1、差错控制编码 2022-5-29通信原理第第 7 章章 差错控制编码差错控制编码 7.1 概述概述 7.2 常用的几种简单分组码常用的几种简单分组码 7.3 线性分组码线性分组码 7.4 循环码循环码 7.5 卷积码卷积码 *7.6 网格编码调制网格编码调制 差错控制编码 2022-5-29通信原理7.1 概概 述述 7.1.1 信道编码信道编码 在数字通信中，根据不同的目的，编码可分为信源编码和信道编码。信源编码是为了提高数字信号的有效性以及为了使模拟信号数字化而采取的编码。信道编码是为了降低误码率， 提高数字通信的可靠性而采取的编码。 数字信号在传输过程中，加性噪声、码间串扰等都会产生误码
2、。为了提高系统的抗干扰性能，可以加大发射功率，降低接收设备本身的噪声，以及合理选择调制、解调方法等。此外，还可以采用信道编码技术。差错控制编码 2022-5-29通信原理7.1.2 差错控制方式差错控制方式 图 7-1 差错控制方式 发端纠错码收端前向纠错FEC发端检错码收端检错重发ARQ判决信号发端检错和纠错码收端混合纠错HEC判决信号差错控制编码 2022-5-29通信原理 1. 检错重发方式检错重发方式 检错重发又称自动请求重传方式，记作ARQ(Automatic Repeat Request)。 由发端送出能够发现错误的码，由收端判决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这一
3、判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信息再次重发，从而达到正确传输的目的。其特点是需要反馈信道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时有效， 但实时性差，主要在计算机数据通信中得到应用。 差错控制编码 2022-5-29通信原理 2. 前向纠错方式前向纠错方式 前向纠错方式记作FEC(Forword ErrorCorrection)。发端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正传输中的错误。其特点是单向传输，实时性好，但译码设备较复杂。 差错控制编码 2022-5-29通信原理 3. 混合纠错方式混合纠错方式 混合纠错方式记作HEC(Hybrid ErrorCorrecti
4、on)是FEC和ARQ方式的结合。发端发送具有自动纠错同时又具有检错能力的码。收端收到码后，检查差错情况，如果错误在码的纠错能力范围以内，则自动纠错，如果超过了码的纠错能力， 但能检测出来，则经过反馈信道请求发端重发。这种方式具有自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率，因此， 近年来得到广泛应用。 差错控制编码 2022-5-29通信原理 另外，按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三类：随机信道、突发信道和混合信道。恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道，其中差错的出现是随机的，而且错误之间是统计独立的。具有脉冲干扰的信道是典型的突发信道， 错误是成串成群出现的，即在短时间内出现大量错误。
5、短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子，随机错误和成串错误都占有相当比例。对于不同类型的信道，应采用不同的差错控制方式。 差错控制编码 2022-5-29通信原理7.1.3 纠错码的分类纠错码的分类 (1) 根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。 (2) 根据上述关系涉及的范围，可分为分组码和卷积码。分组码的各码元仅与本组的信息元有关；卷积码中的码元不仅与本组的信息元有关，而且还与前面若干组的信息元有关。 (3) 根据码的用途，可分为检错码和纠错码。检错码以检错为目的，不一定能纠错；而纠
6、错码以纠错为目的，一定能检错。 差错控制编码 2022-5-29通信原理7.1.4 纠错编码的基本原理纠错编码的基本原理 1. 分组码分组码 分组码一般可用(n,k)表示。其中，k是每组二进制信息码元的数目，n是编码码组的码元总位数，又称为码组长度，简称码长。n-k=r为每个码组中的监督码元数目。简单地说，分组码是对每段k位长的信息组以一定的规则增加r个监督元，组成长为n的码字。在二进制情况下，共有2k个不同的信息组，相应地可得到2k个不同的码字，称为许用码组。其余 2n-2k个码字未被选用，称为禁用码组。 差错控制编码 2022-5-29通信原理 码长：编码码组的码元总位数称为码组的长度，简
