1、第十七章 多元函数微分学1 可微性可微性2 复合函数微分法复合函数微分法3 方向导数与梯度方向导数与梯度4 泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题1 可微性可微性一、全微分的定义二、偏导数的定义及其计算法三、可微的条件四四 可微性的几何意义与应用可微性的几何意义与应用一、全微分的定义),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得全增量的概念全增量的概念).,(),(yxfyyxxfz 全微分的定义全微分的定义. yBxAdz 事实上事实上),( oyBxAz , 0lim0 z
2、),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 二、偏导数的定义及其计算法函数对函数对 x 的偏增量的偏增量.),(),(lim0000000 xyxfyxxfxfxyyxx 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数),(zyxfu 例如，例如，处，处，在在 ),( zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的
3、微分法问题。微分法问题。时，时，求求 xf 只要把只要把 x 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。时，时，求求 yf 只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。其它情况类似。其它情况类似。解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 解解 xz;2sin2yx yz.2cos22yx把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 证证 xz,1 yyx yz,l
4、nxxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立解解 xz322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy xyxxyxx 2222211 yz32222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在yyxxyxx 2222211 证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解解时，时，当
5、当 0 22 yx时，时，且且即即 0 0 yxxxyxxyyxf 22),( 22222)(2)(yxxyxyxy ,)()(22222yxxyy ).,( )1(yxfx先求先求xfxfx )0 , 0()0 ,0(lim0. 000lim0 xx于是，于是， . 0 , 0 , 0 ,)()(),(222222222yxyxyxxyyyxfx考虑点考虑点 (0, 0) 对对 x 的偏导数，的偏导数，时，时，当当 0 22 yx时，时，且且即即 0 0 yxyyyxxyyxf 22),( 22222)(2)(yxxyyyxx ).,( )2(yxfy求求,)()(22222yxyxx yf
6、yfy )0 , 0()0 , 0(lim0. 000lim0 yy于是，于是， . 0 , 0 , 0 ,)()(),(222222222yxyxyxyxxyxfy考虑点考虑点 (0, 0) 对对 x 的偏导数，的偏导数，解解 xry、z 看成常量看成常量 22222zyxx 222zyxx .rx zr22222zyxz 222zyxz .rz x、y 看成常量看成常量 、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. .偏导数存在偏导数存在 连续连续. .一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数
7、存在连续。连续。连续。连续。4 4、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 如图如图xTyT0M),(0yxfz ),(0yxfz 几何意义几何意义: :三、可微的条件. yyzxxzdz .,dyydxx .dyyzdxxzdz 证证如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yxP可微分可微分, , )( oyBxAz 总成立总成立, ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在多元函数的
8、各偏导数存在多元函数的各偏导数存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf微分存在微分存在全微分存在全微分存在)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 时，时，即，当即，当 0 (0,0)(0,0)xyzfxfy ),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 即即0说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在。分存在。定理定理（充分条件）如果函数（充分条件）如果函数),(yxfz 的偏的偏导数导数xz 、yz 在点在点),(yx连续，
9、则该函数在点连续，则该函数在点),(yx可微分可微分证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0, 0 yx时时，01 .其中其中1 为为yx ,的函数的函数,xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理),(),(yxfyyx
