1、2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系1第十三章第十三章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路和信号的频谱和信号的频谱13-1 13-1 非正弦周期信号非正弦周期信号13-2 13-2 非正弦周期函数分解为非正弦周期函数分解为Fourier级数级数13-3 13-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率13-4 13-4 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算* *13-5 13-5 对称三相电路中的高次谐波对称三相电路中的高次谐波* *13-6 13-6 Fourier级数的指数形式级数的指数形式* *13-7 13-7 Fourier积分简介
2、积分简介2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系213-1 13-1 非正弦周期信号非正弦周期信号1. 定义定义2. 特点特点(1) (1) 不是正弦波；不是正弦波； (2) (2) 按周期规律变化按周期规律变化)()(kTtftf 不按正弦规律变化的周期信号称为非正弦周期信号。不按正弦规律变化的周期信号称为非正弦周期信号。其中，其中，T为周期函数为周期函数f( (t) )的周期，的周期，k =1,2,=1,2,。2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系3例例1 1：半波整流电路的输出信号。：半波整流电路的输出信号。3.3.举例举例iu0Ttou
3、0Ttiu+-ou+-2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系4例例2：数字电路中的脉冲信号。：数字电路中的脉冲信号。uT0t2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系513-2 13-2 非正弦周期函数分解为非正弦周期函数分解为Fourier级数级数1.1.Fourier级数级数 任何满足任何满足狄里赫利（狄里赫利（Dirichlet）条件）条件的函数的函数f (t)，都可以，都可以展开成频率为展开成频率为 （ ，T是是f (t)的周期）整数倍的一系列正的周期）整数倍的一系列正弦量的叠加，即弦量的叠加，即1 T 2 1 0111121211101
4、11( )cos()sin() cos(2)sin(2)cos()sin()cos()sin()kkkkkf taatbtatbtaktbktaaktbkt 上式中的系数可按下列公式计算：上式中的系数可按下列公式计算：2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系6200211( )( )TTTaf t dtf t dtTT10112( )cos()1( )cos()()Tkaf tkt dtTf tkt dt10112( )sin()1( )sin()()Tkbf tkt dtTf tkt dt 这种将一个周期函数展开（或分解）为一系列谐波之和这种将一个周期函数展开（或分解
5、）为一系列谐波之和（即（即Fourier级数）的方法称为级数）的方法称为谐波分析谐波分析。 0111( )cos()sin()kkkf taaktbkt2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系701112121011( )cos()cos(2)cos()cos()mmkmkkmkkf tAAtAtAktAAkt 不难得出上述两种形式系数之间有如下关系：不难得出上述两种形式系数之间有如下关系：00Aa22kmkkAabcoskkmkaAsinkkmkbA arctankkkba 还可合并成另一种还可合并成另一种形式：形式：0111( )cos()sin()kkkf taa
6、ktbkt2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系8 （1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； （2）在一个周期内只有有限个极值点）在一个周期内只有有限个极值点; 当当x是是f (x)的连续点时，级数收敛于的连续点时，级数收敛于f (x)； 当当x是是f (x)的间断点时，级数收敛于的间断点时，级数收敛于 Dirichlet条件：设条件：设f (x)是周期为是周期为T 的周期函数，如果它满足：的周期函数，如果它满足：1 (0)(0)2f xf x则则 f (x) 的的Fourier级数收敛，并且有：级数收敛，并且有：
7、（3）在一个周期内绝对可积，即）在一个周期内绝对可积，即0( )Tf x dx返回返回2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系92. 利用函数的对称性确定利用函数的对称性确定Fourier级数的系数级数的系数（2）偶函数）偶函数 T/2t T/2f(t)( )()f tft（3）奇谐波函数）奇谐波函数( )()2Tf tf t tf (t)T/2T0kb 220kkab T/2t T/2f(t)()( )ft =f t（1）奇函数）奇函数0ka =2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系10例：试判断下图所示波形展开式的特点。例：试判断下图所示波
8、形展开式的特点。f(t)是奇函数，故展开式中只含有正弦分量。是奇函数，故展开式中只含有正弦分量。)3sin()sin(1311tbtbf (t) =解解: 又由于又由于f(t)是奇谐波函数，所以展开式中只含有奇次谐波是奇谐波函数，所以展开式中只含有奇次谐波分量。分量。 综上所述，综上所述，f(t)的展开式应具有以下形式：的展开式应具有以下形式：f(t)0tT2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系113. 频谱频谱 为了表示一个周期函数分解为为了表示一个周期函数分解为Fourier级数后包含哪些级数后包含哪些频率分量以及各分量所占频率分量以及各分量所占“比重比重”，用长