7、称码长。 在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明重量， 简称码重。例如，码字 10110，码重w=3。 两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码组的汉明(Hamming)距离，简称码距。例如 11000 与 10011之间的距离d=3。码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为码的最小距离，用d表示。最小码距是码的一个重要参数， 它是衡量码检错、纠错能力的依据。 差错控制编码 2022-5-29通信原理2. 检错和纠错能力检错和纠错能力 若分组码码字中的监督元在信息元之后，而且是信息元的简单重复， 则称该分组码为重复码。它是一种简单实用的检错码， 并有一定的纠错能力。 00 01 10
8、 11 d 0=2 例如(2,1)重复码，两个许用码组是 00 与 11，d0=2，收端译码，出现 01、10 禁用码组时，可以发现传输中的一位错误。差错控制编码 2022-5-29通信原理如果是(3,1)重复码，两个许用码组是 000 与111, d0=3; 当收端出现两个或三个 1 时，判为 1，否则判为 0。此时，可以纠正单个错误，或者该码可以检出两个错误。 000 001 010 100 111 110 101 011 d 0=3 差错控制编码 2022-5-29通信原理 码的最小距离d0直接关系着码的检错和纠错能力；任一(n,k)分组码，若要在码字内: (1) 检测e个随机错误，则要
9、求码的最小距离d0e+1; (2) 纠正t个随机错误， 则要求码的最小距离d02t+1; (3) 纠正t个同时检测e(t)个随机错误，则要求码的最小距离d0t+e+1。 差错控制编码 2022-5-29通信原理 3. 编码效率编码效率 用差错控制编码提高通信系统的可靠性， 是以降低有效性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性:R=k/n其中, k是信息元的个数，n为码长。 对纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编码效率尽量高；编码规律尽量简单。 际中要根据具体指标要求， 保证有一定纠、 检错能力和编码效率，并且易于实现。 差错控制编码 2022-5-29通信原理7.2 常用的几
10、种简单分组码常用的几种简单分组码7.2.1 奇偶监督码奇偶监督码 奇偶监督码是在原信息码后面附加一个监督元， 使得码组中“1”的个数是奇数或偶数。或者说，它是含一个监督元，码重为奇数或偶数的(n, n-1)系统分组码。奇偶监督码又分为奇监督码和偶监督码。 差错控制编码 2022-5-29通信原理设码字A=an-1,an-2,a1,c0，偶监督码码组中1的个数为偶数个，满足： 121001210aaaccaaannnn 信道 a1 c0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a6 a5 a4 a3 a2 a7 a1 串行入 a7 a7 c0 a2 a3 a4 a5 a6 校正子 S S=0，无错
11、S=1，有错 发端 收端 差错控制编码 2022-5-29通信原理设码字A=an-1,an-2,a1,c0，奇监督码码组中“1”的数目为奇数， 即满足条件有 )(112100121aaaccaaannnn而检错能力与偶监督码相同。 奇偶监督码的编码效率R为 nnR/ ) 1( 差错控制编码 2022-5-29通信原理7.2.2 行列监督码行列监督码 用于检突发错 把发送的信息序列分成很多组，将它们排成矩阵，然后分别进行行、列偶校验。图 (66,50)行列监督码 110010100000100001101001111000011100111000001010101010111000111100差
12、错控制编码 2022-5-29通信原理7.2.3 恒比码恒比码 码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比码。 由于恒比码中，每个码组均含有相同数目的 1 和 0，因此恒比码又称等重码，定 1 码。这种码在检测时，只要计算接收码元中 1 的数目是否正确，就知道有无错误。 目前我国电传通信中普遍采用 3 2 码，又称“5 中取 3”的恒比码，即每个码组的长度为 5，其中 3 个“1”。这时可能编成的不同码组数目等于从 5 中取 3 的组合数 10，这 10 个许用码组恰好可表示 10 个阿拉伯数字，如表 1 所示。而每个汉字又是以四位十进制数来代表的。实践证明，采用这种码后，我国汉
