1、高一数学集体备课组高一数学集体备课组 授课教师：王廷伟授课教师：王廷伟 伟人所达到并保持着的高处，并不是一飞就到伟人所达到并保持着的高处，并不是一飞就到的，而是他们在同伴们都睡着的时候，一步步艰的，而是他们在同伴们都睡着的时候，一步步艰辛地向上攀爬的。辛地向上攀爬的。 同学们同学们!朋友们朋友们!大家准备好了吗？大家准备好了吗？走进今天，勿忘昨天走进今天，勿忘昨天!同学们，同学们，昨天昨天你有什么收获？你有什么收获？你觉得这些知识要注意些什么？你觉得这些知识要注意些什么？222 (R), abab a bab 、当当且且仅仅当当时时取取号号1重要不等式：重要不等式：温馨提示温馨提示：成立条件：
2、成立条件：a,b可取可取任意实数任意实数。复习复习 巩固巩固2、基本、基本(均值均值)不等式不等式:,2a ba babab 如如果果 0 0, ,那那么么, , 当当且且仅仅当当 = = 时时等等号号成成立立。2(1)2 ( ):(0)(0) (2)2abababab 2 2 记记住住两两个个变变形形a a, ,b ba a, ,b b（）温馨提示温馨提示:(1)成立条件成立条件:a,b都只能取都只能取正正实数。实数。3、基本、基本(均值均值)不等式应用不等式应用1：证：证明不等式明不等式今天的课题：今天的课题： 思考思考1.1.已知定义在区间已知定义在区间D D上的函数上的函数 f(x),
3、f(x),(1)若若f(x)M，则，则M是函数是函数f(x)的最的最大大值吗？值吗？(2)若若f(x)M，则，则M是函数是函数f(x)的最的最小小值吗？值吗？不一定。不一定。 还要满足：还要满足：存在存在x0 D,使使f(x0)=M，即，即M必须是函数值或必须是函数值或“=”号成立时，号成立时，则则M是才能分别是函数是才能分别是函数f(x)的的最大值、最小值最大值、最小值。 X=y2 PX=y21S4总结反思总结反思:(1):(1)两个正变量两个正变量积为定值积为定值, ,则则和有最和有最小值小值, ,当且仅当当且仅当两正变量相等两正变量相等时取最值时取最值. .简称简称为为“积定和最小积定和
4、最小”(2)(2)两个正变量两个正变量和为定值和为定值, ,则则积有最大值积有最大值, ,当且当且仅当两正变量相等时取最值仅当两正变量相等时取最值. .简称为简称为: :“和定积和定积最大最大”思考思考2：已知已知 x,y都是正数，试探究：都是正数，试探究：(1)如果积如果积xy是是定值定值P,和和x+y否有否有最小值最小值？若有若有,那么当那么当 时时,最小值为最小值为 .(2)如果和如果和x+y是是定值定值S,积积xy是否有是否有最大值最大值？若有若有,那么当那么当 时时,最大值为最大值为 .思考思考3 3：能否由能否由 得函数得函数 的最小值是的最小值是2 2吗？吗？1yxx=+2121
5、xxxx思考思考4 4：当当x4x4时时, ,能否由能否由 得函数得函数 的最小值是的最小值是4 4吗？吗？ 21yxx=+4212122xxxxx不能不能,没有满足基本不等式的没有满足基本不等式的“正数正数”那个条那个条件。件。不能不能,没有满足基本不等式的没有满足基本不等式的“积为定值积为定值”。思考思考6 6：利用基本不等式求两个变量的利用基本不等式求两个变量的和和的最小值的最小值( (或积的最大值或积的最大值) )，应具备哪些，应具备哪些基本条件？基本条件？ 一正二定三相等一正二定三相等思考思考5 5：当当x(0 x(0，)时，能否由时，能否由 ，得函数，得函数 的最小值是的最小值是
6、吗？吗？ 2si nsi nyxx=+2 222sin2sin2sin2sinxxxx不能不能,没有满足基本不等式的没有满足基本不等式的“取等号的条取等号的条件件”。用基本用基本(均值均值)不等式求一个式子的最值的不等式求一个式子的最值的三个步骤：三个步骤：第第1步：步： 判断各项必须为判断各项必须为正正数；数；第第2步：步：各项的和或积各项的和或积必须为必须为定值定值(即常数即常数)；第第3 3步：步：各项均各项均相等相等时，变量的值时，变量的值要存在要存在，才，才能取得最值。能取得最值。这三个步骤可简称为：这三个步骤可简称为：“一正二定三相等一正二定三相等”。注意这三个步骤注意这三个步骤缺
7、一不可。缺一不可。121 .x0,f(x)=+3xxx若求函数的最小值及相应的例的值。总结反思：总结反思：二定二定三相等三相等41 .x 0 ,f(x )=+ xxx若若求求 函函 数数的的 最最 小小 值值 及及 相相 应应 的的的的 值值 。例0,):4(xf xxx若求函数的最大值及相应变式1的x的值。 0 x 解：一正一正44( )24f xxxxx42.xxx当且仅当即时，等号成立40 xmin( )4.f x ，此时x=2解题反思：解题反思： 用基本不等式求最值时用基本不等式求最值时,必须必须具备三个具备三个步骤步骤:“一正二定三相等一正二定三相等”.缺一不可。缺一不可。 0 x
8、解：44() ()2 () ()4xxxx 42.xxx当且仅当即时，等号成立40,0 xx max( )4.f x 时，此时x=-24( )4f xxx 乘乘-1变正数变正数0,):4(xf xxx若求函数的最大值及相应变式1的x的值。 1 x 解 ：4( )(1) 11f xxx 411.1xxx当且仅当即时，等号成立41 0 0,1xx ，min( )3.f x时，此时x=14-1,( )1:xf xxx变若求函数的最小值及相应的式2x的值。42(1) 11xx4 1 3 添项和拆添项和拆项项,使使积积为为定值定值。解题反思：解题反思： 为了使为了使和或积为定值和或积为定值(即常数即常数
