1、内容：内容：l信号的分量与分解、正交函数集的概念，信号信号的分量与分解、正交函数集的概念，信号的傅立叶级数分解的傅立叶级数分解l周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析l非周期信号的频谱分析，常用典型信号的傅立非周期信号的频谱分析，常用典型信号的傅立叶变换，掌握傅立叶变换的技巧叶变换，掌握傅立叶变换的技巧l傅立叶变换的性质，帕塞瓦尔定理与能量频谱傅立叶变换的性质，帕塞瓦尔定理与能量频谱要求：要求：l基本概念：函数的正交、正交函数集、完基本概念：函数的正交、正交函数集、完备正交函数集信号的频谱。备正交函数集信号的频谱。 l重点掌握周期信号的频谱分析和傅立叶变重点掌握周期信号的频谱分析和傅立叶变换换l
2、熟记并灵活运用熟记并灵活运用FouierFouier变换的性质变换的性质1 1、信号分析与系统分析、信号分析与系统分析l 系统分析系统分析：就是研究一给定系统对各种输：就是研究一给定系统对各种输入信号会产生何种输出信号。（时域分析入信号会产生何种输出信号。（时域分析方法）方法）l 信号分析信号分析： -就是要研究信号如何表示成各就是要研究信号如何表示成各分量分量（或（或单元函数）的迭加单元函数）的迭加; ; - -并从各分量的组成情况去考虑信号的特并从各分量的组成情况去考虑信号的特性。性。本章线索：本章线索：从信号分量组成情况讨论信号特性从信号分量组成情况讨论信号特性 找分量表示为各分量的叠加
3、找分量表示为各分量的叠加找原则找原则分解误差最小，简便；可以证明分解误差最小，简便；可以证明完备的正交函数集完备的正交函数集可表可表示任何的复杂信号示任何的复杂信号; ;找到找到-信号如何分解，如何将信号分解或表示为该函数集中单信号如何分解，如何将信号分解或表示为该函数集中单元函数的组合元函数的组合( (付里叶级数（三角付里叶级数，指数付里叶级付里叶级数（三角付里叶级数，指数付里叶级数）数）) )信号时域特性与频域特性的关系信号时域特性与频域特性的关系l 周期信号频谱；周期信号频谱；l 非周期信号频谱；非周期信号频谱；l 在在 中除有垂直投影外，还有其它投影，但中除有垂直投影外，还有其它投影，
4、但垂直投影有一个特性，即垂直投影有一个特性，即用垂直投影去代替原矢用垂直投影去代替原矢量所造成的误差向量的模或模的平方比用其它投量所造成的误差向量的模或模的平方比用其它投影的小影的小。l 亦即其误差矢量亦即其误差矢量 的模或模平方在的模或模平方在垂直投影时最小，影响垂直与否的量只有垂直投影时最小，影响垂直与否的量只有C C1212，所以应选择所以应选择C C1212使得误差矢量最小。使得误差矢量最小。2A1A221212ACAE 为最小，只要：221212ACAE02212112ACAC21221222212211221122212112222AAACACAACACACAC2221222112
5、AAAAAAAC222112AAAAC11221CAA完全相同时：与当量集。的矢量组成一个正交矢此时，这两个互相垂直上的分量为在，即垂直时：与当, 00211221AACAA矢量集来代表。正交面矢量可用一个二维的正交矢量。即：一个平则是平面中的一组与方向上的分量，在也是21AEEAE矢量的分量和矢量的分解矢量的分量和矢量的分解yxAAA：的两个正交分量的模为的单位矢量，则矢量方向方向和分别表示互相垂直的和如果令AyxUUyxyyxxUAAUAA，即：和分量分解为互相垂直的两个，可以在直角坐标中一个平面中的矢量yxAAA其中单位正交矢量其中单位正交矢量 具有如下关系：具有如下关系：推广到推广到n
6、 n维空间，则维空间，则n n维正交矢量集的单位矢量关系如下：维正交矢量集的单位矢量关系如下：矢量集矢量集 组成一组成一n n维的正交空间。维的正交空间。nrrCnUUCUCUCUCA.332211rrrUACA第第r r个分量的模：个分量的模：yxUU 和01yxyyxxUUUUUUmlUUUUmlmm, 01nUUUU.,321表示，即可以分解为：），维的正交向量集（可以用，维空间的任意一矢量同样，n121nVVVV nAn mlKAmmmmnr, 0VVVVVVCVCVCVCl2mnr2211n并且：或是模的平方最小，则为使近似误差矢量的模2rrVVAVVVArrrrC222122211
