1、一、场的概念二、梯度场 在物理学中, 曲线积分和曲面积分有着广泛的应用. 物理学家为了既能形象地表达有关的物理量, 又能方便地使用数学工具进行逻辑表达和数据计算, 使用了一些特殊的术语和记号, 在此基础上产生了场论.4 *场论初步数学分析 第二十二章曲面积分*点击以上标题可直接前往对应内容三、散度场四、旋度场五、管量场与有势场数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社若对全空间或其中某一区域若对全空间或其中某一区域 V 中每一点中每一点 M, 都有一都有一 个数量个数量 (或向量或向量) 与之对应与之对应, 数量场数量场 (或向量场或向量场). M 的位置可由坐标确定的位置可由坐标确定. 总
2、是设它对每个变量都有一阶连续偏导数总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.重力和速度都是向量场重力和速度都是向量场. 等于给定了一个数量函数等于给定了一个数量函数 ( , , ),u x y z在以下讨论中在以下讨论中 4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场场的概念后退 前进 目录 退出例如例如: 温度和密度都是数量场温度和密度都是数量场, 在引进了直角坐标系后在引进了直角坐标系后, 点点 因此给定了某个数量场就因此给定了某个数量场就则称在则称在 V 上给定了一个上给定了一个 同理同理, 每每个向量场都与某个向量函数个向量场都与某个向量函数 ( , , )( , , )( , ,
3、)( , , )A x y zP x y z iQ x y z jR x y z k 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社相对应相对应. 并假定它们有一阶连续偏导数并假定它们有一阶连续偏导数. 设设 L 为向量场中一条曲线为向量场中一条曲线. 若若 L 上每点上每点 M 处的切线处的切线 ddd,xyzPQR方向都与向量函数方向都与向量函数 在该点的方向一致在该点的方向一致, 即即 A4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场这里这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数为所定义区域上的数量函数, 磁力线等都是向量场线磁力线等都是向量场线.则称曲线则称曲线 L 为向量场为
4、向量场 的的向量场线向量场线. A例如电力线、例如电力线、注注 场的性质是它本身的属性场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质进行计算和研究它的性质. 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社在第十七章在第十七章3 中我们已经介绍了梯度的概念中我们已经介绍了梯度的概念, grad .uuuuijkxyz方向上的方向导数方向上的方向导数. grad u 是由数量场是由数量场 u 派生出来的一个向量场派生出来的一个向量场, 称为称为 是由数量函数是由数量函数
5、 所定义的向量函数所定义的向量函数( , , )u x y z grad u 的方向就是使方向导的方向就是使方向导 由前文知道由前文知道, ul数数 达到最大值的方向达到最大值的方向, grad u就是在这个方就是在这个方 梯度场4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场梯度场梯度场. 它它 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社( , , )u x y z( , , )u x y zc 因为数量场因为数量场 的等值面的等值面 的法的法线线 方向为方向为 ,uuuxyz所以所以 grad u 恒与恒与 u 的的等值面等值面 正交正交. ,xyz 当把它作为运算符号来看待时当把它
6、作为运算符号来看待时, 梯度可写作梯度可写作 grad.uu 引进符号向量引进符号向量 4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场 注注 通常称为哈密顿通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符算符(或算子或算子), 读读 作作 “Nabla”.数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社1. 若若 u, v 是数量函数是数量函数, 则则 ().uvuv 2. 若若 u, v 是数量函数是数量函数, 则则 ()()() .u vuvu v 特别地有特别地有 2()2 () .uuu 梯度有以下一些用梯度有以下一些用 表示的基本性质表示的基本性质: 4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度
7、场管量场与有势场4. 若若 ( ) ,( , , ) ,ff uuu x y z则则( ).ff uu 3. 若若 ( , , ) ,( , , ) ,rx y zx y z 则则 dd.r 12(,) ,mff u uu( , , ) ,iiuu x y z5. 若若 则则 1.miiiffuu这些公式读者可利用定义来直接验证这些公式读者可利用定义来直接验证.数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社mr试试求求的的梯梯度度. .解解 2, ,.yzmmxrrrrr 若以若以 0rOM 表表示示上的单位向量上的单位向量, 02.mmrrr 222,rOMxyz 例例1 设质量为设质量为 m
