1、 二项式定理二项式定理 浙江黄岩中学浙江黄岩中学 赵国藩赵国藩指导教师：管西郎指导教师：管西郎问题问题1 4个容器中有红、蓝玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？都不取蓝球都不取蓝球 （全取红球）：（全取红球）： 取取1个蓝球个蓝球 （1蓝蓝3红）红） ： 取取2个蓝球个蓝球 （2蓝蓝2红）红） ： 取取3个蓝球个蓝球 （3蓝蓝1红）红） ： 取取4个蓝球个蓝球 （无（无 红球）红球） ： )(1434CC)(4404CC)(2424CC)(3414CC)(0444CCmnnCmnC11mnmnmnCCC 不作多项式运算，用不作多项式运算，用组合知识组合知
2、识来考来考察，展开察，展开)()()(babababa展开式中有哪些项？各项系数各是什么？展开式中有哪些项？各项系数各是什么？43223444433422243144044464)(babbabaabCabCbaCbaCaCba问题2取4个a球 （不取 b球） ： 取3个a球 （取3 a 1 b） ： 取2个a球 （取2 a 2 b） ：取1个a球 （取1 a 3 b） ： 不取 a球 （全取b球） ： )(1434CC)(4404CC)(2424CC)(3414CC)(0444CC111111111112334465510101166151520 6543210bababababababa
3、（a+b）的）的n次方展开式的系数的规律次方展开式的系数的规律杨辉简介v 南宋末年钱塘人，是当时有名的数学家南宋末年钱塘人，是当时有名的数学家 和教育家，杨辉一生编写的数学书很多，和教育家，杨辉一生编写的数学书很多， 但散佚严重。但散佚严重。 杨辉生活在浙江杭州一带，曾当过地方官，杨辉生活在浙江杭州一带，曾当过地方官， 到过苏州、台州等地，他每到一处都会有人到过苏州、台州等地，他每到一处都会有人慕名前来慕名前来 请教数学问题。请教数学问题。 本节课的课题本节课的课题二项式定理二项式定理就是研就是研究究 （a+b）的平方，（）的平方，（a+b）的三次方）的三次方 （a+b）的）的n次方的乘法展开
4、式的规律，次方的乘法展开式的规律， 法国数学家帕斯卡在法国数学家帕斯卡在17世纪发现了它，国外世纪发现了它，国外把这一规律称为帕斯卡三角。其实，我国数学把这一规律称为帕斯卡三角。其实，我国数学家杨辉早在家杨辉早在1261年在他的年在他的详解九章算法详解九章算法中就有了相应的图表。中就有了相应的图表。猜想：猜想： 没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。 -牛顿牛顿 nba)(nnnrrnrnbbaCC 222110baCbaCaCnnnnnn_?_)( nba 二项式定理的证明二项式定理的证明 数学归纳法数学归纳法 成成立立时时，显显然然有有当当bC
5、aCban110111 kkkrrkrkkkkkkbCbaCbaCaCba 110 等等式式成成立立，即即假假设设kn 2 bababaknkk 11时时，当当11111111101 kkkrrkrkkkkkbCbaCbaCaC证:需要证明需要证明证毕证毕 bababaknkk 11时时，当当 111211011110110)( kkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaCbaCabCbaCbaCaCbabCbaCbaCaC11110110)()()( kkkkkkkkrrkrkrkkkkkkbCabCCbaCCbaCCaC1111111
6、11101 kkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaCaC 该公式所表示的定理叫做二项式定理，该公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的右边的多项式叫做的 展开式，其中展开式，其中的系数的系数 叫做二项式系数。叫做二项式系数。式中式中 的叫做二项式通项，用的叫做二项式通项，用 表示，即通项为展开式的第表示，即通项为展开式的第 项。项。 nba)( nrCrn, 2 , 1 , 0rrnrnbaC1rT1rnba)(222bannCbaannnnCC110nnnrrnrnbbaCC课堂练习课堂练习的展开式）写出（71. 1q 的展开式）写出（nx 1. 2的展开式）写出（nb
