1、.空间向量空间向量.一、平面向量复习1.向量：既有大小又有方向的量。向量：既有大小又有方向的量。2.向量的模：向量的大小向量的模：向量的大小a3.几个特殊的向量：几个特殊的向量：0aaaa 与 同向的单位向量：3)相等的向量：大小相等，方向相同的向量。相等的向量：大小相等，方向相同的向量。4)负向量：大小相等，方向相反的向量。负向量：大小相等，方向相反的向量。5)平行向量：方向相同或相反的向量。（共线向量）平行向量：方向相同或相反的向量。（共线向量） 1)零向量（零向量（ ）：模为）：模为0的向量，方向是任意的。的向量，方向是任意的。（注意与（注意与0的区别）的区别）02)单位向量：模为单位向
2、量：模为1的向量，方向未确定。的向量，方向未确定。.4.向量的几种形式向量的几种形式1)几何形式：有向线段几何形式：有向线段AB AB2)代数形式：代数形式：,axiy jax y分量形式：坐标形式: 11222121,A x yB xyABxx yy 终点终点起点起点22,ax yaxy.5.向量的运算向量的运算1122( ,),(,)ax ybxy1212(,)abxxyy1212(,)abxxyy00,00aaaaaaa 与 同向，与 反向，11(,)axy 1 a bba注：注： 1122222,0 xya bxyxyab ，两个非两个非零向量零向量1.法则（首尾相接）法则（首尾相接）
3、2. 法则（共起点）法则（共起点）法则（共起点，法则（共起点，方向指向被减向量）方向指向被减向量）.1122( ,),(,)ax ybxycosa bab 1212a bx xy y 指两向量的夹角（共起点）注：注：1.夹角公式：121222221122cosx xy ya babxyxy 222.aa aa 12123.00aba bx xy y .6.平面向量的分解定理平面向量的分解定理22111eteta如果 ， 是平面内两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数t1，t2使1e2eaOCMN1e2ea对向量对向量a进行分进行分解解：ONOMOC2211etet.平
4、面向量知识结构图.二、思考：o1、空间向量与平面向量有何区别？空间向量研究些什么内容？怎样研究？o2、空间向量能用来干什么？怎么用？.三、空间向量三、空间向量o我们把向量推广到空间我们把向量推广到空间, ,并把它们叫做并把它们叫做空间空间向量向量. .o空间向量与平面上的向量有空间向量与平面上的向量有相应的概念相应的概念, ,运运算及其运算律具有相同的意义算及其运算律具有相同的意义. .o是平面向量的推广是平面向量的推广, , 有关运算方法几乎一样有关运算方法几乎一样, ,只是只是 “二维的二维的”变成变成 “三维的三维的”了了. .zx面面xy面面yz面面zxyO空间直角坐标系共有空间直角坐
5、标系共有八个卦限八个卦限2、空间直角坐标系的划分.P1P2P3yxz11Pxyzo13、空间中点的坐标对于空间任意一点P，要求它的坐标方法一：过过P P点分别做三个平面垂直于点分别做三个平面垂直于x,y,zx,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P P1 1、P P2 2、P P3 3，在其相应轴上的坐标依次为，在其相应轴上的坐标依次为x,y,zx,y,z，那，那么么(x,y,z)(x,y,z)就叫做点就叫做点P P的空间直角坐标，简称为的空间直角坐标，简称为坐标，记作坐标，记作P(x,y,z)P(x,y,z)，三个数值叫做，三个数值叫做P P点的点的x x坐
6、坐标标,y,y坐标坐标,z,z坐标。坐标。P P点坐标为点坐标为 (x,y,z).xyzo111PP0 xyz方法二方法二：过过P P点作点作xyxy面的垂线，垂足为面的垂线，垂足为P P0 0点。点。点点P P0 0在坐标系在坐标系xOyxOy中的坐标中的坐标x x、y y依次是依次是P P点的点的x x坐坐标、标、y y坐标。再过坐标。再过P P点作点作z z轴的垂线，垂足轴的垂线，垂足P P1 1在在z z轴上的坐标轴上的坐标z z就是就是P P点的点的z z坐标坐标。P P点坐标为点坐标为 (x,y,z)P1.空间向量基础知识空间向量基础知识o空间向量的坐标表示：空间向量的坐标表示：o