7、22121minAAAAAAACEACAE误差误差 二、信号的分量与信号的分解二、信号的分量与信号的分解1 1、信号的分量、信号的分量（类比矢量的分量）（类比矢量的分量） 定义：函数定义：函数f f1 1(t)(t)，f f2 2(t)(t)，在区间在区间t t1 1,t ,t2 2 上上f f1 1(t)(t)在在f f2 2(t)(t)上的分量为上的分量为C C1212f f2 2(t)(t)，其中其中C C1212称为分量系数，为常数。称为分量系数，为常数。 如何求如何求C C1212= =？21212121212221122212112212221211221222212121)()(
8、)(0)()()()()(1)(1)(min)(t ,tt ),()()(ttttttttttdttfdttftfCdttfCtfCtCdttfCtfttdtttttttfCtft2 2、引入函数正交概念、引入函数正交概念函数函数f f1 1(t)(t)，f f2 2(t)(t)，在区间在区间t t1 1,t ,t2 2 上上f f1 1(t)(t)在在f f2 2(t)(t)上的分上的分量为量为C C1212f f2 2(t)(t)，若若C C1212=0=0，称函数称函数f f1 1(t)(t)，f f2 2(t)(t)在区间在区间t t1 1,t ,t2 2 上上f f1 1(t)(t)
9、与与f f2 2(t)(t)正交。正交。说明使用说明使用C C1212表示表示f f1 1(t)(t)，f f2 2(t)(t)相似程度不合适相似程度不合适1)()(0122112CtftfC正交若若f f1 1(t)=f(t)=f2 2(t)+f(t)+f3 3(t)(t)，且，且f f2 2(t)(t)与与f f3 3(t)(t)正交，正交，C C1212= =？2121)()()(22112ttttdttfdttftfC2为什么？ )()(12112tftfC 为了更好地说明两个信号间相似的程度，从功为了更好地说明两个信号间相似的程度，从功率的角度，引入了相关系数的概念：率的角度，引入了
10、相关系数的概念： 21211221221)(1min)(1ttdttfttt2121212)()()()()(1min)(2221122212112ttttttdttfdttftfCdttfCtfttt3 3、相关系数、相关系数2121212)()()()()(1min)(2221122212112ttttttdttfdttftfCdttfCtfttt)()()()(1)()()()()(1min)(2121212212121222221211222221112ttttttttttttdttfdttftfdttfttdttfdttfdttftftfttt)()()()(1min)(212121
11、2222121122ttttttdttfdttftfdttfttt2121212122212112)()()()(ttttttdttfdttfdttftf211212cc2121)()()(222112ttttdttfdttftfC21211221221)(1min)(1ttdttfttt2121212121222121212112212)()()()()(1min)(1ttttttttdttfdttfdttftfdttfttt两信号正交和时，两信号全同时，)()(0),()(1; 12112211212tftftftf4 4、引入正交函数集、正交信号空间、引入正交函数集、正交信号空间（类比矢
12、量的正交空间）（类比矢量的正交空间） ：维正交信号空间，满足组成一个、内，一个函数集在区间（ntgtgtgttn)(.)()(),2121为一常数mttmlmttmkmldttgtgkdttg0)()()(212125 5、信号分解、信号分解（类比正交矢量空间的分解类比正交矢量空间的分解）内，可以分解为：在区间信号),()(21tttf.)(.)()()(2211tgctgctgctfrr)(.)(.)()()(2211tgctgctgctgctfnnrr的函数时：包含无限多个相互正交为完备正交函数集，、)(.)()(21tgtgtgn)()()()()(2211tgCtgCtgCtgCtfn
