1、Digital Communications2 从网络的物理层上研究从网络的物理层上研究数字信号的传输机理数字信号的传输机理及其及其可靠性可靠性和有效性。和有效性。为建立为建立可靠和高效的可靠和高效的互联网提供坚实的互联网提供坚实的物理基物理基础础本课程的本课程的研究背景研究背景信息技术快速发展的动因和特点信息技术快速发展的动因和特点l计算机技术、数字通信技术（特别是宽带移动无线通信计算机技术、数字通信技术（特别是宽带移动无线通信技术）的快速发展；技术）的快速发展；l计算机网络、通信网络（包括移动无线网络）相互融合；计算机网络、通信网络（包括移动无线网络）相互融合；l各种类型的数字通信网是互联
2、网的载体。各种类型的数字通信网是互联网的载体。数字通信：数字通信：3 研究内容包括：数字形式的信息从信源到一个或多研究内容包括：数字形式的信息从信源到一个或多个目的地的传输问题。个目的地的传输问题。本课程研究的本课程研究的主要内容主要内容 介绍数字通信系统介绍数字通信系统分析和设计基础分析和设计基础的基本原理，介的基本原理，介绍数字通信技术发展的新成果；绍数字通信技术发展的新成果；参考教材参考教材：Digital communication， Proakis，电子工业出版社电子工业出版社先修课程先修课程： 通信原理；概率论和随机过程等通信原理；概率论和随机过程等l数字通信系统的组成数字通信系统
3、的组成l通信信道的特征及数学模型通信信道的特征及数学模型l数字通信发展的回顾与展望数字通信发展的回顾与展望51.1 数字通信系统的组成数字通信系统的组成信源和信源和输入变换器输入变换器信源信源编码器编码器信道信道信源信源译码器译码器数字数字调制器调制器信道信道编码器编码器数字数字解调器解调器信道信道译码器译码器输出输出变换器变换器输出输出信号信号模拟信源模拟信源(音频音频,视频视频),数字信源数字信源(计算机计算机,电传机电传机)将信源输出变换为二进制数字将信源输出变换为二进制数字序列序列. 输出输出:二进制数字序列二进制数字序列以受控方式引入冗余以受控方式引入冗余,克服信道噪声和干扰克服信道
4、噪声和干扰将二进制信息序列将二进制信息序列映射为信号波形映射为信号波形连接发送机和接收连接发送机和接收机的物理媒质机的物理媒质将接收波形还原将接收波形还原成数字序列成数字序列依据信道编码规则重依据信道编码规则重构出初始的信息序列构出初始的信息序列重构原始信号重构原始信号指标指标:失真失真指标指标:误码率误码率码率码率: k/n不产生冗余不产生冗余输入输入信号信号61.2 通信信道及其特征通信信道及其特征通信信道通信信道类型：类型：l电线、电缆电线、电缆 （以电信号形式传输）（以电信号形式传输）l光纤光纤 （以光信号形式传输）（以光信号形式传输）l自由空间自由空间 （以电磁波形式传输）（以电磁波
5、形式传输）l水下海洋信道水下海洋信道 （以声波形式传输）（以声波形式传输）l其它媒质其它媒质 （磁带、磁盘、光盘）（磁带、磁盘、光盘）特征：特征：l共性问题共性问题 加性噪声加性噪声l其它噪声和干扰源其它噪声和干扰源l信道损伤信道损伤（如信号衰减（如信号衰减, 失真失真, 多径效应等）多径效应等）u发送信号功率发送信号功率u信道带宽信道带宽限制了在任何通信信道限制了在任何通信信道上能可靠传输的数据量上能可靠传输的数据量无论用什么媒质来传输信息，发送信号都要随机地无论用什么媒质来传输信息，发送信号都要随机地受到各种可能机理的恶化。受到各种可能机理的恶化。限制条件：限制条件：解决途径之一：通过增加
6、发送信号功率来减小噪声的影响解决途径之一：通过增加发送信号功率来减小噪声的影响7通信系统的分析设计中，用通信系统的分析设计中，用数学模型数学模型来反映来反映传输媒质传输媒质最重要的特征最重要的特征。u内部因素内部因素 加性噪声（热噪声）加性噪声（热噪声）u外部因素外部因素 其它噪声和干扰源其它噪声和干扰源三种常用的信道模型三种常用的信道模型l 加性噪声信道加性噪声信道n(t)r(t)=as(t)+n(t)s(t)信道信道特点：特点：l发送信号发送信号 s( t ) 被加性被加性随机噪声过程随机噪声过程 n( t ) 恶化恶化l噪声噪声统计地统计地表征为表征为高高斯噪声过程斯噪声过程l简单、适用
