1、12. 1 串联电路的谐振串联电路的谐振 12. 2 并联电路的谐振并联电路的谐振本章重点本章重点12. 3 串并联电路的谐振串并联电路的谐振12. 4 复频率和相量法的推广复频率和相量法的推广12. 5 网络函数网络函数12. 6 滤波器的概念滤波器的概念12. 7 无源滤波器无源滤波器12. 8 有源滤波器有源滤波器 本章重点本章重点 电路发生谐振的条件电路发生谐振的条件 谐振电路的特点谐振电路的特点 谐振频率的计算谐振频率的计算 相量法的拓广相量法的拓广 网络函数网络函数 频率特性频率特性 滤波器的概念滤波器的概念 返回目录返回目录谐振（谐振（resonance）是正弦交流电路在特定条件
2、下所产生）是正弦交流电路在特定条件下所产生 的一种特殊物理现象。的一种特殊物理现象。 谐振的定义谐振的定义: 在正弦交流稳态下，当含在正弦交流稳态下，当含LC的一端口网络输入端的的一端口网络输入端的 电压、电流同相时，则称该网络处于谐振状态电压、电流同相时，则称该网络处于谐振状态（resonance state）。）。IU+-含含LC 网络网络 |)( j)1( jZXXRCLRZCL感性感性当当 ,1CL IRj L+_Cj1U容性容性即即当当 ,1CL 一、一、 谐振频率谐振频率串联谐振（串联谐振（Series Resonance） 谐振角频率（谐振角频率（resonant angular
3、 frequency） 谐振频率（谐振频率（resonant frequency） 01 CL 根据谐振的定义根据谐振的定义CL 1 即即二、使二、使RLC串联电路发生谐振的条件串联电路发生谐振的条件 1. L ,C 不变，改变不变，改变 电源频率电源频率f（角频率（角频率 ） 2. 电源频率电源频率f （角频率（角频率 ）不变，改变不变，改变 L 或或 C （ 常改变常改变C ） 三、三、RLC串联电路谐振时的特点串联电路谐振时的特点 。同同相相与与 . 1IU 0 0|Z| 0 0R2. 入端阻抗入端阻抗Z为纯电阻，即为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值。电路中阻抗值|Z|最小。最小。3. 电
4、流电流I 达到最大值达到最大值I0=U/R（U一定）。一定）。 IRj L+_Cj1U+_RULUCU0 , CLRUUUU4. 电压电压当当 0L=1/( 0C)R时，时， UL= UC U 串联谐振又称电压谐振。串联谐振又称电压谐振。 LUCUI谐振时电压、谐振时电压、电流的相量图电流的相量图 UUR 5. 功率功率P=RI02=U2/R200LIQL 2001 ICQC 0 CLQQQ负载吸收负载吸收电源发出电源发出 20cosRIUIP 0sin UIQPQ+_LCRu即即:能量交换只在能量交换只在L，C之间进行之间进行 ，与电源间无能量交换。，与电源间无能量交换。 6. 能量能量 t
5、LICuwCC022m2cos2121 )90sin(cos)90sin(0m0m00m tUtICLtCIuCC tLILiwL022m2sin2121 tUu0msin 设设 tItRUi sin sin0m0m 则则 电场能量电场能量 磁场能量磁场能量 WLm=WCmiuCwLwCw总总四、特性阻抗和品质因数四、特性阻抗和品质因数 1. 特性阻抗（特性阻抗（characteristic impedance） 单位：单位： 仅由电路参数决定。仅由电路参数决定。 2. 品质因数（品质因数（quality factor）Q 同样仅由电路的参数决定。同样仅由电路的参数决定。 无量纲无量纲 利用：
6、利用： 例某收音机例某收音机 C=150pF，L=250mH，R=20 电力系统中，由于系统电源电压比较高，一电力系统中，由于系统电源电压比较高，一 旦发生谐振，会因过电压而损坏设备绝缘。旦发生谐振，会因过电压而损坏设备绝缘。若信号电压若信号电压10mV, 则电感上电压为则电感上电压为650mV。 65 RQ 1290 CL 避免：避免： 五、五、RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性串联谐振电路的谐振曲线和选择性 1. 阻抗的频率特性（阻抗的频率特性（frequency characteristic） RXRXXRCLCL111tgtg1tg) ( )(| )(|)1( jZCLRZ 2222