13、nrr rC在使该近似式的方均误差最小的条件下，可在使该近似式的方均误差最小的条件下，可推得其中分量系数推得其中分量系数CrCr应满足：应满足： 212121)()(1)()()(2ttrrttrttrdttgtfkdttgdttgtfl 如果一正交信号空间可以精确（无误差）如果一正交信号空间可以精确（无误差）地表示任一函数，则称该正交空间为地表示任一函数，则称该正交空间为完备的完备的正交信号空间或正交函数集正交信号空间或正交函数集。l 一般说，完备正交函数集中将包含有一般说，完备正交函数集中将包含有无限无限多个相互正交的函数。此时，函数多个相互正交的函数。此时，函数f(tf(t) )可以精可
14、以精确地而不是近似地表示为一个包含确地而不是近似地表示为一个包含无限无限多个多个相互正交的函数的无穷级数。相互正交的函数的无穷级数。 正交和完备是两个独立的概念。正交和完备是两个独立的概念。 )()()(, 2 , 1, 0)()(221121tgCtgCtfrdttgtxttr且说一个正交函数完备，即是说在该正交集说一个正交函数完备，即是说在该正交集之外不存在任何一个函数之外不存在任何一个函数x(t)x(t)使得：使得： 3 3、复变函数的分解、复变函数的分解l 复变函数即指函数的复变函数即指函数的自变量自变量及及函数值函数值都是都是复数复数的函数。的函数。l 复变函数的分解与实函数的分解相
15、似，只复变函数的分解与实函数的分解相似，只有以下几点不同：有以下几点不同：1 1）函数函数f f1 1(t)(t)、f f2 2(t)(t)、都是复变函数都是复变函数2)2) 正交函数集正交函数集g g1 1(t)(t)，g gr r(t (t) ) ，都是复都是复变函数变函数 。3)3) 分量系数分量系数C C1 1，C Cr r，是复数。是复数。 2 2）方均误差式变为：）方均误差式变为：的复共轭。表示)()()()()()(1 )()()()(1 )()(1)(*2*12*121211*2121212112212112212212212tftfdttfCtftfCtfttdttfCtft
16、fCtfttdttfCtfttttttttt3 3）分量系数变为：）分量系数变为：2121)()()()(*22*21ttttrdttftfdttftfC4 4）正交函数集的正交条件：）正交函数集的正交条件： nmkdttgtgmldttgtgmttmmttml1,)()(, 0)()(2121*5 5）复正交函数集）复正交函数集gg1 1(t),g(t),g2 2(t),g(t),gr r(t),(t),是完备的，则是完备的，则任意函数任意函数f(t)(f(t)(实或复实或复) )可以分解为可以分解为: : 212121)()(1)()()()()()()()(*2211ttrrttrrtt
17、rrrrdttgtfkdttgtgdttgtfCtgCtgCtgCtf其中： 广义地讲，实变函数是复变函数的广义地讲，实变函数是复变函数的复数虚部为复数虚部为0 0的特殊情况，因此讨论的特殊情况，因此讨论复变函数的分析更有意义。复变函数的分析更有意义。 1、三角正交函数集三角正交函数集t t) )s si in n( (n nt t) ), ,c co os s( (n n( t0，t0 +T ) , ,1 1, ,2 2, ,n n, 02、指数函数集指数函数集t tj jn ne e, ,2 2, ,1 1, ,n n, 0( t0，t0 +T ) 3、抽样函数集抽样函数集4、Walsh函
18、数集函数集 n n- -t tT TS Sa a ( - ， ) ( 0，1 ) , ,1 1, ,2 2, ,n n, 0, ,2 2, ,1 1, ,n n, 0t t) )W Wa al l( (n n, ,矢量：坐标变换矢量：坐标变换函数：正交变换函数：正交变换 工程技术中的正交函数集：傅立叶级数、工程技术中的正交函数集：傅立叶级数、沃尔什函数、乐让德函数、切比雪夫函数等。沃尔什函数、乐让德函数、切比雪夫函数等。 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论” 一书中
19、 “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点1 1、三角傅立叶级数、三角傅立叶级数为任何数、nmdttntmTtt, 0)cos()sin(112)(sin)(cos111122TdttndttnTttTtt关系：余弦函数与正弦函数的均为正整数。周期，时的、为上述三角函数在其中，nm,1nm2TnmdttntmdttntmTttTtt, 0)sin()sin()cos()cos(1111 是一个正交函数集是一个正交函数集 当当n=n=时，是一时，是一完备的完备的正交函数集正交函数集 , 2 , 1),
