1、1 第6 6章人工智能逻辑人工智能逻辑 2 3什么是逻辑？简单地说，什么是逻辑？简单地说，本章主要对人工智能常用的谓词逻辑以及非二值本章主要对人工智能常用的谓词逻辑以及非二值逻辑进行了讨论，扼要介绍了目前智能领域发逻辑进行了讨论，扼要介绍了目前智能领域发展引用的多种逻辑。展引用的多种逻辑。46.1.1 命题逻辑命题逻辑n命题逻辑的关系表达直观、生动而简洁，它是谓词逻辑得命题逻辑的关系表达直观、生动而简洁，它是谓词逻辑得以发展的前导和基础。把命题逻辑加以简单的形式化，就以发展的前导和基础。把命题逻辑加以简单的形式化，就能扩展应用于谓词逻辑推理中。能扩展应用于谓词逻辑推理中。 设有如下符号命名的语
2、句：设有如下符号命名的语句： n爱因斯坦是一位伟人。爱因斯坦是一位伟人。n海水是甜的。海水是甜的。n：3+4=9n上述上述X、Y、Z都是陈述性语句，分别具有肯定都是陈述性语句，分别具有肯定(True)或否定或否定(False)意义的真值，我们把它们都称之为意义的真值，我们把它们都称之为。其中，诸如。其中，诸如“爱因斯坦爱因斯坦”，“海水海水”，数字，数字“3”、“4”等，它们是命等，它们是命题中的行为中心对象，又称为题中的行为中心对象，又称为。 56.1.1 命题逻辑命题逻辑n 命题一定是陈述性语句命题一定是陈述性语句；如上述X、Y、W等。 例如，下面句子是陈述性语句吗？请勿吸烟。请勿吸烟。昨
3、晚你看足球联赛了吗？昨晚你看足球联赛了吗？西湖好美呵！西湖好美呵！命题既可用自然语言命题既可用自然语言( (包括中、外文包括中、外文) )形式表示，也可用大形式表示，也可用大写的英文字符或字符串来命名。写的英文字符或字符串来命名。命题反映了人脑进行思维的一种判断，可见命题表达自身命题反映了人脑进行思维的一种判断，可见命题表达自身就含有智能特性。就含有智能特性。66.1.1 命题逻辑命题逻辑（1 1）个体是命题中的中心对象，通常由名词构成。个体可以）个体是命题中的中心对象，通常由名词构成。个体可以是具体的人物、物体、一组数字、地名等，也可以是某个抽是具体的人物、物体、一组数字、地名等，也可以是某
4、个抽象的概念。象的概念。例如，机器人、海棠花、理想、快乐、智能等均可作为个体。例如，机器人、海棠花、理想、快乐、智能等均可作为个体。（2 2）个体的取值范围称为个体域。个体域可以是有限的，也）个体的取值范围称为个体域。个体域可以是有限的，也可以是无限的。可以是无限的。 n 76.1.1 命题逻辑命题逻辑 为了对许多具有进步影响人物都使用形同X命题方式赞扬之，可使用一种类同数学函数的形式语言用含有变量字符或字符串的谓词谓词来定义：表达为英文字符串形式： . .其被赋予的汉语解释是： x x是一位伟人。 把 称为谓词谓词（Predicate），其中是谓词名谓词名；括号中的参量x x叫做谓词的变元变
5、元，又称之为项。GIANT( ) 86.1.1 命题逻辑命题逻辑 这种由定义的谓词名、变元，共同构成了具有陈述性表达的形式化语句，称为谓词谓词。一个谓词可以有n（其中n=0,1,2, ）个变元，并称之为n n元元谓词谓词。 在谓词中，谓词名表达了语句中除主语个体之外的其余部分，常采用自然语言的谓语动作来表达；谓词的变元可在相应个体域集合中取值任意一个元素。 GIANT( ) 96.1.1 命题逻辑命题逻辑例例2-1 假如假如定义英文字符串“ ” 设其含意为： 是一座历史名城是一座历史名城。 这里这里x x可以取值可以取值“西安西安” 真值为真值为T T；x x取值取值“深圳深圳” 真值为真值为