10、f ,),(2yyyxfy 当当0 y时，时，02 , ) , () , () , () , (00000000yxfyxxfyxxfyyxxf0000( , )( , ) 01, 0yxf xx yy yf x yxx xxyxfyyxfxy),(),(00000yxyyxfxyxfyx) , () , (0000.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的之和这件事称为二元函数的微分符合微分符
11、合解解,xyxe dyyzdxxzdz 因此，因此，.dyxedxyexyxy .222dyedxedz (2, 1) 处的全微分处的全微分它们均连续。因此，函数可微分。它们均连续。因此，函数可微分。,xyye xxyexz yxyeyz 解解),2sin(2)2cos(yxyyx dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 xyxyxz)2cos( ),2sin(yxy yyxyyz)2cos( 解解,2cos21yzzey ,yzye 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz , 1 xyzeyxxu 2sin yyzeyxyu 2sin
12、zyzeyxzu 2sin 证证 （1）令令,cos x,sin y ),(lim)0 , 0(),(yxfyx. 0)0 , 0( f232222)0 , 0(),()(limyxyxyx 220cossinlim 0 ),0 , 0(f )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx )0 , 0(yfyfyfy )0 , 0(), 0(lim0, 000lim0 yy ),(lim)0 , 0(),(yxfyx232222)0 , 0(),()(limyxyxyx 220cossinlim 0 )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 22232
13、222)()()()()()(yxyxyx 22222)()()()(yxyx )0 , 0()0 , 0( yfxffyx 则则22222)()()()(xxxx 41 ),()0 , 0()0 , 0( oyfxffyx 即即 )0 , 0()0 , 0( yfxffyx 则则22222)()()()(xxxx 41 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在四四 可微性的几何意义与应用可微性的几何意义与应用切平面的定义 一元函数可微性，在几何上反映为曲线存在不平性于Y轴的切线，二元函数可微性的
14、几何意义则反映的是曲面与其切平面的类似关系. 定义（切平面）设P是曲面S上一点，H为通过 P 的一个平面，曲面S上的动点Q到P 和到平面H 的距离分别为 d 和h，当Q在S上以任何方式趋于P时，恒有 ，则称平面 H 为曲面S在点P处的切平面，P为切点.1 设曲面方程为0),(zyxF),(),(),(000tttT曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线,)()()(:tztytx曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令令则则,Tn 由于曲线是曲面上通过M的任意一条曲线，它们在M的切线都与同一向量n垂直，故曲面上通
15、过M的一切曲线在点M的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点M的切平面. 切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 0,0t tdFtttdt由 000000000000, , , ,0 xyzF x y ztF x y ztF x y zt得 通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线.法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx
16、 曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.2 空间曲面方程形为空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面上点的竖坐标的增量的全微分在点函数),(),(00yxy
17、xfz 因为曲面在M处的切平面方程为),(yxfz 在),(00yx的全微分，表示曲面),(yxfz 在点),(000zyx处的切平面上的点的竖坐标的增量. ,1cos22yxxfff,1cos22yxyfff.11cos22yxff),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中解, 632),(222 zyxzyxF)1 , 1 , 1()1 , 1 , 1(6,4,2zyxn,6 , 4 , 2切平面方程为切平面方程为, 0)1(6)1(4)1(2 zyx, 032 zyx法线方程为法线方程为.614121 zyx.处的切平面及法线方程(1,1,1) 在点632 面3222zyx椭球
18、求例解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(2)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,221412000zyx .42000zyx 22212 2120 .xyzxyz例求椭
19、球面的切平面，是其与平面平行2 ,4 ,2000zyxn 法向量法向量因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx,1120 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),118,221,112( 2112 zyx切平面方程切平面方程全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 解解.),(yxyxf 设函数设函数.