7、a . 3 7)1 (q76543272135352171qqqqqqq nx)1 ( 22xCnxCn11 nnnrrnxxCC nba)( 222bannCbaannnnCC110 nnnnrrnrnbbarCC11 课堂练习课堂练习的的展展开开式式的的第第三三项项）求求（632. 4yx 的的展展开开式式的的第第三三项项）求求（623. 5xy 的的二二项项式式系系数数的的展展开开式式的的第第三三项项）求求（632. 6ba 的的展展开开式式的的第第三三项项）求求（632. 4yx 2422626123216032yxyxCTT 通通项项知知解解：由由二二项项式式展展开开式式的的练习解答
8、练习解答的的展展开开式式的的第第三三项项）求求（623. 5xy 2422626123486023xyxyCTT 通通项项知知解解：由由二二项项式式展展开开式式的的练习解答练习解答的的二二项项式式系系数数的的展展开开式式的的第第三三项项）求求（632.6ba 2422626123216032babaCTT 通通项项知知解解：由由二二项项式式展展开开式式的的2160,15,26数数为为而而展展开开式式的的第第三三项项的的系系第第三三项项的的二二项项式式系系数数为为展展开开式式的的由由二二项项式式系系数数定定义义知知 C 项数：共项数：共n+1项项,是关于是关于a与与b的齐次多项式的齐次多项式 指
9、数指数:a的指数从的指数从n逐项递减到逐项递减到0,是降幂排列；是降幂排列； b的指数从的指数从0逐项递增到逐项递增到n，是升幂排列。，是升幂排列。的特点：的展开式通项rrnrnrnbabaCT 1)( nba)(nnnrrnrnbbaCC 222110baCbaCaCnnnnnn小结小结： 再再 见见作业: P253 (1)，(2) 长久以来，一颗流浪的心忽然间找到了一个可以安歇的去处。坐在窗前，我在试问我自己：你有多久没有好好看看这蓝蓝的天，闻一闻这芬芳的花香，听一听那鸟儿的鸣唱？有多久没有回家看看，听听家人的倾诉？有多久没和他们一起吃饭了，听听那年老的欢笑？有多久没与他们谈心，听听他门的
10、烦恼、他们的心声呢？是不是因为一路风风雨雨， 而忘了天边的彩虹？是不是因为行色匆匆的脚步，而忽视了沿路的风景？除了一颗疲惫的心，麻木的心，你还有一颗感恩的心吗？不要因为生命过于沉重，而忽略了感恩的心！ 也许坎坷，让我看到互相搀扶的身影； 也许失败，我才体会的一句鼓励的真诚； 也许不幸，我才更懂得珍惜幸福。 生活给予我挫折的同时，也赐予了我坚强，我也就有了另一种阅历。对于热爱生活的人，它从来不吝啬。 要看你有没有一颗包容的心，来接纳生活的恩赐。酸甜苦辣不是生活的追求，但一定是生活的全部。试着用一颗感恩的心来体会，你会发现不一样的人生。不要因为冬天的寒冷而失去对春天的希望。我们感谢上苍，是因为有了
11、四季的轮回。拥有了一颗感恩的心，你就没有了埋怨，没有了嫉妒，没有了愤愤不平，你也就有了一颗从容淡然的心！ 我常常带着一颗虔诚的心感谢上苍的赋予，我感谢天，感谢地，感谢生命的存在，感谢阳光的照耀，感谢丰富多彩的生活。 清晨，当欢快的小鸟把我从睡中唤醒，我推开窗户，放眼蓝蓝的天，绿绿的草，晶莹的露珠，清清爽爽的早晨，我感恩上天又给予我一个美好的一天。 入夜，夜幕中的天空繁星点点，我打开日记，用笨拙的笔描画着一天的生活感受，月光展露着温柔的笑容，四周笼罩着夜的温馨，我充满了感恩，感谢大地赋予的安宁。 朋友相聚，酒甜歌美，情浓意深，我感恩上苍，给了我这么多的好朋友，我享受着朋友的温暖，生活的香醇，如歌
12、的友情。 走出家门，我走向自然。放眼花红草绿，我感恩大自然的无尽美好，感恩上天的无私给予，感恩大地的宽容浩博。生活的每一天，我都充满着感恩情怀，我学会了宽容，学会了承接，学会了付出，学会了感动，懂得了回报。用微笑去对待每一天，用微笑去对待世界，对待人生，对待朋友，对待困难。所以，每天，我都有一个好心情，我幸福的生活着每一天。 我感恩，感恩生活，感恩网络，感恩朋友，感恩大自然，每天，我都以一颗感动的心去承接生活中的一切。 我感谢 感谢伤害我的人，因为他磨练了我的心志； 感谢欺骗我的人, 因为他增进了我的见识； 感谢遗弃我的人, 因为他教导了我应自立； 感谢绊倒我的人，因为他强化了我的能力； 感谢
