1、正三正三角形角形正方形正方形问题问题1，什么样的图形是正多边形？，什么样的图形是正多边形？各边相等各边相等, ,各角也相等各角也相等的多边形是的多边形是正多边形正多边形. .辨析辨析:1. 矩形是正多边形吗矩形是正多边形吗?菱形呢菱形呢?正方形呢正方形呢?为什么为什么?矩形不是正多边形，因为四条边不都相等矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等.分别画出图中各正多边形的对称轴，看看你能发分别画出图中各正多边形的对称轴，看
2、看你能发现什么规律？现什么规律？做一做做一做以正五边形为例，如图，我们发现以正五边形为例，如图，我们发现正五边形有五条对称轴正五边形有五条对称轴，而且这些，而且这些对称轴都交于一点对称轴都交于一点O。根据轴对称的性质，我们知道这些。根据轴对称的性质，我们知道这些对称轴是正对称轴是正五边形各边的垂直平分线五边形各边的垂直平分线，因而点，因而点O到正五边形各个顶点的距离相等，到正五边形各个顶点的距离相等，记为记为R。那么以点。那么以点O为圆心，为圆心，R为半径的圆就过正五边形的各个顶点，为半径的圆就过正五边形的各个顶点，它是该它是该正五边形的外接圆正五边形的外接圆。另外，这些对称轴也是正五边形各内
3、角的。另外，这些对称轴也是正五边形各内角的平分线，根据角平分线的性质，点平分线，根据角平分线的性质，点O到各边距离都相等，记为到各边距离都相等，记为r，那么，那么以点以点O为圆心，为圆心，r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五正五边形的内切圆边形的内切圆。如图，其他正多边形也有类似的结论。EFCD中心角中心角边心距边心距r rAB任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆新课讲解新课讲解中心中心EDCBAO半径半径中心角中心角边心距边心距正多边形中的有关概念：正多边形中的有关概念：F既是外接圆的圆心，也是内切
4、圆的圆心既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心ABCDE定义：定义：把圆分成把圆分成n n（n n2 2）等份，）等份， 依次连结各分点所得的多边形是这个圆依次连结各分点所得的多边形是这个圆 的一个的一个内接正内接正n n边形边形. .正正n边形与圆的关系边形与圆的关系1.把正把正n边形的边数无限增多边形的边数无限增多,就接近于圆就接近于圆.2.怎样由圆得到多边形呢？怎样由圆得到多边形呢？ABCD思考思考1: 把一个圆把一个圆4等分等分, 并依次连并依次连 接这些点接这些点,得到正多边形吗得到正多边形吗?例：利用尺规作图，作出已知圆的内接例：利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形正方形
5、和内接正六边形 你能尺规作出正四边形吗？你能尺规作出正四边形吗？ABCDO只要作出已知只要作出已知OO的互的互相垂直的直径即得圆相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与心作各边的垂线与OO相交，或作各中心角相交，或作各中心角的角平分线与的角平分线与OO相交，相交，即得圆接正八边形，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正照此方法依次可作正十六边形、正三十二十六边形、正三十二边形、正六十四边边形、正六十四边形形 你能尺规作出正六边形吗？你能尺规作出正六边形吗？OABCEFD 以半径长在以半径长在圆周上截取六段圆周上截取六段相等的弧，依次相等的弧，依次连结各等分点，连结各
6、等分点，则作出正六边形则作出正六边形. . 先作出正先作出正六边形，则可作六边形，则可作正三角形，正十正三角形，正十二边形，正二十二边形，正二十四边形四边形 抢答题：抢答题：1.o1.o是正是正与与 的圆心。的圆心。ABCABC的中心，它是的中心，它是ABCABC的的2 2、OBOB叫正叫正ABCABC的的它是正它是正ABCABC的的 的半径。的半径。 3 3、ODOD叫作正叫作正ABCABC的的它是正它是正ABCABC的的 的半径。的半径。ABC.OD半径半径外接外接圆圆边心距边心距内切圆内切圆外接外接圆圆内切内切圆圆4、正方形、正方形ABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O叫做叫做正方形正方形A