6、F F。若取值若取值“北京北京”则为则为T T、“华盛顿华盛顿”T T、“野玫瑰野玫瑰”F F、 “机器人机器人” 为为F F等。等。 由上例可见，当使用特定的个体常量取代了谓词中的变元，该谓词就由上例可见，当使用特定的个体常量取代了谓词中的变元，该谓词就转换成为一个命题；反之，如果把命题中有独立结构的个体常量替换成变转换成为一个命题；反之，如果把命题中有独立结构的个体常量替换成变元参量，则又可把命题转换成为一个具有谓词结构的表达式了。元参量，则又可把命题转换成为一个具有谓词结构的表达式了。 106.1.1 命题逻辑命题逻辑下面先给出关于谓词的元的定义，然后再举例对定义加以解释和说明。定义定义
7、6.36.3 谓词中包含个体或变元的数目，称为谓词的元或谓词谓词中包含个体或变元的数目，称为谓词的元或谓词的目。的目。例例2-2 比较下列谓词或谓词形式的命题：LIKE(john，mary)；ROBOT(john)；ROBOT(mary)； ADDQ(x，y，z)。试解释具体含义，并指出它们各是几元谓词。试解释具体含义，并指出它们各是几元谓词。上述谓词意即“机器人约翰喜欢玛丽”；和都只有一个个体，称为一元谓词；相应则称为二元谓词；表示为表达式“x+y=z”，其中包含有3个变元，故称为三元谓词。依此类推，可推出关于n元谓词的概念。 顺便指出：顺便指出：在多元谓词中，变元的排序很重要，一旦确定，就
8、不可随在多元谓词中，变元的排序很重要，一旦确定，就不可随意交换。意交换。 116.1.1 命题逻辑命题逻辑定义定义6.46.4 谓词表达形式中所包容相叠加的含义层次数数目，称谓词表达形式中所包容相叠加的含义层次数数目，称为谓词的阶。为谓词的阶。例例2-3 为了说明谓词的阶，我们来比较下列谓词形式的命题：LIFELESS(outer-stars)；外星球没有智能生命。；外星球没有智能生命。INCORRECT(lifeless(outer-stars)；说；说“外星球没有智能生命外星球没有智能生命”是不确切是不确切的。的。解解：在上述谓词形式的命题中，谓词只有一层含义，称为一阶谓词；谓词在前一层含
9、义基础上，又增加了一层新意，共有二层含义。故把谓词称为二阶谓词。依此类推，可推出关于n阶谓词的概念。在谓词逻辑演算中，最重要的有三大类：最重要的有三大类：即：命题逻辑演算命题逻辑演算、 一阶谓词逻辑演算一阶谓词逻辑演算和二阶谓词演算二阶谓词演算。 126.1.1 命题逻辑命题逻辑逻辑表示比较简单，只能表逻辑表示比较简单，只能表达具体固定的情况，达具体固定的情况，是谓词逻辑特殊事例的生动是谓词逻辑特殊事例的生动描述，描述，逻辑可以灵活表现多种或变化逻辑可以灵活表现多种或变化的情况；的情况；表达是命题逻辑的抽象与推广。表达是命题逻辑的抽象与推广。总的看来，命题和谓词的知识表示形式可以相互转换，而谓
10、总的看来，命题和谓词的知识表示形式可以相互转换，而谓词比命题有更强的表达能力。词比命题有更强的表达能力。显而易见，谓词是一种描述个体群之间的相互关系、性质及其逻辑结构的显而易见，谓词是一种描述个体群之间的相互关系、性质及其逻辑结构的数学表示。人们把采用这种表示的运算，又称为谓词逻辑。数学表示。人们把采用这种表示的运算，又称为谓词逻辑。比较起来：比较起来：命题逻辑演算太简单，只能解决具体容易的问题；二阶谓词命题逻辑演算太简单，只能解决具体容易的问题；二阶谓词演算又太复杂，以至迄今为止，尚未找到最根本有效的算法。演算又太复杂，以至迄今为止，尚未找到最根本有效的算法。 因此，在人工智能中，目前使用最
11、多的还是一阶谓词逻辑演因此，在人工智能中，目前使用最多的还是一阶谓词逻辑演算。算。 136.1.26.1.2命题和谓词逻辑基础命题和谓词逻辑基础 n命题或谓词逻辑推理演算，主要可利用连接词和量命题或谓词逻辑推理演算，主要可利用连接词和量词，把单个的谓词组合成为谓词公式来完成。词，把单个的谓词组合成为谓词公式来完成。n基于命题和谓词逻辑可相互转换的特性，这里约定：基于命题和谓词逻辑可相互转换的特性，这里约定：在后继学习中，对命题和谓词逻辑的相关公式表达、在后继学习中，对命题和谓词逻辑的相关公式表达、相关定理、定律的论证和推导等，不再加以严格区相关定理、定律的论证和推导等，不再加以严格区别。别。1
