1、 刚体刚体 rigid body ：在外力（在外力（无论多大无论多大）作用下，作用下，形形状和大小都不状和大小都不发生发生变化变化的物体。的物体。1、刚体、刚体运动时运动时，各质元之间的各质元之间的保持不变。保持不变。2、刚体是一种理想模型。视作、刚体是一种理想模型。视作。一、刚体的一、刚体的平动平动刚体运动时，体内任意两点刚体运动时，体内任意两点连线的方向始终保持不变连线的方向始终保持不变。刚体的基本运动形式刚体的基本运动形式平动平动 translation 转动转动 rotation 平动的特点：平动的特点：1) 刚体中各质点的运动情况相同刚体中各质点的运动情况相同2) 刚体的平动可归结为
2、质点运动刚体的平动可归结为质点运动 刚体平动刚体平动 质心运动质心运动实际实际: 对质心对质心有有“质心运动定理质心运动定理” 5.1 刚体运动的描述刚体运动的描述二、刚体的二、刚体的定轴定轴转动转动 当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，这种当刚体内所有点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为运动称为转动转动。 若转轴的位置和方向是固定不动的，此时刚体的若转轴的位置和方向是固定不动的，此时刚体的转动称为转动称为定轴转动定轴转动。 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+三、刚体定轴转动的描述三、刚体定轴转动的描述1. 各点都各点都在自己的转动平面内作在自己的
3、转动平面内作圆周运动圆周运动描述的物理量描述的物理量刚体上刚体上某某点点的线量的线量与角量的关系：与角量的关系： rarartn2r 对刚体不存在整体的线速度！对刚体不存在整体的线速度！ 就是刚体转动的角位置、就是刚体转动的角位置、 、角加速度、角加速度 2. 各点各点转动的半径不同转动的半径不同 线速度不同线速度不同rv v例：已知：例：已知：min/60revkmkjir210)543(求：求：?v解：解：k)60260()/(2sradkrv210)543 (2kjik)/()(smij21086 )/(.smji18802510 1、在刚体定轴转动中，角速度和角加速度均沿轴、在刚体定轴
4、转动中，角速度和角加速度均沿轴向。其指向可用向。其指向可用正负正负表示。表示。说说 明明o0 3、角加速度的方向与角速度增、角加速度的方向与角速度增量的方向一致，当量的方向一致，当 与与 同号时，加同号时，加速转动；速转动； 与与 异号时，减速转动。异号时，减速转动。方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向 2、4、刚体定轴、刚体定轴匀变速匀变速转动方程转动方程0t22002 () 20012tttavv0)(20202xxavv20021tatvxx与与 同形同形0 一、转动定律一、转动定律 刚体内任一质元刚体内任一质元 i，其转动半径为，其转动半径为ri , 所受合外力为所受合外力为Fi，:i
5、iiiFfm a 切切向向iiar oifdjfiii iFfmr 再求和上式两端同乘以ir2iiii iiF rf rmr 合外力矩内力矩之和0iFirFif2()i im r2i izm rJ 刚体对轴刚体对轴 的转动惯量的转动惯量zMJ ifimiFozirZJ 5.2 刚体刚体定轴转动的运动定律定轴转动的运动定律即：即：内力为内力为 fi 刚体定轴转动的刚体定轴转动的转动定律转动定律JM amF该转动定律在刚体定轴转动问题中的地位该转动定律在刚体定轴转动问题中的地位相当于牛顿第二定律在质点运动中的地位相当于牛顿第二定律在质点运动中的地位应用转动应用转动定律解题定律解题步骤与用步骤与用牛
6、顿第二牛顿第二定律时相定律时相同。同。刚体所受的刚体所受的对于对于某一固定转轴的某一固定转轴的合外力矩等于合外力矩等于刚刚体对此转轴的体对此转轴的转转动惯量与动惯量与刚体在刚体在此合外力矩作用此合外力矩作用下所获得的下所获得的角加角加速度的乘积速度的乘积刚体的重力矩刚体的重力矩等于刚体全部质量集中于质心时等于刚体全部质量集中于质心时所产生的重力矩所产生的重力矩.重力矩大小：重力矩大小：cos2Lmg细杆质量细杆质量m, 长长LogmNotes: 方向与角加速度方向与角加速度 方向一致为方向一致为正，相反为负正，相反为负. .M 例：几个力同时作用在一个具有固定转例：几个力同时作用在一个具有固定
