾。而这与因此有000,1nnnnnIxIx. 1 , 0不是可数集所以 0 1/3 2/3 1l十进制小数 相应于 对0,1十等分l二进制小数 相应于 对0,1二等分l三进制小数 相应于 对0,1三等分说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如0.20000000.1999999 （十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数,21nxxx11 11 21 31 40 .xaaaa22 12 22 32 40 .xaaaa33 13 23 33 40 .xaaaa44 14 24 34 40 .xaaaa,令x=0.a1a2a3a4其中1211nnnn
30、aana则得到矛盾，所以 (0,1)是不可数集。定义：与0,1区间对等的集合称为连续势集，其势记为 ， 显然：0n例：1）R (0,1) 0,1 0,1) R+ (ab).,00ABABA则若2）无理数集为连续势集（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）AxxxxAin则定理：设),1 , 0(: ),(21),()(,10:xxxA），（首先考虑映射证明32121. 0),(iiiiinxxxxxxxxxA：表示成十进制无穷小数把每个中的任意元素另一方面，对于（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集: 01(0,1) (0,1),AAA容易验证 （ ， ）是单射，所以因此
31、2213122111. 0)(),1 , 0(:xxxxxxA作映射BernsteinA 再由定理可知(0,1)()(0,1),AAAA 容易验证 ：是单射，所以因此123,01 2990iiixxx其中是 ， ， ， ， 中的一个数，不全为且不以 为循环节。1312111.0 xxxx 2322212.0 xxxx3332313.0 xxxx的势为空间维nREuclidn1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年，他证明了一一对应关系是存在的，从而说明 Rn具有连续基数 ，他当初写信给Dedekind说：“我看到了它，但我简直不能相信它
32、”.平面与直线有“相同多”的点l连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集), 0(, 1(11nnAnnn( ( ( 0 1 2 n-1 n( ( ( 0 1 2 n-1 n11(1, (0, nniiiAiin 2| ),(RRxyxARyyRyy.2:AACantorA，则是一个任意的非空集合设定理2, :2.AAAAaaA证明：首先 与的一个子集对等是显然的只要考虑即可AAAAAA2:2,2上的一一映射到则存在假设从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合.*)(,AaAa使得因此存在的关系与现在考虑*Aa*)(,1AaaAAa的定义，应有则由若*2(),aAaAaA若则
33、由的定义，应有.2AA这是矛盾的，所以AAAA2*的子集，即是由于)(,:*aaAaaA令: 2AA此证为对角线方法，与(0,1)是不可数集的证明比较。得到了矛盾。这样就因此中，所以的任意元素已在的定义知，另一方面，由定理，根据记为集合，在一起，也能组成一个认为把所有的集合汇总,2,22;2.MMMMMCantorMCantorMMMM1( )0 1 ,();3:0 10,10 1NnnNNnff 对任意的，令易知，是单射，所以，)2(1020即：，或定理RRNN证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N 与0,1N对等；下证：N10 ，说明：相当于把 对应到一个三进制小数)
34、3()2() 1 (. 0思考：为什么不用二进制。N上的特征函数全体1123(0,1),0,112(0)nnnnaxxaxa a a 另一方面，对设（有无穷多 ）即：将 写成二进制小数0.，且要求不以 为循环节123123: (0,1)0,10,1 ,( ),1,2,3,(,)NNngxnana a aaaa作其中即将小数0.对应到序列（(0,1)0,12NNg易证 ：是单射，因此NBernstein2定理知：由Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。注记：从前面我们已经看到：020nCantor认为在 之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得但
35、Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。 与0A0参见：数学与哲学张景中，数理逻辑概貌莫绍揆21212122112121) 1,AAAAAAAA记而且使得取集合设有基数212122112121)2,AAAAAA记使得取集合设有基数;,:|)3BBAABffA记设,AABA使得取集合设有基数| ),(, 3 , 2 , 1:21,321RxxxxRnRnfRinn的卡氏积个可看成，201AA与 ， 间存在一一对应（一个子集对应到其相应特征函数）的映射全体，到表示，的子集全体，表示10102AAAA| ),(, 3 , 2 , 1:21RxxxRRRRfRiN的卡氏积可看成可数个
