1、1.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数指数函数的导数:.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）.三角函数三角函数 ： xxsin)(cos2）（1）.常函数：常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）.幂函数幂函数 ： (xn)/ nxn 1一、复习回顾：基本初等函数的导数公式一、复习回顾：基本初等函数的导数公式函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且
2、且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G = ( a , b )二、复习引入二、复习引入:oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在在（ ，0）和（）和（0, ）上分别是减函数。但在定上分别是减函数。但在定义域上不是
3、减函数。义域上不是减函数。在（在（ ，1）上是减）上是减函数，在（函数，在（1, ）上）上是增函数。是增函数。在在( ,)上上是增函数是增函数概念回顾概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。的子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。若而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递函数在此区间上是增
4、函数，则为单调递增增区区间；间；若函数在此区间上是减函数，则为单调若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。递减区间。高台跳水运动员的高度高台跳水运动员的高度 h 随时间随时间 t 变化的变化的函数函数 高台跳水运动员的速度高台跳水运动员的速度 v 随时间随时间 t 变化的函变化的函数数 运动员从起跳到最高点运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别水这两段时间的运动状态有什么区别?105 . 69 . 4)(2ttth5 . 68 . 9)(ttv观观 察察:aabbttvhOO(1)(1)(2)(2)105 . 69 . 4)(2ttth5
5、. 68 . 9)(ttvxyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3xy1 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系. 在某个区间在某个区间( (a, ,b) )内内, ,如果如果 , ,那么那么函数函数 在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增; ; 如果如果 , ,那么函数那么函数 在这在这个区间内单调递减个区间内单调递减. .0)( xf)(xfy 0)( xf)(xfy 如果恒有如果恒有 ，则，则 是常数函数。是常数函数。)(xf0)(xf题题1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:
6、当当1 x 4 , 或或 x 1时时,当当 x = 4 , 或或 x = 1时时,)(xf ; 0)( xf; 0)( xf. 0)( xf试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.)(xf题题1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4 , 或或 x 1时时,当当 x = 4 , 或或 x = 1时时,)(xf ; 0)( xf; 0)( xf. 0)( xf试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.)(xf解解: 当当1 x 4 , 或或 x 0(或或f(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）确认并指出递增区间（或递减区间）2、证明可导
7、函数、证明可导函数f(x)在在(a,b)内的单调性的方法：内的单调性的方法：(1)求求f(x)(2)确认确认f(x)在在(a,b)内的符号内的符号(3)作出结论作出结论作业：作业：已知函数已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取值范围。的取值范围。例例3 3 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注入水的体积相同) )注注入下面四种底面积相同的容器中入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别找出与各容器对应请分别找出与各容器对应的水的高度的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(A)(
8、B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO练习练习判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:;)( )2( ; 42)( ) 1 (2xexfxxxfx.)( )4( ;3)( ) 3(233xxxxfxxxf 一般地一般地, , 如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大的绝对值较大, , 那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快, , 这时这时, , 函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”( (向上向上或向下或向下) ); ; 反之反之, , 函数的图象就函数的图
9、象就“平缓平缓”一些一些. . 如图如图, ,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 内的图象平缓内的图象平缓. .)(xfy), 0(b)0 ,(a),( b),(a练习练习2.函数函数 的图象如图所示的图象如图所示, 试画出导函数试画出导函数 图象图象的大致形状的大致形状)( xfy )( xf 练习练习3.讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的单调区间.)0()(2acbxaxxf解解: )0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0 ) 1 (a 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是0)( xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0 )2(a 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是0)( xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab
