1、一、选择题 1.下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x2y0 表示同一曲线的方程是( ) A. x|t|， yt B. xcos t， ycos 2t C. xtan t， y1cos 2t 1cos 2t D. xtan t， y1cos 2t 1cos 2t 解析 注意参数范围，可利用排除去.普通方程 x2y0 中的 xR，y0.A 中 x|t|0， B 中 xcos t1， 1， 故排除 A 和 B.而 C 中 y2cos 2t 2sin2tcos 2t 1 tan2t 1 x2，即 x 2y1，故排除 C. 答案 D 2.下列在曲线 xsin 2， ycos sin ( 为参数)上的
2、点是( ) A. 1 2， 2 B. 3 4， 1 2 C.(2， 3) D.(1， 3) 解析 转化为普通方程：y21x (|y| 2)，把选项 A、B、C、D 代入验证得， 选 B. 答案 B 3.若点 P(3，m)在以点 F 为焦点的抛物线 x4t2， y4t (t 为参数)上，则|PF|等于 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析 抛物线为 y24x， 准线为 x1， |PF|为 P(3， m)到准线 x1 的距离， 即为 4. 答案 C 4.已知椭圆的参数方程 x2cos t1， y4sin t (t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t 3，点 O 为原点，则直线 OM
3、的倾斜角 为( ) A. 3 B. 6 C.2 3 D.5 6 解析 M 点的坐标为(2，2 3)， k 3，tan 3， 3. 答案 A 二、填空题 5.曲线 x3t2， yt21 与 x 轴交点的坐标是_. 解析 将曲线的参数方程化为普通方程：(x2)29(y1)，令 y0，得 x1 或 x5. 答案 (1，0)，(5，0) 6.双曲线 x33tan ， y 1 cos ( 为参数)的渐近线方程是_. 解析 将参数方程化为普通方程是 y2（x3） 2 9 1， a1，b3，渐近线的斜率 k 1 3，双曲线的中心为(3，0)，渐近线方程为 y 1 3(x3). 答案 y 1 3(x3) 7.
4、二次曲线 x5cos ， y3sin ( 是参数)的左焦点的坐标是_. 解析 题中二次曲线的普通方程为 x2 25 y2 91 左焦点为(4，0). 答案 (4，0) 8.过双曲线 x2y24 的右焦点 F 作倾斜角为 105 的直线，交双曲线于 P，Q 两 点，则|FP| |FQ|的值为_. 解析 因双曲线的标准方程为x 2 4 y2 41， ab2. c a2b2 442 2. 故右焦点为 F(2 2，0). 可设过 F(2 2， 0)， 倾斜角为 105 的直线的参数方程为 x2 2tcos 105 ， ytsin 105 (t 为参数). 代入双曲线方程 x2y24，整理得 3 2 t
5、2(2 32)t40， |FP| |FQ|t1t2| 4 3 2 8 3 3 . 答案 8 3 3 三、解答题 9.已知圆 O1：x2(y2)21 上一点 P 与双曲线 x2y21 上一点 Q，求 P，Q 两点距离的最小值. 解 圆心 O1坐标为(0，2)，Q 点坐标为 1 cos ，tan ， |QO1|2 1 cos2(tan 2) 2 1 cos2tan 24tan 4 2tan24tan 5. 设 ttan ，|QO1|22t24t52(t1)233， |QO1|min 3， PQ 两点间的距离的最小值为 31. 10.已知曲线 C：x 2 4 y2 91，直线 l： x2t， y22
6、t (t 为参数). (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大 值与最小值. 解 (1)曲线 C 的参数方程为 x2cos ， y3sin ( 为参数).直线 l 的普通方程为 2xy 60. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为 d 5 5 |4cos 3sin 6|， 则|PA| d sin 30 2 5 5 |5sin()6|，其中 为锐角，且 tan 4 3. 当 sin()1 时，|PA|取得最大值， 最大值为22 5 5 . 当 s
7、in()1 时，|PA|取得最小值， 最小值为2 5 5 . 11.已知椭圆x 2 4y 21 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 B1，B2 的连线 分别交 x 轴于 P，Q 两点，求证：|OP| |OQ|为定值. 证明 设 M(2cos ，sin )， 为参数，B1(0，1)，B2(0，1). 则 MB1的方程：y1sin 1 2cos x， 令 y0，则 x 2cos sin 1，即|OP| 2cos 1sin |. MB2的方程：y1sin 1 2cos x， |OQ| 2cos 1sin . |OP| |OQ| 2cos 1sin 2cos 1sin 4. 即|OP| |OQ|
8、4 为定值. 12.已知抛物线 y22px(p0)，过动点 M(a，0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线 交于不同的两点 A，B，|AB|2p. (1)求 a 的取值范围； (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值. 解 设直线 l 的方程为 yxa 代入 y22px 中，得： x22(ap)xa20. (1)设 A，B 两点的坐标为(x1，y1)、(x2，y2)， 则 x1x22(ap)，x1x2a2. |AB|112（x1x2）24x1x2 2 4（ap）24a2 2 8ap4p22p， 2(8ap4p2)4p2，解得 ap 4. (2)A，B 的中点坐标为 x1x2 2 ，y 1y2 2 ，即为(ap，p)，斜率为1，垂直平分 线方程为 yp(xap)xap. y0 时，xa2p， 点 N 的坐标为(a2p，0)， 点 N(a2p，0)到直线 AB 的距离为|2p| 2 2p， 则 SNAB1 2 2p 2 8ap4p 2p 8ap4p22p p22ap2p 2pap2， 当 a 最大时，SNAB取最大值， 故 ap 4时，S 取最大值为 2p 2.