20、cos(,),2cos(),cos(),sin(,),2sin(),sin(, 1ntntttntt注意：注意：n=0n=0，sin0=0sin0=0不属于正交函数集。不属于正交函数集。 )sin()cos(2 )sin()2sin()sin( )cos()2cos()cos(2)(),()(102121011 nnnnntnbtnaatnbtbtbtnatataatfTtttf：三角傅立叶级数表示式区间内的在 a a0 0/2,a/2,an n,b,bn n都是都是分量系数分量系数 a a0 0/2/2是函数是函数 f(t)f(t)在该区间内的平均值在该区间内的平均值, ,称为称为直流分量直
21、流分量。 n=1n=1时，即时，即a a1 1coscost+bt+b1 1sinsint t合成一个合成一个角频率角频率为为=2/T=2/T的正弦分量，称为的正弦分量，称为基波分量基波分量； N N1 1时，时，a an ncoscost+bt+bn nsinsint t合成一个角频率为合成一个角频率为n n的正弦分量，称为的正弦分量，称为f(t)f(t)的的n n次谐波分量次谐波分量; ; 称为称为基波频率基波频率，n n称为称为谐波频率谐波频率。 )sin()cos(2)(10nnntnbtnaatfna )sin()cos(2)(10nnntnbtnaatfdttntfTdttndtt
22、ntfTttTttTtt)sin()(2)(sin)sin()(1111112dttntfTdttndttntfTttTttTtt)cos()(2)(cos)cos()(1111112dttfTanTtt11)(200时，nb)(arctan,A)(cosA2 )sin()cos(2)()(cosA)sin()cos()sin()cos(221010nnnnnnnnnnnnnnnnnnabbatnatnbtnaatftntnbtnatnbtna相位其中：振幅达式变为：则函数的三角傅立叶表合并为一正弦分量得：与nnnnnnAbAasincosdttntfTbTttn)sin()(211dttnt
23、fTaTttn)cos()(211的奇函数是频率和相位的偶函数是频率和nbnannnnA22Annnba)(arctannnnab 要将一周期信号分解为谐波分量，则该信号应满足要将一周期信号分解为谐波分量，则该信号应满足狄利克雷条件狄利克雷条件, ,即：即：（1 1）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；数目应是有限个；（2 2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；个；（3 3）在一周期内，信号满足绝对可积。）在一周期内，信号满足绝对可积。电子技术中的周期信号大都能满足该条件，因此以电
24、子技术中的周期信号大都能满足该条件，因此以后除非有需要，一般不做特别说明。后除非有需要，一般不做特别说明。 求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。解：解：0a1) 1(nnA傅里叶级数展开式为傅里叶级数展开式为： tAtAtf2sin2sin0基波基波直流直流谐波谐波0cos22/2/ooTToontdtntTATa2/2/sin2ooTToontdtntTATb22000002TTtdtTAT )sin()cos(2)(10nnntnbtnaatf回顾回顾正交信号空间正交信号空间：维正交信号空间，满足组成一个、内，一个函数集在区间（ntgtgtgtt
25、n)(.)()(),2121为一常数mttmlmttmkmldttgtgkdttg0)()()(21212 mldttgtgnmkdttgtgttmlmttmm, 0)()(1,)()(2121*)(tf的函数时：包含无限多个相互正交为完备正交函数集，、)(.)()(21tgtgtgn回顾回顾2121)()()()(*22*21ttttrdttftfdttftfC2121)()()(221ttttrdttfdttftfC2.)(.)()(2211tgctgctgcrr数表示式：区间内的三角傅立叶级在),()(11Ttttf三角傅立叶级数三角傅立叶级数 ,2,1),cos(,),2cos(),c