9、)需要对项进行合需要对项进行合理的变形，再用基本不等式。理的变形，再用基本不等式。4.x3,f(x)=3+xxx若若求求函函数数的的最最小小值值及及相相应应式式的的变变的的值值。30 x 解：44( )24f xxxxx42.xxx当且仅当即时，等号成立X的值不存在，此解法不对。的值不存在，此解法不对。4.x3,f(x)=3+xxx若若求求函函数数的的最最小小值值及及相相应应式式的的变变的的值值。解：由解：由双勾函数双勾函数的性质知，函数的性质知，函数f(x)在区间在区间3, +)是单调递增的是单调递增的 (注注:可以用定义法证明可以用定义法证明)，min4133f(x)=+333x当当时时，
10、解题反思：解题反思：(1)如果第三步如果第三步“相等相等”无法满足时，一无法满足时，一般考虑用般考虑用函数的单调性函数的单调性来求最值来求最值。(2)我们的思维要灵活，不要死板。我们的思维要灵活，不要死板。 (2).已知已知x0, y0, xy=24, 求求4x+6y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x,y的值的值(1). 已知已知a+b=4,求求y=2a+2b的最小值的最小值练习练习1：当当x=6,y=4时时,最小值为最小值为48。最小值为最小值为8.)x21 (xy,21x02的最大值求函数、已知例解解:,210 x2x,12x0,2x,12x0,)21 (221xxy.81)221
11、2(212xx.,41xx21x2等号成立时即当且仅当.81,41函数的最大值为时当 x配凑系数配凑系数,使和为定使和为定值。值。说明说明：本题就是二次函数在特定区间上的最值问题，可以：本题就是二次函数在特定区间上的最值问题，可以用函数法求解。那么我们可不可以用用函数法求解。那么我们可不可以用基本不等式基本不等式来求呢来求呢分析：求积的最大值，构造分析：求积的最大值，构造和为定值和为定值，利用，利用基本不等式求最值。基本不等式求最值。练习练习2:已知已知 ，求，求 的最大值。的最大值。10 x21xx2221(1)xxxx20110 xx 2211.22xx2221.2xxx 当且仅当即时，等
12、号成立211.2xx的最大值为解：解：分析：分析： （1）面积一定，求长与宽的和的最小值）面积一定，求长与宽的和的最小值（2） 一定一定,求求 的最大值的最大值长与宽的积长与宽的积例例3、（、（1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100m2的矩的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？积最大。最大面积是多少？例例3、（、
13、（1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100m2的矩的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？所用篱笆最短。最短篱笆是多少？解：解：(1)设长为设长为xm,宽为宽为ym,则则xy=100,则篱笆的长为则篱笆的长为2(x+y)mxy 2（x+y）40当且仅当当且仅当x=y即即x=y=10时时,等号成立等号成立答答:当长和宽都是当长和宽都是10m时，时，所用所用篱笆最短。最短篱笆是篱笆最短。最短篱笆是40m。2 xy2 10020（2）一段长为）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为
14、多少时，菜园的面问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？积最大。最大面积是多少？(2)设长设长xm,宽宽ym,由题意有由题意有2(x+y) =36, x+y=18，面积为面积为xy m22218()()8122xyxy当且仅当当且仅当x=y即即x=y=9时，等号成立时，等号成立答：答：这个矩形的长、宽都为这个矩形的长、宽都为9m时时,菜园的面积最大菜园的面积最大.最大面积是最大面积是81m2.解题反思：解题反思： 用均值不等式解决实际问题时，应按如下用均值不等式解决实际问题时，应按如下步骤进行步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把先理解题意，设变量，设变量时
15、一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小在定义域内，求出函数的最大值或最小值；值； (4)正确写出答案正确写出答案.小结反思：小结反思：1、利用基本不等式求函数最值的三个步骤、利用基本不等式求函数最值的三个步骤:“一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等”缺一不可。缺一不可。,0,0()()2;ababab 一不正常用 -,二 不 定 需 变 形 ;,三不等 常用单调性.2、利用基本不等式求函数最值的三个步骤无、利用基本不等式求函数最值的三个步骤无法具备时法具备时:一般情况下，一般情况下，明天继续：明天继续： 谢谢同学们谢谢同学们再见再见谢谢光临！谢谢光临！
