1、第三章 复变函数的积分 复变函数的积分 柯西定理与柯西公式13.1 复变函数的积分 复变函数积分的概念 有向线段 若曲线C是开口弧段，若规定它的端点A为起点，B为中点，则沿曲线C从A到B的方向为曲线C的正向，而由B到A的方向称为C的负向，并把负向曲线记为C-； 若C是简单闭曲线，通常规定逆时针方向为正向，顺时针方向为负向； 若C是复平面上某一个复连域的边界曲线，则C的正向应按如下规定：当人沿曲线C行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界的部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针方向为正向。2 复数域中定积分的定义设设 f(z) 是简单曲线是简单曲线C的连续函数的连续函数简单有向曲线简单有向曲
2、线C以以 起点，以起点，以 为终点，并为终点，并被分成被分成n个弧段，分点为：个弧段，分点为： 是弧是弧 上的任意一点上的任意一点 表示弧段长度的最大值表示弧段长度的最大值若不论对若不论对C的分法和对的分法和对 的取法，的取法，且且 趋于零时，和式趋于零时，和式极限存在且唯一极限存在且唯一0zzzzzzzznn,1210kkkzz,1knkkkkzzf113 该极限就被称为函数 沿有向曲线C从 到 的积分，记做： 该积分就是极限和：)(zf0zz01( )limnkkCkf z dzfzCdzzf)(4复积分存在条件 ,CCCCCCCwf zu x yiv x yf zf z dzudxvdy
3、ivdxudy若函数在光滑曲线 上连续，则沿曲线 的积分存在，且定理一5nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 说明6 : ddd )(相乘后求积分得到与yixzivuzfCyixivu)dd)(Cyvyiuxivxudddd.ddddCCyuxviyvxuCzzfd)(CyvxuddCyuxvdd i从从形式上形式上可以看成是可以看成是公式公式7复积分的基本性质C-:曲线曲线C的反方向曲线的反方向曲线;d)(d)() 1 (CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数kzzfkz
4、zkfCC;d)(d)(d)()() 3(CCCzzgzzfzzgzf821d)(d)(d)( ,C )4(2121CCCzzfzzfzzfCCCC则的起点，的终点是设CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(则上满足在函数的长度为设曲线估值定理估值定理22(6) ( )d( ) d( )CCCf zzf zzf z dSdSdxdy积分的模不大于被积表达式模的积分其中，9复积分的计算则的终点，是的起点是滑曲线，是一条光设CzCzttiytxtzzC)(,)()()()()(: ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()()
5、,()()(),( d)()(),()()(),(d)(tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()(ttztzfCzzfd )(.d )()(ttztzf10例例 解解 . 43 : ,d 的直线段从原点到点计算iCzzC直线方程为, 10,4,3ttytx ,)43( , tizC上在 ,d)43(dtiz d)43(d102ttizzC d)43(102tti .2)43(2i11 例 解：的直线段到是从izzCdzzIC20,121122 ,01xyxt ytt 直线段满足方程：，因此令112210(2) (2)CIz dztiti dt1330(2)3
6、tii31132xyO12例解解 . 2 : ,d zCzzC圆周为其中计算积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(2iezd2diiez Czzd20d22iie)2(z因为20d)sin(cos4ii. 013例例解解0101 d , , , () .nCzCzrzzn 求为以为中心为半径的正向圆周为整数zxyor0z 积分路径的参数方程为),20(0irezz Cnzzzd)(11020) 1(1dninierire,d20inneri14zxyor0z , 0 时当nCnzzzd)(11020di;2 i , 0 时当nCnzzzd)(11020d)sin(cosninrin
7、; 0rzznzzz0d)(1 10所以. 0, 0, 0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心、半径无关：积分值与路径圆周的中心、半径无关. .153.2 柯西定理与柯西公式 柯西定理 复积分的牛顿莱布尼兹公式 复合闭路定理 柯西积分公式 高阶导数公式163.2.1 柯西定理 0Cf zDf zDf z dz 如果函数在单连通域 内处处解析，那么函数沿 内任意一条闭曲线的积分为零，即 定理二：柯西古莎定理定理二：柯西古莎定理定理三：定理三： CCf zDf z dz 如果函数在单连通域 内处处解析，则积分与连结起点及终点的路线 无关。17注意注意1 1 定理中的定理中的 C 可以
8、不是简单曲线可以不是简单曲线.DC 注意注意2 2 定理的条件必须是定理的条件必须是“单连通区域单连通区域”.注意注意3 3 定理不能反过来用定理不能反过来用. . )( , 0d)( 内处处解析内处处解析在在而说而说即不能由即不能由CzfzzfC 183.2.2 复积分的牛顿莱布尼兹公式 定义：复积分上限的函数 0zzF zfd 定理四 .f zuivDF zDFzf z如果在单连通域 内处处解析，则在内也解析，并且有19定义： zf zzf zzf zf z如果函数的导数等于，即有，则称为的一个原函数。的任何两个原函数相差一个常数。20定理五：（牛顿莱布尼兹公式）定理五：（牛顿莱布尼兹公式
