1、第四章第四章 快速傅立叶变换快速傅立叶变换(FFT)4.1 引言引言FFT是是DFT的快速算法的快速算法提出与发展提出与发展由库利由库利(J.K.Cooly) 和图基和图基(J.K Tuky)相继出现了桑得相继出现了桑得(G.Sand)-图基等快速算法图基等快速算法价值价值使运算效率提高了使运算效率提高了12个数量级个数量级推动了数字信号处理技术的应用和发展推动了数字信号处理技术的应用和发展分裂基分裂基FFTFFTFFT是是DFTDFT的一类快速算法的一类快速算法4.2 基基2 FFT算法算法4.2.1 直接计算直接计算DFT的问题及改进的方法的问题及改进的方法4.2.2 时域抽取法基时域抽取
2、法基2 FFT基本原理基本原理4.2.3 DIT-FFT算法运算量算法运算量4.2.4 DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想4.2.5 频域抽取法频域抽取法FFT（DIF-FFT)4.2.6 IDFT的高效算法的高效算法( (实验实验: :要求购买数字信号处理实习指导书要求购买数字信号处理实习指导书, ,熟熟悉悉MATLABMATLAB语言等语言等) )4.2 基基2 FFT算法算法4.2.1 直接计算直接计算DFT的问题及改进的方法的问题及改进的方法DFT的定义的定义两者形式类似，差别只在于的指数符号不两者形式类似，差别只在于的指数符号不同，及常数因子。同，及常数因子。运算
3、量是相同的运算量是相同的10 ,)(1)(10 ,)()(1010NnWkXNnxNkWnxkXNknkNNnnkN（1）正变换的运算量）正变换的运算量10 ,)()(10NkWnxkXNnnkN每计算一个每计算一个X(k)需要需要N次复数乘法次复数乘法, (N-1)次复数加法次复数加法计算计算 N 点点X(k),则需要则需要N2次复数乘法，次复数乘法，N(N-1)次复数加法次复数加法即即:计算量正比于计算量正比于N2,这也是产生快速算法的思这也是产生快速算法的思想由来想由来.因为因为 均为复数均为复数)(,),(kXWnxnkN注意注意:指数运算指数运算（2）减少运算量的途径）减少运算量的途
4、径(利用利用DFT的性质的性质)对称性对称性周期性周期性nkNnkNWW)(kNnNjkNnNnkNeWW)(2)(nkNW具有如下特性：旋转因子具有如下特性：旋转因子*()mN mNNWWmNNmNWW2利用这些特性：利用这些特性：1.使使DFT运算中的有些项可以合并。运算中的有些项可以合并。2.可将长序列的可将长序列的DFT分解为短序列的分解为短序列的DFT。mpNmpNjpmNjpmNWeeW/22更加有用的性质更加有用的性质 FFT的基本思想在于的基本思想在于, 将原有的将原有的N点序列点序列分分成两个较短成两个较短的序列的序列,这两个序列的这两个序列的DFT组合组合起来起来,得出原序
5、列的得出原序列的DFT。剩下的问题是怎。剩下的问题是怎么分么分?:前后分或抽取分前后分或抽取分.?4.2.2 时域抽取法基时域抽取法基2 FFT基本原理基本原理FFT算法分为两大类算法分为两大类时域抽取法时域抽取法(DIT)频域抽取法频域抽取法(DIF)此处可以说明基此处可以说明基2 2的由来的由来设设MN2M为自然数为自然数将长度为将长度为N的序列的序列x(n)按按n的奇偶分成两组的奇偶分成两组) 12/(, 1 , 0),12()() 12/(, 1 , 0),2()(21NrrxrxNrrxrx则则x(n)的的DFT为为12/02212/02112/0)12(12/02)()() 12(
6、)2()()()(NrkrNkNNrkrNNrrkNNrkrNnnknNknNWrxWWrxWrxWrxWnxWnxkX偶数奇数一、时域抽取法基本原理时域抽取法基本原理由于由于krNkrNjkrNjkrNWeeW2/22222所以所以12/02/212/02/1)()()(NrkrNkNNrkrNWrxWWrxkX)()(21kXWkXkN10Nk时域抽取法基本原理时域抽取法基本原理式中，式中，12/02/12/02/11)2()()(NrkrNNrkrNWrxWrxkX12/02/12/02/22) 12()()(NrkrNNrkrNWrxWrxkX是是x(2r)与与x(2r+1)的的N/2