7、面广、数简单、适用面广、数学上易于处理学上易于处理是最常用、最主要的信道模型是最常用、最主要的信道模型8l 线性滤波器信道线性滤波器信道n(t)r(t)=s(t) c(t)+n(t)s(t)线性滤波器线性滤波器c( t )信道信道1.3 通信信道的数学模型通信信道的数学模型特点：特点：l适用于对传输信号适用于对传输信号带宽有限制带宽有限制的信道的信道l采用采用滤波器滤波器保证传输信号保证传输信号不超过规定的带宽限制不超过规定的带宽限制（带有加性噪声的线性滤波器）（带有加性噪声的线性滤波器）9l 线性时变滤波器信道线性时变滤波器信道n(t)s(t)线性时变线性时变滤波器滤波器c(,t )信道信道
8、)()(),()(),()()(tndtstctntctstr1.3 通信信道的数学模型通信信道的数学模型特点：特点：l考虑到了发送信号的考虑到了发送信号的时变多径效应时变多径效应例：例：移动通信中的多径传播移动通信中的多径传播接收信号：接收信号：时变冲激响应时变冲激响应1( , )( ) ()Lkkkcta tt)()()()(1tntstatrkLkk（如：水声信道，（如：水声信道，电离层无线信道等）电离层无线信道等）L条传播路径条传播路径由由L个路径分量组成个路径分量组成101.4 数字通信发展的回顾与展望数字通信发展的回顾与展望电通信电通信 最早起源于电报最早起源于电报S.Morse，
9、1837现代数字通信：现代数字通信：起源于起源于Nyquist的研究，的研究，1924在给定带宽的电报信道上，最大信号传输速率？在给定带宽的电报信道上，最大信号传输速率？要解决的问题：要解决的问题： 1. 抽样点上无抽样点上无 ISI 的最大比特率？的最大比特率？ 2. 最佳脉冲形状？最佳脉冲形状？)()(nTtgatsnnwtwttg2)2sin()(发送信号发送信号l当带宽限于当带宽限于 w Hz 时，时，最大脉冲速率最大脉冲速率是是 2w 脉冲脉冲/秒秒l采用采用脉冲形状脉冲形状 ，可以达到此脉冲速率。，可以达到此脉冲速率。结论：结论：11带限信号的抽样定理：带限信号的抽样定理： 带宽为
10、带宽为w的信号的信号可以用可以用以奈奎斯特速率抽样以奈奎斯特速率抽样的的样值样值s(nT) 通过下列插值公式通过下列插值公式重构重构：wntwwntwwnstsn2/22/2sin2)(Hartley 1928多进制数据通信多进制数据通信（用多幅度电平在带限信道上传输数据）（用多幅度电平在带限信道上传输数据）结论：结论： 当当最大的信号幅度最大的信号幅度限于限于Amax（固定功率限制），且（固定功率限制），且幅度分辨幅度分辨率率为为A时，时，存在一个存在一个能在带限信道上能在带限信道上可靠通信的可靠通信的最大数据速率最大数据速率。1.4 数字通信发展的回顾与展望数字通信发展的回顾与展望12Ko
11、lmogorov & Winer 19391942 解决了在加性噪声解决了在加性噪声n( t ) 存在的情况下，存在的情况下，从接收信号从接收信号r( t )=s( t ) + n( t ) 中中估计信号波形估计信号波形s( t ) 的问题的问题最佳线性滤波器最佳线性滤波器 在均方近似意义上的最佳在均方近似意义上的最佳成果：成果：Shannon 1948信息论信息论 奠定了信息传输的数学基础，导出了数字通信奠定了信息传输的数学基础，导出了数字通信系统的基本限制。系统的基本限制。信道容量：信道容量： Shannon信道最大传输极限一直作为信道最大传输极限一直作为通信系统设计的基准通信系统设计的基
12、准。021logWNPWCbit/s1.4 数字通信发展的回顾与展望数字通信发展的回顾与展望（在高斯白噪声下）（在高斯白噪声下）13 随后的几十年中，随后的几十年中，尤其是在编码领域尤其是在编码领域，人们开始向，人们开始向逼近逼近Shannon极限极限进行了不懈的努力：进行了不懈的努力：lHamming，1950，纠错和纠错编码的经典研究，纠错和纠错编码的经典研究lMuller，Reed，Solomen，1960，新的分组码，新的分组码lFony，1966，级连码，级连码lBose-Chaudhuri-Hocquenghem，BCH码码lViterbi等人，卷积码及译码等人，卷积码及译码lUn
13、gerboeck，Fony，Wei，19821987，网格编码，网格编码调制调制TCMlBerrou，1993，Turbo码和迭代译码码和迭代译码1.4 数字通信发展的回顾与展望数字通信发展的回顾与展望14在过去的半个世纪以来：在过去的半个世纪以来：1.4 数字通信发展的回顾与展望数字通信发展的回顾与展望l数字传输需求的增长数字传输需求的增长l大规模集成电路的发展大规模集成电路的发展导致了导致了非常有效、更加可非常有效、更加可靠靠的数字通信系统的发展的数字通信系统的发展目前：目前：数字通信数字通信不论在系统上不论在系统上，还是在，还是在单项技术上单项技术上，都还在向更，都还在向更加加广度和深度