13、字电报的差错率大为降低。 差错控制编码 2022-5-29通信原理表表 1 3 2 恒比码恒比码 差错控制编码 2022-5-29通信原理分组码是一组固定长度的码组，可表示为(n,k)，通常它用于前向纠错。在编码时，k位信息码元按一定规则被编码成码长为n的码组，而nk个监督位的作用就是实现检错与纠错。这样，一个k比特信息的分组码可以映射到一个码长为n的码组上。当监督码元与信息码当监督码元与信息码元之间为线性关系时，则称为线性分组码元之间为线性关系时，则称为线性分组码。 7.3 线线 性性 分分 组组 码码 差错控制编码 2022-5-29通信原理 现以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特点
14、。设其码字为A=a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0，其中前 4 位是信息元，后 3 位是监督元， 可用下列线性方程组来描述该分组码，产生监督元。 346035614562aaaaaaaaaaaa差错控制编码 2022-5-29通信原理表表 2 (7,4)码的码字表码的码字表 差错控制编码 2022-5-29通信原理7.3.2 监督矩阵监督矩阵H和生成矩阵和生成矩阵G 差错控制编码 2022-5-29通信原理 其中,P为rk阶矩阵，Ir为rr阶单位矩阵。可以写成H=P Ir形式的矩阵称为典型监督矩阵。 HAT=0T，说明H矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用来作为判断接收码字A是否出错的依据
15、。 并简记为 差错控制编码 2022-5-29通信原理若把监督方程补充为下列方程 差错控制编码 2022-5-29通信原理可改写为矩阵形式 差错控制编码 2022-5-29通信原理1101000101010001100101110001GQIGkTPQ110101011111差错控制编码 2022-5-29通信原理043(2(13456TTTKTKrHAb、GaaaaAAGa、GHAPQQPnkQIPIGnrIPH产生成矩阵给出信息码元，可由生产生或可由、码字、列）行、生成矩阵列）行、监督矩阵总结：差错控制编码 2022-5-29通信原理编码电路：是偶校验电路的延拓,346035614562a
16、aaaaaaaaaaa a1 a221 a3 a4 a5 a6 a0 a6 a5 a4 a3 即有三个校正子 S1、S2、S3 差错控制编码 2022-5-29通信原理解码电路1、数学分析、数学分析a、先判断码字有没有出错b、计算校正子，然后确定错误图样并加以纠正。0;034631356224561SaaaaSaaaaSaaaaS正确情况下，校正子规则：差错控制编码 2022-5-29通信原理伴随式伴随式(校正子校正子)S 设发送码组A=an-1,an-2,a1,a0，在传输过程中可能发生误码。接收码组B=bn-1,bn-2,b1,b0，则收发码组之差定义为错误图样错误图样E， 也称为误差矢量
17、， 即 ABE其中E=en-1,en-2,e1,e0，且 10ie当bi=ai 当biai 差错控制编码 2022-5-29通信原理也可写作 EAB令S=BHT，称为伴随式或校正子。 字中减去错误图样。接收端就是从收到的码系，间有确定的线性变换关与错误图样校正子ESEHHEABHSTTT)(ABE差错控制编码 2022-5-29通信原理表表 3 (7,4)码码S与与E的对应关系的对应关系 差错控制编码 2022-5-29通信原理6b5b4b3b校正子计算器3-8 译码器6a5a4a3a2b1b0b3S2S1S误码指示2、具体解码电路、具体解码电路 差错控制编码 2022-5-29通信原理线性分
18、组码的主要性质如下： （1）任意两许用码之和仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性； （2）码组间的最小码距等于非零码的最小码重。 差错控制编码 2022-5-29通信原理汉明码汉明码 汉明码是一种能够纠正单个错误的线性分组码。它有以下特点： （1）无论码长n为多少，汉明码最小码距dmin3，可纠正一位错误； （2）码长n与监督元个数r之间满足关系式： ，且r2。 通常二进制汉明码可以表示为： 例如上面介绍的(7,4)线性分组码就是一种汉明码。用来纠正单个错误时，汉明码所用的监督码元个数最少，效率最高。12 rnrknrr1212,差错控制编码 2022-5-29通信原理（n, k)汉明
