1、第二节第二节一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏偏 导导 数数 第九章第九章 一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度处的振动速度与加速度 , 就是就是( , )u x t0 xoxu中的中的 x 固定于固定于求求一阶导数与二阶导数一阶导数与二阶导数.( , )u x tx0 处处,0(, )u xt0(, )u xt关于关于 t 的的将振幅将振幅定义定义1.( , )zf x y 在点在点000( ,)( ,)limxfyfy 存在存在,00( , )(,)zf x yxyx 在在
2、点点对对的偏导数，记为的偏导数，记为00;(,)zxyx 00(,)xy的某邻域内的某邻域内00;(,)fxyx 0 xx 0 x则称此极限为函数则称此极限为函数极限极限设函数设函数0()fx 00()()f xxf x x0limx x 00(,);xfxy00(,);xxyz0ddyxxx 100(,) .fxy 00000(,)(,)limxf xx yf xyx 00d( ,)dx xf x yx 00(,)xfxy注意注意:00d(, )dyyf xyy 同样可定义对同样可定义对 y 的偏导数的偏导数0 limy 00(,)yfxy若函数若函数 z = f ( x , y ) 在域在
3、域 D 内每一点内每一点 ( x , y ) 处对处对 x,xzfzxx则该偏导数称为偏导函数则该偏导数称为偏导函数, 也简称为也简称为偏导数偏导数 ,1( , ) ,( , )xfx yfx y 2( , ) ,( , )yfx yfx y 0(, )f x0(,)f x y 记为记为0yy 0y或或 y 偏导数存在偏导数存在 ,yzfzyy( , , )xfx y z例如例如, 三元函数三元函数 u = f (x , y , z) 在点在点 (x , y , z) 处对处对 x 的的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .0 limx ( , )fy z
4、(, )fy z x xx ( , , )?yfx y z ( , , )?zfx y z x偏导数定义为偏导数定义为(请自己写出请自己写出)二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:0000d( ,)dx xyyff x yxxxx 0( , )zf x yyy 0 xM T0000d(, )dx xyyff xyyyyy 是曲线是曲线0( , )zf x yxx 0yM T在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线是曲线是曲线yxz0 xyToxT0y0M对对 y 轴的斜率轴的斜率.函数在某点各偏导数都存在函数在某点各偏导数都存在,显
5、然显然例如例如,222222,0( , )0,0 xyxyxyzf x yxy d(0, 0)( , 0)d0 xff xxx d(0, 0)(0,)d0yffyyy 0 0 注意：注意：但在该点但在该点不一定连续不一定连续.在上节已证在上节已证 f (x , y) 在点在点(0 , 0)并不连续并不连续!例例1 . 求求223zxxyy解法解法1:zx (1,2)zx 解法解法2:(1, 2)zx 在点在点(1 , 2) 处的偏导数处的偏导数.(1, 2)zy 23 ,xy zy 32xy 2 13 28, (1,2)zy 3 12 27 264xx(26)1xx 8 1xz 213yy2(
6、32 )yy 7 2yz 例例2. 设设(0,1yzxxx且且） ，1 2lnxzzzyxxy证证:zx Q Q1 lnxzzyxxy例例3. 求求222rxyz的偏导数的偏导数 . (P65 例例4)解解:rx ry yyxxzy 求证求证1,yyx lnyxx2z 2222 xyzx2xr rzzr ,yr偏导数记号是一个偏导数记号是一个例例4. 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程求证求证:1pVTVTp pVRT 证证:,RTpV ,RTVp ,pVTR pVTVTp说明说明:(R 为常数为常数) , Vp2,RTV VT ,RpTp VRRTpV 1 不能看作不能看作分子与分
7、母的商分子与分母的商 !此例表明此例表明,整体记号整体记号,二、高阶偏导数二、高阶偏导数设设 z = f (x , y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数( , ) ,( , )xyzzfx yfx yxy若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，()zx ()zxy()zyx22()( , )y yzzfx yyyy则称它们是则称它们是z = f ( x , y ) 的的二阶偏导数二阶偏导数 . 按求导顺序按求导顺序, 有下列四个二阶偏导数有下列四个二阶偏导数:22zx ( , );xxfx y 2zx y ( , )x yfx y 2( , );yxzfx y
8、y x x 类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为2323()zzxxx z = f (x , y) 关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数 , 再关于再关于 y 的一阶的一阶( )y 1nnzxy 偏导数为偏导数为11nnzx 22xye 例例5. 求函数求函数2xyze 32.zy x 解解 :zx 22zx 322 ( )zzy xxy x zy 2zy x 2 zx y 22 zy 注意注意:此处此处22,zzx yy x 但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立.2xye 22xy