14、广度和深度上不断发展！上不断发展！本课程将主要介绍在发展过程中形成的本课程将主要介绍在发展过程中形成的理论方法、先进技术等理论方法、先进技术等。l介绍后续各章所需的背景知识介绍后续各章所需的背景知识l自己复习相关的基础知识：傅里叶变换及自己复习相关的基础知识：傅里叶变换及其性质；随机过程，等等其性质；随机过程，等等162.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示u双边带调制双边带调制DSB：传输信号的信道带宽限制在传输信号的信道带宽限制在以载以载波为中心波为中心的一个频段上。的一个频段上。u单边带调制单边带调制SSB：传输信号的信道带宽限制在传输信号的信道带宽限制在邻近邻近载波载波的频段上
15、。的频段上。本节目的：本节目的： 希望将所有带通信号与系统简化为希望将所有带通信号与系统简化为等效低通信号等效低通信号，这样可以，这样可以大大简化带通信号的处理。大大简化带通信号的处理。 是一种实窄带高频信号，其频谱集中在某个频率是一种实窄带高频信号，其频谱集中在某个频率（f0）附近，附近，且频谱宽度远小于且频谱宽度远小于f0的信号（系统）的信号（系统）172.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示理论依据：理论依据： 实信号实信号x(t)的傅里叶变换特性：的傅里叶变换特性：*()( )XfXf()( )XfX f*( )( )XfX f 结论：结论：x(t)的全部信息都包含在正（或负）
16、频域中，由的全部信息都包含在正（或负）频域中，由X( f )（f 0）可以）可以完整地重构完整地重构 x(t)事实上：事实上：*( )( )( )( )()X fXfXfXfXf表明表明X+( f )对重构对重构X( f ) 是充分的！是充分的！幅度偶对称幅度偶对称相位奇对称相位奇对称（Hermitian对称性）对称性）x(t)的带宽定义为最小的正频率范围，当的带宽定义为最小的正频率范围，当| f |超出该范围时，超出该范围时，X(f)=018定义定义x(t)的解析信号的解析信号 x(t)傅里叶变换中正频率的部分傅里叶变换中正频率的部分X+( f )设带通信号设带通信号x( t )频谱频谱：X
17、( f ) 时域表达式：时域表达式：1( )( )( )XfX f uf1( )( )2x tjx t111( )( )FX fFuf1( )( )x tFxf11( )( )22x ttjtU-1( f )：单位阶跃函数：单位阶跃函数11( )( )( )xx tx tdtt等价于一个等价于一个滤波器在滤波器在x(t)激励下的输出激励下的输出。2.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示则：则：f0-f0| X(f) |19对输入信号频率对输入信号频率90o的相移器的相移器滤波器的冲激响应滤波器的冲激响应 ：dtethfHftj2)()(02/02/)(fff1)(fH0000fjffj
18、tth1)( Hilbert变换器变换器2.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示定义定义 ：带通信号带通信号 x(t)的的等效低通信号等效低通信号xl(t)：0( )2()lXfXff 由频谱由频谱 2X+( f+f0 )确定的信号确定的信号频率搬移频率搬移f0-f0| X(f) |1( )( )( )2x tx tjx txl( t )等效低通信号等效低通信号2000122( )( )2( )( )( )lljf tjf tx tFXfx t ex tjx te时域：时域：( )( )( )liqx tx tjx txl( t )一般是复低通信号：一般是复低通信号：0000 ( )c
19、os2( )sin2 ( )cos2( )sin2x tf tx tf tj x tf tx tf t2.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示0( )2()lXfXff任何一个带通信号任何一个带通信号都可以用其等效低都可以用其等效低通信号来表示！通信号来表示！*001( )()()2llX fXffXff02( )Re( )jf tlx tx t e同相分量同相分量正交分量正交分量复包络表达式复包络表达式21( )( )( )liqx tx tjx t由由：00( ) ( )cos2( )sin2qx tx tf tx tf t2.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示任何一个带
