1、2.12.1等式性质与不等式性质课标阐释思维脉络1.会用不等式组表示不等关系.(数学抽象)2.能够用作差法比较两个数或式的大小.(数学运算)3.掌握等式的性质.(数学抽象)4.理解不等式的概念,掌握不等式的性质.(数学抽象)5.会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.(逻辑推理)激趣诱思知识点拨清丽、优美的芭蕾舞剧睡美人序曲奏响了,一名女演员双手抚摸着短裙,眼里闪烁着倔强和自信的目光.只见她踮起脚尖,一个优雅的旋转,轻盈地提着舞裙,飘然来到台上,在追光灯下飘起舞裙,那飘洒翩跹的舞姿,把整个舞台化成一片梦境她为什么要踮起脚尖呢?因为一般的人,激趣诱思知识点拨知识点一、不等式与不等关系(1)不等
2、式的定义所含的两个要点.不等符号,b,或者a=b”,等价于“a不小于b”,即若ab或a=b中有一个正确,则ab正确.(2)不等式ab含义是指“ab,或者a=b”,等价于“a不大于b”,即若a0ab;a-b0a0,b0且 1ab;a0,b0且 1a0,b0且 =1a=b应用范围数(式)的大小不明显,作差后可化为积或商的形式同号两数比较大小激趣诱思知识点拨微思考如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大小呢?提示:通常是通过判断它们的差(a-b)的符号来比较它们的大小.当a与b同号且都不为0时,也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小.微练习若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是.解析:
3、(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+30,x2-12x-5.答案:x2-12x-5激趣诱思知识点拨知识点三、重要不等式a,bR,a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立.微思考a,bR,a2+b2与2ab大小有何关系?提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)20恒成立,所以a2+b22ab.激趣诱思知识点拨知识点四、不等式的性质等式性质与不等式性质的比较等式的性质不等式的性质a=bb=aabbb,bcaca=ba+c=b+caba+cb+ca=bac=bcab,c0acbc;ab,c0acb,cda+cb+da=b,c=dac=bdab0,cd0acbda=b0an=
4、bnab0anbn(nN,n2)激趣诱思知识点拨名师点析1.对不等式性质的理解(1)性质1和性质2,分别称为“对称性”与“传递性”,在它们的证明中,要用到比较大小的“定义”等知识.(2)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据.(3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.(4)性质5(即同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”.(5)性质6和性质7(即同向同正可乘性,可乘方性),即均为正数的同向不等式相乘,得同向不等式,并无相除式.(6)性质1和性质3是双向推导,其他是“单向”推导.激趣诱思
5、知识点拨2.不等式性质的适用条件(1)在应用不等式的性质2时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的,如ab,bc,则ab,则ac2bc2;若无c0这个条件,若ab,则ac2bc2就是错误的.(3)若ab0,则anbn0(nN,n2)的成立条件是“n为大于等于2的自然数,ab0”.假如去掉n为大于等于2的自然数这个条件,取n=-1,a=3,b=2,那么就会出现3-12-1,即 的错误结论,假如去掉b0这个条件,取a=3,b=-4,n=2,那么就会出现32(-4)2的错误结论.不等式相乘时,不等式不仅要同向,而且还要各数都为正数.激趣诱思知识点拨微思考你能写出等式的
6、基本性质吗?提示:(1)对称性:如果a=b,那么b=a;(2)传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;(3)加减性:如果a=b,那么ac=bc;(4)可乘性:如果a=b,那么ac=bc;(5)可除性:如果a=b,c0,那么激趣诱思知识点拨微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.()(2)同向不等式具有可加性和可乘性.()(3)若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)激趣诱思知识点拨微练习若ab,则下列各式正确的是()A.a-2b-2B.2-a2-bC.-2
7、a-2bD.a2b2解析:因为ab,所以a-2b-2,2-a2-b,-2ab,但a2380,z超过45,即z45,故选D.(2)因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,所以汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则在8天内它的行程为8(x+19)km,因此,不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x+19)2 200来表示.答案:(1)D(2)8(x+19)2 200探究一探究二探究三素养形成当堂检测实数大实数大小的比较小的比较例2比较下列各组中的两个代数式的大小.(1)2x2+3与x+2,xR;分析:利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a分类讨论.探究
8、一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 用作差法比较实数大小的步骤作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测不等式性质的应用不等式性质的应用1.应用不等式性质判断命题真假例3对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:(1)若ab,则ac2bc2;(2)若ababb2;分析:判断这些结论是否正确,可以根据实数的基本性质、实数运算的符号法则以及不等式的性
9、质,经过合理的逻辑推理即可.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3已知a,b,c满足cba,且acb0,cd0,c+d0,b-a0,c-d0,(b-a)+(c-d)0.e0.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用
10、不等式的性质,通过对不等式变形得证.2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断最终的符号,完成证明.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.利用不等式性质求取值范围例5已知1a4,2b8,试求2a+3b,-b与a-b的取值范围.分析:先根据a,b的取值范围得出2a,3b的取值范围,再根据同向不等式的可加性求出2a+3b与a-b的取值范围.解:1a4,2b8,22a8,63b24.82a+3b32.2b8,-8-b-2.又1a4,1+(-8)a+(-b)4+
11、(-2),即-7a-b2.故2a+3b的取值范围是2a+3b|82a+3b32,a-b 的取值范围是a-b|-7a-b2.反思感悟 利用不等式的性质可以解决取值范围问题,当题目中出现两个变量求取值范围时,要注意两个变量是相互制约的,不能分割开来,应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求出取值范围.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用不等式求取值范围的常用方法利用不等式求取值范围的常用方法典例已知1a-b2,2a+b4,求4a-2b的取值范围.解:方法一(待定系数法)设4a-
12、2b=m(a-b)+n(a+b),则4a-2b=(m+n)a+(-m+n)b,所以4a-2b=3(a-b)+(a+b).因为1a-b2,所以33(a-b)6.又2a+b4,所以53(a-b)+(a+b)10.即4a-2b|54a-2b10.探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法二(换元法)所以4a-2b=2(m+n)-(n-m)=3m+n,而1m=a-b2,2n=a+b4,所以4a-2b|54a-2b10.方法点睛 求代数式的取值范围是不等式性质的应用的一个重要内容.解题时应将条件式视为一个整体,并用其表示所求范围的量,同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式的性质分别求出变量自身的范围
13、,再去求由此构成的代数式的取值范围,这往往会扩大代数式的范围.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.下列说法正确的是()A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“xy”C.某变量x至少是a可表示为“xa”D.某变量y不超过a可表示为“ya”答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.(2020陕西宝鸡高二期中)如果ab,b0,那么下列不等式中正确的是()解析:对于选项A,因为ab,b0,所以a0,则ab-a2=a(b-a)0,故A错误;对于选项B,因为ab0,所以a+b0,a-b0,故B错误;答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.已知60 x84,28y33,则x-y的取值范围为, 的取值范围为.解析:28y33,-33-y-28.又60 x84,27x-yb0,cd0.
