1、共 57 页1v第四十六讲第四十六讲v ( (第四十七讲第四十七讲( (文文)多面体与球多面体与球共 57 页2共 57 页3v回归课本v1.多面体和正多面体v(1)多面体：若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体v(2)凸多面体：把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体v(3)正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体正多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共 57 页4v2球v(1)球面和球的概念v半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面
2、所围成的几何体叫做球体，简称球v球也可以看作与定点(球心)的距离等于或小于定长(半径)的所有点的集合(轨迹)v(2)球的截面的性质v用一个平面去截球，截面是圆面；v球心到截面圆心的连线垂直于截面；共 57 页5共 57 页6v点评：(1)在球的有关计算中，由球的半径R，截面圆的半径及球心到截面距离OO构成的直角三角形，是常用的关键图形v(2)球面上两点间的距离是指过这两点的球的大圆上两点间的劣弧长，其计算思路：如图所示，解OAB得AB的长，解OAB得AOB的弧度数；利用l|R得球面上A，B两点间的球面距离共 57 页7共 57 页8v答案：C共 57 页9v答案：B共 57 页10v3设M、N
3、是球O半径OP上的两点，且NPMNOM，分别过N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为v()vA356 B368vC579 D589共 57 页11v解析：作出球的轴截面图如下图v答案：D共 57 页12v4(2011名校模拟)如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，过正方体中两条互为异面直线的棱A1A、BC的中点P、Q作直线，该直线被球面截在球内的线段的长为()共 57 页13v解析：v答案：Dv点评：本题着重考查空间想象能力和运算能力，添加适当的辅助线并结合平面几何知识可圆满解决共 57 页14共 57 页15v答案：B共 57 页16
4、共 57 页17共 57 页18共 57 页19v【典例1】已知ABCD是棱长为a的正四面体v(1)求证：ABCD；v(2)求二面角ABCD的余弦值；v(3)求正四面体的体积共 57 页20v解析(1)证明：过A作AO平面BCD于O，连结BO，DO并延长，分别交DC，BC于E、F，由题知四面体ABCD为正四面体，故O为BCD的中心，E、F分别为CD、BC的中点vBECD，而BE是AB在平面BCD上的射影，vABCD.v(2)DFBC，AFBC，vAFD为二面角ABCD的平面角共 57 页21共 57 页22v探究1：已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼起来，使一个表面重合，所得的
5、多面体有多少个面？共 57 页23v点评：本题若不经过计算，凭想象，很可能会得到拼成的多面体为十面体，这是错误的共 57 页24v类型二球面距离v解题准备：求球面距离的方法：v设球面上两点间的球心角为弧度，球半径为R，则球面上两点间的距离为|R，所以计算球面距离的关键是确定球心角v1两点在同一经线圈上，可直接计算两点间的劣弧长度；v2两点在同一纬线圈上，先求弦长，由余弦定理求球心角，化为弧度，再用l|R来求共 57 页25v【典例2】如图，地球半径为R，地面上三点A，B，C的经纬度分别是：A点是东经20，北纬60；B点是东经140，北纬60；C点是东经140，北纬30，试求A，B与B，C两点的
6、球面距离共 57 页26共 57 页27v点评(1)为求A、B两点间的球面距离，要组织到AOB中去分析，关键是求得球心角AOB的度数，结合弧长公式注意余弦定理的应用v(2)纬度相当于球半径与赤道平面所成的角，经度相当于二面角的平面角共 57 页28共 57 页29共 57 页30v误区指津：通过已知条件求得AOB90是关键，但易忽视点B的位置有两种可能情况v点评：在解决球的问题时，经常遇到与地球的经线、纬线、经度、纬度有关的问题v纬线：是与地轴垂直的截面截地球表面所得到的圆纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆v经线：是地球表面上从北极到南极的半个大圆经线圈是过地轴的截面截地球表面所得到的圆，它们都
7、是大圆共 57 页31v纬度：某地点的纬度，就是经过这点的球的半径与赤道所在平面所成角的度数纬度角是一个线面角v经度：某地点的经度，就是经过这点的经线及地轴确定的半平面与0经线及地轴确定的半平面所成的二面角的度数经度角是一个二面角v0经线也叫做本初子午线东经180经线和西经180经线是同一条经线，即180经线.0经线和180经线合成一个通过南北两极的大圆共 57 页32共 57 页33v解析如图所示，SAC的外接圆是外接球的一个大圆，所以只要求出这个外接圆的半径即可，而内切球的球心O到棱锥的各个面的距离相等，可由正四棱锥的体积求出其半径共 57 页34共 57 页35共 57 页36v点评本题
8、为我们提供了一个寻求正棱锥外接球半径和内切球半径的思路读者可考虑如何求一个棱长为a的正四面体的外接球半径共 57 页37v类型四球的组合体问题v解题准备：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图共 57 页38v【典例4】在三棱锥SABC中，SA底面AB
9、C，侧面SBA和侧面SBC成直二面角v(1)求证：侧面SBC为直角三角形；v(2)若BSC45，SBa，求三棱锥SABC的外接球的体积v分析(1)欲证侧面是直角三角形即证明BCSB即可v(2)求外接球的体积关键是找到球心的位置，求出半径，然后利用体积公式求解共 57 页39v解析(1)证明：过A作ADSB于点D，v平面SBA平面SBC，AD平面SBC.vBC平面SBC，BCAD.v S A 底 面 A B C ， B C 底 面 A B C ，SABC.BC平面SAB.BCSB.侧面SBC为直角三角形v(2)取SC的中点为O，连结AO、BO.v在RtSAC与RtSBC中，OASOOCOB，即O到三棱锥SABC的四个顶点的距离相等，O为球心共 57 页40v点评(1)关于与球组合的组合体题型，关键是寻找球与其他几何体的联系，确定球心位置，利用多面体中的线线关系、线面关系、面面关系及球中R、r、d的关系求出半径，从而使问题得以解决v(2)注意：球与正方体的组合体，当球是正方体的内切球时，球的直径等于正方体的棱长；当球是正方体的外接球时，球的直径等于正方体的对角线长共 57 页41共 57 页42共 57 页43v名师作业名师作业练全能练全能