9、度与各次谐波振幅，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率高低顺序把它们依次排列起来，大小相对应的线段，按频率高低顺序把它们依次排列起来，可以得到如下图形，这种图形称为可以得到如下图形，这种图形称为f (t)的频谱（图）。由于的频谱（图）。由于这种频谱只表示各谐波分量的振幅，所以称之为幅度频谱。这种频谱只表示各谐波分量的振幅，所以称之为幅度频谱。1 由于各频谱的角频率是由于各频谱的角频率是 的整数倍，所以这种频谱是的整数倍，所以这种频谱是离散的，有时又称为线频谱。离散的，有时又称为线频谱。14131210kmA1k2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系12例：试将
10、如下周期性方波信号分解为例：试将如下周期性方波信号分解为Fourier级数并画出其级数并画出其频谱图。频谱图。图示方波电流在一个周期内的表达式为：图示方波电流在一个周期内的表达式为：02( )0STIti tTtT m 24. 举例举例mISitT/2T02022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系13200011( )2TT/mSmII =it dt =I dt =TT 直流分量：直流分量：谐波分量：谐波分量： 解：解：211011( )()()1sin()0kSm0a =it cos k t d tI=kt=k2111( )() ()kS0b =it sin k t d
11、 t101cos()1cos()mmIktkIkkk为奇数为奇数k为偶数为偶数20mIk2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系14111211(sinsin3sin5)235mmSIIittt 的展开式为：的展开式为：Si17131510kmA1k2mI23mI25mI27mI 的频谱图为：的频谱图为：Si222mkkkkIAabbk（k为奇数）为奇数）由于由于2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系15基波基波直流分量直流分量三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波七次谐波七次谐波周期性方波波形分解示意图：周期性方波波形分解示意图：SimI0tSi0
12、tSi0t2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系16基波基波直流分量直流分量直流分量直流分量+基波基波Si0t直流分量直流分量+基波基波+三次谐波三次谐波Si三次谐波三次谐波t02022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系17111211(sinsin3sin5)235mmSIIittttT/2TSimIIS01si3si5si5si3si1siIS0等效电源等效电源02022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系185. 说明说明 (1)(1)Fourier级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦周级数是一个无穷级数，因此把一个非正
13、弦周期函数分解为期函数分解为Fourier级数后，从理论上讲，必须取无穷多项级数后，从理论上讲，必须取无穷多项方能准确地代表原有函数；但如果级数收敛很快，只取级数方能准确地代表原有函数；但如果级数收敛很快，只取级数的前面几项也就够了，一般的前面几项也就够了，一般5次以上谐波可以略去；次以上谐波可以略去； (2)教材教材P322表表13-1给出了几个典型周期函数的给出了几个典型周期函数的Fourier级级数展开式。从式中可以看出，函数的波形越光滑和越接近于数展开式。从式中可以看出，函数的波形越光滑和越接近于正弦波，其展开级数收敛得越快。正弦波，其展开级数收敛得越快。2022年5月29日14时32
14、分北京科技大学信息工程学院自动化系1913-3 13-3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率1. 非正弦周期函数的有效值非正弦周期函数的有效值011( )cos()kmkk=i t = I +Ik t +若若则其有效值则其有效值:2201011( )1cos( )T0Tkmkk=I =i d tT=I +Ik t+d tT 上式中上式中i的展开式平方并积分后将含有下列各项的展开式平方并积分后将含有下列各项2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系20220001TI dtIT222101cos (+)TkmkkIktdtIT01012cos(+)0TkmkI
15、 IktdtT11012cos(+)cos(+)0TkmkqmqIktIqtdtkqT 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的平方根。平方和的平方根。这样可以求得这样可以求得i的有效值为的有效值为222222001231kkIIIIIII2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系212. 非正弦周期函数的平均值非正弦周期函数的平均值则其平均值为：则其平均值为：011( )cos()kkk=i t = I +Ik t + 若若即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对
16、值的平均值。4004041cos()cos()4sin()0.6370.901TTmavmTmmIIIt dtt dtTTItIIT01defTavIi dtT按上式可求得正弦电流按上式可求得正弦电流 的平均值为的平均值为cos()miIt2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系22 上式相当于正弦电流经全波整流后的平均值，这是因为上式相当于正弦电流经全波整流后的平均值，这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变成了对应的正值。取电流的绝对值相当于把负半周的值变成了对应的正值。i0TtmI4T2TavI2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系23