19、码的设计寻找H=？满足例例：码长n=15的汉明码监督位为多少？编码效率为多少？求出H。解：nr121511; 4, 41512nkrrnr编码效率即有四个校正子取差错控制编码 2022-5-29通信原理排列。中不能出现；从小到大中已有的校正子组合在以上即无错校正子PIIPHSSSSccccaaaaaaaaaaarr0100011011010101001001011011001100010011100011110000100001111111432143111110987654321差错控制编码 2022-5-29通信原理循环码是另一类重要的线性分组码，它除了具有线性码的一般性质外，还具有循环性
20、，即循环码组中任一码组循环码组中任一码组(全全“0”码组除外码组除外)循环移位所得的码组仍为该循环码中的循环移位所得的码组仍为该循环码中的一个许用码组一个许用码组。具体来说，对一码组左移、右移，无论循环移动多少位得到的结果均为该循环码中的一个码字。循环码的编码与解码电路比较简单，用反馈寄存器就可以实现。其纠错能力也较强，因此在实际中应用较广泛。7.4 循循 环环 码码 差错控制编码 2022-5-29通信原理表表 4 (7,3)循环码循环码 的全部码字的全部码字序号循环左移信息码元监督码元序号循环左移信息码元监督码元a6 a5 a4a 3 a 2 a 1 a 0a6 a5 a4a 3 a 2
21、a 1 a 000 0 00 0 0 04 6次1 0 01 1 1 01 0次0 0 11 1 0 15 4次1 0 10 0 1 1 2 5次0 1 00 1 1 16 3次1 1 01 0 0 1 3 1次0 1 11 0 1 07 2次1 1 10 1 0 0差错控制编码 2022-5-29通信原理 1 1、为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多项式来表示，这个多项式被称为码多项式，对于许用循环码A=(an-1 an-2 a1 a0)，可以将它的码多项式码多项式表示为： xi是码元位置的标记，表示其系数所对应的码元在码字中所处的位置。例如表4中序号为5的码字可以用码多项式A5(
22、x)=x6 + x4 + x + 1来表示。 2、若一个整数m可以表示为:则在模n运算下，有mp（模n）。 012211axaxaxaxAnnnn是整数QnpnpQnm差错控制编码 2022-5-29通信原理同样对于多项式而言：则可以写为：F(x)R(x) （模（模N(x)）。 式中Q(x)为商，r(x)为幂次低于n的余式。则在按模xn+1运算下，A(x)r(x)。例如：x3被x3+1除余1，则按模x31运算时x31。 同理 按模x31运算时x4+x2+1x2+x+1。 3、在循环码中，若在循环码中，若A(x)是一个长为是一个长为n的许用码组，则在按模的许用码组，则在按模 运算运算（除法运算）
23、（除法运算）下，下，xi A(x)（即左移（即左移i 位）的余式位）的余式亦是一个许用码组。亦是一个许用码组。例如， 其对应的码组为0011101，它正是表4中第1码字。 xNxRxQxNxF1nx 1117234347946353xxxxxxxxxxxxxAx模差错控制编码 2022-5-29通信原理7.4.1 生成多项式及生成矩阵生成多项式及生成矩阵 如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称g(x)为该码的生成多项式为该码的生成多项式。在(n,k)循环码中任意码多项式A(x)都是最低次码多项式的倍式。最低次的码多项式就是生成多项最低次的码多项式就是生成多项式。式。 1、生成多
24、项式生成多项式g(x)的特性 （1）g(x)是一个常数项为1的最高次数位r =nk的多项式； （2）g(x)是xn+1的一个因式； （3）该循环码中其它码多项式都是g(x)的倍式。 最低次的码多项式就是生成多项式。如表 4 的(7,3)循环码中， 1)()(2341xxxxAxg差错控制编码 2022-5-29通信原理其它码多项式都是g(x)的倍式， 即 码多项式码多项式 对应码组对应码组g(x)= x4 +x3 +x2+ 1 0011101x g(x)= x5 + x4 + x3 +x 0111010 x2g(x)= x6 + x5 + x4 + x2 1110100 x3g(x)= x7