7、22)()1(| )(|XRXXRCLRZCL 幅频特性幅频特性相频特性相频特性X( )|Z( )|XL( )XC( )R 0 |Z( )|0 ( ) 0 0 /2 /22. 电流谐振曲线电流谐振曲线 谐振曲线：电压、电流与频率的关系。谐振曲线：电压、电流与频率的关系。 幅值关系：幅值关系： 0 0I( )U/R1U/R2若若RLC串联电路中，有不同频率的电压源同时作用时，串联电路中，有不同频率的电压源同时作用时， 则接近谐振频率则接近谐振频率 0 0 的电流将可能大于其它偏离谐振频率的的电流将可能大于其它偏离谐振频率的 电电流而被选择出来，这种性能在无线电技术中称为流而被选择出来，这种性能在
8、无线电技术中称为“选择选择 性性”。3. 选择性与通用谐振曲线选择性与通用谐振曲线 （a）选择性（）选择性（selectivity） 0 0I( )例例 一接收器的电路参数为：一接收器的电路参数为： L=250m mH，R=20 ，C=150pF（已调好），（已调好），U1=U2= U3 =10m mV， 0=5.5 106 rad/s， f0=820 kHz。 +_+_+LCRu1u2u3_f （kHz） 电台电台1 电台电台2 电台电台3 L（ ） 820 640 1026 X（ ） 1290 1660 1034 0 660577 1290 1000 1612 I0=0.5 I1=0.01
9、5I2=0.017 I=U/|Z| （m mA） ）（ 1C选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，形状愈尖选择性愈好。选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，形状愈尖选择性愈好。 若若LC不变，不变，R大，大，曲线平坦，选择性差。曲线平坦，选择性差。 %0 . 301 II%4 . 302 II8206401200I(f )f / kHz 0I0I2I1)()()( ,00III （b） 通用谐振曲线通用谐振曲线 2220)1(11)1(/| /)()(RCRLCLRRRUZUII 20020000)(11)1(11QQRCRL 令令 / 0 ，可得可得Q=0.5Q=1Q=1010)(II0 1串联谐振
10、电路的通用谐振曲线串联谐振电路的通用谐振曲线 4. UL( )与与UC( )的频率特性的频率特性UUC( Cm)QU Cm LmUL( )UC( ) 0U( ) 1当当 = Cm时，时，UC( )获最大值；获最大值；当当 = Lm时，时，UL( )获最大值。且获最大值。且UC( Cm)=UL( Lm)。 )2/1 ( Q条条件件是是Q越大，越大， Lm和和 Cm 越靠近越靠近 0。 Lm Cm = 02020m211QC 0220m122QQL QUQQUUULLCC 2mm411)()(可以证明可以证明 返回目录返回目录一、简单一、简单 G、C、L 并联电路并联电路 对偶：对偶：R L C
11、串联串联 G C L 并联并联 LC10 )1( jCLRZ )1( jLCGY +_SIGCLULC10 并联谐振并联谐振（Parallel Resonance） R L C 串联串联 G C L 并联并联 |Z| 00R 0 0I( )U/R 0 0U( )IS/GLUCUUUR ICILISIIG U|Y| 00GR L C 串联串联 G C L 并联并联 电压谐振电压谐振 电流谐振电流谐振 UL( 0)=UC ( 0)=QU IL( 0) =IC( 0) =QIS LCGGLGCQ1100 CLRRCRLQ1100 Q推导过程如下：推导过程如下： GC0 22m212TGUCUQC G