17、例：计算下图所示矩形波信号的有效值和平均值。例：计算下图所示矩形波信号的有效值和平均值。解：有效值为解：有效值为240110TdtT= 5A平均值为平均值为= 2.5AOti(A)T/4T10201=TIi dtT4001110TTavIi dtdtTT2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系243. 非正弦周期电流电路的平均功率非正弦周期电流电路的平均功率01TP =u i dtT011( )cos()kmukk=u t = U +Uk t+011( )cos()kmikk=i t = I +Ik t + 利用三角函数的正交性，得：利用三角函数的正交性，得：00100
18、1 11222012cos ()coscoskkkkukikk=P=U I +U I = -=U I +U I+U I+= P +P +P + 平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系25例：已知一端口的电压和电流，求电压和电流的有效值和例：已知一端口的电压和电流，求电压和电流的有效值和一端口的平均功率。一端口的平均功率。V)15120sin(40)1160sin(30)2730cos(2010tttuA)15120sin(5)5290sin(4)3330cos(32ttti解：电压的有效值
19、解：电压的有效值U=222240302010222220304010()()()222U 电流的有效值电流的有效值2222)25()24()23(2I2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系26平均功率平均功率P = 102 + 203 + 304 +405P = 102 + 203cos60 + 304cos(-41)+ 405cos301020(3027 )30(6011 )40(12015 )Vucostsintsint A)15120sin(5)5290sin(4)3330cos(32ttti20330440510 2()()cos60()()cos(-41 )
20、()()cos30222222P 30cos)25)(240(60cos)23)(220(210P2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系27 13-4 13-4 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路的计算的计算1. 计算步骤计算步骤 （3 3）利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别应用）利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号分别应用相量法相量法进行计算，并把计算结果转换为时域形式（注意：对应进行计算，并把计算结果转换为时域形式（注意：对应于各交流谐波分量的于各交流谐波分量的XL、XC有所有所不同）；不同）； （1 1）利用）利用Fourier级数，将非正弦周期
21、函数展开成直流分量级数，将非正弦周期函数展开成直流分量和多种频率谐波信号的和；和多种频率谐波信号的和；（4 4）应用叠加原理，求出所需的电路响应。）应用叠加原理，求出所需的电路响应。 （2 2）应用直流电路的分析方法，计算在直流分量激励下系统）应用直流电路的分析方法，计算在直流分量激励下系统的响应；的响应；2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系282. 举例举例RLCuSitT/2TSimI0例例1：已知：已知iS为方波信号，为方波信号， ， ； ，157 AmI6.28Ts20R 1mHL 1000pFC ， ，求图中所示电压，求图中所示电压u 。2022年5月29
22、日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系29解：解：（1）已知方波信号的展开式为：）已知方波信号的展开式为：111211(sinsin 3sin 5)235mmSIIittt代入已知数据：代入已知数据：157mIA6.28Ts得直流分量得直流分量015778.522mSII=A2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系30122 157=1003.14mmII=A基波最大值基波最大值511205mmI=I=A五次谐波最大值五次谐波最大值61-622 3.14=106.28 10 =rad/sT角频率角频率三次谐波最大值三次谐波最大值31133.33mmI=I=A 电
23、流源电流源各频率的谐波分量为：各频率的谐波分量为：61= 100sin(10)sit A6333.3sin(3 10 )si=t A6520sin(5 10)si=t A2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系3160020 78.5 101.57 mVSURI （2 2）对直流分量和）对直流分量和各种频率的谐波分量单独进行计算各种频率的谐波分量单独进行计算RIS0U0由于电容断路，电感短路，所以有由于电容断路，电感短路，所以有 直流分量直流分量 IS0 作用作用A5 .780SI2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系32基波作用基波作用611
24、00sin(10 )sitARLC1u1Si1111111() ()()50()LCLCLCRjXjXXXZkRj XXR 由于 XL1R16121111101000 10CXkC631110101LXLk2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系331()50Zk631s11100 105000()50 1022mVUIZ61100sin(10 ) Asit 三次谐波作用三次谐波作用6333.3sin(310)si=tA33133()()(3)374.589.19()LCLCRjXjXZRj XX 361216331110.3333 1010001033 10103 C