25、+ x6 + x5 + x3 = x6 + x5 + x3 + 1 1101001x4g(x)= x8 + x7 + x6+ x4 = x6+ x4 + x +1 1010011x5g(x)= x9 + x8+ x7+ x5= x5+ x2+x + 1 0100111x6g(x)= x10+ x9+ x8+ x6= x6 +x3+ x2 + x 1001110差错控制编码 2022-5-29通信原理2、如何寻找一个、如何寻找一个g(x)对对xn+1作因式分解，取其中的作因式分解，取其中的r次因子，就是该循环码的生次因子，就是该循环码的生成多项式成多项式g(x)。例如：对于(7，3)循环码，n7
26、，r4。将x7+1分解得：x7+1(x+1)(x3+x2 +1)(x3+x+1)。g(x)可以有二种取法：g(x)(x+1)(x3+x2 +1)x4 +x2 +x+1， 或 g(x)(x+1) (x3+x+1)x4 +x3 +x2+ 1。可见，生成多项式并不是惟一的可见，生成多项式并不是惟一的，后者就是上例中(7,3)循环码的生成多项式。也可以将g(x)x4 +x2 +x+1作为生成多项式，得到另一组(7,3)循环码。一旦一旦g(x)确定，则确定，则(n，k)循环码的所有码字就确定了循环码的所有码字就确定了。由g(x)左移(乘xi，i=1,2, n-1)就可以产生其它码字的码多项式。差错控制编
27、码 2022-5-29通信原理3、循环码的生成矩阵、循环码的生成矩阵常用多项式的形式来表示 1)(111xgxgxxgrrr)()()()()(21xgxxgxgxxgxxGkk差错控制编码 2022-5-29通信原理4、对于循环码，同样有：0QIPIGMGAIPHHAKTKrT差错控制编码 2022-5-29通信原理例如：(7,3)循环码，n=7, k=3, r=4, 其生成多项式及生成矩阵分别为 差错控制编码 2022-5-29通信原理rTkiiIPHPIG1000110010001100101110001101101110011100100111001101110001011100111
28、0012312进行初等行变换对差错控制编码 2022-5-29通信原理7.4.2 监督多项式及监督矩阵监督多项式及监督矩阵 为了便于对循环码编译码，通常还定义监督多项式， 令 1)(1)(111xhxhxxgxxhkkkn其中g(x)是常数项为 1 的r次多项式，是生成多项式；h(x)是常数项为 1 的k次多项式，称为监督多项式。 h*(x)是h(x)的逆多项式。 同理，可得监督矩阵H (x)(*)(*)(*)(1xhxxhxhxxHkn1)(12211xhxhxhxxhkkkk差错控制编码 2022-5-29通信原理例如：(7，3)循环码，g(x)=x4+x3+x2+1，则 1)(*1)(1
29、)(3237xxxhxxxgxxh1)(324235346xxxxxxxxxxxxH结果一致变换得到的与从行变换HGIPHr10001100100011001011100011011101000011010000110100001101差错控制编码 2022-5-29通信原理一、循环码的编码1、数学分析 构造系统循环码时，只需将信息码多项式升(n-k)阶(乘以xn-k )，然后以g(x)为模，即除以g(x)，所得余式R(x)即为监督码元。因此，系统循环码的编码过程就变成用除法求余的问题。7.4.3 编码方法和电路编码方法和电路 差错控制编码 2022-5-29通信原理 在编码时，首先要根据给定
30、的(n,k)值选定生成多项式g(x)，即应在xn+1的因式中选一个r=n-k次的多项式作为g(x)。设编码前的信息多项式m(x)为 12321)(kkxaxaxaaxm循环码的码多项式可表示为 )()()(xRxmxxAr编码步骤：1）用xn-k乘m(x)，即左移r位。这一运算实际上是把信息码后附加上(n-k)个“0”，空出的位存放余数。差错控制编码 2022-5-29通信原理2）求余式r(x)。用g(x)除xn-km(x) 得商式和余式由于循环码多项式A(x)都可以被g(x)整除，也就是：上式等效于：这样我们就得到了r(x)。3）编码输出系统循环码多项式A(x)为： xgxrxgxmxxgx