12、Cf02 由定义得由定义得 二二 、电感线圈与电容并联、电感线圈与电容并联 BGj LRCY j1j )( j)(2222LRLCLRR 谐振时谐振时 B=0，即，即 0)(22 LRLC 由电路参数决定。由电路参数决定。 求得求得 j LR+- UIC j1LICIUILICI谐振时的电压、电流相量图谐振时的电压、电流相量图 当电路发生谐振时，电路的入端阻抗为当电路发生谐振时，电路的入端阻抗为 。改变频率可能发生谐振改变频率可能发生谐振时时即即当当 , ,)(1 2CLRLRLC 不可能发生谐振。不可能发生谐振。时时当当 , CLR 返回目录返回目录由纯电感和电容所构成的串并联电路由纯电感和
13、电容所构成的串并联电路 （a）L1L3C2（b）L1C2C3电路既可以发生串联谐振（电路既可以发生串联谐振（Z=0），又可以发生并联谐），又可以发生并联谐 振（振（Z= ）。有两个谐振点。）。有两个谐振点。定性分析定性分析 定量分析：定量分析： 图（图（a）电路：）电路： 21213j1j)j1(jj)(CLCLLZ 当当Z( )= ，即分母为零，即分母为零012121 CL 1j21213CLLL 1)(j 212312313 CLLLCLL当当Z( )=0，即分子为零，即分子为零 0)(31223132 LLCLL可求得可求得 （ 1 2） 21211j1jj1j j1)(CLCLCZ 图
14、（图（b）电路：）电路： 212131jj1CLLC )1()(1j21233212CLCCCL )(21 串联谐振串联谐振 并联谐振并联谐振 当当Z( )= ，即分母为零，即分母为零 0)1(2123 CLC 当当Z( )=0，即分子为零，即分子为零0)(13212 CCL阻抗的频率特性阻抗的频率特性 1 X( )0 2Z ( )=jX( ) 2 X( )0 1图（图（b）电路）电路 图（图（a）电路）电路 例例 已知激励已知激励 u1(t)包含包含 1和和 2 ( 1 2)两个频率分量，两个频率分量， u1(t) =u11(t)+u12(t)=U11msin 1 t+U12msin 2 t
15、 。试设计。试设计电路，要求响应电路，要求响应u2(t)中不含有频率为中不含有频率为 2的电压分量，的电压分量，即即u2(t) =U11msin 1 t 。LC串并联电路的应用串并联电路的应用 可构成各种无源滤波电路（可构成各种无源滤波电路（passive filter）。）。 +_u1(t)u2(t)CRC2C3L1+_u1(t)+_u2(t)解解 下图下图LC滤波网络可满足设计要求滤波网络可满足设计要求 2121CL 取取 ，使，使L1和和C2发生并联谐振，此时发生并联谐振，此时L1和和C2 并联支路阻抗为并联支路阻抗为 ，相当于开路，负载端没有，相当于开路，负载端没有 2电压分量。电压分
16、量。)(13211CCL 取取 电路发生串联谐振，虚框内呈短电路发生串联谐振，虚框内呈短 路，路， 1 电压分量直接加到负载电压分量直接加到负载R上。上。返回目录返回目录一、指数正弦形电流一、指数正弦形电流( )esin()ti tIt t0 0, 0i(t) 0, 0i(t)0tti(t)0 =0, 0i(t)0t 0, =0t0i(t) =0, =0指数正弦形电流指数正弦形电流( )esin()ti tIt 可引入一复指数函数来表示它。由欧拉公式：可引入一复指数函数来表示它。由欧拉公式：j()e eecos()esin()ttttIItIt j()j(j)Im e eIm e etttiI
17、I可见可见令令jj , e ,sII 则则Im e stiI I 即为代表电流即为代表电流i的复数。对应一定的的复数。对应一定的s，i与与 有一一对应关系。表示为有一一对应关系。表示为I js复复频频率率。二、相量法的拓广二、相量法的拓广11221212(1) iIiIiiII若若， 则则在相量法中有在相量法中有d(2) j diiIIt 若若， 则则1(3) djiIi tI 若若， 则则在指数正弦激励下，类似有在指数正弦激励下，类似有11221212(1) iIiIiiII若若， 则则d(2) diiIsIt若若， 则则1(3) diIi tIs 若若， 则则线性非时变电路在指数正弦形的激