26、os(),sin(,),2sin(),sin(,1ntntttntt )sin()cos(210nnntnbtnaa)(tfnadttntfTdttndttntfTttTttTtt)sin()(2)(sin)sin()(1111112dttntfTdttndttntfTttTttTtt)cos()(2)(cos)cos()(1111112nb求下图所示信号的三角傅里叶级数展开式。求下图所示信号的三角傅里叶级数展开式。0a傅里叶级数展开式为傅里叶级数展开式为： 5sin513sin31sin4ttttf基波基波谐波谐波TtTtfTttf2.1)(2.01)(，nanb为偶数，当为奇数，当nnn0
27、4TTTTdtdtTdttfT02020)(2)(20)cos()cos(2)cos()(22020TTTTdttndttnTdttntfT2020)sin()sin(2)sin()(2TTTTdttndttnTdttntfT。方均误差趋于一完备正交函数集时，为无限趋大而使该级数成越大，误差越小，当的最佳近似为最小方均误差意义上、分量系数0nnba)()sin()cos(2)(10ttkbtkaatfnknkk在实际应用中，不可能取无限多次谐波，只能取有在实际应用中，不可能取无限多次谐波，只能取有限项来近似表示，不可避免的带来一误差。限项来近似表示，不可避免的带来一误差。 5sin513sin
28、31sin4ttttf ttfsin4 3sin31sin4tttf 5sin513sin31sin4ttttf近似函数与原信号差别：近似函数与原信号差别：19. 0211 . 02307. 025误差函数：误差函数：均为整数。时的周期，、为函数其中，系：复指数函数具有下述关nmnmnmdteeTdteetjnTtttjmtjnTtttjn,12T, 0)( )()( )(11112 2、复指数傅立叶级数、复指数傅立叶级数集。是一个完备的正交函数、其中可见函数集)210( netjn数表示式：区间内的指数傅立叶级在),()(11Ttttfnc ntjnntjnntjtjnntjecececec
29、ectf110c)(TtttjnTtttjntjnTtttjndtetfTdteedtetf111111)(1)(nnnnjnntjnntnjntnjnntnjnnnneeeeeatnatfAAA21A21 AA212 )(cosA2)()()(1)(010nnnnnnnAn有的奇函数是频率有的偶函数是频率AAtjntjntjntjneejtneetn21sin21cos根据欧拉公式：dtetfTctjnTttnn11)(22ATtttjnndtetfTc11)(1tjnnectf)(l指数傅里叶级数虽然和三角傅里叶级数的形式不指数傅里叶级数虽然和三角傅里叶级数的形式不同，但都是将一信号表示为
30、直流分量和谐波分量同，但都是将一信号表示为直流分量和谐波分量之和；之和；l三角傅里叶级数谐波概念较为直观，但指数级数三角傅里叶级数谐波概念较为直观，但指数级数更为方便，只需求出复数振幅更为方便，只需求出复数振幅 ，信号分解任，信号分解任务就完成。务就完成。nAtjnnetfA21)(注意：注意：l FourierFourier级数展开式都是在（级数展开式都是在（t t1 1，t t1 1T T）区间上进）区间上进行，即该展开式仅在（行，即该展开式仅在（t t1 1，t t1 1T T）内有意义；在）内有意义；在区间之外，也可用此展开式，但区间之外，也可用此展开式，但f(tf(t) )必须是原函
31、必须是原函数在（数在（t t1 1，t t1 1T T）内向两边做周期）内向两边做周期T T的延拓函数。的延拓函数。否则，则仅适合于在区间否则，则仅适合于在区间 （t t1 1，t t1 1T T）。）。l 用正交函数集表示信号时，应当注意这信号是否用正交函数集表示信号时，应当注意这信号是否为为周期性周期性的，以及傅立叶级数表示式的的，以及傅立叶级数表示式的适用范围适用范围。l 在指数在指数FourierFourier级数中出现级数中出现-n-n，并不表示出现负，并不表示出现负频率，只是将频率，只是将n n次谐波表示（或分成）两个指数项次谐波表示（或分成）两个指数项后的一种数学表示形式。后的一