7、转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体零，则此刚体(A)(A)必然不会转动必然不会转动(B)(B)转速必然不变转速必然不变(C)(C)转速必然改变转速必然改变(D)(D)转速可能不变，也可能改变转速可能不变，也可能改变答案：答案： (D)若若矢量和不矢量和不为零，结果？为零，结果？思考思考二二、转动惯量、转动惯量（moment of inertia） 反映刚体转动惯性大小的物理量。反映刚体转动惯性大小的物理量。 1.定义：定义：2iiirmJ1m2m3m1r2r3r 312iiiirmJ例：如图例：如图233222211rmrmrm 对于质量连续分布
8、的刚体对于质量连续分布的刚体 mrJmd2ddml：质量线密度：质量线密度ddmS：质量面密度：质量面密度ddmV：质量体密度：质量体密度mdmdmd1）总质量总质量m 越大，越大，J 越大越大;2）质量分布离轴越远，质量分布离轴越远，J 越大；越大；3）轴位置不同，）轴位置不同，J 不同。不同。2. 决定刚体转动惯量的因素：决定刚体转动惯量的因素：Om,RRm ,ROO3. 平行轴定理平行轴定理（parallel axis theorem ）zLCMzC点是刚体的质心点是刚体的质心231MLJ 2121MLJ 2mRJ 221mRJ 2MLJJzz M,L例：有两个半径相同、质量相等的细圆例
9、：有两个半径相同、质量相等的细圆环环A和和B，A环的质量分布均匀，环的质量分布均匀，B环不环不均匀，它们对通过环心并与环面垂直的均匀，它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为JA和和JB，则，则(A)JAJB (B)JA设设2Tgm2a 1111amgmT 1T得解。得解。221MRJ T1T2 若若 M= 0，则则T1= T2讨论：讨论：无相对滑动无相对滑动 Raa 例例5.2 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴其光滑的水平对称轴OO 转动，设大小圆柱体转动，设大小圆柱体的半径分别为的半径分别为R和和r，质量分别为，
10、质量分别为M和和m，绕在，绕在两柱体上的细绳分别与物体两柱体上的细绳分别与物体m1和物体和物体m2相连，相连，m1和和m2分别挂在圆柱体的两侧。求：分别挂在圆柱体的两侧。求：O Om2m1MmrR1) 柱体转动时的角加速度柱体转动时的角加速度 ；2) 两侧细绳的张力。两侧细绳的张力。 rRO解：解：2222111 112123( )( )( )Tm gm am gTm aT RT rJ 21rRaaraaR 222121mrMRJ 解得解得grmRmJrmRm222121 gmrmT222 RmgmT111 m1, m2的平动方程和柱体转动方程为的平动方程和柱体转动方程为 4T2T1T2T1m
11、2gm1ga2a1讨论：讨论：若只求柱体转动的角加速度，可将若只求柱体转动的角加速度，可将柱柱体和体和m1, m2选作一个选作一个系统系统，系统受的，系统受的合外合外力矩力矩M=m1gR m2gr，则根据，则根据转动定律转动定律可得可得角加速度为角加速度为222121rmRmJgrmgRmJM 总总 若考虑绳与圆柱体的总摩擦力矩为若考虑绳与圆柱体的总摩擦力矩为M, 则则 JMRTRT 12以式以式(5)取代式取代式(3), 再求解即可。再求解即可。)5(一、角动量定理一、角动量定理2121tziziz iz itMtLLL d质点的质点的角动量定理（角动量定理（对轴）：对轴）：210ttMtL
12、L 外外d刚体：刚体：21tziziziiiitMtLLL dzimiriziiiiLr m 因各质元因各质元对轴对轴的的角动量角动量方向相同方向相同，所以合矢量所以合矢量的大小就是分矢量的大小就是分矢量大小大小的直接相加，的直接相加，则则ziiLL iiiimr 其中其中角动量定理角动量定理 5.3 刚体刚体定轴转动的角动量定轴转动的角动量 iiiirmr Jrmiii )(2u刚体刚体 定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理LMt 外外dd（质点系）（质点系）二、角动量守恒定律二、角动量守恒定律常矢量常矢量则则若若外外 LM, 0 M外外和和 L 须是对惯性系中的同一点或同一轴。须是对惯
13、性系中的同一点或同一轴。 JL JL u刚体刚体对定轴对定轴的角动量的角动量或写为或写为对比对比质点对定点的质点对定点的动量动量vmP 021LLtMtt d外外微分微分形式形式积分积分形式形式0 JJ mm1r2r许多现象都可以用许多现象都可以用角动量守恒来说明角动量守恒来说明花样滑冰花样滑冰跳水跳水茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳vovoompTR圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒 .角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒？；守恒？；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒
14、.圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒 .关于系统守恒的讨论关于系统守恒的讨论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计非弹性碰撞非弹性碰撞例例5.3 一杂技演员一杂技演员M由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下落处自由下落到跷板的一端到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员，并把跷板另一端的演员N弹了起来。弹了起来。设跷板是匀质的，长度为设跷板是匀质的，长度为l，质量为，质量为 ，跷板可绕中部，跷板可绕中部支撑点支撑点C在竖直平面内转动，演员的质量均为在竖直平面内转动，演员的质量均为m。假定。假定演员演员M落在跷板上与跷板的碰撞是
15、完全非弹性碰撞。落在跷板上与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞。问演员问演员N可弹起多高可弹起多高?ll/2CABMNh解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度 21M)2( ghv 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度具有相同的线速度2lu m 把把M、N和跷板作为和跷板作为一个系统一个系统, 21M)(2gh v2lu 2lmMvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演员演员 N 以以 u 起起跳跳, 达到的高度达到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNhmgmgNmg角动量守恒角动量守恒231MLJ 2221121ml
16、lm J 22lmu 一、动能定理一、动能定理 5.4 刚体刚体定轴转动中的定轴转动中的能量关系能量关系力矩的功：用力矩的功：用角量角量表示表示力作力作的的功功0 内内A90 21 dMA O.ord Fdrdrd F F(垂直于转轴的截面垂直于转轴的截面)rdsFrdFdA cos dd sinMrF 2222212121 JrmmEiiiiiiK 2. 刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能3.刚体定轴转动的刚体定轴转动的动能定理动能定理2022121 JJA 二、重力场中刚体的机械能二、重力场中刚体的机械能 系统系统- 刚体刚体+地球：地球：pcEmgh 重重刚体的刚体的质心质心相对势能零
17、点的高度相对势能零点的高度212KEJ 21 dMA转动定律：转动定律：dtdJMddtdJMd2121dJMd合外力矩的功合外力矩的功刚体转动动能的增量刚体转动动能的增量221 JmghEc 转动动能定理：转动动能定理：解：过程解：过程1：质点质点与与细棒细棒相碰撞相碰撞 碰撞碰撞过程中过程中系统系统对对O点点 的合力矩为零的合力矩为零例例5.4 质点与质量均匀的细棒相撞质点与质量均匀的细棒相撞(如图如图)0 MolMm0设是完全非弹性碰撞设是完全非弹性碰撞求：棒摆起的最大角度求：棒摆起的最大角度 系统对系统对O点的点的角动量守恒角动量守恒, 21LL 131220 mlMllm得得 2co
18、s1cos1213121222 mglMglmlMl细棒势能细棒势能质点势能质点势能过程过程2：质点质点、细棒细棒上摆上摆 二者二者+地球地球的的 系统系统中只有保守内力（重力）中只有保守内力（重力）作功，所以作功，所以机械能守恒机械能守恒。 两式联立得解两式联立得解olMm0 以上摆前为势能零点以上摆前为势能零点例例5.5 匀质细棒长匀质细棒长 l，质量，质量m，可绕通过其端点，可绕通过其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与放在地面上自由释放后，在竖直位置与放在地面上、质量质量也为也为m的物体相撞（物体与地面的摩擦系数为的
19、物体相撞（物体与地面的摩擦系数为 ）。撞后，物体沿地面滑行距离。撞后，物体沿地面滑行距离s而停止。求而停止。求相撞后棒的质心离地面的最大高度相撞后棒的质心离地面的最大高度h。CO解解 1. 棒摆落过程棒摆落过程 棒棒+ +地球地球 外力外力轴处支承力轴处支承力不做功不做功 机械能守恒机械能守恒2231212 mllmg（1） 以竖直时质心位置处为势能零点以竖直时质心位置处为势能零点3. 撞后撞后物体物体滑行过程滑行过程 匀减速直线运动匀减速直线运动as202 vmamg （3）（4）（5） 为正值表示碰后棒向左摆；反之向右摆。为正值表示碰后棒向左摆；反之向右摆。2. 碰撞过程碰撞过程 棒棒+