18、励下，当激励的线性非时变电路在指数正弦形的激励下，当激励的复频率复频率s= +j 不等于电路微分方程的特征根时，电路的不等于电路微分方程的特征根时，电路的强制分量也具有与激励相同的强制分量也具有与激励相同的指数正弦形式。指数正弦形式。可将相量法拓广，应用于指数正弦形的激励下求强可将相量法拓广，应用于指数正弦形的激励下求强制响应。制响应。1. 复数形式的基尔霍夫定律复数形式的基尔霍夫定律 00 KCLIiKVL 00uU 2. RLC元件方程的复数形式元件方程的复数形式 uRiURI电电阻阻元元件件：d diuLUsLIt电电感感元元件件：11 dui tUICsC 电电容容元元件件：此时电路元
19、件可用复频率此时电路元件可用复频率s下的阻抗下的阻抗 表示。表示。sCsLR1 ,和和R+-RUIsL+-U IUI +-1sC复频率下的复频率下的RLC元件模型元件模型LRuSi+-例例 S( )esin()tu tUt 已已知知。求电流求电流i 的强制分量。的强制分量。解解SUI sLR+-复频率下的复频率下的电路模型电路模型复频率下的电路模型如图。复频率下的电路模型如图。复频率阻抗复频率阻抗Z(s)=R+sL j)( j22See)()( j)()(ILLRULLRUsLRUsZUI 其中其中22, arctan()()ULIRLRLL 所以所以返回目录返回目录一、网络函数一、网络函数(
20、network function)的定义的定义N(s)ER 在内部不含独立电源电路的某一端口施加正弦激在内部不含独立电源电路的某一端口施加正弦激励励e(t)，由此激励在电路内产生某一强制响应，由此激励在电路内产生某一强制响应r(t)，则此，则此响应与激励的复数值之比称为网络函数响应与激励的复数值之比称为网络函数，即，即一般系统理论中，常将网络函数称作一般系统理论中，常将网络函数称作传递函数传递函数。记作。记作N(s)+-1U 1I (a) 驱动点导纳驱动点导纳(1) 驱动点函数驱动点函数 (driving point function) 二、网络函数的不同形式二、网络函数的不同形式N(s)+-
21、1U 1I (b) 驱动点阻抗驱动点阻抗(2) 转移函数转移函数 (transfer function) (a) 转移阻抗转移阻抗N(s)+-2U 1I +-1U N(s)2I (b) 转移导纳转移导纳N(s)+-2U +-1U (c) 转移电压比转移电压比N(s)1I 2I (d) 转移电流比转移电流比例例sL1U 2I 1sCR2+-R12I 1I 。求求网网络络函函数数。响响应应为为设设激激励励为为1221)( ,UIsNIU 0)1()(2211211IsCsLRIsLUIsLIsLR解解 列写回路电流方程为列写回路电流方程为得得消去消去 ,1I222111212( )()()ILsN
22、 sRLURRLsRRsCC 222111212( )()()ILsN sRLURR LsRRsCC 若激励为正弦形式，即若激励为正弦形式，即s=j ，则只要将，则只要将s代以代以j 即可：即可：给定某一复频率给定某一复频率s，可得出在该，可得出在该s值下的网络函数值。值下的网络函数值。2221112122211212(j )(j )() (j )()j ()j()ILNRLURR LRRCCLRLRR LRRCC N(j )称为此时网络函数的称为此时网络函数的频率响应频率响应 (frequency response) 。频率响应：频率响应：网络函数是复变数网络函数是复变数s的函数，可表示为的
23、函数，可表示为)(| )(|)(ssNsN N(s)称为网络函数的称为网络函数的模模， 称为网络函数的称为网络函数的辐角辐角。在正弦情况下在正弦情况下s=j ，则有，则有(j ) |(j )|( )NN N(j )频率响应频率响应|N(j )|幅频响应幅频响应 ( ) 相频响应相频响应返回目录返回目录滤波器（滤波器（filter）：对不同频率的输入信号具有选择性响应的：对不同频率的输入信号具有选择性响应的电路，它可以使输出端所需要的频率范围内的信号通电路，它可以使输出端所需要的频率范围内的信号通过，而使不需要的频率范围内的信号受到阻止或抑制。过，而使不需要的频率范围内的信号受到阻止或抑制。 滤