32、种数学表示形式。l 指数正交集中包含有指数正交集中包含有e ejnjn和和e e-jn-jn，它们符合正交条，它们符合正交条件；但三角正交集中则不包含件；但三角正交集中则不包含cos(-ncos(-nt)t)和和 sin(-sin(-n nt)t)，因为，因为cos(ncos(nt)t)和和cos(-ncos(-nt)t)或或sin(nsin(nt)t)和和sin(-nsin(-nt)t)不符合正交条件。不符合正交条件。四种对称： 偶函数 ：f (t )=f (-t) 奇函数 ：f (t )= - f (-t) 偶谐函数 ：半周期重叠对称f(t)=f(tT/2) 奇谐函数 ：半周期镜像对称f(
33、t)=-f(tT/2) 任意周期函数有： )sincos(2)(11101tnbtnaatfnnn偶函数项偶函数项 奇函数项奇函数项 )sin()cos(2)(10nnntnbtnaatfdttntfTbdttntfTadttfTaTTnTTnTT)sin()(2)cos()(2)(22222220分量和余弦谐波分量信号分解中只含有直流, 0nb为偶函数时：当)(tf谐波分量信号分解中只含有正弦, 0na为奇函数时：当)(tf221111011.cos)(2cos2)(TTnnndttntfTatnaatfEf(t)T1/2-T1/2t.)5cos2513cos91(cos42)(1112tt
34、tEEtfdttntfTbtnbtfTTnnn22111111sin).(2sin)(E/2-E/2T1/2-T1/2f(t)t0.)3sin312sin21(sin)(111tttEtfl 半周期对称l 平移半个周期与原波形完全重合l 波形不变)2()(Ttftf0T/2-T/2A 实际周期为T/2，实际角频率为20，基波和谐波频率均为0的偶数倍，只有偶次谐波分量和直流分量。, 3 , 1 0, 4 , 2,cos)(4200nntdtntfTaTn0T/2-T/2A, 3 , 1 0, 4 , 2,sin)(4200nntdtntfTbTn)2()(1Ttftf波形移动波形移动 T/2，与
35、原波形，与原波形横轴横轴对称对称dtttfTaT.cos)(4201111dtttfTbT.sin)(4201111 傅立叶级数展开式不包傅立叶级数展开式不包含直流分量和偶次谐波，含直流分量和偶次谐波，只包含只包含奇次谐波奇次谐波。周期偶函数，奇谐函数周期偶函数，奇谐函数只含基波和奇次次谐只含基波和奇次次谐波的正弦分量波的正弦分量只含基波和奇次谐波只含基波和奇次谐波的余弦分量的余弦分量周期奇函数，奇谐函数周期奇函数，奇谐函数2T2T2T2T2T只含有正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余含有直流分量和余弦分量弦分量2T2T1 1、信号的频谱与频谱图、信号的频谱与频谱图 信号可以在（信号可以在（
36、t t1 1,t ,t1 1+T+T）区间内分解为三角）区间内分解为三角傅立叶级数和指数傅立叶级数的形式。傅立叶级数和指数傅立叶级数的形式。 tjnntnjntnjnntnjnnnneeeeatnatfnnnA21A21 AA212 )(cosA2)()()(1)(010l可见，信号与其分解可见，信号与其分解式中的式中的谐波频率谐波频率、谐波谐波振幅振幅、相位分布相位分布之间存之间存在一一对应关系。在一一对应关系。l因此，可以用信号各因此，可以用信号各次谐波的振幅、相位分次谐波的振幅、相位分布情况来描述。布情况来描述。 频谱：振幅、相位随频谱：振幅、相位随频率的分布关系。频率的分布关系。l 若
37、将各次谐波（包括基波和直流分量）的振幅大小若将各次谐波（包括基波和直流分量）的振幅大小 按按照其频率的高低画在同一频率轴上，就可以得到一幅照其频率的高低画在同一频率轴上，就可以得到一幅反映振幅值与频率间关系的图，该图称为信号的反映振幅值与频率间关系的图，该图称为信号的振幅振幅频谱图频谱图，简称，简称振幅谱振幅谱。l 类似地可以得到信号的类似地可以得到信号的相位频谱图相位频谱图，简称，简称相位谱相位谱。l 一般情况下称信号的频谱，常指信号的一般情况下称信号的频谱，常指信号的振幅谱振幅谱。 请画出信号请画出信号f（t）的幅度谱和相位谱。）的幅度谱和相位谱。 42coscos2sin1)(ttttf