20、02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 1420,40.1,?HcmRcmcm例要在高为半径的圆柱体表面均匀地镀上一层厚度为的黄铜 问需要准备多少黄铜解解设黄铜的比重为设黄铜的比重为3cmg圆柱体的体积为圆柱体的体积为HRV2 .,2 . 0, 1 . 0,20, 4,VHRHR 要要求求时时依依题题意意2,2RHVRHRV 由于由于HHVRRVdVV 于是于是2 . 0161
21、 . 0160 .2 .19g 从从而而所所需需准准备备的的黄黄铜铜为为 2 .19 五、小结、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、偏导数存在、可微分的关系、多元函数连续、偏导数存在、可微分的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）、偏导数的定义；、偏导数的定义；、偏导数的定义，偏导数的几何意义；、偏导数的定义，偏导数的几何意义；思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能. .,),(22yxyxf 例如例如, ,2 复合函数微分法复合函数微分法一、链式法则一、链
22、式法则二、复合函数的全微分二、复合函数的全微分证证),()(tttu 则则);()(tttv 一、链式法则定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz ，获得增量获得增量设设tt 由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时，时，01 ，02 tvtutv
23、vztuuztz 21 当当0 t时，时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv 证略证略。复合函数的求导法则复合函数的求导法则1、z uvx 型型.dxdvvzdxduuzdxdz .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：函数的情况：2、z uvxy型型,xvvzxuuzxz .yvvz
24、yuuzyz 链式法则如图示链式法则如图示 xzuvxzy uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv uvxzyywwzyvvzyuuzyz xwwzxvvzxuuzxz zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw区别类似区别类似解解 dtdzttuevtcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet uz dtdu vz dtdvtz z uvtt 型型解解 xz uzxu vzxv 1cos
25、sin veyveuu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuuz uvxy型型).cos()sin(yxyxyexy ).cos()sin(yxyxxexy 解解xfxuufxz .yfyuufyz 2222222sin22uyxuyxxeyxue .)sin21(22222uyxeyxx 2222222)(cos22uyxuyxyeyxue .)2sin2(2224uyxeyxy 解解xududfxz 令令.xyxu 则则).(ufz )(xyxf).1(y yududfyz ).( xyxf xz uxy型型解解令令, zyxu ;xyzv 记记,1uff ,12211u
26、fuff ,2vff vfvuff 1212,12222vfvff w uvxyz型型).,( vufw 则则.2221ufuvff 二阶偏二阶偏导连续导连续 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 因此，因此， zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf xwxvvfxuuf ; 2 1fzyf 于是，于是，二、复合函数的全微分二、复合函数的全微分（1）如果）如果 u，v 是自变量，结论显然。是自变量，结论显然。（
27、2）如果）如果 u，v 是中间变量，是中间变量，).,( ),(yxvyxu 有全微分：有全微分：dyyzdxxzdz 事实上，事实上，dyyvvzyuuzdxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvdxxvvzdyyudxxuuz.dvvzduuz 全微分形式不变形的全微分形式不变形的实质实质： 无论无论 z 是自变量是自变量 u，v 的函数或中间变量的函数或中间变量 u，v 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的. .解解dvvzduuzdz )()cos()()sin(yxdvexydveuu dydxvexdyydxveuu )cos()sin(dyvvx
28、edxvvyeuu)cossin()cossin( dxyxyxyexy)cos()sin(.)cos()sin(dyyxyxxexy xz yz 解解, 0 2 zxyeze, 02)( dzedzxydezxy),()2(ydxxdyedzexyz ,)2()2(dyexedxeyedzzxyzxy xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexed ( ) d ( )1 1、链式法则（分二种情况）、链式法则（分二种情况）2 2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结3 方向导数与梯度方
29、向导数与梯度一一 、问题的提出、问题的提出二、方向导数的定义二、方向导数的定义三、三、 梯度梯度例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行一一 问题的提出问题的提出),(yxp),(yyxxpxyl0 xy方向导数图示 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题),(yxfz ABCtan|AC|BC|)(xf)(xxfxxx)(x
30、fxxfxxfx)()(lim0)(xfxxfxxfx)()(lim0)(xf|)(|)()(lim0|xxxxfxxfx3R中xOyz.P0P|PP|)(P(P)lim00PP0ffl0l沿)(xf0l方向的方向导数)(Xfz .二、方向导数的定义二、方向导数的定义 设函数)(Xfu 在)U(0X内有定义。若点 )U(0XX 沿射线 l 趋于0X时,极限|)()(lim000XXXfXfXX存在，则称该极限值为函数)(Xf在点0X处沿 l 方向的方向导数。记为0XXlz|)()(lim000XXXfXfXX或)(0Xfl 利用直线方程可将方向导数的定义tXfe tXflut)()(lim00