7、点点DFT(因为长度因为长度,求求和范围和和范围和W均是针对均是针对N/2的。的。时域抽取法基本原理时域抽取法基本原理10)()()(21NkkXWkXkXkN)()()()(2211rxDFTkXrxDFTkX其中上式可见，一个上式可见，一个N点点DFT已分解为两个已分解为两个N/2点的点的DFT X1(k)与与X2(k)的组合。此的组合。此时计算量已经变化。为使这种计算量变时计算量已经变化。为使这种计算量变化更明显地表现出来化更明显地表现出来:把把 分成两部分来求，此时分成两部分来求，此时必须应用旋必须应用旋转因子的周期性：转因子的周期性：)(kX22()()222222NNjrkjr k
8、r krkNNNNWeeW时域抽取法基本原理时域抽取法基本原理由于由于)()2()()()2(22112/0)2(2/11kXNkXkXWrxNkXNrNkrN12/0)()()(21NkkXWkXkXkN分成两部分来求：分成两部分来求：)2()2()2(221NkXWNkXNkXNkN)(kX()222Nr krkNNWWX (k)的后半部分为：的后半部分为：)2()2()2(221NkXWNkXNkXNkN时域抽取法基本原理时域抽取法基本原理再考虑到再考虑到旋转因子的特性旋转因子的特性:所以所以120)()()2()()()(2121NkkXWkXNkXkXWkXkXkNkN只要求出只要求
9、出0N/2-1区间上区间上X1(k)与与X2(k)的值，的值，即可得到即可得到0N-1区间内所有区间内所有X (k)的值。的值。222()()2NNkjkjkkNNNNWeeW 时域抽取法基本原理时域抽取法基本原理X (k)的运算可用蝶形信号流图表示的运算可用蝶形信号流图表示)(1kX)(2kX)()(21kXWkXkN)()(21kXWkXkNkNW1简记为下图形式：简记为下图形式：)(1kX)(2kXkNW)()(21kXWkXkN)()(21kXWkXkNN点点DFT一次时域抽取分解图（一次时域抽取分解图（N=8）N/2点点DFTN/2点点DFT)0(x)2(x)4(x)6(x) 1 (
10、x)3(x)5(x)7(x)0(1X) 1 (1X)2(1X)3(1X)0(2X) 1 (2X)2(2X)3(2X0NW1NW2NW3NW)0(X) 1 (X)2(X)3(X)4(X)5(X)6(X)7(X)0(1x) 1 (1x)2(1x)3(1x)0(2x) 1 (2x)2(2x)3(2x时域抽取法基本原理时域抽取法基本原理时域抽取法基本原理时域抽取法基本原理计算量分析计算量分析:分成两部分分成两部分 (1)DFT (2)蝶形运算蝶形运算(1)每个每个N/2点的点的DFT需要需要（N/2)2次复数乘，次复数乘，N/2(N/2-1)次复数加。次复数加。两个两个N/2点的点的DFT需要需要N2
11、/2次复数乘，次复数乘，N (N/2-1)次次复数加。复数加。(2)计算一个蝶形，需要计算一个蝶形，需要1次复乘，次复乘，2次复加。次复加。将两个将两个N/2点的点的DFT合并成合并成N点点DFT，有，有N/2个蝶形个蝶形运算，还需要运算，还需要N/2次复数乘及次复数乘及N次复数加。次复数加。总计算量总计算量:计算计算N点点DFT共需要共需要 N2/2 N/2 N2/2 次次复数乘，复数乘， N (N/2-1)N N2/2次复数加。次复数加。只分解一次运算量就减少一半。只分解一次运算量就减少一半。这种分解方法可一直进行到这种分解方法可一直进行到左侧为两点左侧为两点DFT为止。为止。时域抽取法基
12、本原理时域抽取法基本原理与第一次分解相同，将与第一次分解相同，将x1(r)按按r的奇偶分成的奇偶分成两个长为两个长为N/4的子序列：的子序列：)14/(, 1 ,0,)12()()2()(1413Nllxlxlxlx14, 1 , 0, )()()()() 12()2()(42314/044214/04314/0)12(2114/02211NkkXWkXWlxWWlxWlxWlxkXkNNlklNkNNlklNNllkNNlklN且且14, 1 , 0, )()()4(4231NkkXWkXNkXkN时域抽取法基本原理时域抽取法基本原理x2(r) 也可以进行同样的处理，得到也可以进行同样的处理
