1、问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？加某天一项活动，有多少种不同的选法？236A 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3从已知的从已知的3个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 , ,并成一组并成一组问题问题2
2、从已知的从已知的3 个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 , ,按照一定按照一定的顺序排的顺序排成一列成一列. .问题问题1排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合 排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点？同点与不同点？ 组合定义组合定义: :组合定义组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个个元素元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个
3、不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个元素的一个个组合组合排列定义排列定义: : 一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m (mn) 个元个元素，素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同元素中个不同元素中取出取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列. .共同点共同点: : 都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素” 不同点不同点: : 排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关， 而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关. .思考一思考一: :ab b与与b ba是相同的排列还是相同的组合是相同的排列
4、还是相同的组合? ?为什么为什么? ?思考二思考二: :两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点? ?两个相同的组合呢两个相同的组合呢? ?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同.元素相同元素相同 构造排列分成两步完成，先取后排；而构造构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤组合就是其中一个步骤.思考三思考三: :组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗? ?判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? ? (1)(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3 3个元素的子集有个元素的子集有多少个多
5、少个? ?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票车票? ? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, ,共有共有多少种分法多少种分法? ?组合问题组合问题(4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, ,共需握手共需握手多少次多少次? ?组合问题组合问题(5)(5)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个游览个游览
6、, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ?组合问题组合问题(6)(6)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个, ,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个风景点的游览顺序, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ?排列问题排列问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.1.1.从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是合分别是: :ab , ac , bc 2.2.已知已知4 4个元素个元素a , b , c , d , ,写出每次取出两个元素的写出
7、每次取出两个元素的所有组合所有组合. .ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3(3个个) )(6(6个个) ) 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的个元素的所有组合的个数，叫做从所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. .mnC233C 246C 如如: :从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是有组合个数是: :如如: :已知已知4 4个元素个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两
8、个写出每次取出两个元素的所有组合个数是：元素的所有组合个数是：组合数组合数: : 是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 mnC1.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。四个元素中任取三个元素的所有组合。abc ， abd ， acd ， bcd .bcddcbacdA11组合组合排列排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb 写出从写出从 四个元素中取出三个元素的所四个元素中取出
9、三个元素的所有组合和排列。有组合和排列。a b c d、你能得到求排列数你能得到求排列数 的一种方法吗？的一种方法吗？34A组组合合数数公公式式的的推推导导示示例例可分两步考虑：求P34PPC333434 34A求可分两步考虑：34 4C第一步，（）个；33 6A第二步，（）个；333.434 CAA根据分步计数原理，334343ACA从而mnC如何计算如何计算: :组合数公式组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此： 一般地，求从一般地，求从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的排个元
10、素的排列数，可以分为以下列数，可以分为以下2步：步： nm 第第1步，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素个元素的组合数的组合数 mnCnm第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 mnAmmmmnmnACA!121mmnnnnAACmmmnmn 这里 ，且 ，这个公式叫做 *Nnm、nm 组合数公式组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm 从从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数 mmmnmnCAA!()!mnnCm nm01.nC我们规定：例例1 1计算：计算： 47C 7
11、10C例例2.2.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行单循环赛，支足球队举行单循环赛，(1)(1)列出所有各场比赛的双方；列出所有各场比赛的双方；（2)2)列出所有冠亚军的可能情况列出所有冠亚军的可能情况. .（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙(1) (1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解： 解：解：(1) 35 (2) 120A16 计算：计算： 47C 710CA17一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和
12、1个黑球个黑球 从口袋内取出从口袋内取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1 1个黑球，个黑球， 有多少种取法？有多少种取法？ 从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有个球，使其中不含黑球，有 多少种取法？多少种取法？5638C2127C3537C38C27C37Ccccmnmnmn11性质性质2 2A18组合数计算公式组合数计算公式!) 1()2)(1() 1 (mmnnnnAACnmmnmn)!( !)2(mnmnCmn组合数性质组合数性质1：mnmnnCC 11mmmnnnccc 组合数性质组合数性质2：A
13、19x x3 3x x- -8 82 28 82 28 8C C= = C C 4 9 4,94,99 99 98 8m mm m + +1 1m mC C- - C C+ + C C= =1 10 08 8n nn nC C= = C Cn n2020C C2 22 22 22 22 23 34 4n nC C + +C C + +C C + + +C C = = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3 3n+1n+1C C例3.11CmnmCmnmn:求证,! :）（！证明mnmnCmn)!1()!1(! 111mnmnmnmmnmCmn)!1)(! )!1(1mnmnnmm.! )
14、( !Cmnmnmn 例例4：一位教练的足球队共有：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是一个足球队的上场队员是11人。问：人。问： （1）这位教练从这）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上名学员中可以形成多少种学员上场方案？场方案？（2）如果在选出）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？A22解：（解：（1）由于上场学员没有角色差异
15、，所以可以）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为形成的学员上场方案种数为 （2）教练员可以分两步完成这件事情：）教练员可以分两步完成这件事情： 第第1步，从步，从17名学员中选出名学员中选出11人组成上场小人组成上场小组组,共有种共有种 选法；选法； 第第2步，从选出的步，从选出的11人中选出人中选出1名守门员，共名守门员，共有种有种 选法。选法。 所以教练员做这件事情的方式种数为所以教练员做这件事情的方式种数为123761117CC1117C1111361361111117CC例例5：在：在100件产品中有件产品中有98件合格品，件合格品，2件次品。产品件次品。产品检验
16、时检验时,从从100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3件。件。(1)一共有多少种不同的抽法一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?说明：说明：“至少至少”“”“至多至多”的问题，通常用分类的问题，通常用分类法或间接法求解。法或间接法求解。A24解：（解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中件产品中取出取出3件的组合数，所以不同抽法的种数为件的组合数，所以不同抽法的种数为 1617003100C
17、12C298C950629812CC（3）解法）解法1 从从100件产品抽出的件产品抽出的3件中至少有件中至少有1件次品，件次品，包括有包括有1件次品和有件次品和有2件次品两种情况。在第（件次品两种情况。在第（2）小题）小题中以求得其中中以求得其中1件次品的抽法有件次品的抽法有 种，因此根据分类种，因此根据分类加法计数原理，抽出的加法计数原理，抽出的3件中至少有件中至少有1件次品的抽法种数件次品的抽法种数为为解法解法2 抽出的抽出的3件产品中至少有件产品中至少有1件是次品的抽法种数，件是次品的抽法种数，也就是从也就是从100件中抽出件中抽出3件的抽法种数减去件的抽法种数减去3件中都是件中都是合
18、格品的抽法种数，即合格品的抽法种数，即（2）从）从2件次品中抽出件次品中抽出1件次品的抽法有件次品的抽法有 种，从种，从98件合格品中抽出件合格品中抽出2件合格品的抽法有件合格品的抽法有 种，因此抽出的种，因此抽出的3件中恰好有件中恰好有1件次品的抽法种数为件次品的抽法种数为29812CC 96041982229812CCCC96041520961617003983100CC按下列条件，从按下列条件，从12人中选出人中选出5人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选
19、，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2人当选；人当选；（6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人当选；人当选；323936C C 0539126C C 1419126C C 1439378C C 231405393939(5)756C CC CC C方法一：5321239756CC C方法二：322314393939(6)666C CC CC C方法一：5051239666CC C方法二：排列排列组合组合组合的概念组合的概念组合数的概念组合数的概念组合是选择的组合是选择的结果，排列是结果，排列是选择后再排序选择后再排序的结果的结果联系联系课堂小结课堂小结A27 P25 练习练习 2、3、5