31、0表示为:射线 l 的方程为pzznyymxx000t则cos0txxcos0tyycos0tzz故etXX0)cos,cos,(cosecoscoscos000zzyyxx比较方向导数与偏导数的概念比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中，分母0|0 XX；在偏导数中，分母x、y可正、可负。即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时，方向导数与偏导数的概念也是不同的。方向导数与偏导数是两个不同的概念 想一想，为什么？想一想，为什么？ 怎么计算方向导数？怎么计算方向导数？0XXl0l),(0000zyxX),(zyxX|cos00XXxx|cos00XXyy|cos00XXzz|)o(
32、|)()(00XXzzuyyuxxuXfXf看看三维空间的情形定理定理(方向导数导计算公式)若函数),(zyxfu 在点),(000zyx处可微， 则函数)(Xf在点),(000zyx处沿任一方向)cos,cos,(cos0l的方向导数存在，且lu其中, 各导数均为在点),(000zyx处的值.cosxucosyucoszu运用向量的数量积，可将方向导数计算公式表示为：lucosxucosyucoszuzuyuxu,eu grad其中，ugrad)cos,cos,(cose称为梯度在2R中lucosxucosyu在nR中lu11cosxunnxucos可统一表示为eulugradugrad),
33、(21nxuxuxu)cos,cos,(cos21ne)2(n设xyzu , 求函数在点)2,2, 1P(沿方向kjil22的方向导数。解;4PPyxxu;2PPxzyu.2PPxyzu,31cos,32cos.32coslucosxucosyucoszu例例由点),P(yx到坐标原点的距离定义的函数22yxz在坐标原点处的两个偏导数均不存在，但它在该点沿任何方向的方向导数均存在，且方向导数值都等于1：10lim222200)0, 0(yxyxlzyx想一想，该例给你什么启示想一想，该例给你什么启示函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。方向导数存在时，偏导数不一定存在。 例例一个问
34、题：一个问题：),()(zyxfXfu在给定点0X沿什么方向增加得最快？该问题仅在zuyuxu,不同时为零才有意义。可微函数三、三、 梯度梯度eulugrad由前面的推导，有),gradcos(|grad|eueu现在正式给出现在正式给出的定义uegradprjgrad u),gradcos(|grad|euu由此可得出什么结论？由此可得出什么结论？ 方向导数等于梯度在此方向上的投影定义定义设,3R, )()(1CXfu,0X则称向量ixXf)(0为函数)(Xf在点0X处的梯度，记为)(grad0Xf或。)(0XfjyXf)(0kzXf)(0 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就
35、是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。),(yxfz 在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线),(yxfgrad梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量P2),(cyxf 1),(cyxf oyxcyxf ),(12cc . ),(kzfjyfixfzyxfgrad 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其
36、方向与类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值最大值. .梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数设,52zxyzu求,gradu并求在点)1, 1,0(M处方向导数的最大(小)值。解,yzxu,xzyu,2zxyzu)2,0, 1(从而例例1解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得 ),(kzujyuixuzyxugrad , 6 )24( )32(kzjyix 故故. 12 2 5)2 , 1 , 1( kjiugrad 1 1、方向导数的概念、方向导数的概念2 2、梯度的概念、梯
37、度的概念3 3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）三、小结最最大大值值。梯梯度度的的模模为为方方向向导导数数的的快快的的方方向向在在这这点点增增长长最最梯梯度度的的方方向向就就是是函函数数 .),(yxf4 泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题一、高阶偏导数一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数),(yxfz 的的二二
38、阶阶偏偏导导数数为为纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.一、高阶偏导数解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：解解,cosbyaexuax
39、;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D D 内连续，那末在该区域内这内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等两个二阶混合偏导数必相等问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？. 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(22222
40、2222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 二二 中值定理和泰勒公式中值定理和泰勒公式 . Taylor公式公式 00100000( , )11 ( ,)( , ).!(1)!innif xh ykhkf x yhkf xh ykixynxy二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz
41、 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz (3)(2)(1)2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件 ),(yx),(00yx 证证但但点点 (0, 0) 不不是是极极值值点点. . 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点. .驻点驻点偏导数存在的极值点偏导数存在的极值点问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：; 0)0 , 0( , xxzyz. 0)0 , 0( , yyzxz, 0),( yxfx0),( yxfy例例3 求函数求函数x