13、，得到X2(k)14, 1 , 0, )()()(6252NkkXWkXkXkN14, 1 , 0, )()()4(6252NkkXWkXNkXkN其中，其中，14/014/046222614/014/0452225)() 12()()()2()(NlNlklNklNNlNlklNklNWlxWlxkXWlxWlxkX将旋转因子统一为将旋转因子统一为 ，则，则一个一个N点点DFT就可分解为就可分解为4个个N/4点的点的DFT.kNkNWW22) 1 () 0 () 1 () 0 () 1 () 0 () 1 () 0 (66554433XXXXXXXX) 3() 2() 1 () 0() 3(
14、) 2() 1 () 0(22221111XXXXXXXX)7()3()5() 1 ()6()2()4()0(xxxxxxxx) 7 () 6 () 5 () 4 () 3 () 2 () 1 () 0 (XXXXXXXX0NW2NW2NW0NW3NWN点点DIT-FFT运算流图运算流图N/4点点DFTN/4点点DFTN/4点点DFTN/4点点DFT时域抽取法基本原理时域抽取法基本原理最后剩下的是最后剩下的是2点点DFT，当，当N=8时，其输出为：时，其输出为：1 , 0)(),(),(),(6543kkXkXkXkX以以X4(k)为例，为例，1 , 0,)()()(1024140444kWl
15、xWlxkXlklNlklN)6()2()(6()2() 1 ()0()0(040244xxxWxxWxXN因为因为022121NjWeW)6()2( )6()2() 1 ()0() 1 (041244xxxWxxWxXN即即x(2),x(6)通过蝶形运算得到通过蝶形运算得到X4(k)7()6()5()4()3()2() 1 ()0(AAAAAAAA)7()6()5()4()3()2() 1 ()0(AAAAAAAA)7()6()5()4()3()2() 1 ()0(AAAAAAAA)7()3()5() 1 ()6()2()4()0(xxxxxxxx) 7 () 6 () 5 () 4 ()
16、3 () 2 () 1 () 0 (XXXXXXXX0NW0NW0NW0NW0NW2NW2NW0NW3NWN点点DIT-FFT运算流图运算流图N点点DIT-FFT运算流图运算流图N点DIT-FFT运算流图N=8 此图的重要性:理解FFT算法实质;分析计算量; 设计FFT算法程序等当当MN2时，可分解为时，可分解为M级蝶形，每级级蝶形，每级都有都有N/2个蝶形运算。个蝶形运算。(基基2由来由来)每一级每一级N / 2次复数乘；次复数乘；N 次复数加。次复数加。则则M级级NNMN2log22次复数乘次复数乘NNMN2log次复数加次复数加与直接计算与直接计算DFT的运算量之比的运算量之比NNN22
17、log)2/(4.2.3 DIT-FFT算法运算量算法运算量与直接计算与直接计算DFT的运算量之比的运算量之比计算速度的提高是巨大的计算速度的提高是巨大的: 例例如如P101 图图4.2.54.2.3 DIT-FFT算法运算量算法运算量1、原位计算（就地算法）、原位计算（就地算法）4.2.4 DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想3、蝶形运算规律及编程思想、蝶形运算规律及编程思想2、旋转因子的变化规律、旋转因子的变化规律4、倒位序规律、倒位序规律5、倒位序实现、倒位序实现DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想1. 原位计算（就地算法）原位计算（就地算法）用同一地