36、如的卡氏积）个的映射全体（到表示BABABA思考：如何推广不可数个集合的卡氏积？第一章 集合主讲：胡努春数学三大母结构（Bourbaki学派观点）：拓扑结构（邻近关系），代数结构（运算关系），序结构（顺序关系）（测度（长度、面积、体积）例：对实数集R有远近关系，四则运算，大小顺序，区间有长度aa baabba则若,cacbba则若,自反性:反对称性:传递性: 则称A按 成一半序集（偏序集）。设A是一集合， 为A中的某些元素的关系且满足: 是一半序集. 是一半序集. ),(R),2(R),(AZorn引理：设 是一偏序集，A中的每个全序子集有上界，则A必有极大元。AAB, 选择公理：设 为一簇两
37、两不交的 非空集簇，则存在一集B使得 是单元素集。l利用选择公理，Banach在1924年证明了分球定理，即一个闭球U可分解成两个互不相交的集合A，B且U与A可 由相同多的有限多个互相合同的子集并成，U与B可由相同多的有限多个互相合同的子集并成；粗略来说即可把一个球U分解成两个与U具有同样体积的球A和B。（见：王世强数理逻辑与范畴论应用）l通俗讲，假如有无限双鞋子，则我们有一规则，从每双鞋子中取出左脚穿的鞋子，其总体构成一集合；但若是无限双袜子，由于袜子不分左右，所以就有多种选择，要承认这种成员不确定的集合存在，就要引用选择公理。数学中许多重要定理的证明都需要用到选择公理，如Lebesgue不
38、可测集的存在，拓扑空间紧性 的Tychonoff定理等。注：关于选择公理的一些等价命题，可参见一般拓扑学（J.L.Kelly p34） 第一章 集合连接两非有理点，并作中垂线，任取中垂线上一点z，连接xz，zy得到一条连接x，y的折线，这样的折线有连续势条，而平面上的有理点只有可数个，故一定存在一条折线不过有理点。yxz证明：由于有理数在直线上稠密，故可在每个开区间内取一有理点，则这些有理点两两不同，从而A与有理数集的一个子集对等，另外有理数集是可数集，所以A至多可数。（）（）（）r注意:不能通过任取一个区间作为第一个,然后左边最靠近的作为第二个,右边最靠近的作为第三个,一直如此下去,得到所有
39、开区间的一个排列(如Cantor集的余集).对0,1区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为中至少有一个势为，则设BABA,ABA若显然,ARyyxRx| ),(,则ByxRyRxxx),(,使所以| ),(RxyxBx从而)(22RRBA因为证明：不妨设xB由Bernstein定理可知所以A，B中至少有一个连续势集中至少有一个势为，则设BABA,yyxRRpxyxRRpyx),(:),(:22令,BA若,)(,)(BpApyx则ByxRxRyAyxRyRx),( ,),( ,0000使使从而)(22RRBA因为
40、另证：不妨设,BA显然xy(x,y)BAyx),(00从而 ，得到矛盾所以A，B中至少有一个为连续势集nnnxxxxxnRRp),(, 3 , 2 , 1:321令,nAn若,)(,nnApn则)(,00nnnnApxRxn使从而中至少有一个势为则设nnnAA,1)(1RRRRRAnn因为证明：不妨设,nAn显然x(x,y,z)yznnnAxxx100210),(从而 ，得到矛盾所以An中至少有一个为连续势集的势为上的全体连续函数集 E 1 , 0其次令rn为0,1中有理数全体，对每一fE构造实数列f(rn),由有理数在0,1中稠密及f连续可知E中不同的元对应的实数列也不同，从而E与实数列全体
41、R的一个子集对等。所以EE首先所以RRfE| 1 , 0 :2 1 , 0的势为上的全体实函数集 E其次所以RREffE2|在平面坐标系下的图象 2E 2E首先所以1 , 021 , 0| )(AxEA 第二章 点集l定义：设X为一非空集合，d : XXR为一映射，且满足 d(x,y) 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） d(x,y)=d(y,x) （对称性）则称(X,d)为度量空间. d(x,y) d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）| )()(|max),(tytxyxdbtaniiiyxyxd12)(),(yxyxyxd10),(EEEEE 的孤立点全体),(|0),(
42、0ppdpOp点P0的邻域：EOp),(0, 0有P0为 E的接触点：)(, 00),(0pEOp有P0为 E的聚点：, 00),(0pEOp使得P0为 E的孤立点：E记 为 E的闭包（接触点全体）E记 为 E的导集（聚点全体）cpEO),(0, 0使得即P0为 Ec的内点:EOp),(0, 0使得 P0为 E的内点：EOp),(0, 0使得 P0为 E的外点：cppEOEO),(),(00, 0且有P0为 E的边界点：E记 为 E的内部（内点全体）E记 为 E的边界（边界点全体）例（1）令 E = Q ， 则EREEE（2）令E=1,1/2,1/3,，1/k,则 对一切1/k (k=1,2,
43、3, )均为E的孤立点。0EEEEEEEE的孤立点全体由定义可知ccccEEEE)()()()(EOp),(0, 0有P0为 E的接触点：EOp),(0, 0使得P0为 E的内点：cppEOEO),(),(00, 0即使得 P0为 E的外点：为有限集，假如)(0),(0pEOp,)(210),(0npppppEO不妨令, 2 , 1| ),(min0nippdi取)(0),(0pEOp则)(0),(0pEOp这与（*）矛盾，所以 为无限集。 0(, )00,( )pOEp （*）证明：由条件知P0 Pn),(),(2121,yxyxOOyxAyx必有下证),(),(2121,yxyxOOz若否
