1、牛顿迭代法牛顿迭代法 非线性方程非线性方程计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1 1 牛顿给出一种求解方法:牛顿给出一种求解方法:在根附近任取一个点,在根附近任取一个点, 曲线与在该点处的切线,该切线与轴线交点取作曲线与在该点处的切线,该切线与轴线交点取作 第二点,依次循环第二点,依次循环 设方程设方程 有根有根 ,且,且 ,如图所示,如图所示牛顿牛顿迭代法几何含义迭代法几何含义*( )0 ( )0f xxfx x*x0 x1x2xky=g(x)计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期)
2、西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院2 2牛顿牛顿迭代法几何含义迭代法几何含义0000100()()()() 0()f xyf xfxxxyxxfx 令令 x*x0 x1x2xky=g(x)1111211()()()() 0()f xyf xfxxxyxxfx 令令 计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院3 3牛顿迭代法牛顿迭代法 定义定义:从几何上看,从几何上看, 越来越接近越来越接近 。由此,。由此, 不难归纳出一般迭代公式不难归纳出一般迭代公式 以上方法称作以上方法称作牛顿迭代
3、法牛顿迭代法(也称(也称切线法切线法)*12, xxx10() ()()kkkkf xxxxfx 为为初初值值 定理定理: 设设 是是方程方程 的的一个单根,一个单根,且且 , 则,牛顿迭代法以则,牛顿迭代法以 2 阶速度收敛于方程根阶速度收敛于方程根 。* ( )0 ( )0 xf xfxx 计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院4 4 证明证明:事实上,迭代函数事实上,迭代函数 ,且,且 当当 时,由迭代定理可知,牛顿迭代时,由迭代定理可知,牛顿迭代 法以法以 2 阶速度收敛于阶速度收敛于 。牛顿牛顿迭代
4、法迭代法 232*3*( )( )( )( )( )( )( )2 ( )( )() ()( )fxfxf x fx fxxfxf xfxfxfxfx ( )( )( )f xxxfx 2( )( )( ), ( )0( )f x fxxxfx *()0 fxx 计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院5 5 例例:证明以上公式,对于初值证明以上公式,对于初值 整体收整体收 收敛于收敛于 ,且收敛速度是,且收敛速度是 2 阶的。阶的。牛顿迭代法牛顿迭代法 定义定义:对于给定正数对于给定正数 a,应用牛顿迭代法解
5、二次,应用牛顿迭代法解二次 方程方程 ,可求,可求 的计算公式的计算公式20 xaa0(0,)x 112kkkaxxx a计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院6 6牛顿迭代法牛顿迭代法 证明证明:从牛顿迭代法可得从牛顿迭代法可得 12221() ()2()1222kkkkkkkkkkkkkkf xxxfxxfxxaxaxxxaxxx 22112111212kkkkkkkkkkaxaxxaxaxaxaxaxaxx 计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学
6、与工程学院制造科学与工程学院7 7牛顿迭代法牛顿迭代法 证明证明:反复递推反复递推可得可得 21221111200 = =kkkkkkkaxaxaxaxaxaxaxax 11201201(1)1kkkaxqqqxaaxq 若若记记:1limkkxa 计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院8 8牛顿迭代法牛顿迭代法 证明证明: 11 kkeax设设 1122kkkkeaxeax =-=-121lim2kkkeea =-=-*1lim0 kpkkexep 从从迭迭代代法法则则得得知知:时时,该该迭迭代代式式在在
7、的的附附近近 阶阶收收敛敛的的。11(0,) 2 2kkkaxxxa 因因此此,在在 上上以以阶阶速速度度整整体体收收敛敛于于 。计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院9 9例题例题 例:例:给出计算给出计算 的牛顿迭代公式,并计算的牛顿迭代公式,并计算 。 3a计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1010例题例题 解:解:设方程设方程 ,则,则 , 代入牛顿迭代公式可得代入牛顿迭代公式可得 当当 a=3 时,迭代公式为时
8、,迭代公式为 取取 ,代入牛顿迭代公式,计算结果如表,代入牛顿迭代公式,计算结果如表 所示。所示。2( )0 ( )2f xxafxx 1132kkkxxx 21()1()22kkkkkkkkkf xxaaxxxxfxxx 01.5x 01.5000000000000011.750000000000000.2521.732142857142860.01785714285714 31.732050810014730.00009204712813 41.732050807568880.00000000244585 51.7320508075688801 kkkkxxx 31.73205080756
9、888 计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1111例题例题 例:例:设设 a0 ,推导用牛顿迭代法计算,推导用牛顿迭代法计算 1/a 的的 公式,要求在迭代公式中不用除法进行运算,并公式,要求在迭代公式中不用除法进行运算,并 计算计算 1/6。计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1212例题例题 解:解:设方程设方程 ,则,则 , 代入牛顿迭代公式可得代入牛顿迭代公式可得 当当 a=6 时,牛顿迭代公式为时,牛顿迭代公
10、式为 取取 ,代入牛顿迭代公式,计算结果如表,代入牛顿迭代公式,计算结果如表 所示。所示。211( )0 ( )f xafxxx 1(26), (0,1,)kkkxxxk 1()(2), (0,1,)()kkkkkkf xxxxaxkfx 00.15x 00.15000010.1650000.01520.1666500.0016530.1668170.00016740.1666670.0007550.16666701 kkkkxxx 11.666676 计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1313例题例题
11、例:例:用牛顿迭代法计算用牛顿迭代法计算 1/1.2345。计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1414例题例题 解:解:将将 转化为转化为 , 代入牛顿迭代公式可得代入牛顿迭代公式可得 取取 ,代入牛顿迭代公式,计算结果如表,代入牛顿迭代公式,计算结果如表 所示。所示。11 ( )0 1.2345xf xaaax21()21.2345()kkkkkkf xxxxxfx 01x 01.0000000000000010.765500000000000.234520.807595036375000.042095
12、03637530.810037145291130.0024421089161340.810044552382650.0000074070915250.810044552450380.0000000000677360.8100445524503801 kkkkxxx 10.810044552450381.2345 计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1515例题例题 例:例:设用牛顿迭代法求方程设用牛顿迭代法求方程 ,在节,在节 点点 附近的根,要求精度附近的根,要求精度 。( )1xf xxe50.5 10 x 计算方法(计算方法(2016/2017 第一学期)第一学期) 西南科技大学西南科技大学 制造科学与工程学院制造科学与工程学院1717例题例题 解:解:由由 ,代入牛顿迭代公式可得,代入牛顿迭代公式可得 取取 ,代入牛顿迭代公式,计算结果如表,代入牛顿迭代公式,计算结果如表 所示。所示。( )(1)xfxex 21()(1)()(1)kxkkkkxkkf xxexxfxex 00.5x 00.50000010.5710200.07102020.5671570.00386330.5671430.00001440.56714301 kkkkxxx 4 x所所以以 为为近近似似根根