7、空间向量的运算法则：若空间向量的运算法则：若111( ,)A x y z222(,)B xy z212121(,)ABxx yy zz ),(),(222111zyxbzyxa212121111212121),(),(zzyyxxbazyxazzyyxxba.向量的共线和共面向量的共线和共面o共线共线: :o共面共面 对应坐标成比例baba/) 1 (OBtOAtOPBAP)1 () 2(三点共线、pbabyaxppba表示可以用共面,) 1 (OCyOBxOAyxOMABCM)1 ()2(四点共面.o两点间的距离公式两点间的距离公式o模长公式模长公式 o夹角公式夹角公式 o方向向量：方向向量
8、：o法向量法向量221221221)()()(zzyyxxdAB2121212|zyxaa222222212121212121|coszyxzyxzzyyxxbababa的方向向量是直线称若lala/0;212121zzyyxxanananan的法向量是则称若.求解线线平行线面平行空间向量运算空间向量的加减空间向量的数乘空间向量的夹角空间向量内积空间向量的模长平面的法向量空间直角坐标系空间坐标系概念建立坐标系坐标运算角异面直线夹角线面夹角二面角距离异面直线距离点面距离面面距离空间向量求解证明面面平行线线垂直线面垂直面面垂直线线平行线面平行空间向量知识结构图空间向量知识结构图.四、建立空间直角坐
9、标系，解立体几何题四、建立空间直角坐标系，解立体几何题1 122330a ba ba b ba112233,()ab ab abRba|112222/ababab（一）、常用公式：（一）、常用公式：1、求线段的长度：、求线段的长度：222zyxABAB212212212zzyyxx2、平行、平行3、垂直、垂直.5、求直线、求直线l与平面与平面所成的角所成的角： | |sin|nPMnPM，(lPM Mn为为的法向量的法向量)4、求两异面直线、求两异面直线AB与与CD的夹角：的夹角： |cosCDABCDAB（二）、求角公式：（二）、求角公式：6、求二面角的平面角、求二面角的平面角 :( 为二面
10、角的两个面的法向量）为二面角的两个面的法向量）1212cos| |n nnn 1n2n.8、求异面直线、求异面直线a,b的距离的距离 :d9、求法向量：、求法向量：找；找；求：设求：设ba, 为平面为平面内的任意两个向量，内的任意两个向量， ),(zyxn 为为 的法向量的法向量 00nbna则由方程组则由方程组 可求得法向量可求得法向量n7、求、求P点到平面点到平面的距离的距离d：| |PQ ndn ，（，（Q为平面内任意一点为平面内任意一点n为平面为平面的法向量）的法向量）（三）、求距离公式：（三）、求距离公式： | |PQ ndn ，（，（P为为a上任意一点，上任意一点， Q为为b上任意
11、一点上任意一点,n为与为与a,b公垂线公垂线的方向向量）的方向向量）.例例1.1.在平行六面体在平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别是分别是棱棱B B1 1C C1 1，CDCD的中点，设的中点，设1ABa ADb AAc ，111, ,a b cAC B D A F EF 用表示，1ACabc1B Dabc 112AFabc 1122EFabc AA1FEDCBB1C1D1.例例2.2.在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,G,G是是ACACD D1 1的重的重心，求证：心，求证：D,G,BD,G,B1 1三点在同一直线上。三点在同一直线上。ABCDA1B1C1D1GO.例例3 3：已知向量：已知向量 ，向量，向量 与与 的夹角都为的夹角都为 ，且且 ，计算，计算：abc, a b 0601,2,3abc (1) 323(2)2(3)2abbcabcabcb与 的夹角72115arccos1122.例例4.4.在正四面体在正四面体ABCDABCD中中, ,用向量的方法证明：用向量的方法证明：ABCDABCD ABCD.请把请把空间向量空间向量知识结构图知识结构图画在习惯培养本上！画在习惯培养本上！