20、通信号都可任何一个带通信号都可以用两个低通信号来表以用两个低通信号来表示！（同相分量，正交示！（同相分量，正交分量）分量）极坐标形式极坐标形式( )( )( )liqx tx tjx t00( ) ( )cos2( )sin2ix tx tf tx tf t00( )( )cos2( )sin2iqx tx tf tx tf t( )( )( )xjtlxx tr t e1( )( )tan( )qix ttx t22( )( )( )xiqr tx tx t0( )( )cos2( )xxx tr tf tt其中其中：代入代入02( )( )Re( )xjf ttxx tr t e极坐标表达
21、式极坐标表达式正交表达式正交表达式221( )( )tan( )qix ttx t22( )( )( )xiqr tx tx t0( )( )cos2( )xxx tr tf tt2.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示注意：注意：lxl(t), xi(t), xq(t), rx(t), x(t)都都取决于中心频率取决于中心频率f0的选择的选择 ，所以，相对于，所以，相对于特定的特定的f0，定义带通信号的等效低通更有意义。，定义带通信号的等效低通更有意义。l大多数情况下，大多数情况下，f0的选择是明确的，通常不作这样的区分。的选择是明确的，通常不作这样的区分。带通信号及其包络带通信号及
22、其包络l用两个低通信号来表示用两个低通信号来表示带通信号可以有两种方法：带通信号可以有两种方法：1. 用同相分量和正交分量用同相分量和正交分量 2. 用包络和相位用包络和相位23小结：小结：2.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示00( )( )cos2( )sin2iqx tx tf tx tf t02( )Re( )jf tlx tx t e低通变为带通低通变为带通的处理过程的处理过程 调制调制调制器调制器执行这种处理操作的系统执行这种处理操作的系统 242.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示02( )( )jf tlx tx t e02 ( )( )jf tx tjx
23、t e00( )( )cos2( )sin2ix tx tf tx tf t00( )( )cos2( )sin2qx tx tf tx tf t从带通信号中从带通信号中提取低通信号提取低通信号的处理过程的处理过程 解调解调解调器解调器0000( ) ( )cos2( )sin2 ( )cos2( )sin2lx tx tf tx tf tj x tf tx tf t( )( )( )liqx tx tjx tl介绍后续各章所需的背景知识介绍后续各章所需的背景知识l自己复习相关的基础知识：傅里叶变换及自己复习相关的基础知识：傅里叶变换及其性质；随机过程，等等其性质；随机过程，等等2( )122
24、2llxxfdf262|( )( )|XfXfdf频谱：频谱：2( ) ( )( )jftX fF x tx t edt)(21)Re(*022Re( )jf tjftlx t eedt0022*21( ) ( )( )2jf tjf tjftllX fx t ex t eedt*001()()2llXffXff考虑到实部运算关系：考虑到实部运算关系：2.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示22( )( )xx tdtX fdf能量：能量：考虑到考虑到 X+(f)X-(f)=0，（不重叠），（不重叠）等效低通的能量是带通信号能量的等效低通的能量是带通信号能量的2倍！倍！22|( )|X
25、fdf0( )2()lXfXff272.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示*( ), ( )( )( )( )( )x ty tx t y t dtX f Yf df 显然，信号显然，信号x(t)的能量：的能量：能量也可以用内积来表示能量也可以用内积来表示信号信号x(t), y(t)的内积：的内积：( ), ( )x tx t ,( ),( )x yxyx ty t 可以证明：可以证明：两个带通信号两个带通信号x(t), y(t)的内积：的内积：,Re()llx yx y结论：结论：如果：如果：,0 x y,0llx y那么：那么：反之不一定成立。反之不一定成立。基带的正交性蕴含着带