31、rxmxxQxgxAknkn xgxrxQxgxmxkn xrxmxxAkn差错控制编码 2022-5-29通信原理2、编码电路的实现 编码电路的主体是模2除法电路，可以由移位寄存器和模2加法电路实现。 对上述的(7,3)循环码，g(x)x 4+x3+x2+1时的编码器如下图所示。移位寄存器的级数等于g(x)的最高幂次r；若将g(x)写成g(x)g4 x 4+g3 x3+g2 x2+g1 x+g0，则g(x)的各次非零系数g4、g3、g2、g1、g0对应移位寄存器的反馈抽头。 门 2 g0=1 g2=1 g3=1 g4=1 D3 D2 D1 D0 门 1 1 编码输出 m(x) 差错控制编码
32、2022-5-29通信原理表表 5 (7,3)循环码的编码过程循环码的编码过程 （设输入信码（设输入信码110） 编码过程编码过程：首先移位寄存器清零；3位信息码元输入时，门1断开，3位信息码元在3个码元周期内直接从“或”门输出；同时门2接通，3位信息码元输入到除法电路作运算。第4个码元周期到来后，门2断开，门1接通，将除法电路的4位运算结果在第47码元周期中从“或”门输出。 差错控制编码 2022-5-29通信原理 以g(x)=x4+x3+x2+1为例，用D触发器构成移位寄存器，实现循环码编码。 门2 g0=1 g2=1 g3=1 g4=1 D3 D2 D1 D0 门1 1 编码输出 m(x
33、) 门2 g0=1 g2=1 g3=1 g4=1 D3 Q3 D2Q2 D1 Q1 D0Q0 门1 1 编码输出 cp m(x) 差错控制编码 2022-5-29通信原理nnnnnnnnnnQQMDQQQMDQQDQQMDQ100102011132120313方程：建立移位寄存器的状态 门 2 g0=1 g2=1 g3=1 g4=1 D3 Q3 D2Q2 D1 Q1 D0Q0 门 1 1 编码输出 cp m(x) 差错控制编码 2022-5-29通信原理根据以上四个状态方程，可得如下真值表：。，即得到，即得到余式）后，除位（乘，左移信码，即时钟后得到因此，经三个100111010011, 1)
34、(4)(11010011101001010100101101111011000013234426131211103210 xxxxxgxrxxAcpQQQQQQQQMnnnnnnnn差错控制编码 2022-5-29通信原理二、循环码的译码二、循环码的译码接收端译码的目的是检错和纠错，循环码的译码或纠错可按下述步骤进行： 检错：由于任一码多项式A(x)都能被生成多项式g(x)整除，所以当接收码组为B(x) B(x)，可以作B(x)/g(x)，若能除尽即余式R(x)为0，则表示传输无错码；若余式R(x)不为0，则有错码。 错码定位：按余式R(x)用查表的方法或通过计算校正子S得到错误图样E(x)，
35、就可以确定错码位置。 纠错：从B(x)中减去E(x)，便得到已纠正错误的原发送码组A(x)，A(x)B(x)E(x)。对于模2运算，减运算与加运算相同，即A(x)B(x)E(x)差错控制编码 2022-5-29通信原理 输入 校 正 子 计 算 电 路 1 2 n-k k 级 缓 冲 器 图 (7,3)循环码的译码原理电路 错 误 图 样 识 别 纠错后输出 差错控制编码 2022-5-29通信原理译码电路译码电路 C4 C3 C2 C1 a3 a2 R1 a1 R2 R3 R3 R4 R4 R1 R2 非 非 非 反馈移位 寄存器 校正 信号 S 接收 码组 除法运算 开关断开 （7,3）循
36、环码译码电路 除法 电路 差错控制编码 2022-5-29通信原理上图(7,3)码循环码译码电路以g(x)x 4+x2+x+1为生成多项式，其译码过程如下：1、接收到的码组B(x)送到7个寄存器中，得到a1a2a3c1c2c3c4；2、另将B(x)做除法运算，看能否除尽，余数c1c2c3c4依次存入除法器的R4、R3、R2、R1中，若余数为0，则无错；3、将开关合上，余数传递给下级的反馈移位寄存器；4、将信号送入与门运算即输出校正子。校正子S与码字异或后得到校正。差错控制编码 2022-5-29通信原理译码原理以生成多项式g(x)x 4+x2+x+1为例说明译码原理。1、经传输后码字B(x)没
37、有误码。除法器的R4、R3、R2、R1中余数均为零，即校正子S=0，码组无需校正。2、 B(x)经传输后，产生了一位随机误码。设码多项式B(x)= x6+x3+x+1，即a1a2a3c1c2c3c4=1001011（1）若a1有错，其余无错，则：接收到的码字为B(x)= 0001011，将B(x)左移4位后，送到除法电路运算，得到余数c1c2c3c4=1000。差错控制编码 2022-5-29通信原理（2）若a2有错，其余无错，则：接收到的码字为B(x)= 1101011，将B(x)左移4位后，送到除法电路运算，得到余数c1c2c3c4=0100。（3）若a3有错，其余无错，则：接收到的码字为