12、46.1.2命题和谓词逻辑基础命题和谓词逻辑基础 所引入的连接词共有五个。所引入的连接词共有五个。 n符号符号“ ”称为称为“否定否定”(Negation)(Negation)或补，表示或补，表示“非非”的连接关系。即当命题的连接关系。即当命题P P为真时，则为真时，则 P P 为假；为假；反之，当命题反之，当命题P P为假，则为假，则 P P 为真。为真。n符号符号“”称为称为“合取合取”(Conjunction)(Conjunction)，表示，表示“与与”(AND)(AND)或或“同时同时”的关系。例如，的关系。例如，PQPQ，读作，读作“P P与与Q Q”。n符号符号“”称为称为“析取
13、析取”(Disjunction)(Disjunction)，它表示，它表示“或或”(OR)(OR)的连接关系。例如，的连接关系。例如，PQPQ，读作，读作“P P或或Q Q”。156.1.2命题和谓词逻辑基础命题和谓词逻辑基础 符号符号“”称为称为“条件条件”(Conditional)(Conditional)或者或者“蕴蕴涵涵”(Implication)(Implication)，它表示，它表示“如果如果，则，则”的定义关的定义关系。例如，在系。例如，在PQPQ的表达式中，表示了的表达式中，表示了“如果如果P P，则，则Q Q”的条件的条件推导关系。这里，又称推导关系。这里，又称P P为前件
14、，称为前件，称Q Q后件。后件。P P表示了条件的前表示了条件的前提；提；Q Q表示了逻辑结论。表示了逻辑结论。应该强调指出，应该强调指出， 符号符号“”称为称为“双条件双条件”(Biconditional)(Biconditional)或者等价或者等价(Equivalence) (Equivalence) 连接关系。例如，表达式连接关系。例如，表达式P PQ Q，读作，读作“P P当且当且仅当仅当Q Q”。或者说它表示的含义为：。或者说它表示的含义为：P P为真，当且仅当为真，当且仅当Q Q为真。为真。 166.1.2命题和谓词逻辑基础命题和谓词逻辑基础 P Q P PQ PQ PQ PQ
15、F F T F F T F T T T F T F T F F T F F F T T F T T T T表表2-1 2-1 连接词定义真值表连接词定义真值表 176.1.26.1.2命题和谓词逻辑基础命题和谓词逻辑基础 量词，表示了个体与个体域之间的包含关系。量词，表示了个体与个体域之间的包含关系。 用字符用字符“ x x”表表达，表示了该量词作用的辖域为个体域中达，表示了该量词作用的辖域为个体域中“所有的个体所有的个体x x”或或“每一个体每一个体x x都都”要遵从所约定的谓词关系。要遵从所约定的谓词关系。例例2-4 2-4 ( ( x)(x)(现代理工科大学生现代理工科大学生(x)(x)
16、学习计算机应用基础学习计算机应用基础(x)(x)；解：该谓词逻辑表达的含义是：解：该谓词逻辑表达的含义是：“所有现代理工科的大学生所有现代理工科的大学生x x，都必须学习计算机应用基础课程都必须学习计算机应用基础课程”。 186.1.26.1.2命题和谓词逻辑基础命题和谓词逻辑基础 用字符用字符“彐彐x x”表达，表达，表示了该量词要求表示了该量词要求“存在于个体域中的某些个体存在于个体域中的某些个体x x”或或“某个某个个体个体x x”，要服从所约定的谓词关系。，要服从所约定的谓词关系。例例2-52-5，( ( x)(x)(彐彐y)(CLASSMATE(x, y)COLLEGE OF y)(