44、则,max), ,(),(),(2121yxyxyzdzxdyxd则12( ,)|xxOxA 这与（*）式矛盾， 所以是一簇两两不交的开区间， 从而A至多可数。Ax(*), 0),(xEOxxx使得证明：设A为孤立点集， ，由孤立点的定义知证明： 显然，下证) 1 ()2()3()3() 1 (定理：下列条件等价： (1) p0为E的聚点 (3)存在E中互异的点所成点列pn, 使得0limppnn0(, )0(0,()pOEp 即：有）P0 Pn),(00, 0, 0, 0),(limpnnnOpNnNppd有即若0limppnn定义：称点列pn 收敛于p0 , 记为： (2)点p0的任意邻域
45、内，含有无穷多个属于E而异于p0的点pn)(,),(,min0),(0110pEOpppdnpnnnn取时当0limppnn)(,),(,min0),(20121220pEOpppdp取时当)(,10),(1110pEOpp取时当0limppnn则上述取出的点列Pn是互异点列,且)(, 00),(0pEOp证明：由聚点的定义知保证收敛保证点列互异lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：)(, 00),(0pEOp有EOp),(0, 0有注：聚点的等价条件的证明中 ，1/n是为了保证收敛，而d(pn-1,p0)是为了保证点列两两互异，但证明接触点时，无法保证d(pn-1,p0)不为0，所以不能
46、保证点列两两互异。),(,min011ppdnnn0limppnnp0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列pn, 使得P0 Pn0limppnn为E的接触点的充要条件为存在E中点列pn, 使得第二章 点集lP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：lP0为 E的内点：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有EEEEEEEEE等价于故的孤立点全体由于说明：要证E是开集，只要证 要证E是闭集，只要证)(显然因为EEEE)(显然因为或EEEEEEEE 若E = E , 则称E为开集（E中每个点都为内点) 若 ,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）说明
47、：要证E是开集，只要证 )(显然因为EEEEabx),(),(baOx 证明：任取x(a,b),取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,从而x是（a,b）的内点，故(a,b)是开集。说明： 要证E是闭集，只要证()( ) ()ccccEEEEEEEEEE或或或因为显然a b xcxbaO,),( 证明：任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,从而x不是a,b的接触点，从而a,b的接触点都在a,b内，从而a,b是闭集。l即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点为E的接触点的充要条件为存在E中点列pn, 使得或p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列p
48、n, 使得0limppnn0limppnn若 （或 ）,则称E为闭集。 （与E接近的点不跑到E外）EE EE 为开集，即从而EEE)(EOOxy),() ,(则) ,(yOEEOx),()(ExE)(EE ),(xOEOx),(, 0使得Ex),(xOy),(yxd)(,0),(xEOx有),(xO( , )( , )( , )0,( )(min( , ), ( , )xxxOExd x xd x xOO 知有当时,有x）) , (xOE( , )( )xxOExxE取，由)(EE)(Ex E( ,)( ,)( , )0,( )(min( ,),( ,)xxxOExd x xd x xOO 知
49、有当时,有x）为闭集可得利用EEEEEEEEEE)()()() , (xO),(xOE)(),(xEOx) (EElP0为 E的接触点：lP0为 E的聚点：lP0为 E的内点：lP0为 E的外点：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00, 0即使得b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。ccccEEEE)()()()(a.lP0为 E的接触点：lP0为 E的内点：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得CECE 从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集。 EOExx)
50、,(, 0,使得证明：设E为开集，即( , )cxOE 从而lP0为 E的接触点：lP0为 E的内点：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得EE 证明：设E为闭集，即cxE 任取 ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，cxE 从而x为E的接触点，由为闭集可知x在E内， 这与 矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。a. 空集，Rn为开集;b. 任意多个开集之并仍为开集；c. 有限个开集之交仍为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1)A Ba.空集，