38、余弦形式：余弦形式：42cos)15. 0cos(51)(tttf三角形式傅里叶级数系数：三角形式傅里叶级数系数：1236. 251210AAA25.015.0021010)(cosA2)(nnntnatf)(arctan,A22nnnnnnabba)42()42(2122211)(tjtjtjtjtjtjeeeeeejtf42coscos2sin1)(ttttftjjtjjtjtjeeeeejej242421212112111tjnnneF224215. 014215. 0102112. 12112112. 12111jjjjeFejFeFejFFl 如图所示的周期性方波信号，由于它是偶函数
39、，所以如图所示的周期性方波信号，由于它是偶函数，所以FourierFourier级数中仅含有余弦谐波级数中仅含有余弦谐波; ;l又由于该函数为奇谐函数，即又由于该函数为奇谐函数，即 f(t+T/2)=-f(t+T/2)=-f(tf(t) )，所以仅，所以仅有奇次谐波，也不含直流分量。有奇次谐波，也不含直流分量。l综合考虑，综合考虑，f(tf(t) )的的FourierFourier级数中，仅有奇次的余弦谐波，级数中，仅有奇次的余弦谐波，即：即：f(tf(t)=a)=a1 1cos(cos(t)+at)+a3 3cos(3cos(3t)+t)+.)3cos()cos()(3311tatatf22
40、)cos()(1TTndttntfTa 可以解得：可以解得：振幅谱相位谱 于是可以画出该分波信于是可以画出该分波信号的振幅谱，相位谱分号的振幅谱，相位谱分别见图。别见图。 ).5cos(54)3cos(34)cos(4)(ttttf.54;34;4321aaa对于指数对于指数FourierFourier级数展开，复振幅度级数展开，复振幅度 ，可将幅、相综合画于同一图上，组成幅相图。可将幅、相综合画于同一图上，组成幅相图。 njnneAA 下面我们举一例来说明周期性信号的频谱分析下面我们举一例来说明周期性信号的频谱分析过程，并由此得出一些有普遍意义的结论，以过程，并由此得出一些有普遍意义的结论，
41、以周周期性矩形脉冲期性矩形脉冲信号为例，该信号在数字信号处理信号为例，该信号在数字信号处理等方面具有十分重要的典型意义。等方面具有十分重要的典型意义。频谱分析过程：频谱分析过程：2T222T , 0)(22 ,)(tttftAtf或1 1）写出信号的）写出信号的FourierFourier级数分解级数分解式式求分量系数求分量系数 写出信号在一个周期内的函数式写出信号在一个周期内的函数式 确定分量系数确定分量系数bn=0)2(22)2sin(2 )2sin(22 )cos()(222nSaTAnnTAnnTAdttntfTan 分析函数特点（奇、偶性，奇偶谐性）分析函数特点（奇、偶性，奇偶谐性）
42、确定确定其其FourierFourier级数并含有哪些谐波分量级数并含有哪些谐波分量。F(t)为偶函数，仅含有直流分量与余弦谐波。2T222T , 0)(22 ,)(tttftAtf或写出写出FourierFourier分解式分解式-级数级数 )2( cos)2(21 cos2)(110tjnnnnnenSaTAtnnSaTAtnaatf)(21)()2(2ntnjnnetfnSaTAaA三角分解形式三角分解形式指数分解形式指数分解形式振幅谱：振幅谱： )2(2nSaTAaAnn2 2）画出频谱图）画出频谱图l 由此可见振幅与由此可见振幅与/T/T有关：有关：l n=0, An=0, A0 0
43、=2A/T=2A/Tl 当当/2=/2=kk，即，即=2k/=2k/时，时，A An n= =lAAn n是按是按2/2/的周期归零的。而且随着的周期归零的。而且随着，|Sa(/2)|Sa(/2)|，故振幅的值也减小。，故振幅的值也减小。l在一个周期中：基波频率在一个周期中：基波频率 =2/T=2/T；l =n=2n/T=n=2n/T，故在第一个，故在第一个A An n归零周期里，归零周期里，谱线条数为：谱线条数为：0 0 T/T/ l 在一个在一个A An n归零周期里，谱线条数为：归零周期里，谱线条数为： T/ T/ l 设设T=5T=5，可得：，可得：A A0 0=2A/T=2A/5=2
44、A/T=2A/5，包含，包含5 5条谱线。条谱线。相谱图：相谱图： 由由A An n可以看出，当可以看出，当Sa(n/2)Sa(n/2)的的n/2n/2取一，取一，二象限角时，二象限角时，A An n为正实数，相位为为正实数，相位为0 0，而当，而当n/2n/2取三，四象限角时，取三，四象限角时，A An n为负实数，为负实数， n n=-=-，于是有：于是有： 有时为简便起见，将相位谱画在振幅谱上。有时为简便起见，将相位谱画在振幅谱上。 )2( )(tjnnenSaTAtf复振幅复振幅： 按按A An n的大小，振幅与相位同时画在图上：的大小，振幅与相位同时画在图上： 该图可将振幅大小及与相