17、CLASSMATE(x, y)COLLEGE OF COMPUTER(x)COMPUTER(x)； 该谓词逻辑表达的意思是：在所有的计算机学院学生中，该谓词逻辑表达的意思是：在所有的计算机学院学生中，相对于每一位同学相对于每一位同学x x，必然存在一个个体，必然存在一个个体y y，y y同学与同学与x x满足同满足同班同学的关系。班同学的关系。 196.1.3命题和谓词逻辑举例命题和谓词逻辑举例 命题公式及其描述举例：命题公式及其描述举例： 小张既聪明，又勤奋，所以他的学习成绩一直很好。小张既聪明，又勤奋，所以他的学习成绩一直很好。：小张聪明小张聪明：小张勤奋小张勤奋小张学习成绩一直很好小张学
18、习成绩一直很好Q） 206.1.3命题和谓词逻辑举例命题和谓词逻辑举例 小王总是在图书馆看书，除非他病了或图书馆不开门。小王总是在图书馆看书，除非他病了或图书馆不开门。：小王病了小王病了：图书馆开门图书馆开门小王在图书馆看书小王在图书馆看书 Q） 命题公式及其描述举例：命题公式及其描述举例：216.1.3命题和谓词逻辑举例命题和谓词逻辑举例 （1）若）若x是小张的父亲，且是小张的父亲，且y是小张的兄弟，则是小张的兄弟，则x也是也是y的父亲。的父亲。：先设定谓词，再设定先设定谓词，再设定连接连接词运算符连接并加以描述：词运算符连接并加以描述：设定谓词设定谓词：FATHER (x,y)： x x是
19、是y y的父亲的父亲 BROTHER (y,w)： y y是是w w的兄弟的兄弟mz 表示表示小张小张则可描述为：则可描述为： FATHER (x, mz) BROTHER (y, mz) FATHER (x, y) 谓词公式及其描述举例：谓词公式及其描述举例：226.1.3命题和谓词逻辑举例命题和谓词逻辑举例 *在那遥远的地方，有位好在那遥远的地方，有位好姑娘，姑娘，人们走过她人们走过她的身的身旁，都要旁，都要回头留恋地张望。回头留恋地张望。： 谓词公式及其描述举例：谓词公式及其描述举例：6.2 谓词公式及其逻辑表达式谓词公式及其逻辑表达式 例如，一阶零元例如，一阶零元( (目目) )命题、
20、一阶一元命题、一阶二元命题等都是命题、一阶一元命题、一阶二元命题等都是原子命题。原子命题。24 6.2.2 6.2.2 谓词公式概念谓词公式概念25 6.2.2 6.2.2 谓词公式概念谓词公式概念26 6.2.2 6.2.2 谓词公式的解释谓词公式的解释 27定义：定义：设设D D是谓词公式是谓词公式P P的非空个体域，若对的非空个体域，若对P P中的个体中的个体常量、函数和谓词按如下规定赋值：常量、函数和谓词按如下规定赋值： （1 1）为每个个体常量指派）为每个个体常量指派D D中的一个元素；中的一个元素； （2 2）为每个）为每个n n元函数指派一个从元函数指派一个从D Dn n到到D
21、D的一个映射，其中的一个映射，其中 D Dn n (x (x1 1,x,x2 2, ,x xn n)|x)|x1 1,x,x2 2, , ,x xn n D D （3 3）为每个）为每个n n元谓词指派一个从元谓词指派一个从D Dn n到到T,FT,F的映射的映射 则称这些指派为则称这些指派为P P在在D D上的一个上的一个解释解释。28例：例：设个体域设个体域D=1,2D=1,2，求公式，求公式A=( x)(A=( x)(彐彐y)P(x,yy)P(x,y) ) 在在D D上的解释，上的解释，并指出在每一种解释下公式并指出在每一种解释下公式A A的真值。的真值。解解: : 由于公式由于公式A