18、址既存输入序列又存输出序列的算法。用同一地址既存输入序列又存输出序列的算法。pNLLLpNLLLWBJXJXBJXWBJXJXJX)()()()()()(1111如图如图4.2.4，每级运算由，每级运算由N/2个蝶形构成，个蝶形构成，每个蝶形完成下述基本运算：每个蝶形完成下述基本运算：式中式中L代表第代表第L级蝶形运算。级蝶形运算。J、J+B代表数据所在行。代表数据所在行。B表示蝶形运算的两个输入相距表示蝶形运算的两个输入相距B个点。个点。运算规律运算规律DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想每个蝶形运算的两个输入数据只对计算每个蝶形运算的两个输入数据只对计算本蝶形有用，而且每
19、个蝶形的输入、输本蝶形有用，而且每个蝶形的输入、输出数据节点又在同一水平线上。出数据节点又在同一水平线上。这样，蝶形的两个输出值仍放回蝶形的两这样，蝶形的两个输出值仍放回蝶形的两个输入所在的存储器中。个输入所在的存储器中。每列的每列的N/2个蝶形运算全部完成后，再开始个蝶形运算全部完成后，再开始下一列的蝶形运算。下一列的蝶形运算。下一列仍采用原位运算，只是进入蝶形的下一列仍采用原位运算，只是进入蝶形的组合关系有所不同。组合关系有所不同。DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想2. 旋转因子旋转因子 的变化规律的变化规律PNWpNLLLpNLLLWBJXJXBJXWBJXJXJX)
20、()()()()()(1111观察图观察图4.2.4，第，第L级共有级共有2L-1个不同的个不同的旋转因子。旋转因子。 称为旋转因子，称为旋转因子，p称为旋转因子的指数。称为旋转因子的指数。级级(L):从左到右的运算级数。从左到右的运算级数。(L=1,2,M)pNW旋转因子与级数（旋转因子与级数（L）的关系）的关系3 , 2 , 1 , 0,31 , 0,20,1222/24/JWWWLJWWWLJWWWLJJNPNJJNPNJJNPNLLL更一般地更一般地MN2第第 L 级的旋转因子为级的旋转因子为LMLJNJNJpNJpJWWWWLMMLL2) 12(0 ,1222DIT-FFT的运算规律
21、及编程思想的运算规律及编程思想蝶形运算两输入点间距离为：蝶形运算两输入点间距离为：第第1级级 ：1 第第2级级 ：2 第第3级级 ：4 第第L级级 ：2L-1 MLJJpWJXJXJXWJXJXJXLLMpNLLLLLpNLLLL0),12(0 ,2)2()()2()2()()(11111111每一级的两个输入节点进行蝶形运算后，得到每一级的两个输入节点进行蝶形运算后，得到下一级的相同序号的两个输出节点。下一级的相同序号的两个输出节点。DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想3. 蝶形运算规律蝶形运算规律(1. 端点间距端点间距 2.相邻间距相邻间距)对于每个旋转因子，有对于每个
22、旋转因子，有2M-L个蝶形运算。个蝶形运算。第一个蝶形的第一个输入所在行为第一个蝶形的第一个输入所在行为J，第二个蝶形的第一个输入所在行为第二个蝶形的第一个输入所在行为J+2L，相邻两个蝶形运算第一个输入相距相邻两个蝶形运算第一个输入相距2L。MLJJpWJXJXJXWJXJXJXLLMpNLLLLLpNLLLL0),12(0 ,2)2()()2()2()()(11111111DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想2 /2MM L编程思想编程思想先从先从输入端输入端开始，开始，逐级逐级进行计算，进行计算，共进行共进行M级运算级运算。在进行第在进行第L级运算时，依次求出级运算时，
23、依次求出2L-1个不同的个不同的旋转因子旋转因子，每求一个旋转，每求一个旋转因子，就计算完它对应的所有因子，就计算完它对应的所有2M-L个个蝶形蝶形。(结合编程说明结合编程说明:三层循环三层循环,最内层计最内层计算为算为:一个蝶形的计算一个蝶形的计算,结合图结合图4.2.4)DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想开开 始始输入输入x(n),MN=2M倒序倒序L=1,MB2L-1J=0,B-1P=2M-L. Jk=J,N-1,2LpNpNWBkXkXBkXWBkXkXkX)()()()()()(输出输出结束结束L表示运算级数表示运算级数旋转因子个数旋转因子个数对旋转因子计数对旋转