7、BCD的的5、正方形、正方形ABCD的内切圆的半径的内切圆的半径OE叫做叫做正方形正方形ABCD的的ABCD.OE中心中心边心距边心距6、 O是正五边形是正五边形ABCDE的外接圆，弦的外接圆，弦AB的的弦心距弦心距OF叫正五边形叫正五边形ABCDE的的 ，它是正五边形它是正五边形ABCDE的圆的半径。的圆的半径。7、 AOB叫做正五边形叫做正五边形ABCDE的角，的角，它的度数是它的度数是DEABC.OF边心距边心距内切内切中心中心72度度8 8、图中正六边形、图中正六边形ABCDEFABCDEF的中心角是（的中心角是（ ）它的度数是（它的度数是（ ）9 9、你发现正六边形、你发现正六边形A
8、BCDEFABCDEF的半径与边长具有的半径与边长具有什么数量关系？为什么？什么数量关系？为什么？BAEFCD.OAOB60度度解答：正六边形的半径与边解答：正六边形的半径与边长数量关系是相等长数量关系是相等因为：正六边形的中心角因为：正六边形的中心角是是6060度和半径组成的三角度和半径组成的三角形是等边三角形，所以边形是等边三角形，所以边长与半径相等。长与半径相等。例例1、 有一个亭子它的地基是半径为有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边的正六边形，形， 求地基的周长和面积求地基的周长和面积FADE.B BC CrR RP P)(6 .4132242121322242422224mLrSr
9、BCPCOCOPCRt亭子的面积心距根据勾股定理，可得边，中，在.606360半径六边形的边长等于它的是等边三角形，从而正，它的中心角等于是正六边形，所以由于OBCABCDEF亭子的周长亭子的周长 L=6L=64=24(m)4=24(m)FADE.B BC CrR=4R=4P P例例2、如图：已知正六边形、如图：已知正六边形ABCDEF的边长为的边长为6cm，（1）求正六边形）求正六边形ABCDEF的外接圆的半径。的外接圆的半径。（2）求正六边形）求正六边形ABCDEF的边心距。的边心距。作半径作半径OA、OB；OA=OBOA=OB，AOB=60 OABOAB是正三角形，是正三角形，R=AB=
10、6cm， r r6 6DFABCEOHR解：解：（1）HHOB= 60= 30 21答：正六边形的外接圆半径是答：正六边形的外接圆半径是6cm，边心距是，边心距是 cm。33（2）作）作OGAB于于H，得，得RtOHB练习：已知正六边形练习：已知正六边形ABCDEF的的边心距为的的边心距为 r =6cm，求正六边形，求正六边形ABCDEF的外接圆的的外接圆的半径半径R。r rDFABCEOHR例例3：如图，正三角形：如图，正三角形ABC的边心距的边心距r3=2,求：求：R, a3 .ABCODS3例例4: 已知正六边形已知正六边形ABCDEF的半径的半径为为R,求这个正六边形的边长求这个正六边
11、形的边长a6、周、周长长l6、面积、面积S6 .ABCDEFOG当堂训练当堂训练1.课本课本P107第第1题题32 312120 3 36 390 90 2284120 60 2212 6 3例例5:如图如图,M,N分别是分别是 O内接正多边形内接正多边形AB,BC上上的点的点,且且BM=CN.(1)求图求图中中MON的度数的度数;(2)图图中中MON= ; 图图中中MON= ;(3)试探究试探究MON的度数与正的度数与正n边形的边数边形的边数n的关的关系系.；四边形；四边形MONB的面积与正的面积与正n边形面积之间的边形面积之间的关系关系ABCDEABCD.ABCMNMNMNOOOn1、两个
12、正六边形的边长分别是、两个正六边形的边长分别是3和和4，这两个正，这两个正六边形的面积之比等于六边形的面积之比等于_n2圆内接正方形的半径与边长的比值是圆内接正方形的半径与边长的比值是_n3圆内接正四边形的边长为圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边心，那么边心距是距是_n4已知圆内接正方形的边长为已知圆内接正方形的边长为4，则该圆的内，则该圆的内接正六边形边长为接正六边形边长为_n5 圆内接正六边形的边长是圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六用么该正六边形的半径为边形的半径为_；边心距；边心距_ 练习；练习；n6以下有四种说法：以下有四种说法：顺次连结对角线相等的四顺次连结对角线相等的四