25、LXkCXLk633110(3)33.3374.589.192SUIZ12.4789.192mV2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系34五次谐波作用五次谐波作用6520sin(5 10 ) Asit55155()()(5)= 208.389.53 ()LCLCR+ jXjXZ =R+ j XX561216351110.2 55 101000 1055 10105 CLXkCXLk 655110(5)20208.389.5324.1789.532mVsUIZ 2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系3501356666661.575000sin
26、(10 )12.47sin(3 1089.19 )4.17sin(5 1089.53 )()1.575000sin(10 )12.47sin(3 1089.19 )4.17sin(5 1089.53 ) ()UuuuutttmVtttmV mV57. 10U312.4789.192mVU150002Um V54.1789.532U mV (3) (3)将直流响应和各将直流响应和各谐波分量计算结果瞬时值进行谐波分量计算结果瞬时值进行叠叠加加2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系36注意注意：（1）该方法仅适用于线性电路；该方法仅适用于线性电路； （2）把表示不同频率正弦
27、电流的相量直接相加是没）把表示不同频率正弦电流的相量直接相加是没有意义的。有意义的。V1L1C1C2L240mH10mHu+_25 F25 F30 abcdA3A2V2V1A130 120cos100060cos(2000)4 V,utt例例2 2：已知：已知 求图示电路求图示电路中各表读数（有效值）。中各表读数（有效值）。2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系37解：解：(1) U0=30V作用于电路时，作用于电路时，L1、 L2 短路，短路， C1 、 C2开路。开路。IC10=0, I0= IL20 = U0/R =30/30=1A, Uad0= Ucb0 =
28、U0 =30VL1C1C2L240mH10mHu+_25 F25 F30 abcdiiC1iL2L1C1C2L2U0+_30 abcdI0IC10IL202022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系38(2) u1=120cos1000t V作用时作用时3111132112112161112100040104010001010101114010002510LLCCXLXLXXCCL1、C1 发生了并联谐振发生了并联谐振。+_30 abcd1U1I11CI21LIj40 j40 j40 j10 2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系39补充内容： R
29、LC并联谐振电路（教材P290）1. 并联谐振的定义并联谐振的定义UISIGILICIGLj1Cj 如果端口上的电压与电流同相，则称电路发生如果端口上的电压与电流同相，则称电路发生了谐振。由于是在了谐振。由于是在GLC并联电路中发生的，故称为并联电路中发生的，故称为并联谐振。并联谐振。2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系40 2. 并联谐振的条件并联谐振的条件0Im ()0Y j01LC012fLC 该频率也称为电路的该频率也称为电路的固有固有频率，它是由电路的频率，它是由电路的结构和参数决定的。结构和参数决定的。 因为因为 ，可解得谐振时的，可解得谐振时的角频率角
30、频率 和频率和频率 ：00001()()Y jGjCL0f2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系413. 并联谐振发生时电路的主要特点并联谐振发生时电路的主要特点（1）谐振时输入导纳为最小值）谐振时输入导纳为最小值0001()()Y jGjCL或者说输入阻抗最大，或者说输入阻抗最大， 。01()Z jRGG（2）谐振时有）谐振时有 （所以并联谐振又称为电流谐（所以并联谐振又称为电流谐振），但振），但0LCII式中，式中，Q称为并联谐振电路的品质因数。称为并联谐振电路的品质因数。001()LIjUL 00()CIjCU01SjILG SjQI 00SCjIGSjQI02
31、022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系42112002VU 1210LII1111112003290 A402jjCCUIX1112002adVUU+_30 abcd1U1I11CI21LIj40 j40 j40 j10 10cb U2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系43(3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用时作用时312113221212226111222000 40 1080= 22000 10 102011120222000 25 10LLCCXLXLXXCCL2、C2 发生了并联谐振发生了并联谐振。+_30 abcd2U2I12CI22LIj80 j20 j20 j20 2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系44260452VU 2222260453245 A202jjLLUIX0122 CII260452cb2VUU+_30 abcd2U2I12CI22LIj80 j20 j20 j20 20adU2022年5月29日14时32分北京科技大学信息工程学院自动化系45