26、通的正交性，但反之不亦然！基带的正交性蕴含着带通的正交性，但反之不亦然！互相关系数：互相关系数：1( ), ( )Re( ),( )2llx ty tx ty t 表示两个信号之表示两个信号之间的归一化内积间的归一化内积2lx如果两个信号的内积（或如果两个信号的内积（或 x,y）为零，则它们是正交的。）为零，则它们是正交的。282.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示实信号实信号m(t)，带宽为，带宽为W定义两个带通信号：定义两个带通信号：0( )( )cos2x tm tf t( )( )ix tm t0( )( )sin2y tm tf t显然，显然，x(t), y(t)的等效低通
27、信号：的等效低通信号：( )0qx t ( )0iy t ( )( )qy tm t ( )( )lx tm t( )( )ly tjm t ,Re()0llx yx y2,( )llx ymjm t dtj而：而：即：即：x(t), y(t)是正交的，但它们的等效低通并不正交。是正交的，但它们的等效低通并不正交。00( )( )cos2( )sin2iqx tx tf tx tf t( )( )( )liqx tx tjx t,( ),( )llllllx yxyx ty t 29带通信号与系统的表示带通信号与系统的表示02( )0()00lH ffHfff)()(*fHfHh( t )是实
28、的是实的02( )Re( )jf tlh th t eu时域：冲激响应时域：冲激响应 h( t )u频域：频率响应频域：频率响应 H( f )l线性带通系统线性带通系统描述线性滤波器或系统：描述线性滤波器或系统：定义定义等效低通系统：等效低通系统：*0*00()2()0lfHffHff*001( )()()2llH fHffHff带通系统：带通系统： 系统冲激响应系统冲激响应 h(t) 为带通信号的系统为带通信号的系统302.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示带通系统带通系统h( t )带通信号带通信号带通响应带通响应x( t )y( t )等效低通系统等效低通系统hl( t ) 等
29、效等效低通信号低通信号等效等效低通响应低通响应xl( t )yl( t )关系？关系？下面讨论：下面讨论：( )( )( )Y fX f H f01001012()() 2()()21( )( )2llX ff uffH ff uffXf Hf1( )( )( )2lllY fXf Hf带通信号通过带通信号通过带通系统时：带通系统时：唯一的差别是等效低通系统中引入了唯一的差别是等效低通系统中引入了1/21/2的因子。的因子。等效低通的输入等效低通的输入与输出的关系与输出的关系带通系统中输入带通系统中输入与输出的关系与输出的关系010( )2 ()()lY fY ff uff00102()()(
30、)X ffH ff uff21010()()1uffuff1( )( )( )2llly tx th t31结论：结论： 在在研究带通信号与系统时研究带通信号与系统时，不必考虑调制中遇，不必考虑调制中遇到的任何线性频率搬移，只需讨论到的任何线性频率搬移，只需讨论等效低通信号等效低通信号通过通过等效低通信道的传输等效低通信道的传输。2.1 带通与低通信号的表示带通与低通信号的表示3233波形的信号空间表示波形的信号空间表示12nVv vvKniivVVV122/1)(矢量空间矢量空间 n维维矢量表示矢量表示2121vvvvniiivvVV12121VAVniiievV1内积内积正交正交范数范数线
31、性独立线性独立2121vvvv0jiVV一组一组m个矢量集个矢量集中没有一个矢量能表示成中没有一个矢量能表示成其余矢量的线性组合其余矢量的线性组合。线性组合线性组合特征矢量、特征值特征矢量、特征值Cauchy-Schwartz不等式不等式三角不等式三角不等式Gram-Schmidt 正交化正交化VAVVV当时标准正交标准正交 一组一组m个矢量相互正交，且范数均为个矢量相互正交，且范数均为134矢量空间矢量空间 n维维信号空间信号空间 xi(t)在区间在区间a, b上上badttxtxtxtx)()()()(*2121niiivvVV1212121/2( )( | ( )|)bxax tx td