42、yyxyxf3),(33 的极值。的极值。解解,33),(2yxyxfx .33),(2xyyxfy 求解方程组：求解方程组： . 033, 03322xyyx得驻点得驻点 .,22xyyx).1 , 1( ),0 , 0(,6),(xyxfxx , 3),( yxfxy.6),(yyxfyy , )0 , 0( 处处在在, 0)0 , 0( xxfA, 3)0 , 0( xyfB. 0)0 , 0( yyfC92 BAC. 0 因此，驻点因此，驻点. )0 , 0(不是极值点不是极值点,6),(xyxfxx , 3),( yxfxy.6),(yyxfyy , )0 , 0( 处处在在, 0)
43、0 , 0( xxfA, 3)0 , 0( xyfB. 0)0 , 0( yyfC92 BAC. 0 因此，驻点因此，驻点. )0 , 0(不是极值点不是极值点, )1 , 1( 处处在在, 06)1 , 1( xxfA, 3)1 , 1( xyfB. 6)1 , 1( yyfC22)3(66 BAC. 027 因此，驻点因此，驻点. )1 , 1(是是极极小小值值点点. 111311)1 , 1( 33 f极极小小值值与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数例如，显然函数
44、22yxz . )0 , 0(处处取取得得极极小小值值在在处处偏偏导导数数但但函函数数在在 )0 , 0(不存在。不存在。求最值的一般求最值的一般方法方法： 将函数在将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. .与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值. .3 3、多元函数的最值、多元函数的最值, 0)1()(2)1(22222 y
45、xyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy解解令令,21)21,21( z,21)21,21( z无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件并无其他条件. .实例实例：小王有：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买买 x 张磁盘，张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 U(x, y) = lnx+lny 设每张磁设每张磁 盘盘 8 元，每盒磁带元，每盒磁带 10
46、元，问他如何分配这元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的问题的实质实质：求：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200108 yx2 条件极值拉格朗日乘数法条件极值拉格朗日乘数法条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值 . 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(tzyxtzyxtzyxFtzyxFtzyxFtzyxFtzyx 求解方程组求解方程组解出解出 x, y, z, t 即得即得可能极值点的坐标可能极值点的坐标.解解 )22()22()22(xyxyFzxxzFzyyzFzy
47、x 则则例例5 求表面积为求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积. 设长方体的长、宽、高为设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为体积为 V .则问题就是条件则问题就是条件求函数求函数的最大值的最大值.)0, 0, 0( zyxxyzV令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxF , 0 , 0 , 0 . 02222 axzyzxy02222 axzyzxy下，下， )22()22()22(xyxyFzxxzFzyyzFzyx 则则令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxF , 0 , 0 , 0 . 02222 axzyzxy即即
48、)4( 0222)3( )(2)2( )(2)1( )(22axzyzxyyxxyzxxzzyyz , 0 , 0 , 0 zyx因因由由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy , 0 , 0 , 0 zyx因因由由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy 于是，于是，. zyx 代入条件，得代入条件，得. 02222 axxxxxx,622ax 解得解得,66ax ,66ay .66az .3666666663maxaaaaV 这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，因为由问题本身可知，所以，所以， 最大
49、值就在此点处取得。最大值就在此点处取得。故，最大值故，最大值最大值一定存在，最大值一定存在，解解 12 0 020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 则则 )4( ,12)3( ,)2( ,2)1( ,323322zyxyxyzxzyx 由由 (1)，(2) 得得(5) ,32xy 由由 (1)，(3) 得得(6) ,31xz .691224623max u将将 (5)，(6) 代入代入 (4)： 123132 xxx于是，得于是，得, 6 x, 4 y. 2 z这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以
50、，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值故，最大值解解0102402222yxyyFxxFyx则22227 ( , )21f x yxyxy例求函数在方程约束条件下的最大与最小值。) 1(2),(2222yxyxyxF构造拉格朗日函数，），（），（），（），（解得可能条件极值点为01,01,10,10, 1)0 , 1()0 , 1 (, 2) 1, 0() 1 , 0(ffff计算出。，最小值为所以所求得的最大值为上必有最值，在有界闭集由于连续函数121/),(2 2222yxyxyx解设),(000zyxP为椭球面上一点, 令1),(22222
