1、数学常见几何辅助线作法数学常见几何辅助线作法人说几何很困难，难点就在辅助线。人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线平行线，等腰三角形来添。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线加一倍。三角形中有中
2、线，延长中线加一倍。梯形里面作高线，平移一腰试试看。梯形里面作高线，平移一腰试试看。等积式子比例换，寻找相似很关键。等积式子比例换，寻找相似很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，弦高公式是关键。斜边上面作高线，弦高公式是关键。初中数学常见几何辅助线作法歌诀初中数学常见几何辅助线作法歌诀 半径与弦长计算，弦心距来中间站。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中
3、点圆心连，垂径定理要记全。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。要想作个外接圆，各边作出中垂线。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦园。还要作个内切圆，内角平分线梦园。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。若是添上连心线，切点肯定在上面。若是添上连心线，切点肯定在上面。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显
4、。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。.连结连结目的目的: :构造构造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形适用情况适用情况: :图中已经图中已经存在两个点存在两个点XX和和Y Y语言描述语言描述: :连结连结XYXY注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法.连结连结典例典例1: 1:如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求
5、证:B=D.:B=D.ACBD1. 1.连结连结ACAC构造全等三角形构造全等三角形2. 2.连结连结BDBD构造两个等腰三角形构造两个等腰三角形.连结连结典例典例2: 2:如图如图,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求证求证: :点点M M是是CDCD的中点的中点. .ACBD连结连结ACAC、ADAD构造全等三角形构造全等三角形EM.连结连结典例典例3: 3:如图如图,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分别是分别是BDBD、CDCD的中点，求证：的中点，求证：AMBAMB ANCANCACBD连结连结A
6、DAD构造全等三角形构造全等三角形NM.连结连结典例典例4: 4:如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的长的长. .ACBD连结连结BDBD构造全等三角形构造全等三角形O目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到距离相等距离相等适用情况适用情况: :图中已经图中已经存在一个点存在一个点X X和和一条线一条线MNMN语言描述语言描述: :过点过点X X作作XYXYMNMN注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法.角平分线上
7、点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例1: 1:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求点求点D D到到ABAB的距离的距离. .ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BE.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例2: 2:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分
8、BAC,BAC,求证求证:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BE 思考思考: : 若若AB=15cm,AB=15cm,则则BEDBED的周长是多少的周长是多少? ?.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例3: 3:如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD过点过点E E作作EFBCEFBC构造了构造了: :全等的全等的
9、直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BF 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?E.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例4: 4:如图如图,OC ,OC 平分平分AOB, DOE +DPE =180AOB, DOE +DPE =180o o, , 求证求证: PD=PE.: PD=PE.ACD过点过点P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BF 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?EPGO目的目的: :构造构造直角
10、三角形直角三角形, ,得到得到斜边相等斜边相等适用情况适用情况: :图中已经存在图中已经存在一条线段一条线段MNMN和和垂直平垂直平分线上一个点分线上一个点X X 语言描述语言描述: :连结连结X XM M和和X XN N注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法.垂直平分线上点向两端连线段垂直平分线上点向两端连线段目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜边相等斜边相等适用情况适用情况: :图中已经存在图中已经存在一条线段一条线段MNMN和和垂直平垂直平分线上一个点分线上一个点X X 语言描述语言描述: :连结连结X XM
11、 M和和X XN N注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线在证明过程中描述添法在证明过程中描述添法.中线延长一倍中线延长一倍1.AD1.AD是是ABCABC的中线，的中线，.中线延长一倍中线延长一倍ABCDE)(21ACABAD求证：延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=AEDE=AE，连结连结CE.CE.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段2. 2.如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.延长延长BEBE和和CDC
12、D交于点交于点F F构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形F 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?ACDBE 1遇到弦时（解决有关弦的问题时）遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。的半径。 作用：作用：利用垂径定理；利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关成直角
13、三角形，根据勾股定理求有关量。量。1.如图，如图， O的直径的直径AB和弦和弦CD相交于点相交于点E，且，且AE=1cm，EB=5cm，DEB=60，求，求CD的长。的长。EOABCD2.已知 O中，M、N分别是不平行的两条弦AB和CD的中点，且AB = CD，求证：AMN=CNMABCDOMN 2遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。3.如图，在 O中，AB是直径， ，则 =15CBAD O A B C D4.如图，AB是 O的直径，弦CD平分ACB，若BD=10cm，则AB=_，BCD=_ 3遇到遇到90度的圆周角时度的圆周角时 常常连结
14、两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。已知：如图，点已知：如图，点D的坐标为的坐标为(0，6)，过原点，过原点O，D点的点的圆交圆交x轴的正半轴于轴的正半轴于A点圆周角点圆周角OCA=30，求，求A点的坐标点的坐标 4遇到弦时遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：可得等腰三角形； 据圆周角的性质可得相等的圆周角。 6.已知：如图已知：如图3，AB是是 O的直径，的直径，CD是是 O的弦，的弦，AB，CD的延长线交于的延长线交于E，若，若AB=2DE，E=18，求，求C及及AOC的度数的度数7.已知：如图，半圆O
15、的直径AB=12cm，点C，D是这个半圆的三等分点求CAD的度数及弦AC，AD和围成的图形(图中阴影部分)的面积S8.已知：如图，ABC内接于 O，AM平分BAC交 O于点M，ADBC于D求证：MAO=MAD 5遇到有切线时遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。9.已知：如图，已知：如图，AB为为 O的直径，的直径，PQ切切 O于于T，ACPQ于于C，交，交 O于于D(1)求证：求证：AT平分平分BAC； (2)若求若求 O的半径的半径 6遇到证明某一直线是圆的切线遇到证明某一直线是圆的切线时时 （1）若直线和圆
16、的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。 作用：若OA=r，则l为切线。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） 作用：只需证OAl，则l为切线。 （3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线10.已知：如图，AB是 O的直径， AB=AC,过点D作DEAC，垂足为E.求证：DE为 O的切线；11.已知：如图，已知：如图，P是是AOB的角平分线的角平分线OC上的上的点点PEOA于于E以以P点为圆心，点为圆心，PE长为半径作长为半径作 P求证：求证： P与与OB相切相切 7 遇到两相交切线时（切线长）遇到两相交切线时（切线长） 常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
17、 作用：据切线长及其它性质，可得到： 角、线段的等量关系； 垂直关系； 全等、相似三角形。.已知：如图，已知：如图，PA，PB，DC分别切分别切 O于于A，B，E点点(1)若若P=40，求，求COD； (2)若若PA=10cm，求求PCD的周长的周长 8遇到三角形的内切圆时遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。已知：如图， O是RtABC的内切圆，C=90(1)若AC=12cm，BC=9cm，求 O的半径r； (2)若AC=b，BC=a，AB=c，求 O的半径r已知：如图，ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r求ABC的面积S 12遇到两圆相切时遇到两圆相切时 常常作连心线、公切线。作用：利用连心线性质； 13 遇到三个圆两两外切时遇到三个圆两两外切时 常常作每两个圆的连心线。 作用：可利用连心线性质。已知图(6)中各圆两两相切， O的半径为2r， O1 、 O2 的半径为r，则 O3 的半径是_；