32、tniiievV1内积内积正交正交0)()()()(*2121badttxtxtxtx0jiVV线性组合线性组合波形的信号空间表示波形的信号空间表示12nVv vvK矢量表示矢量表示niivVVV122/1)(范数范数线性独立线性独立一组一组m个矢量集个矢量集中没有一个矢量能表示成中没有一个矢量能表示成其余矢量的线性组合其余矢量的线性组合。标准正交标准正交 一组一组m个矢量相互正交，且范数均为个矢量相互正交，且范数均为13512nVv vvK矢量空间矢量空间 n维维矢量表示矢量表示信号空间信号空间 xi(t)在区间在区间a, b上上badttxtxtxtx)()()()(*2121niiivv
33、VV12121badttxtx2/12)| )(|()(niiievV1内积内积正交正交0)()()()(*2121badttxtxtxtx0jiVV线性组合线性组合)()()()(2121txtxtxtx2/1222/121*21)()()()(bababadttxdttxdttxtxCauchy-Schwartz不等式不等式三角不等式三角不等式波形的信号空间表示波形的信号空间表示niivVVV122/1)(范数范数线性独立线性独立一组一组m个矢量集个矢量集中没有一个矢量能表示成中没有一个矢量能表示成其余矢量的线性组合其余矢量的线性组合。标准正交标准正交 一组一组m个矢量相互正交，且范数均为
34、个矢量相互正交，且范数均为13612nVv vvK矢量空间矢量空间 n维维矢量表示矢量表示信号空间信号空间 xi(t)在区间在区间a, b上上badttxtxtxtx)()()()(*2121niiivvVV12121badttxtx2/12)| )(|()(niiievV1内积内积正交正交0)()()()(*2121badttxtxtxtx0jiVV线性组合线性组合问题：问题：信号波形信号波形是否也可以用矢量表示？是否也可以用矢量表示？是否也是否也与其矢量表示与其矢量表示具有具有等价性等价性？波形的信号空间表示波形的信号空间表示niivVVV122/1)(范数范数线性独立线性独立一组一组m个
35、矢量集个矢量集中没有一个矢量能表示成中没有一个矢量能表示成其余矢量的线性组合其余矢量的线性组合。标准正交标准正交 一组一组m个矢量相互正交，且范数均为个矢量相互正交，且范数均为137*0( )( )1bnmamnttmnl信号的正交展开信号的正交展开1( )( )( )( )( )Kkkke ts ts ts tst具有有限能量具有有限能量设实信号设实信号 s( t )2( )ss tdt假设存在一个标准正交函数集假设存在一个标准正交函数集 n( t )， n=1, 2, K 当当标准正交函数集标准正交函数集是是完备的完备的时，时，s(t)与与级数展开式级数展开式的的均方误差为均方误差为0。可
36、以用这些函数的可以用这些函数的加权线性组合加权线性组合来表示信号：来表示信号：波形的信号空间表示波形的信号空间表示引起的近似误差：引起的近似误差：1( )( )Kkkks tst下面进一步讨论：下面进一步讨论：如何构架一个完备的标准正交函数集如何构架一个完备的标准正交函数集 n( t )， n=1, 2, K ？38)(2ts)(1tsGram-Schmidt 正交化正交化2221 1( )( )( )ts tct*2121( )( )cs tt dt111( )( )s tt222( )( )tt11( )( )( )kkkkiiits tct*( )( )kikics tt dt( )(
37、)kkktt)(tsk( )Msti = 1, 2, K-1 s1(t)能量：能量： 1 2 (t)能量：能量： 2 k (t)能量：能量： k假设有一个假设有一个能量有限能量有限的信号波形集：的信号波形集：任务：任务：构架一个标准正交波形集构架一个标准正交波形集波形的信号空间表示波形的信号空间表示正交化过程正交化过程继续下去，继续下去，直到直到M个信个信号波形处理号波形处理完毕。完毕。39例：对图中例：对图中4个波形集进行个波形集进行Gram-Schmidt 正交化正交化波形的信号空间表示波形的信号空间表示111( )( )2ts ts1(t)能量：能量： 1=2210c2222( )1(