22、A中没有包含个体常量和函数，因此可以直接为谓中没有包含个体常量和函数，因此可以直接为谓词指派真值，设有词指派真值，设有: : 这就是公式这就是公式A A在在D D上的一个解释。从这个解释可以看出：上的一个解释。从这个解释可以看出： 当当x=1x=1、y=1 y=1 时，有时，有P(x,yP(x,y) )的真值为的真值为T T； 当当x=2x=2，y=1 y=1 时，时，有有P(x,yP(x,y) )的真值为的真值为T T；即对即对x x 在在D D上的任意取值，都存在上的任意取值，都存在y=1y=1使使P(x,yP(x,y) )的真值为的真值为T T。因此，。因此，在此解释下公式在此解释下公式
23、A A的真值为的真值为T T。 P(1,1)P(1,2)P(2,1)P(2,2)TFTF29需要注意，一个谓词公式在其个体域上的解释不是唯一的。例如，需要注意，一个谓词公式在其个体域上的解释不是唯一的。例如，对公式对公式A A，若给出另一组真值指派，若给出另一组真值指派 这也是公式这也是公式A A在在D D上的一个解释。从这个解释可以看出：上的一个解释。从这个解释可以看出： 当当x=1x=1、y=1 y=1 时，有时，有P(x,yP(x,y) ) 的真值为的真值为T T； 当当x=2x=2、y=1 y=1 时，时，有有p(x,yp(x,y) )的真值为的真值为F F； 同样同样 当当x=1x=
24、1、y=2 y=2 时，有时，有P(x,yP(x,y) ) 的真值为的真值为T T； 当当x=2x=2、y=2 y=2 时，有时，有P(x,yP(x,y) )的真值为的真值为F F；即对即对x x在在D D上的任意取值，不存在一个上的任意取值，不存在一个y y 使得使得P(x,yP(x,y) )的真值为的真值为T T。因此，在此解释下公式因此，在此解释下公式A A的真值为的真值为F F。 实际上，实际上，A A在在 D D上共有上共有 1616种解释，这里就不再种解释，这里就不再一列举。一列举。P(1,1)P(1,2)P(2,1)P(2,2)TTFF30例：例：设个体域设个体域D=D=1 1，
25、2 2，求公式，求公式B=B=（ x x）P P（f f（x x），），a a）在）在D D上上的解释，并指出在该解释下公式的解释，并指出在该解释下公式B B的真值。的真值。 解解：设对个体常量设对个体常量a a和函数和函数f f（x x）的真值指派为：）的真值指派为： 对谓词的真值指派为：对谓词的真值指派为： 这里，由于已知指派这里，由于已知指派a=1a=1，所以，所以P P（1 1，2 2）和）和P P（2 2，2 2）不可能出现，故没有）不可能出现，故没有给它们指派真值。给它们指派真值。 上述指派是公式上述指派是公式B B在在D D上的一个解释。在此解释下有上的一个解释。在此解释下有 当
26、当x=1x=1时，时，a=1a=1使使P P（1 1，1 1）=T=T 当当x=2x=2时，时，a=1a=1使使P P（2 2，1 1）=T=T即对即对x x在在D D上的任意取值，都有上的任意取值，都有P P（f(xf(x) )，a a）的真值为）的真值为T T。因此，在此解释下公式。因此，在此解释下公式B B的真值为的真值为T T。a af(1)f(1)f(2)f(2)1 11 12 2P(1,1)P(1,1)P(1,2)P(1,2)P(2,1)P(2,1)P(2,2)P(2,2)T TT T 由上面的例子可以看出，谓词公式的真值都是针对某一个解释而言的，它可由上面的例子可以看出，谓词公式
27、的真值都是针对某一个解释而言的，它可能在某一个解释下真值为能在某一个解释下真值为 T T，而在另一个解释下为，而在另一个解释下为 F F。31 6.2.3 谓词公式的永真性判定谓词公式的永真性判定 人们若把想要完成的智能任务表示为一个谓词公人们若把想要完成的智能任务表示为一个谓词公式，从而式，从而32 6.2.3 6.2.3 谓词公式的永真性判定谓词公式的永真性判定 33 6.2.3 谓词公式的永真性判定谓词公式的永真性判定 34 6.2.3 谓词公式的永真性判定谓词公式的永真性判定 356.3* 谓词逻辑的演算律谓词逻辑的演算律 36E1 P P 双重否定律E2 PP P 吸收律（又称等幂律