38、B(x)= 1011011，将B(x)左移4位后，送到除法电路运算，得到余数c1c2c3c4=0010。（4）若c1有错，其余无错，则：接收到的码字为B(x)= 1000011，将B(x)左移4位后，送到除法电路运算，得到余数c1c2c3c4=0001。差错控制编码 2022-5-29通信原理（5）若c2有错，其余无错，则：接收到的码字为B(x)= 1001111，将B(x)左移4位后，送到除法电路运算，得到余数c1c2c3c4=1011。（6）若c3有错，其余无错，则：接收到的码字为B(x)= 1001001，将B(x)左移4位后，送到除法电路运算，得到余数c1c2c3c4=1110。（7）
39、若c4有错，其余无错，则：接收到的码字为B(x)= 1001010，将B(x)左移4位后，送到除法电路运算，得到余数c1c2c3c4=0111。差错控制编码 2022-5-29通信原理nnnnnnnnnnQDQQQDQQQDQQDQD411114212243133414：寄存器，其状态方程为触发器构造反馈移位若用差错控制编码 2022-5-29通信原理1001111111010111101110111111001110001101110001011010100111100001011111100011011001011010000100100010110001000100000000001)(
40、11121314123424nnnnnnnnQQQQQQQQxxxxg反馈移位寄存器真值表 C1C2C3C4= 1000 a1错 0111 C4错 1110 C3错 1011 C2错 0010 a3错 0001 C1错 0100 a2错 移位 一次 差错控制编码 2022-5-29通信原理根据出错的位置，余数相应位送到与门，得到校正子根据出错的位置，余数相应位送到与门，得到校正子S，从而纠正相应位的错从而纠正相应位的错。例：（1）若a1有错，其余无错，则余数c1c2c3c4=1000，余数分别送到反馈移位寄存器R4、R3、R2、R1中， R4输出直接送到与门， R3、R2、R1输出经非门后送到
41、与门，则与门输出S=1，正好与接收到码组B(x)的a1异或运算，纠正a1的错。（2）若a2有错，其余无错，则余数c1c2c3c4=0100，该余数正好移位一次后变为a1错的余数，而收到的码组a1a2a3c1c2c3c4移位一次后， a2正好移到了a1的位置。与门输出S=1，正好与接收到码组B(x)的a2异或运算，纠正a2的错。差错控制编码 2022-5-29通信原理（3）若a3有错，其余无错，则余数c1c2c3c4=0010，该余数正好移位二次后变为a1错的余数，而收到的码组a1a2a3c1c2c3c4移位二次后， a2正好移到了a1的位置。与门输出S=1，正好与接收到码组B(x)的a3异或运
42、算，纠正a3的错。其它译码方式可参考西安电子科技大学的纠错编码等资料。差错控制编码 2022-5-29通信原理实用的循环纠错编码有实用的循环纠错编码有：（1）CRC码(循环冗余校验码)，这是一种广泛应用于检错的循环码。其中CRC-16的g(x)x16 +x15 +x2+1，CRC-CCITT的g(x)x16 +x12 +x5+1。（2）BCH码：能够纠正多个随机错误的循环码。应用广泛并且很有效。这种编码可以根据要求的纠错个数t和码长n，获得生成多项式g(x)。例：t=1，n=7，为 (7,4)BCH码(也属于汉明码中的一种)。查表得本原BCH码的g(x)参数为13(表中数据为八进制)，对应二进
43、制1011，则g(x)x 3 + x+1。差错控制编码 2022-5-29通信原理部分本原BCH循环码表nk t参数(八进制)g(x)7 4 1 13x 3 + x+115 11 1 23x 4 + x+115 7 2 721x 8 + x 7 + x 6 + x4+115 5 3 2467x 10 + x 8 +x 5 + x 4 + x 2 + x+131 26 1 45x 5 + x2+131 21 2 3551x 10 + x 9 +x 8 + x 6 + x 5 + x3+131 16 3 107657x 15+x11+x10+x 9+x 8+x 7+x 5+x 3 +x 2+x+1