38、)( )2s tts t31322,0cc3311,23( )( )2 ( )0,tts ttothers 4142432,0,1ccc 33( )( )tt4413( )( )2 ( )( )0ts ttt4( )0t最终得到最终得到3个标准正交函数：个标准正交函数：401( )( )Nmmnnnstst2221( )Nmmmnmnstdtss12mmmmNssssK表示表示N维信号空间中一个点维信号空间中一个点矢量表示矢量表示原点到信号点的原点到信号点的欧氏距离平方欧氏距离平方 一旦构建起一旦构建起标准正交波形集标准正交波形集 n(t)，就可以将，就可以将M个信号个信号 sm(t)表表示成
39、示成 n(t) 的线性组合。的线性组合。结论：结论：信号能量信号能量 任何信号都可以任何信号都可以表示成表示成由完备的标准正交函数由完备的标准正交函数 n( t )构架构架的的信号空间中的一个点信号空间中的一个点。相应的这些点的集合称为。相应的这些点的集合称为星座图星座图。 m = 1, 2, M波形的信号空间表示波形的信号空间表示4102( )Re( )jf tmmlstst e02( )2 Re( )jf tnnltt e带通信号带通信号 nl(t)构成等效低通信构成等效低通信号集的号集的标准正交基标准正交基n= 1,2,N等效低通正交等效低通正交 m = 1, 2, M波形的信号空间表示
40、波形的信号空间表示带通和低通标准正交基带通和低通标准正交基相应的带通信号也正交相应的带通信号也正交则则是是标准信号集标准信号集n= 1,2,N问题：问题： n(t)不能保证展开式是不能保证展开式是完备的基完备的基如何获得带通信号完备的标准正交基？如何获得带通信号完备的标准正交基？ln1( )( )Nmlmnlnstst等效低通信号等效低通信号带通信号带通信号02ln1( )Re( )Njf tmmnlnstste2：归一化因子：归一化因子因为：因为：42波形的信号空间表示波形的信号空间表示可以证明：可以证明：其中：其中：ln0ln011( )Re( ) cos2Im( ) sin2NNmmnl
41、mnlnnststf tstf t当当 nl(t) 构成构成 sm(t)的的N维复基时，则集维复基时，则集 n(t), n(t)构成表示构成表示M个带通信号的个带通信号的2N维充分的标准正交基维充分的标准正交基00200200( )2 Re( )2( )cos22( )sin2( )2 Im( )2( )sin22( )cos2jf tnnlninqjf tnnlninqtt etf ttf ttt etf ttf t %还可以进一步证明：还可以进一步证明：( )( )tt ( ) t( ) t为为 的希尔伯特变换的希尔伯特变换43( )( )( )lmllstx tjy t则则 sm( t
42、)可以表示为：可以表示为： 下一节描述的下一节描述的线性数字调制信号线性数字调制信号，可以方便地用，可以方便地用两个标准两个标准正交函数正交函数展开：展开：因此，如果：因此，如果：02( )cos2Ttf t02( )sin2Ttf t %( )( ) ( )( ) ( )mllstx tty tt%02( )Re( )jf tmlmstst e波形的信号空间表示波形的信号空间表示44带通信号展开式带通信号展开式波形的信号空间表示波形的信号空间表示02ln1( )Re( )Njf tmmnlnstste02ln1Re( )Njf tmnlnst e( )( )lnln1( )( )22riNm
43、mnnnsstt带通信号矢量：带通信号矢量：( )( )( )( )( )( )l1l2ll1l1l,222222rrriiimmm Nmmm Nmsssssss( )( )lnln( )( )( )lmnllrimmstx tjy tsjs其中，低通信号矢量：45波形的信号空间表示波形的信号空间表示例：例： 由于由于M个带通信号个带通信号02( )Re( )jf tmmstA g t e( )( )nlgg tt( )( )mlmstA g t02( )( )cos2gtg tf t( )( )rimgmmgAAjA02( )( )sin2gtg tf t %Am是任意复数，是任意复数，g(
44、t)是实低通信号，能量为是实低通信号，能量为 g等效等效低通信号低通信号( )( )mlmgnlstAt 等效低通信号等效低通信号展开式：展开式： 为复数，在复数的两个维度上：为复数，在复数的两个维度上： 带通信号带通信号展开式的基：展开式的基：展开式：展开式：( )( )( )( )00( )( )( )22( )cos2( )sin2ggrimmmrimmstAtAtAg tf tA g tf t%46,Rellmkm k如何度量信号波形之间的相似性？如何度量信号波形之间的相似性？*( ),( )1( )( )1Re( )( )2mkmkmkmkmkmlklmksts tst s t dt