9、e 2xye 22xye 22xye 24xye 的二阶偏导数及的二阶偏导数及 4224222224,0()xx yyxxyxy 0(0,)(0,0)limxxyfyfy ( , )yfx y 例如例如,( , )xfx y (0,0)xyf 0(, 0)(0,0)(0,0)limyyyxxfxffx 二者不等二者不等0limyyy 10limxxx 1( , )f x y 220,0 xy4224222224,0()xx yyyxyxy 220 ,0 xy222222,0 xyxyxyxy 220,0 xy例例6. 证明函数证明函数2221,urxyzr满足拉普拉斯满足拉普拉斯2222220
10、uuuxyz证：证：ux 22ux 利用对称性利用对称性 , 有有2223513,uyyrr 222222uuuxyzu方程方程21rrx 21xrr 31r 43xrrx 23513xrr 2223513uzzrr 2223533()xyzrr 2r 0 00()()(,),xyy xfx,yfx,yxy若若和和都都在在点点连连续续0000(,)(,)x yy xfxyfxy 则则定理定理.例如例如, 对三元函数对三元函数 u = f (x , y , z) ,( , , )( , , )( , , )xyzyzxzxyfx y zfx y zfx y z说明说明:本定理对本定理对 n 元函
11、数的高阶混合导数也成立元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序数可以选择方便的求导顺序.( , , )( , , )( , , )xzyyxzzyxfx y zfx y zfx y z因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点 (x , y , z) 连续时连续时, 有有而初等而初等(证明略证明略) 证证:令令0000(,)(,)(,)Fxyf xx yyf xx y 00( )( ,)( ,)xf x yyf x y
12、则则(,)Fxy01()xxx 010010(,)(,)xxfxx yyfxx yx 0102(,)x yfxx yyx y 0000(,)(,)f xyyf xy 00( )(, )(, )yf xx yf xy 1(01) 12(0,1)00()()(,),xyy xfx,yfx,yxy若若和和都都在在点点连连续续0000(,)(,)x yy xfxyfxy 则则00()()xxx 定理定理.令令0000(,)(,)(,)Fxyf xx yyf xx y 0000(,)(,)f xyyf xy 同样同样00()()yyy 0304(,)y xfxx yyxy 34(0,1) 0000(,)
13、(,)x yy xfxyfxy ,xyy xfx yfx y因因（）（）0,x 故故令令0304(,)y xfxx yy0102(,)x yfxx yy在点在点)(00yx ，连续连续,得得0y 内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义定义; 记号记号; 几何意义几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐
14、次求导法逐次求导法(与求导顺序无关时与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序)练习练习解答提示解答提示: P130 题题 5220 xy当当时时，222( , )xx yfx yxxy 222( , )yx yfx yyxy 220 ,xy当当d(0,0)( ,0)d0 xff xxx d(0,0)(0, )d0yffyyy 0 0 总习题总习题P130 题题 5 , 632222()xyxy 222222()()xxyxy 即即 xy0 时时,P130 题题6(1)21,zxxy 22zyyxy 22221,()zxxy 2222,()zyx yxy 222222()()
15、zxyyxy (2)1,yzyxx lnyzxxy 2.22(1),yzy yxx 21.1lnyyzxyxxx y 222lnyzxxy 作业作业P69 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2） 第九章第九章 *二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用 应用应用 第三节第三节一元函数一元函数 y = f (x) 的微分的微分()yA xox d( )yfxx 近似计算近似计算估计误差估计误差本节内容本节内容:一、全微分的定义一、全微分的定义 全微分全微分一、全微分的定义一、全微分的定义 定义定义: 如果函数如果函数 z = f ( x, y )
16、在定义域在定义域 D 的内点的内点( x , y )(,)( ,)zf xx yyf x y 可表示成可表示成() ,zA xByo 其中其中 A , B 不依赖于不依赖于 x , y , 仅与仅与 x , y 有关，有关，称为函数称为函数( , )f x y在点在点 (x, y) 的全微分的全微分, 记作记作ddzfA xB y 若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,22()()xy 则称函数则称函数 f ( x, y ) 在点在点( x, y) 可微，可微，处全增量处全增量则称此函数在则称此函数在D 内可微内可微.yBxAD+D(2) 偏导数连续偏导数连续),(),(yxfy