13、边形各边中点，则所得的四边形是菱形；边形各边中点，则所得的四边形是菱形；等边三等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；顶点顶点在圆周上的角是圆周角；在圆周上的角是圆周角；边数相同的正多边形都边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（）相似，其中正确的有（）n A1个个 B2个个 C3个个 D 4个个n7正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）系是（） A.互余互余 B.互补互补 C.互余或互补互余或互补 D.不能确定不能确定 9若一个正多边形的每一个外角都等于若一个正多边形的每一个外角都等于36,那么这个正
14、多边形的中心角为（那么这个正多边形的中心角为（ ） A36 B、 18 C72 D54 10将一个边长为将一个边长为a正方形硬纸片剪去四正方形硬纸片剪去四角，使它成为正角，使它成为正n边形，那么正边形，那么正n边形的面边形的面积为（积为（ ） 11正六边形螺帽的边长为正六边形螺帽的边长为a，那么扳手，那么扳手的开口的开口b最小应是最小应是( )A、 33D. a23C. a21B a3、222272.(3 2 3) B a Ca D(2 2-2)a92Aa. 巩固提高：巩固提高： 1、如图，在、如图，在 O中，中，OA=AB，OCAB，则，则下列结论错误的是（下列结论错误的是（ ）D 2、周长
15、相等的正方形和正六边形的面积分、周长相等的正方形和正六边形的面积分别为别为S4和和S6，则，则S4和和S6的大小关系为的大小关系为_ 3、已知圆的半径为、已知圆的半径为6，则它的内接三角形、，则它的内接三角形、正方形、正六边形的边长分别为正方形、正六边形的边长分别为_ 4、若同一个圆的内接三角形、正方形、正、若同一个圆的内接三角形、正方形、正六边形的边心距分别为六边形的边心距分别为r3,r4,r6,则则r3:r4:r6=_ 5、边长为、边长为a的正三角形的高的正三角形的高h=_,外接外接圆半径圆半径R=_,内切圆半径内切圆半径r=_S4S6 6、如图，正六边形、如图，正六边形ABCDEF中，阴
16、影部中，阴影部分的面积为分的面积为 ，则此正六边形的，则此正六边形的边长为边长为_ 例例7、如图，已知、如图，已知 O的内接等腰的内接等腰ABC，AB=AC，弦，弦BD、CE分别平分分别平分ABC、ACB，BE=BC，求证：五边形，求证：五边形AEBCD是正五边形是正五边形 例例8、如图，有一个圆、如图，有一个圆O和两个正六边形和两个正六边形T1、T2， T1的的6个顶点都在圆周上，个顶点都在圆周上，T2的的6条边都和圆条边都和圆O相切（我们称相切（我们称T1，T2分分别为圆别为圆O的内接正六边形和外切正六边的内接正六边形和外切正六边形）设形）设T1，T2的边长分别为的边长分别为a，b，圆，圆
17、O的半径为的半径为r，求，求r：a及及r：b的值的值怎样画一个正多边形呢？怎样画一个正多边形呢？ 问题问题1 1：已知：已知OO的半径为的半径为2cm2cm，求作圆的，求作圆的内接正三角形内接正三角形. .120 用量角器度量，使用量角器度量，使AOB=BOC=COA=120 用量角器或用量角器或30角角的三角板度量，使的三角板度量，使BAO=oAc=30 AOCB你能用以上方法画出正四边形、正五边你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？形、正六边形吗？ABCDOABCDEOOABCDEF907260你能尺规作出正六边形、正三角形、正你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？十二边形吗？OABCEFD 以半径长在圆周以半径长在圆周上截取六段相等的弧，上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，依次连结各等分点，则作出正六边形则作出正六边形. . 先作出正六边先作出正六边形，则可作正三角形，形，则可作正三角形，正十二边形，正二十正十二边形，正二十四边形四边形 定理：定理： 把圆分成把圆分成n（n3）等份：）等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形；内接正多边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。形。