24、因子计数计算旋转因子指数计算旋转因子指数每个旋转因子对应每个旋转因子对应2M-L个蝶个蝶形运算。形运算。两个蝶形运算第一个两个蝶形运算第一个输入点输入点距离距离是是2L此流程图是针对此流程图是针对C C写的写的,MATLAB,MATLAB时要相应修改时要相应修改4. 倒位序规律倒位序规律210nnn若若是三位二进制数，是三位二进制数，则则012nnn就是它的倒位序。就是它的倒位序。按原位计算时，按原位计算时，FFT的输出的输出X(k)是按是按自然顺序存储的，但这时输入序列自然顺序存储的，但这时输入序列却不是按自然顺序存储的。却不是按自然顺序存储的。)7(),6(),5(),4(),3(),2(
25、),1 (),0()7(),3(),5(),1 (),6(),2(),4(),0(XXXXXXXXxxxxxxxx输入序列初看起来，好象没有规律，输入序列初看起来，好象没有规律，实际是按实际是按倒位序倒位序存储的。存储的。DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想倒位序的形成倒位序的形成00100011010111)(012nnnx012nnnx(111)=x(7)x(000)=x(0)x(010)=x(2)x(110)=x(6)x(001)=x(1)x(101)=x(5)x(100)=x(4)造成倒位序的原因是输入序列造成倒位
26、序的原因是输入序列x(n)，按标号按标号(序号序号)n的的奇偶奇偶不断地分组不断地分组造成的。造成的。x(011)=x(3)5. 倒位序的实现倒位序的实现DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想（1）只要将顺序二进制数（）只要将顺序二进制数（n2n1n0）的二进制位倒置，得（的二进制位倒置，得（ n0n1n2）。根）。根据这种规律，容易用硬件电路和汇编据这种规律，容易用硬件电路和汇编语言产生倒位序数。语言产生倒位序数。（2）用高级语言程序实现时，必须找）用高级语言程序实现时，必须找出产生倒序数的十进制运算规律。出产生倒序数的十进制运算规律。DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算
27、规律及编程思想0 000 0 0001 001 4 1002 010 2 0103 011 6 1104 100 1 0015 101 5 1016 110 3 0117 111 7 111左边为按左边为按自然顺序自然顺序排列的二排列的二进制数，进制数，下面的一下面的一个数是上个数是上面一个数面一个数的的最低位最低位上加上上加上1，且向且向高位高位进位。进位。右边为右边为倒倒位序数位序数，下面的一下面的一个数是上个数是上面一个数面一个数的的最高位最高位上加上上加上1，且由高位且由高位向向低位低位进进位。称为位。称为反向进位反向进位加法加法顺序与倒序二进制对照表顺序与倒序二进制对照表可由当前任一
28、倒序值求得下一个倒序值可由当前任一倒序值求得下一个倒序值反向进位加法的实现反向进位加法的实现( (十进制情况十进制情况) )若已知某个倒位序数若已知某个倒位序数J，求下一个倒位序数，求下一个倒位序数，判判 断断 J 的最高位是否为的最高位是否为“0”,让让J与与N/2比较，因为比较，因为N/2总是总是100, 如果如果 JN/2 ,则则 J 的最高位为零的最高位为零,只需只需把该位变为把该位变为 1(J=J+N/2),就得到下一个倒就得到下一个倒位序数位序数,否则否则,把最高位变为把最高位变为 0(J=J-N/2)判判 断断 J 的次高位是否为的次高位是否为“0”,让让J与与N/4比较，比较，