13、斥责我的人，因为他助长了我的智慧； 感谢藐视我的人，因为他觉醒了我的自尊； 感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛； 感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会； 感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福; 感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热； 感谢天上所有的星，与我一起迎接每一个黎明和黄昏。 感谢我爱的人和爱我的人，使我的生命不再孤单； 感谢我的敌人，让我认识自己和看清别人； 感谢鲜花的绽
14、放， 绿草的如茵，鸟儿的歌唱， 让我拥有了美丽，充满生机的世界； 感谢日升，让我在白日的光辉中有明亮的心情； 感谢日落，让我在喧嚣疲惫过后有静夜可依。 感谢快乐，让我幸福地绽开笑容，在美好生活着； 感谢伤痛，让我学会了坚忍，也练就了我释怀生命之起落的本能； 感谢生活，让我在漫长岁月的季节里拈起生命的美丽； 感谢有你，尽管远隔千里，可你寒冬里也给我温暖的心怀； 感谢关怀，生命因你而多了充实与清新； 感谢所有的一切 感谢我身边每一位好友，为你祝福，为的敲起祈祷钟！伴你走过每一天。他是一个劫匪，坐过牢，之后又杀了人，穷途末路之际他又去抢银行。 是一个很小的储蓄所。抢劫遇到了从来没有过的不顺利，两个女
15、子拼命反抗，他把其中一个杀了，另一个被劫持上了车。因为有人报了警，警车越来越近了，他劫持着这个女子狂逃，把车都开飞了，撞了很多人，轧了很多小摊。 这个刚刚21岁的女孩子才参加工作，为了这份工作，她拼命读书，毕业后又托了很多人，没钱送礼，是她哥卖了血供她上学为她送礼，她父母双亡，只有这一个哥哥。 她想她真是命苦，刚上班没几天就遇到了这样恐怖的事情，怕是没有生还的可能了。 终于他被警察包围了，所有的警察让他放下枪，不要伤害人质，他疯狂地喊着：“我身上好几条人命了，怎么着也是个死，无所谓了。”说着，他用刀子在她颈上划了一刀。 她的颈上渗出血滴。她流了眼泪，她知道自己碰上了亡命徒，知道自己生还的可能性
16、不大了。 “害怕了？”劫匪问她。 她摇头：“我只是觉得对不起我哥。” “你哥？”“是的，”她说，“我父母双亡，是我哥把我养大，他为我卖过血，供我上学，为了我的工作送礼，他都二十八了，可还没结婚呢，我看你和我哥年龄差不多呢。” 劫匪的刀子在她脖子上落了下来，他狠着心说：“那你可真是够不幸的。” 围着他的警察继续喊话，他无动于衷，接着和她说着她哥。他身上不仅有枪，还有雷管，可以把这辆车引爆，但他忽然想和人聊聊天，因为他的身世也同样不幸，他的父母早离了婚，他也有个妹妹，他妹妹也是他供着上了大学，但他却不想让他妹妹知道他是杀人犯！ 她和他讲着小时候的事，说她哥居然会织手套，在她13岁来例假之后曾经去找
17、一个20多岁的女孩子帮她，她一边说一边流眼泪。他看着前方，看着那些喊话的警察，再看着身边讲述的女孩，他忽然感觉尘世是那么美好，但一切已经来不及了。 他拿出手机，递给她：“来，给你哥打个电话吧。” 她平静地接过来，知道这是和哥哥最后一次通话了，所以，她几乎是笑着说：“哥，在家呢？你先吃吧，我在单位加班，不回去了” 这样的生离死别竟然被她说得如此家常，他的妹妹也和他说过这样的话，看着这个自己劫持的人，听着她和自己哥哥的对话，他伏在方向盘上哭了。 “你走吧。”他说。 她简直不敢相信自己的耳朵。 “快走，不要让我后悔，也许我一分钟之后就后悔了！” 她下了车，走了几步，居然又回头看了他一眼。她永远不知道，是她那个家常电话救了她，那个电话，唤醒了劫匪心中最后仅存的善良，那仅有的一点善良，救了她的命！ 她刚走到安全地带，便听到一声枪响，回过头去，她看到他倒在方向盘上。 劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。” 她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