28、）E3 PP P E4 PQ QP 交换律 E5 PQ QPE6 (PQ)R P(QR) 结合律 E7 (PQ)R P(QR)E8 P(QR) (PQ)(PR) 分配律 E9 P(QR) (PQ)(PR)37E10 P(PQ) P 吸收律E11 P(PQ) PE15 PQ (PQ)(QP) 等价律 E16 PT P 谓词与真值演算律E17 PF FE18 PT TE19 PF P 38E20 PP F 补余律E21 PP TE22 P(QR) PQR 输出律E23 (PQ)(P Q) P 归谬律E24 PQ QP 逆反律E25 (x)A A （A中不含x）E26 (x)A AE27 (x)(P
29、(x)Q(x) (x)P(x)(x)Q(x) 量词分配律E28 (x)(P(x)Q (x) (x)P(x)(x)Q(x)E29 (x)P(x) (x)P(x) 量词转换律E30 (x)P(x) (x)P(x)E31 (x)P(x)A (x)(P(x)A) 量词辖域扩张、收缩律E32 (x)P(x)A (x)(P(x)A) （A中不含x）E33 (x)P(x)A (x)(P(x)A) （A中不含x）E34 (x)P(x)A (x)(P(x)A) （A中不含x）E35 (x)(y)P(x, y) (y)(x)P(x, y) 量词交换律E36 (x)( y)P(x, y) ( y)(x)P(x, y
30、) E37 (x)P(x)A (x)(P(x)A) 量词转换及扩张、收缩律E38 (x)P(x)A (x)(P(x)A) （A中不含x）E39 A(x)P(x) (x)(AP(x)E40 A(x)P(x) (x)(AP(x)E41 PQRPQR 复合化归律E42 PQRPQRE43 P(QR)PQRE44 (PQ)R (PR)(QR) (PR)(QR)406.3* 谓词逻辑的演算律谓词逻辑的演算律 41I1 P PQ；Q PQ；QPQ 附加律 I2 PQ P； PQ Q 化简律I4 (PQ) Q P P 拒取式推理拒取式推理I5 P P ，PQ Q 析取三段论推理析取三段论推理I6 (PQ)(
31、QR) PR 假言三段论推理I7 PQ (QR)(PR)I8 (PQ)(RS) PRQSI9 (PQ)(QS) PRI10 PQ，PQ，QR R 二难推理I11 (x)P(x) P(y) 全称固化律(y为个体域中的个体常量)I12 (x)P(x) P(y) 存在固化律4243 446.4 6.4 “非二值非二值”逻辑逻辑 n正如计算机中使用正如计算机中使用“0 0”和和“1 1”两个代码来解释世界一样，人两个代码来解释世界一样，人们在基于符号的命题与谓词逻辑中，试图只使用们在基于符号的命题与谓词逻辑中，试图只使用“F F”和和“T T”二个真值来描述智能特性。因此，人们把这种逻辑描述，又二个真
32、值来描述智能特性。因此，人们把这种逻辑描述，又常称之为常称之为或或。n但是，发展中的世界，事物运动变化，气象万千，是否但是，发展中的世界，事物运动变化，气象万千，是否“非非真即假真即假”二值逻辑就能全部包容呢？事实上，在二值逻辑就能全部包容呢？事实上，在“T T”和和“F F”两极之间，世界万物还有着无限精彩表现。例如，依据研究两极之间，世界万物还有着无限精彩表现。例如，依据研究需要，还可以定义需要，还可以定义“”以及以及逻辑、逻辑、等。由于这些逻辑的特性往等。由于这些逻辑的特性往往都不是二值的，故统称其为往都不是二值的，故统称其为，或称为，或称为。 456.4 6.4 “非二值非二值”逻逻辑