24、波器的框图滤波器的框图+-ou+-iu滤波器滤波器用到的滤波器术语：用到的滤波器术语：频带频带 ：一个一定的频率范围。：一个一定的频率范围。通频带（或通带）通频带（或通带）：信号可以通过一滤波器的频带。：信号可以通过一滤波器的频带。阻带阻带：信号被阻止通过的频带。：信号被阻止通过的频带。截止频率截止频率(cut-off frequency )fc：通带与阻带交界处的频率。通带与阻带交界处的频率。滤波器的分类：滤波器的分类：无源滤波器（无源滤波器（passive filter）：由电阻、电感和电容这：由电阻、电感和电容这些无源元件构成的滤波器。些无源元件构成的滤波器。 有源滤波器（有源滤波器（a
25、ctive filter）：含有源器件（如晶体管、：含有源器件（如晶体管、运算放大器）的滤波器。运算放大器）的滤波器。 * 其它类型还有数字滤波器等，不属本课程讨论内容。其它类型还有数字滤波器等，不属本课程讨论内容。通常用网络函数来研究滤波器的通常用网络函数来研究滤波器的频率特性频率特性。按滤波器的频率特性可分为四种基本类型：按滤波器的频率特性可分为四种基本类型：(a) 低通滤波器（低通滤波器（low pass filter)：可以使低频信号通过，而：可以使低频信号通过，而高频信号则受到阻止或抑制。高频信号则受到阻止或抑制。(b) 高通滤波器（高通滤波器（high pass filter）：可
26、以使高频信号通过，）：可以使高频信号通过，而阻止或抑制低频信号通过。而阻止或抑制低频信号通过。(c) 带通滤波器（带通滤波器（band bass filter)：可以使某一频带的信号通：可以使某一频带的信号通过，而阻止频率在此频带之外的信号通过。过，而阻止频率在此频带之外的信号通过。(d) 带阻滤波器（带阻滤波器（notch filter)：阻止或抑制某一频带的信：阻止或抑制某一频带的信号通过，而使此频带信号之外的信号通过。号通过，而使此频带信号之外的信号通过。理想滤波器的幅频特性理想滤波器的幅频特性|H(j )|(a) 低通低通0 1 c|H(j )|(b) 高通高通0 1 c|H(j )|
27、(c) 带通带通0 1 c1 c2|H(j )|(d) 带阻带阻0 1 c1 c2返回目录返回目录一、一阶一、一阶RC低通滤波器低通滤波器+ + 1U2UR一阶一阶RC低通低通C传递函数为传递函数为RCsRCsCRsCUUsH11111)(12 正弦稳态下的频率响应为正弦稳态下的频率响应为11(j )|(j )|( )1jHHRCRC 2221 |(j )|1HR C 幅幅频频特特性性 ( )arctan()RC 相相频频特特性性2221|(j )|1HR C ( )arctan()RC |H(j )| 10 c21幅频特性曲线幅频特性曲线 ( ) /20相频特性曲线相频特性曲线 c ：截止频
28、率。截止频率。0 c ：通频带：通频带。二、一阶二、一阶RC高通滤波器高通滤波器+ + 1U2UR一阶一阶RC高通高通C传递函数为传递函数为21( )11URsH sURssCRC 正弦稳态下的频率响应为正弦稳态下的频率响应为j(j )|(j )|( )1jHHRC 222 |(j )|1HR C 幅幅频频特特性性 ( )arctan()RC 相相频频特特性性 2 2 ( ) /20相频特性曲线相频特性曲线 c ：截止频率。截止频率。 c ：通频带：通频带。222|(j )|1HR C ( )arctan()RC 2 2|H(j )| 10 c21幅频特性曲线幅频特性曲线三、由三、由RLC串联
29、电路组成的带通滤波器串联电路组成的带通滤波器22112( )( )11( ) =()()UsRRsH sRUsLsLRsssCLLCRsL spspRCL+- -+- -2U 1U 211,210, 22RRzpLLLC 零零点点极极点点通带通带 BW= c2 c10c1c2 中心频率中心频率H00.707H00|H(j )| c1 c2 幅频特性曲线幅频特性曲线 012j(j )=(j)(j)RHLpp ( ) /20相频特性曲线相频特性曲线- /2 0四、由四、由RLC串联电路组成的带阻滤波器串联电路组成的带阻滤波器222112121( )1( )11( )()()() =()()sLUs