45、st st dt 两种度量方法：两种度量方法：l互相关系数互相关系数 mkl 信号之间的欧氏距离信号之间的欧氏距离02( )Re( )jf tmmlstst el互相关系数互相关系数221( )|( )|2mmmlst dtstdt带通信号带通信号:)(tsk)(tsm波形的信号空间表示波形的信号空间表示471/22Re()mkmkmk 2/12)()(dttstskmkmmkdssl信号之间的欧氏距离信号之间的欧氏距离km当当 时时:1/221Re()mkmkd)(tsk)(tsm波形的信号空间表示波形的信号空间表示482.9 带通和低通随机过程带通和低通随机过程49带通信号与系统的表示带通
46、信号与系统的表示tftytftxcc2sin)(2cos)(02Re( )jf tz t e0( )( )cos2( )n ta tf tt定义：定义：假设：假设： 广义平稳随机过程样本函数广义平稳随机过程样本函数 n( t )u零均值零均值u功率密度谱功率密度谱 nn( f )u窄带带通过程窄带带通过程表达式：表达式：lx( t )、y( t )是零均值联合是零均值联合WSS随机过程；随机过程；等效低通过程等效低通过程00( )cos2( )sin2x tf ty tf t特性：特性： （证明略）（证明略）lx( t )、y( t )具有相同的功率谱密度；具有相同的功率谱密度；lx( t )
47、、y( t )两者都是低通过程，即它们的功率谱密度位于两者都是低通过程，即它们的功率谱密度位于f=0附近附近带通和低通随机过程带通和低通随机过程 广义平稳随机过程，其广义平稳随机过程，其自相关函数自相关函数是是带通或低通信号，带通或低通信号，带通过程的功率谱带通过程的功率谱位于位于f0附近，附近，低通过程的低通过程的功率谱功率谱位于零频附近。位于零频附近。)()()(tjytxtz50带通信号与系统的表示带通信号与系统的表示)()(yyxx互相关对称互相关对称n( t ) 零均值零均值x( t )、y( t )也一定是零均值也一定是零均值n( t ) 平稳性平稳性x( t )、y( t )的的
48、自相关、互相关自相关、互相关满足：满足：)()(yxxy下面讨论带通过程与等效低通过程在相关函数、功率谱方面下面讨论带通过程与等效低通过程在相关函数、功率谱方面的关系：的关系：tftytftxcc2sin)(2cos)(02Re( )jf tz t e0( )( )cos2( )n ta tf tt等效低通过程等效低通过程00( )cos2( )sin2x tf ty tf t自相关相等自相关相等)()()(tjytxtz51带通信号与系统的表示带通信号与系统的表示)()(tntnE02( )Re( )jf tnnzze)()()(tjytxtzn( t )的自相关函数的自相关函数00( )(
49、 )cos2( )sin2nnxxyxff等效低通过程：等效低通过程：定义定义 自相关函数：自相关函数：)()(21)(*tztzEzz)()()()(21)(yxxyyyxxzzjj)()(yxxxj代入代入 z(t) 后后根据对称性质根据对称性质 带通随机过程的自相关函数带通随机过程的自相关函数 nn( )可由可由等效低通过程等效低通过程 z( t )的的自自相关函数相关函数 zz( )和和中心频率中心频率 f0 唯一确定。唯一确定。00( )( )cos2( )sin2n tx tf ty tf t52带通信号与系统的表示带通信号与系统的表示( )( )nnnnfFn( t )的功率谱的
50、功率谱001( )()()2nnzzzzfffff1. 正交分量正交分量x( t )、y( t )的性质的性质互相关互相关函数：函数：)()(yxxy)()(xyyx奇函数奇函数)()(xyxy0)0(xyx( t ) 和和 y( t )不相关！不相关！（仅对于（仅对于 ）0下面进一步讨论下面进一步讨论:022Re( )jfjfzzeed推论推论53带通信号与系统的表示带通信号与系统的表示2222/ )(221),(yxeyxP例：例：特殊情况特殊情况 当当n( t )是高斯随机变量时：是高斯随机变量时：)0()0()0(2nnyyxx联合联合PDF方差：方差：x(t) 和和 y(t+ ) 是