33、辑n定义定义T(P)T(P)来表示命题来表示命题P P为真的程度。则：为真的程度。则：n即即T(P)T(P)是某个介于是某个介于0 0到到1 1之间的任意实数，称之间的任意实数，称T(P)T(P)为命题为命题P P的真度。的真度。 n按如下规则来进行连接词的逻辑运算：按如下规则来进行连接词的逻辑运算： （1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5） ()1( )TPT P ()min ( ), ( )T PQT P T Q()max ( ), ( )T PQT P T Q()min1,1( )( )T PQT PT Q()1 |( )( )|T PQT PT Q 46例如，对于例如，对于
34、，除了可用上面给出的定义计算，除了可用上面给出的定义计算 外，还可以按下述某个定义的规则来计外，还可以按下述某个定义的规则来计算其值：算其值：PQ()T PQ1()min1( ), ( )RT PQT P T Q ：2()min ( ), ( )RT PQT P T Q ：3()( )( )RT PQT PT Q ：4()1( )( )( )RT PQT PT PT Q ：47计算计算 还可以按下述某个定义的规则来计算其值：还可以按下述某个定义的规则来计算其值：()T PQ5()max1( ), ( )RT PQT P T Q ：6()maxmin ( ), ( ),1( )RT PQT P
35、T QT P ：71,()T(P),T(Q)RPQ ： T( )T( )T( )T( )PQPQ当当8T(P),()T(Q),0,RT PQ ：T( )1T( )0T( )1T(Q)1QPP当当当且48那么在实际应用中应选用哪种定义来计算那么在实际应用中应选用哪种定义来计算 呢？一般要具体情况具体分析对待，即选择呢？一般要具体情况具体分析对待，即选择更贴切实际情况的那一种。更贴切实际情况的那一种。 应该指出：上述关于连接词运算规则的定义，只应该指出：上述关于连接词运算规则的定义，只是作为一种数理逻辑概念象征性的引入，并未深入加是作为一种数理逻辑概念象征性的引入，并未深入加以严格证明。读者在应用
36、中可以继续延伸甚至发挥这以严格证明。读者在应用中可以继续延伸甚至发挥这种思想，从而提出新的或自己独到的数学理念，以便种思想，从而提出新的或自己独到的数学理念，以便进行相关研究工作。进行相关研究工作。 49三值逻辑是多值逻辑的一种，顾名思义，三值逻辑是多值逻辑的一种，顾名思义，即限定命题真值具有即限定命题真值具有“真真”、“假假”、和介、和介于于“真真”与与“假之间共三个状态值的逻辑假之间共三个状态值的逻辑。 P Q P PQ PQ PQ PQ 0 0 1 0 0 1 1 0 0.5 1 0.5 0 1 0.5 0 1 1 1 0 1 0 0.5 0 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0.5
37、0.5 0.5 0.5 0.5 1 1 0.5 1 0.5 1 0.5 1 0.5 1 0 0 1 0 0 0 1 0.5 0 1 0.5 0.5 0.5 1 1 0 1 1 1 151 关于布可阀（关于布可阀（BochvarBochvar）逻辑，我们）逻辑，我们可以通过朗读下面由四个命题构成的一首可以通过朗读下面由四个命题构成的一首小诗来说明：小诗来说明： 52命题命题 X：这个命题是假的。这个命题是假的。请问，单就命题请问，单就命题“X”自身的自身的真值来判断，其真值是真值来判断，其真值是“真真”还是还是“假假”呢？为什么？呢？为什么？ 可见，可见，BochvarBochvar逻辑常常表现