8、 的质点位于原点的质点位于原点, 质量为质量为 1 的质点的质点 位于位于 ( , , ),M x y z 记记 4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场它表示两质点间的引力它表示两质点间的引力, 方向朝着原点方向朝着原点, 大小与质量的大小与质量的乘积成正比乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比与两点间距离的平方成反比. mr力场是数量场力场是数量场 的梯度场的梯度场, 这说明了引这说明了引因此因此常称常称 mr为为引力势引力势.则有则有 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社为为 V 上的一个向量场上的一个向量场. ( , , )PQRD x y zxyzdiv .PQR
9、Axyz设设 ( , , )( , , ) i( , , ) j( , , )kA x y zP x y zQ x y zR x y z A这是由向量场这是由向量场 派生出来的一个数量派生出来的一个数量 场场, 也称也称散度场散度场, 记作记作 散度场4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场为为 的的散度散度. A称如下数量函数称如下数量函数: 设设 (cos,cos,cos )n 为曲面为曲面 S 在各点的单位在各点的单位 法向量法向量,记记 , 称为称为 S 的的面积元素向量面积元素向量. ddSnS 于于是是 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社高斯公式可写成如下向量
10、形式高斯公式可写成如下向量形式:divdd .(1) VSA VASdivddiv ()d ,VSA VA MVAS 对上式中的三重积分应用中对上式中的三重积分应用中值定理值定理, 使得使得 ,MV在在 V 中任取一点中任取一点 0.M0M0(),VM记记作作令令 V 收缩到收缩到 4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场001div()limd .(2) VMSA MASV 这个等式可以看作是散度的另一种定义形式这个等式可以看作是散度的另一种定义形式. 0,MM 则同时有则同时有 对上式取极限对上式取极限, 得到得到 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社的不可压缩流体的不
11、可压缩流体, 经过封闭曲面经过封闭曲面 S 的流量是的流量是 d .SAS 0div()A M 于是于是(2)式表明式表明 是流量对体积是流量对体积 V 的变化率的变化率, 若若0div ()0,A M 说明在每一单位时间内有一定数说明在每一单位时间内有一定数 散度的物理意义散度的物理意义 联系本章联系本章2中提到的中提到的, 流速为流速为 A并称它为并称它为 在点在点0M的的流量密度流量密度. A4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场量的流体流出这一点量的流体流出这一点, 则称这一点则称这一点 为为 “源源”. 0M称这点为称这点为 “汇汇”. 若若 0div ()0,A M
12、说明流体在这一点说明流体在这一点 被吸收被吸收, 则则 0M若在每一点都有若在每一点都有 则称则称 为为 “无源场无源场”. Adiv0,A 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社div.AA 容易由定义直接推得散度的以下一些基本性质容易由定义直接推得散度的以下一些基本性质:A 的散度也可表示为的散度也可表示为矢性算符矢性算符 与与 的数性积的数性积: A4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场().ABAB ().AAA 3. 若若( , , )x y z 是一数量函数是一数量函数, 则则 222222.xyz 1. 若若 是向量函数是向量函数, 则则,A B 2. 若若
13、是数量函数是数量函数, 是向量函数是向量函数, 则则 A算符算符() , 的的内内积积常常记记作作拉拉普普拉拉斯斯算算符符. 于是于是 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社例例2 求例求例1中引力场中引力场2,mx y zFrrr r 所产生的散所产生的散度场度场. 解解 因为因为 2222,rxyz 所以所以 2223 2( , , ),()mFx y zxyz 2223/22223/2()()yzyxyzzxyzF4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场因此引力场因此引力场 在每一点处的散度都为零在每一点处的散度都为零 ( 除原点没除原点没F有定义外有定义外 ).222
14、3/2()xmxxyz 0.数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社为为 V 上的一个向量场上的一个向量场. 设设 ( , , )( , , ) i( , , ) j( , , )kA x y zP x y zQ x y zR x y z 场场, 也称也称旋度场旋度场, 记作记作 ( , , )+RQPRQPF x y zijkyzzxxy rot+.RQPRQPAijkyzzxxy A是由向量场是由向量场 派生出来的一个向量派生出来的一个向量 F旋度场4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场为为 的的旋度旋度. A称如下向量函数称如下向量函数: 为便于记忆起见为便于记忆起见,