44、31 11 55423325 31 6 7313365047 63 57 1103 63 51 212471 63 45 31701317 差错控制编码 2022-5-29通信原理7.5 卷卷 积积 码码 7.5.1 基本概念基本概念 图 7-5 卷积码(2,1,2)编码器 m1m2数据输入码字输出S1S2S3C1C2差错控制编码 2022-5-29通信原理 起始状态，各级移位寄存器清零，即S1S2S3为000。S1等于当前输入数据，而移位寄存器状态S2S3存储以前的数据，输出码字C由下式确定 3123211SSCSSSC表 7-6 (2,1,2)编码器的工作过程 差错控制编码 2022-5-
45、29通信原理7.5.2 卷积码的描述卷积码的描述 1. 树图树图 图图 7-6 (2,1,2)码的树图码的树图 a1100abb0110cdc0011abd1001cd0010a1101ba0011a1100abb0110cdc0011abd1001cd1101c0010db1001a1100数码起点状态a00b01c10d11上半部下半部数码1101差错控制编码 2022-5-29通信原理2. 状态图状态图 图 7 -7 (2,1,2)码的状态图 a00b01c10d11cbad0101111100100010差错控制编码 2022-5-29通信原理3. 格图格图 图 7-8 (2,1,2)
46、码的格图 a00起点aaaaaabbbccccbbcbddddd000000000000000000100101010101010110101010111111111111101010100101差错控制编码 2022-5-29通信原理7.5.3 卷积码的译码卷积码的译码 1. 维特比译码维特比译码 图图 7-9 维特比译码格图维特比译码格图 图79起点d80100(4)cba700(3)6500(3)4300(3)200(2)10 00(1)级11(1)11(3)11(3)11(3)10(2)10(4)00(3)01(3)01(3)10(3)10(3)10(3)01(1)01(1)01(5)
47、00(2)11(2)收码01011010010001解码11010000差错控制编码 2022-5-29通信原理 2. 序列译码序列译码 当m很大时，可以采用序列译码法。 其过程如下： 译码先从码树的起始节点开始，把接收到的第一个子码的n个码元与自始节点出发的两条分支按照最小汉明距离进行比较， 沿着差异最小的分支走向第二个节点。在第二个节点上，译码器仍以同样原理到达下一个节点，以此类推，最后得到一条路径。若接收码组有错，则自某节点开始，译码器就一直在不正确的路径中行进，译码也一直错误。因此，译码器有一个门限值，当接收码元与译码器所走的路径上的码元之间的差异总数超过门限值时，译码器判定有错，并且
48、返回试走另一分支。经数次返回找出一条正确的路径，最后译码输出。 差错控制编码 2022-5-29通信原理*7.6 网格编码调制网格编码调制(TCM) 网络编码调制(Trellis Coded Modulation, 缩写为TCM)技术。它是利用编码效率为n/(n+1)的卷积码，并将每一码段映射为2n+1个调制信号集中的一个信号。在收端信号解调后经反映射变换为卷积码， 再送入维特比译码器译码。它有两个基本特点： (1) 在信号空间中的信号点数目比无编码的调制情况下对应的信号点数目要多，这些增加的信号点使编码有了冗余，而不牺牲带宽。 (2) 采用卷积码的编码规则，使信号点之间引入相互依赖关系。仅有
49、某些信号点图样或序列是允许用的信号序列，并可模型化成为网格状结构，因此又称为“格状”编码。 差错控制编码 2022-5-29通信原理图图 7 10 8PSK信号空间的集合划分信号空间的集合划分 10110100101001d2d011170113101500111106010210040000d2 2d1d1 2d02sin( ) 2 28差错控制编码 2022-5-29通信原理 图 7-10 画出了一种 8PSK信号空间的集合划分，所有 8 个信号点分布在一个圆周上，都具有单位能量。连续 3 次划分后， 分别产生 2, 4, 8 个子集，最小欧氏距离逐次增大， 即 210ddd差错控制编码 2022-5-29通信原理图 7 11 TCM编码调制器方框图 卷积码编码器 从子集中 选择信号 选择子集剩余未编码数据比特未编码数据比特信号点信号映射差错控制编码 2022-5-29通信原理图 7 -12 4状态编码方案 D2D10 1 2 3 4 5 6 70 1 0 1 0 1 0 10 0 1 1 0 0 1 10 0 0 0 1 1 1 1输入最大有效位输出效率为1/2的卷积码编码器(a)(b)编码器状态00100111101001111111110011101001100000110010110010100000001010000000