20、+物体物体 轴处轴处支承力、重力无力矩支承力、重力无力矩 角动量守恒角动量守恒（2） 223131mllmmlv棒棒质心质心C上升上升机械能守恒机械能守恒解得：解得：223121 mlmghslslh 632 20.49mmghk 例例5.6 如图所示，滑轮转动惯量为如图所示，滑轮转动惯量为0.01kgm2，半径为，半径为7cm，物体质量为，物体质量为5kg，由一绳与倔强系数，由一绳与倔强系数k =200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：摩擦忽略不计，求：(1)当绳拉直，弹簧无伸长时，使当绳拉直，弹簧无伸长时，使
21、物体由静止而下落的最大距离；物体由静止而下落的最大距离；(2)物体速度达到最大物体速度达到最大值的位置及最大速率。值的位置及最大速率。km1T2T解解：(1)分析知，分析知，机械能守恒机械能守恒, 设物体下落最大距离为设物体下落最大距离为h，开始时，开始时物体所在位置为重力势能零点，则：物体所在位置为重力势能零点，则：2102khmgh。且则下落的距离为，设这时物体的速率为加速度为零时速度最大2121,)2(TTkxTmgTxvmgkx mgxmvRvJkx22221)(21210:根据机械能守恒m/s3 . 1222mRJkxmgxv0.245mmgxk km1T2T质质 量量vmP角动量角
22、动量LJ 动量定理动量定理1221vmvmdtFttdtPdF角动量定理角动量定理2121ttMdtJJ dLMdt 动量守恒动量守恒恒矢量vmF, 0质点运动与刚体定轴转动对照表质点运动与刚体定轴转动对照表质点运动质点运动刚体定轴转动刚体定轴转动m转动惯量转动惯量mdmrJ2力力F力矩力矩MrF 第二定律第二定律amF转动定律转动定律MJ动动 量量角动量守恒角动量守恒0,MJ 恒恒矢矢量量力力 的的 功功rdFW力矩的功力矩的功MdW动动 能能221mv转动动能转动动能221J动能定理动能定理转动动能定理转动动能定理21222121mvmvW21222121JJW习习5.1 工程上常用摩擦啮
23、合器使两飞轮以相同工程上常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的转速一起转动。如图所示，的转速一起转动。如图所示，A和和B两飞轮的轴两飞轮的轴杆 在 同 一 中 心 线 上 ，杆 在 同 一 中 心 线 上 ， A 轮 的 转 动 惯 量 为轮 的 转 动 惯 量 为JA=10kg m2，B轮的转动惯量为轮的转动惯量为JB=20kg m2 。开始时开始时A轮的转速为轮的转速为600r/min，B轮静止。轮静止。C为为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？程中，两轮的机械能有何变化？ A ACBACB式中式中 为两轮啮合后共同转动的角速
24、度，于是为两轮啮合后共同转动的角速度，于是 BABBAAJJJJ BABBAAJJJJ 解：解： 以飞轮以飞轮A、B和啮合器和啮合器C作为一系统来考虑，作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得按角动量守恒定律可得或共同转速为或共同转速为minr/200 n在啮合过程中，摩擦力矩
25、作功，所以机械能不在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为能为 J1032.121212142BA2B2ABA JJJJE以各量的数值代入得以各量的数值代入得rad/s9 .20 习习5.2 如图，细棒质量如图，细棒质量M、长长l，oM求：任意位置求：任意位置时，轴给棒的作用力。时，轴给棒的作用力。解：解：设位置设位置时，棒的角速度为时，棒的角速度为 此时轴给棒的作用力设为此时轴给棒的作用力设为Fn、Ft棒的示力图棒的示力图nFtFMgcol 1coscnnMaMgF 2sincttMaMgF 22 lacn 2lact 431sin22 MllMg (3)联立联立得解得解有：有：，转动转动定律定律习习5.3 圆盘质量圆盘质量M, ,半径半径R, , J=MR2/2, , 转轴光滑转轴光滑, ,人的质量人的质量m, ,开始时，两者静止。求：人在盘上开始时，两者静止。求：人在盘上沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度解：解：在走动过程中在走动过程中, ,人人-盘系统角动量守恒。盘系统角动量守恒。设设任意任意时刻，人对盘时刻，人对盘: ；盘对地；盘对地: 则有则有0)(2212MRmRMmm22 20022dMmmdMmm 24 dtd dtd