38、出与某种矛盾状态有逻辑常常表现出与某种矛盾状态有关，有时人们称之为语义悖论问题。关，有时人们称之为语义悖论问题。 53 人们在智能活动与研究中，除了广泛地使用着诸人们在智能活动与研究中，除了广泛地使用着诸如命题和谓词等确定性逻辑之外，还常常使用一些非如命题和谓词等确定性逻辑之外，还常常使用一些非确定性、估计的或预测性的逻辑。例如，在科学研究确定性、估计的或预测性的逻辑。例如，在科学研究与数据挖掘分析中，常常使用概率统计规律、关联规与数据挖掘分析中，常常使用概率统计规律、关联规则以及粗集则以及粗集(Rough Sets)(Rough Sets)理论；在规划管理中使用了理论；在规划管理中使用了运筹
39、学、运筹学、BayesBayes决策以及证据理论；在日常推理和智决策以及证据理论；在日常推理和智能控制中使用了模糊逻辑等。能控制中使用了模糊逻辑等。 事实上，非确定性是现实世界中事物发展的一种事实上，非确定性是现实世界中事物发展的一种必然现象，反映了事物发展变化的一种不确定的客观必然现象，反映了事物发展变化的一种不确定的客观规律。因而研究各种非确定性、估计的或预测性的逻规律。因而研究各种非确定性、估计的或预测性的逻辑理论与方法也就显得格外重要。辑理论与方法也就显得格外重要。 54 模糊逻辑模糊逻辑(Fuzzy Logic)(Fuzzy Logic)理论首先由理论首先由L.A.ZadehL.A.
40、Zadeh于于19651965年提出，年提出，19781978年继而又提出年继而又提出了可能性理论。从而在世界上为人们更好地了可能性理论。从而在世界上为人们更好地利用模糊知识，实施不确定性的智能推理，利用模糊知识，实施不确定性的智能推理，提供了一种重要的数学描述武器和可行的技提供了一种重要的数学描述武器和可行的技术方法。术方法。 55模糊逻辑是一种常见的信息表达形式。例如，有人赞赏模糊逻辑是一种常见的信息表达形式。例如，有人赞赏对面走过来的一位女孩：对面走过来的一位女孩：“” 这里的这里的“漂亮漂亮”、“如如一样一样”就是一种达到就是一种达到某个境界或某种程度的模糊逻辑表达。某个境界或某种程度
41、的模糊逻辑表达。56 人们使用的自然语言中，诸如人们使用的自然语言中，诸如: :“好好”、“坏坏”；。这些都不是精确数字测量或具体特定界限的表达，而是这些都不是精确数字测量或具体特定界限的表达，而是模糊逻辑特性的描述表示。模糊逻辑特性的描述表示。57中的任意实数。中的任意实数。例：例： 58事实上，人们可用一种数学事实上，人们可用一种数学“”进行事物的模糊表示，进行事物的模糊表示，其数学表达形式为：其数学表达形式为： （）也可表示为：也可表示为： （对象对象，）例例: :一个一个王五王五，59 事实上，一般只在工程应用中才使用精确的测量事实上，一般只在工程应用中才使用精确的测量数字表达。而在人
42、类日常智能活动中，精确的测量数字数字表达。而在人类日常智能活动中，精确的测量数字表达并不符合人的思维习惯，故基本上都以模糊性表达表达并不符合人的思维习惯，故基本上都以模糊性表达为主。但是在人工智能应用領域，模糊性语言具有连续为主。但是在人工智能应用領域，模糊性语言具有连续多值多义的特点，机器难于完成理解，也就很难直接在多值多义的特点，机器难于完成理解，也就很难直接在机器中进行逻辑计算、知识判断与识别。因此，探讨和机器中进行逻辑计算、知识判断与识别。因此，探讨和研究基于模糊数学理论的知识模糊表达与推理，其意义研究基于模糊数学理论的知识模糊表达与推理，其意义十分重大。虽然模糊理论发展至今才十分重大。虽然模糊理论发展至今才4040年的時間，已经年的時間，已经取得许多长足的进步与发展，仍然有许多新理论和新技取得许多长足的进步与发展，仍然有许多新理论和新技术尚待学者们不断挖掘和完善充实。术尚待学者们不断挖掘和完善充实。