15、 可用行列式形式来表示旋度可用行列式形式来表示旋度:数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社rot.ijkAxyzPQR类似于用散度表示的高斯公式类似于用散度表示的高斯公式 (1), 现在可用旋度来现在可用旋度来 表示斯托克斯公式表示斯托克斯公式: rotdd .(3) LSASAs4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场其中其中 为前述对于曲面为前述对于曲面 S 的面积元素向量的面积元素向量; 而而dSds 则是对于曲线则是对于曲线 L 的的弧长元素向量弧长元素向量. 对后者说明如下对后者说明如下:设设(cos ,cos,cos )t 是曲线是曲线 L 在各点处的正向在各点处
16、的正向数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社单位切单位切向量向量, 把公式把公式 (3) 改写成改写成 rotdd .(4) LSA nSA ts对上式中的曲面积分应用中对上式中的曲面积分应用中值定理值定理, ,MS4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场dd . sts 弧长元素向量即为弧长元素向量即为在在 S 上任取一点上任取一点 0,M0M0(),SM记记作作令令 S 收缩到收缩到 0,MM 则同时有则同时有 对上式取极限对上式取极限, 得到得到rotdrotd .LMSA nSA nSA ts 001rotlimd .(5)LSMMA nA tsS 这个等式也可以看作
17、是旋度的另一种定义形式这个等式也可以看作是旋度的另一种定义形式. 使得使得 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社为了由为了由 (5) 式直观描述旋度的物理意义式直观描述旋度的物理意义, 不妨将其中不妨将其中 的曲面块的曲面块 S 改换为改换为平面平面4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场这时这时 (5)式又被改写为式又被改写为2212 图图 0n D0ML0rot()A M001rotlimd .(6)LDMMA nA tsD 在流速场在流速场 中中, 曲线积分曲线积分 是沿闭曲线是沿闭曲线 L dLA ts A时间内沿曲线时间内沿曲线 L 流过的总量流过的总量. 它表示
18、流速为它表示流速为 的不可压缩流体的不可压缩流体, 在单位在单位 A的的环流环流量量, 区域区域 D ( 图图 22-12 ),数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社这样这样, 1dLA tsD 就反映了流体关于就反映了流体关于 L 所围面积的平均环流密度所围面积的平均环流密度. 时时, (6) 式右边这个极限式右边这个极限, 就是流速场就是流速场 在在 0DMA点点 处按右手法则绕处按右手法则绕 的环流密度的环流密度. 0Mn 另一方面另一方面, (6) 式左边的式左边的 是是0rotMA n 0rot()A M在在 上的投影上的投影. 0()n M 当当0rot()A M同向时同向时
19、, 该投影为最大该投影为最大. 4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场0()n M 由此可见由此可见, 当所取的当所取的 与与数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社综合起来就可以说综合起来就可以说: 这同时指出了旋度的两个基本属性这同时指出了旋度的两个基本属性:(i) 的方向是的方向是 在点在点 处环流密度最大处环流密度最大 0rot()A MA0M的方向的方向; (ii) 0| rot() |A M即为上述最大环流密度的数值即为上述最大环流密度的数值. 在在 上的投影上的投影. ” 0rot()A M n “ 流速场流速场 在点在点 处绕处绕 的环流密度的环流密度, 等于
20、旋度等于旋度 A0M n 4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场为了更好地认识旋度的物理意义及这一名称的来源为了更好地认识旋度的物理意义及这一名称的来源, 我们讨论刚体绕定轴旋转的问题我们讨论刚体绕定轴旋转的问题. 当当 时时, 称向量场称向量场 为为 “无旋场无旋场” . rot()0A M A设一刚体以角速设一刚体以角速 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社与旋转方向符合右手法则与旋转方向符合右手法则. 度度绕某轴旋转绕某轴旋转, 则则 的方向沿着旋转轴的方向沿着旋转轴, 其指向其指向 2213 图图vO r Pv若取定旋转轴上一点若取定旋转轴上一点 O 作为原点作为