30、LCssCH sRUsRsLLC sssCLLCszszspsp 1,201jjzLC 两两个个零零点点RCL+- -+- -2U 1U 21,2122RRpLLLC 两两个个极极点点0012()()(j )(j)(j)Hpp 阻带阻带 BW= c2 c1H00.707H00|H(j )| c1 c2 幅频特性曲线幅频特性曲线 0 ( ) /20相频特性曲线相频特性曲线- /2 0返回目录返回目录一、有源一阶低通滤波器一、有源一阶低通滤波器2o22i1211222221( )1 11RUR C sH sURRRR CR C ssR C 221pR C 极点极点比较比较12.7中的无源滤波器，可
31、知该电路为一阶低通滤中的无源滤波器，可知该电路为一阶低通滤波器。波器。通频带为通频带为0 c 。+_+ +_R1R2C2iUoU 二、有源一阶高通滤波器二、有源一阶高通滤波器2221211111111( )111URR C sRsH sUR C sRRssCR C +_+ +_R1R2C1iUoU 0z 零零点点221 pR C 极极点点三、有源二阶低通滤波器三、有源二阶低通滤波器+_+_R2C2C1R1iU2U +_+_oU 2KU (b)对图对图( (a)所示电路可作出图所示电路可作出图(b)所示等效电路。其中压控所示等效电路。其中压控电压源等效图电压源等效图(a)中的同相比例器。中的同相
32、比例器。ab1RRK +_+ +_RbR2C2C1R1RaiUoU 2U (a)1U 节点法列方程：节点法列方程：1121oi122112222o21111()11()0sC UUsC UURRRRUsC URRUKU +_+_R2C2C1R1iU2U +_+_oU 2KU (b)1U 12oiUUUU求求解解上上述述方方程程，消消去去变变量量和和，可可得得与与的的关关系系。o12122i1121221212( )1111(KUR R C CH sKUssR CR CR CR R C C 关于放大倍数关于放大倍数K的讨论：的讨论： 当当K1时，电路有可能处于欠阻尼，出现复共轭极点；时，电路有可
33、能处于欠阻尼，出现复共轭极点； 本电路放大倍数值本电路放大倍数值K常取为大于常取为大于1，以减小阻尼。但也，以减小阻尼。但也不宜取得太大，否则可能使传递函数的极点实部为不宜取得太大，否则可能使传递函数的极点实部为正值，电路会不稳定而无法正常工作。正值，电路会不稳定而无法正常工作。|H(j )| K0幅频特性一种情况示例幅频特性一种情况示例四、有源带通滤波器四、有源带通滤波器+_+ +_RRC1iU1U +_+ +RRC22U +_+ +RiRfoU 如图电路是用三级电路级联构成的有源带通滤波如图电路是用三级电路级联构成的有源带通滤波器。第一级为一低通滤波器，第二级为一高通滤波器，器。第一级为一
34、低通滤波器，第二级为一高通滤波器，第三级为一反相器。第三级为一反相器。各级的传递函数分别为各级的传递函数分别为)1(1)(11i11RCsRCUUsH 2212( )1UsH sUsRC of32i( )URH sUR o12123i12fi112( )( )( )( )1 11()()UUUH sH sH sH sUUURsRRCssRCRC 211RC 高通滤波器的截止频率高通滤波器的截止频率211RC 低低通通滤滤波波器器的的截截止止频频率率2112 当当时时，、近近似似为为级级联联后后带带通通滤滤波波器器传传递递函函数数1 1的的模模下下降降至至最最大大值值的的倍倍时时的的频频率率。2 2fiRKR 传传递递函函数数的的模模的的最最大大值值为为。幅频特性曲线幅频特性曲线:0|H(j )| 1 2 0max| )j (| Hmax|(j )|2H 0max|(j)| |(j )|HH 012 返回目录返回目录