9、） 11001001zzzzf zDG zf zf z dzG zG zG zzzD若函数在单连通域 内处处解析，为的一个原函数，则其中 、 为 中任意两点。21证明 000100000110,0.zzzzzzzzF zfdf zfdG zCzzG zCG zCfdG zG zzzfdG zG z 是的一个原函数，令易得，即有令，可得22例：2 421iiz dz计算积分2 42 423111186 1833iiiiz dzzi 解：例：0sinizzdz计算积分0001sincoscoscossiniiizzdzzzzdziiiie 解：233.2.3 复合闭路定理 讨论多连通域上解析函数的
10、积分24 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于并且以交它们互不包含也互不相内部的简单闭曲线是在内的一条简单闭曲线多连通域为设 , )( 内及边界线上解析在如果DzfDC那么nkCCkzzfzzf1d)(d)() 1 ( 取顺时针方向取逆时针方向，其中kCC1C2C3C 均取逆时针方向和其中kCC0d)()2(zzf构成复合闭路构成复合闭路复合闭路定理25);(,4321如图如图作两条辅助线作两条辅助线AAAA, 2 n设设证明证明DCA1A2A3A4C1C2EFGIH构成的边界，构成的边界，为为这样这样IEAHAAGAAFAAEA12
11、344321 26积积分分定定理理，所所围围区区域域内内解解析析，由由在在Cauchyzf )( . 0d)(zzfIEIAEAC 11 IEIAAAHAHAAAGAGAAAFAFAAAEA 1122334444332211 又又23321 HAHAFAFAC 442 GAGAC DCA1A2A3A4C1C2EFGIH27 21. 0d)(CCCzzf CCCzzfzzfzzf210d)(d)(d)( CCCzzfzzfzzf21d)(d)(d)(当当 n 为其它值时，可同样证明。为其它值时，可同样证明。28特殊情况：闭路变形原理特殊情况：闭路变形原理 , )( )( 如图如图在多连通域内解析
12、在多连通域内解析设函数设函数zf ),( 1正向为逆时针方向正向为逆时针方向单闭曲线单闭曲线内的任意两条简内的任意两条简为为及及DCC. 11DDCC全含于全含于为边界的区域为边界的区域及及DC1C1D CCzzfzzf1d)(d)(由复合闭路原理由复合闭路原理这就是闭路变形原理这就是闭路变形原理29解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分, ,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. .DC1C1D CCzzfzzf1d)(d)(在变形过程中曲线不经过函在变形过程中曲线不经过函数数 f(z) 的不解析的点的不解析的点. .说明：说明：300102
13、,0,1 d0,0.()nz zrinznzz 回顾前述例题结论：该结论将被经常使用。31例例解解 . 1 ,d12 2曲线在内的任何正向简单闭为包含圆周计算积分zzzzz, 1 0 12 2zzzzz和内有两个奇点在复平面因为函数依题意知, xyo 1 包含这两个奇点，1212 : 0, 1, CCCzCz在内作两个互不包含也互不相交的正向圆周和只包含奇点只包含奇点32xyo 1 1C2C根据复合闭路原理,121122222212121ddd1111dddd1102204.CCCCCCzzzzzzzzzzzzzzzzzzzziii33例：23CdzCzziz 计算，其中 为圆周，且取正向。解
14、：注意到在圆周内只有一个奇点zi111333111133322033CCCCdzdzzizizizdzdziziiziiii343.2.4 柯西积分公式定理八 柯西积分公式 00012Cf zDCDDzCf zf zdzizz 如果在区域 内处处解析， 为 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 ， 为 内的任一点，则35221,:1;(2),:2;51(3),:.21izCCzCedz Czizizdz Czzziedz Czizz例：求下列积分的值（取圆周正向）（）36解： 1122izizizziCf zeiziedzieiezi（）在复平面解析， 在内 2222(2)225552
15、35CCz izf zzizzzzzdzdzzizziziz 在内解析， 在内37211(3)2221sin1cos1zzzzCCz ieziizizi zezi zeedzdzizizi zzzi在内解析， 在内，383.2.5 高阶导数公式 解析函数具有任意阶导数，且其导数仍为解析函数 定理：), 2 , 1( d)()(2!)(100)(nzzzzfinzfCnn00( ) ( ) : f zDCDzDf zzn设是某单连通区域 内的解析函数，为内围绕的一条可求长的正向闭曲线，而且它的内部全含于，则在 处的阶导数为D 0zC39高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用: : 不在于通过积分来
16、求导不在于通过积分来求导, 而在于通过求导而在于通过求导来求积分来求积分.)(!2d)()(0)(10zfnizzzzfnCn40例例.dcos)2(;d) 1(1(1) 12243zzzzzzezzz求积分解解30(1) 1 , 1 2 , 3,zzzn 函数在复平面内解析在内3341212d12;(1)3!zzzizziz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式4112dcos)2(zzzzze , cos 在复平面内解析函数zez00 1 , 1,zzn在内2010cos2d(cos )1!2cossin 2.zzzzzzzezizezziezezi Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式42小结 复变函数积分的概念 复变函数积分的计算（注意重要积分式的结论） 柯西定理 函数在处处解析的单连通域内沿任意闭合曲线的积分为零 复积分的牛顿-莱布尼兹公式 复合闭路定理 柯西积分公式 求函数在解析区域内某一点的值43