21、原点(图图22-13), 上任意一点上任意一点 P 的线速度的线速度 v4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场,vr rOP 可表示为可表示为 其中其中 是是 P 的径向量的径向量, ( , , )x y z( , , ).rx y z P 的坐标为的坐标为 , 便有便有 (,).xyz 又设又设 于是于是 (,),yzzxxyvzyxzyx 刚体刚体设设 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社. 就是旋转的角速度就是旋转的角速度 rot.AA A表示表示应用算符应用算符的旋度是的旋度是旋度有如下一些基本性质旋度有如下一些基本性质:这结果表明线速度这结果表明线速度 的旋度除
22、相差一个常数因子外的旋度除相差一个常数因子外, v来源来源. 4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场rot(2, 2, 2)2,xyzv 1rot .2v 这也说明了旋度这个名称的这也说明了旋度这个名称的 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社()()() A BABBA (),ABBAAB ()()()()().A BBAABB AA B ()(),AAA 2()()().AAAAA 2. 若若 是数量函数是数量函数, 是向量函数是向量函数, 则则A()0,A 0, 这些等式可通过梯度、散度、旋度等定义来验证这些等式可通过梯度、散度、旋度等定义来验证.()(),ABBA4
23、 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场(),ABAB 1. 若若 是向量函数是向量函数, 则则 ,A B 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社式知道式知道, 此时沿任何封闭此时沿任何封闭曲面的曲面积分都等于零曲面的曲面积分都等于零. 中作一向量管中作一向量管 (图图22-14), 即由向量线围成的管状的即由向量线围成的管状的 若一个向量场若一个向量场 的散度恒的散度恒 A为零为零, 即即 我们曾我们曾 div0,A 称称 为无源场为无源场. A我们又把我们又把 称作称作管量场管量场. 这是因为这是因为, 若在向量场若在向量场 AA3S2S2214 图图1SA管量场与有势场4
24、 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场从高斯公从高斯公 曲面曲面. 这这就得到了由就得到了由123,SSS所围成的封闭曲面所围成的封闭曲面S. 12,SS3S用断面用断面 去截它去截它, 以以 表示所截出的管表示所截出的管的的表面表面,数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社于是由于是由(1)式得出式得出123dddd0.SSSSASASASAS 外侧外侧外侧外侧外侧外侧而向量线与曲面而向量线与曲面3S的法线正交的法线正交, 3d0,SAS 外侧外侧12dd0,SSASAS 外外侧侧外外侧侧4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场所以所以12dd .SSASAS 内
25、内侧侧外外侧侧这等式说明了流体通过向量管的任意断面的流量是这等式说明了流体通过向量管的任意断面的流量是 相同的相同的, 所以把场所以把场 称为管量场称为管量场. A如例如例2, 由由 的梯的梯 mrmr度度所成的引力场所成的引力场 是一个管量场是一个管量场. F数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于 若一个向量场若一个向量场 的旋度恒为零的旋度恒为零, 即即 我们在我们在 Arot0,A 前面称前面称 为无旋场为无旋场. A4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场从斯托克斯公式知道从斯托克
26、斯公式知道, 这时在空这时在空 零零, 这种场也称为有势场这种场也称为有势场. 这是因为当这是因为当 rot0A 时时,由定理由定理 22.5 推得空间曲线推得空间曲线积分与路线无关积分与路线无关, dddd ,uP xQ yR z即即 grad( ,).uP Q R因此若某向量场因此若某向量场 的旋度为零的旋度为零, A通常称通常称 u 为为势函数势函数. 则必存在某个势函数则必存在某个势函数 u, 使得使得grad.uA( , , )u x y z, 使得使得且存在某函数且存在某函数这也是一这也是一 数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件个向量场
27、是某个数量场的梯度场的充要条件. 4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场中中, 引力势引力势 mur就是势函数就是势函数. 在例在例1 0u 0 .F 因为因为 恒成立恒成立, 所以所以 它也是引力它也是引力 若一个向量场既是管量场若一个向量场既是管量场, 又是有势场又是有势场, 则称这个向则称这个向 场场 是有势场的充要条件是有势场的充要条件.F上述例上述例 2 中讲到的引力场中讲到的引力场 就是调就是调 F2,.mx y zuFrrr r 所以所以 和场和场. 量场为量场为调和场调和场.数学分析 第二十二章 曲面积分高等教育出版社20,uuu 即必有势函数即必有势函数 u 满足满足 2222220.uuuxyz 这时称函数这时称函数 u 为为调和函数调和函数. 0,.AuA 且且显然显然4 场论初步场的概念梯度场散度场旋度场管量场与有势场若若 是一个调和场是一个调和场, 则必有则必有 A