45、位的关系明确地该图可将振幅大小及与相位的关系明确地表示出来。表示出来。 注意：注意：这里出现负值并不表示负振幅，只这里出现负值并不表示负振幅，只表示表示相位为负相位为负。3 3、根据频谱图进行信号分析、根据频谱图进行信号分析（1 1）周期信号的频谱是离散频谱；）周期信号的频谱是离散频谱；（2 2）周期信号的频谱的谱线仅出现）周期信号的频谱的谱线仅出现在在 的整数倍频率上；的整数倍频率上；（3 3）周期信号的谱线高度总趋势是）周期信号的谱线高度总趋势是随频主增高而衰减；（本例是按随频主增高而衰减；（本例是按Sa(t)Sa(t)正函数律衰减）正函数律衰减）离散性离散性谐波性谐波性收敛性收敛性 若若
46、T T不变，在改变不变，在改变 的情况的情况12122.0/2,/20，。谱线间距不变例增多。但每周期内谱线条数成比成比例延长例减少，过零周期减少时，谱线高度成比T)2(2nSaTAaAnn.,/200AT，只剩下谱线条数变少。每周期内成比例缩短变大时，过零周期 若不变，在改变T时的情况2121变不变，0，只有直流项。时：，有效频带内谱线数0,TT非周期。：但各分量有相对大小且无穷小量特别是)(,tfAdTTn A A、脉冲、脉冲越窄越窄，振幅，振幅减小减小，收敛速度，收敛速度变慢变慢（过零（过零周期延长）周期延长）B B、频谱分布向高频方向移动；即、频谱分布向高频方向移动；即脉冲越窄脉冲越窄
47、，信，信号中号中高频分量越多高频分量越多。这与我们日常经验相符合。这与我们日常经验相符合的，冲激信号脉宽很窄但其含有许多高频分量。的，冲激信号脉宽很窄但其含有许多高频分量。C C、信号、信号占有时间宽度占有时间宽度与与频谱占有宽度频谱占有宽度成成反比反比。 结论结论1：)2(2nSaTAaAnnA A、谱线密度与信号周期成正比谱线密度与信号周期成正比，这一结论在数字信号，这一结论在数字信号处理中用处很大，如在一频谱中只有处理中用处很大，如在一频谱中只有5Hz5Hz频谱，为了观频谱，为了观看看2.5Hz2.5Hz的谱线，则只需将信号周期加大一倍即可。的谱线，则只需将信号周期加大一倍即可。B B、
48、TT时，变成非周期信号，此时离散谱变成连续谱。时，变成非周期信号，此时离散谱变成连续谱。2121 结论结论2： 尽管以上结论是从一特殊例子得出的，但具有普尽管以上结论是从一特殊例子得出的，但具有普遍意义：遍意义：l即对任意周期信号，其频谱都具有即对任意周期信号，其频谱都具有离散性离散性 、谐波、谐波性与收敛性性与收敛性; ;l而且在一个周期内，信号所占空间与频谱占有空间而且在一个周期内，信号所占空间与频谱占有空间成成反比反比; ;l信号的信号的变化率越大变化率越大，频谱，频谱收敛越快收敛越快，如方波的收敛，如方波的收敛速度是速度是1/n1/n，三角波为，三角波为1/n1/n2 2。 （方波）三
49、角）5sin513sin31sin4.)(5cos2513cos91(cos42)(1112ttttftttEEtfl因为谐波振幅具有收敛性，信号能量的主要部分集因为谐波振幅具有收敛性，信号能量的主要部分集中在中在低频分量低频分量中，所以谐波次数过高的那些分量实中，所以谐波次数过高的那些分量实际上可以忽略不计。际上可以忽略不计。l对一个信号，从零频率开始到需要考虑的对一个信号，从零频率开始到需要考虑的最主分量最主分量的频率间的这一频率范围是信号所占有的频带宽度，的频率间的这一频率范围是信号所占有的频带宽度，简称频宽、带宽简称频宽、带宽。3、频带宽度的概念与定义、频带宽度的概念与定义一般讲，时间
50、函数变化较快的信号必定具有较宽的频带。一般讲，时间函数变化较快的信号必定具有较宽的频带。实际上实际上 ： 1 1）对于包络线为）对于包络线为SampleSample函数的频谱，常包络线函数的频谱，常包络线第一个过零点第一个过零点的分量定义为最高频率分量，这时的分量定义为最高频率分量，这时频宽为：频宽为：2/2/； 2 2）对于一般频谱，常将振幅降为最大值的）对于一般频谱，常将振幅降为最大值的1/101/10为为最高频率分量最高频率分量。1 1、频谱函数、频谱函数 时：T当周期信号的周期当周期信号的周期TT时，信号变成非周期时，信号变成非周期信号，基波频率信号，基波频率=2 /T0=2 /T0，