17、yxxfz 0lim ()()A xB yo 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数可微函数函数 z = f (x, y) 在点在点 (x, y) 可微可微00lim(,)xyf xx yy 由微分定义由微分定义 :得得00limxyz 0 ( , )f x y 函数在该点连续函数在该点连续偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 即即定理定理1(必要条件必要条件)若函数若函数 z = f (x, y) 在点在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点偏导数则该函数在该点偏导数,zzxydzzzxyxy( , )( , )xzfyfyzx
18、同样可证同样可证,zBy dzzzxyxy证证: 由全增量公式由全增量公式(),zA xB yo 0,y令令()A xox 必存在必存在,且有且有得到对得到对 x 的偏增量的偏增量xx x因此有因此有 0limxxzx A 反例反例: 函数函数( , )f x y 易知易知(0, 0)(0, 0)0 ,xyff 但但(0, 0)(0, 0)xyzfxfy因此因此,函数在点函数在点 (0,0) 不可微不可微 .()o 注意注意: 定理定理1 的逆定理不成立的逆定理不成立 .22()()xyxy 22()()xyxy 22()()xyxy 0偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 !即
19、即:2222,0 xyxyxy 220,0 xy (,) f xx yy 定理定理2 (充分条件充分条件),zzxy证：证：(,)( , )zf xx yyf x y 12(0,1 )( ,)xfx yx 2( ,)yfx yyy 1(,)xfxx yyx ( ,)f x yy ( , )f x y( ,)f x yy ( ,)yfx yy若函数若函数( , )zf x y 的偏导数的偏导数( , ),x y在在点点连连续续则函数在该点则函数在该点可微分可微分.00lim0 xy 00lim0,xy z L L( ,)( ,)xyfx yxfx yy( ,)( ,)xyzfx yxfx yy
20、xy 所以函数所以函数( , )zf x y ( , )x yxy在点在点可微可微. 00lim0 xy 00lim0,xy 注意到注意到, 故有故有()o uxx 推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如例如, 三元函数三元函数( , , )uf x y z du 习惯上把自变量的增量用微分表示习惯上把自变量的增量用微分表示,du 记作记作uxd故有下述叠加原理故有下述叠加原理ddddxyzuuuu称为称为偏微分偏微分.duyy duzz duxx dyudzu的全微分为的全微分为uyy uzz 于是于是d,d,dxyzuuu例例1.
21、 计算函数计算函数在点在点 (2,1) 处的全微分处的全微分. xyze 解解:zx 22,2(2,1)(2,1)zzeexy22(2,1)dd2dzexey例例2. 计算函数计算函数的全微分的全微分. sin2yzyuxe解解: du 1 dx122( cos )dyy zeyzydzy ,xyyexyxe2(d2d )exyzyez可知当可知当*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用1. 近似计算近似计算由全微分定义由全微分定义x y ( , )( , )( )xyzfx yxfx yyo (,)f xx yy ( , )( , )xyfx yxfx yy较小时较小时,d
22、( , )( , )xyzzfx yxfx yy dz及及有近似等式有近似等式:( , )f x y(可用于近似计算可用于近似计算; 误差分析误差分析) (可用于近似计算可用于近似计算) 半径由半径由 20cm 增大增大解解: 已知已知2,Vr h V20,100,rh2220 1000.0520( 1)V 即受压后圆柱体体积减少了即受压后圆柱体体积减少了 3200cm . 例例3. 有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变,到到 20.05cm , 则则 2 rh r 2rh 0.05,1rh 3200(cm ) 高度由高度由100cm 减少到减少到 99cm ,体积的近似改变量体积
23、的近似改变量. 求此圆柱体求此圆柱体例例4.计算计算的近似值的近似值. 02. 204. 1解解: 设设( , )yf x yx ,则则( , )xfx y 取取1,2,xy则则2.021.04(1.04, 2.02 )f 120.0400.021.08( , )yfx y 1,yy x lnyxx0.04,0.02xy yfxffyx )2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (分别表示分别表示 x , y , z 的绝对误差界的绝对误差界,2. 误差估计误差估计利用利用( , )( , )xyzfx yxfx yy , , xyz令令z 的绝对误差界约为的绝对误差界约为( , ) ( , )
24、 zxxyyfx yfx yz 的相对误差界约为的相对误差界约为( , )( , )( , )( , )yzxxyfx yfx yzf x yf x y 则则特别注意特别注意(1) zx y 时时，xyzzxy(2),yzx 时时xyxy类似可以推广到三元及三元以上的情形类似可以推广到三元及三元以上的情形. zxz 2()yx xy y 1xxy 乘除后的结果相对误差变大乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数很小的数不能做除数例例5. 利用公式利用公式12sinSabC 1 . 030,01. 03 . 8,01. 05 .12Cba求计算面积时的绝对误差与相对误差求计算面积时的绝对误差与
25、相对误差.解：解：aSaSaCbsin2112.5,8.3,30 , 0.01, 1800abCabC 13. 0S故绝对误差约为故绝对误差约为又又CbaSsin21所以所以 S 的相对误差约为的相对误差约为SS30sin3 . 85 .1221bCasin21CCabcos2194.250.1325.94 0.5% 计算三角形面积计算三角形面积.现测得现测得bbSccS例例6.在直流电路中在直流电路中, 测得电压测得电压 U = 24 伏伏 ,解解: 由欧姆定律可知由欧姆定律可知4624IUR( 欧欧)所以所以 R 的相对误差约为的相对误差约为IURIUR0.3 + 0.5 R 的绝对误差约
26、为的绝对误差约为 RR0.8 0.3;定律计算电阻定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差时产生的相对误差和绝对误差 .相对误差为相对误差为 测得电流测得电流 I = 6安安, 相对误差为相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧欧 )= 0.8 求用欧姆求用欧姆小结小结1. 微分定义微分定义:( , ) )zf x y z ( , )( , )xyfx yxfx yydz ( , )d( , )dxyfx yxfx yy 22()()xy 2. 重要关系重要关系: ( )o 函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续3. 微分应用微分应用 近似计算近似计算 估
27、计误差估计误差z( , )( , )xyfx yxfx yy(,)f xxyy ( , )( , )xyfx yxfx yy绝对误差绝对误差相对误差相对误差),(yxf( , ) ( , ) zxxyyfx yfx y( , )( , )( , )( , )yzxxyfx yfx yzf x yf x y练习练习1. P130 题题 1 (总习题九总习题九)函数函数( , )zf x y 在在00(,)xy可微的充分条件是可微的充分条件是( )00( )( , )(,);Af x yxy在在连连续续00( )( , ),( , )(,)xyBfx yfx yxy在在的某邻域内存在的某邻域内存在
28、 ;( )( , )( , )xyCzfx yxfx yy 22()()0 xy 当当时是无穷小量时是无穷小量 ;22( , )( , )()()()xyzfx yxfx yyDxy 22()()0 xy 当当时是无穷小量时是无穷小量 .2. 选择题选择题D 答案答案:z 2 ,0.011,0.03xxyy 0.02 dz2 ,0.011,0.03xxyy 0.03 也可写作也可写作:当当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = 0.03 时时 z = 0.02 , d z = 0.03 3. P130 题题 7(0,0,0)d(0,0,0)d(0,0,0)d(0,0,0)
29、dyyzffxfyfz4. 设设coscoscos( , , ),1coscoscosxyyzzxf x y zxyz (0,0,0)d.f求求解解: ( ,0,0)3cosxf xx Q Q (0,0,0)3cos0 xxfxx 14 利用轮换对称性利用轮换对称性 , 可得可得1(0,0,0)(0,0,0)4yzff1(ddd )4xyz( L. P245 例例2 )注意注意: x , y , z 具有具有 轮换对称性轮换对称性 arctan,d .xyzzxy 求求答案答案: 22dddyxxyzxy 作业作业 P75 题1 (3) , (4) ; 3 ; 5. 已知在点在点 (0,0)
30、可微可微 .备用题备用题在点在点 (0,0) 连续且偏导数存在连续且偏导数存在,续续,( , )f x y而而( , )f x y 221sin, ( , )(0,0)xyx yxy 0,( , )(0,0)x y 证证: 1) 因因221sinxyxy 00lim( , )0 xyf x y (0,0)f 故函数在点故函数在点 (0, 0) 连续连续 ; 但偏导数在点但偏导数在点 (0,0) 不连不连 证明函数证明函数xy 222xy 所以所以( , )f x y 221sin, ( , )(0,0)xyx yxy 0,( , )(0,0)x y ( ,0)0,f x Q Q(0,0)0;x
31、f(0,0)0.yf 同理同理2),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx( , )xfx y( , )(0,0),x y 当当时时( , )(0,0),P x yyx 当当点点沿沿射射线线趋趋于于时时y 221sinxy 2223()x yxy 221cosxy ( ,)(0,0)lim( , )xx xfx y极限不存在极限不存在 ,( , )xfx y在点在点(0,0)不连续不连续 ;同理同理 ,( , )yfx y在点在点(0,0)也不连续也不连续.0lim(xx 1sin2 |x 332 2 |xx 1cos)2 |x 3)( , )f x y 221sin, ( , )(0,0)xyx yxy 0,( , )(0,0)x y 22()() ,xy 4) 下面证明下面证明( , )(0,0)f x y点点在可微可微 :(0,0)(0,0)xyffxfy 1sinxy x 0 0( , )(0,0).f x y点点在可微说明说明: 此题表明此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件偏导数连续只是可微的充分条件.令令则则( , )f x y 221sin, ( , )(0,0)xyx yxy 0,( , )(0,0)x y