29、 如果如果 J 的的次次高位为高位为零零,只需把该位变为只需把该位变为 1(J=J+N/4),其它位不变其它位不变,就得到下一个倒位序数就得到下一个倒位序数,否则否则,还需判断下还需判断下一位一位(与与 N/8比较比较),如此依次进行下去如此依次进行下去,总会碰到某位为总会碰到某位为 0,将此位改为将此位改为1即可即可.DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想2/NLHKJK2/KKKJJNoKJJ实现倒位序的流程图实现倒位序的流程图DIT-FFT的运算规律及编程思想的运算规律及编程思想上一个倒序数上一个倒序数下一个倒序数下一个倒序数形成倒序数后，把原来按自然顺序存放在存储单形成
30、倒序数后，把原来按自然顺序存放在存储单元的输入序列元的输入序列x(n)重新按倒序排列。重新按倒序排列。通过变址运算完成倒位序通过变址运算完成倒位序)7()6()5()4() 3()2() 1 ()0(xxxxxxxx)7()6()5()4()3()2()1()0(AAAAAAAA)7()6()5()4()3()2()1()0(AAAAAAAA)7() 3()5() 1 ()6()2()4()0(xxxxxxxx)(nx) (nxnn时，不必调换。而当时，不必调换。而当 时，需调换。时，需调换。变变址址nn4.2.5 频域抽取法频域抽取法FFT（DIF-FFT)与与DIT相对应，相对应，DIF算
31、法是将频域算法是将频域X(k)的的序号序号k按奇偶分开。按奇偶分开。推导过程推导过程设设MN2M为自然数为自然数则则x(n)的的DFT为为12/0212/0)2/(12/012/12/010)2()()2()()()()()(NnnkNkNNNnNnkNNnnkNNNnnkNNnnkNNnknNWNnxWnxWNnxWnxWnxWnxWnxkX12/02)2()()(NnnkNkNNWNnxWnxkX式中式中oddiskifeveniskifeWkkNNjkNN11) 1(222分别令分别令k=2r,k=2r+1,r=0.1,N/2-112/02/12/02/)2()() 12()2()()2
32、(NnnrNnNNnnrNWWNnxnxrXWNnxnxrX4.2.5 频域抽取法频域抽取法FFT（DIF-FFT)12/02/12/02/)2()() 12()2()()2(NnnrNnNNnnrNWWNnxnxrXWNnxnxrX令令12/0 ,)2()()()2()()(21NnWNnxnxnxNnxnxnxnN则则12/02/212/02/1)() 12()()2(NnnrNNnnrNWnxrXWnxrX4.2.5 频域抽取法频域抽取法FFT（DIF-FFT)4.2.5 频域抽取法频域抽取法FFT（DIF-FFT)(nx)2(Nnx)2()()(1NnxnxnxnNWNnxnxnx)2
33、()()(2nNW由于由于N=2M ，N/2仍然是偶数，继续将仍然是偶数，继续将N/2点的点的DFT分成偶数组和奇数组。分成偶数组和奇数组。这样每个这样每个N/2点点DFT可由两个可由两个N/4点点DFT形成。形成。其输入序列分别是其输入序列分别是x1(n)和和x2(n)按上下对半分开按上下对半分开形成的四个子序列。形成的四个子序列。DIF与与DIT算法的比较算法的比较基本蝶形不同基本蝶形不同都有都有M级运算级运算,每级有每级有N/2个蝶形个蝶形都可进行原位计算都可进行原位计算运算次数相同运算次数相同输入为自然顺序输入为自然顺序,输出为倒位序输出为倒位序4.2.5 频域抽取法频域抽取法FFT（
34、DIF-FFT)这样将这样将X(k)按按k的奇偶把的奇偶把一个一个N点的点的DFT分成为两个分成为两个N/2点的点的DFT,且可一直分解且可一直分解为直到两点的为直到两点的DFT.4.2.6 IDFT的高效算法的高效算法10 ,)(1)(10 ,)()(1010NnWkXNnxNkWnxkXNnnkNNnnkN比较两个公式可以看出，只要改变比较两个公式可以看出，只要改变DFT运算中的每个运算中的每个系数符号，最后乘以系数符号，最后乘以 1/N ，就是，就是IDFT的运算公式了。的运算公式了。实际中，为了避免发生溢出，将实际中，为了避免发生溢出，将1/N分配到每分配到每一级蝶形运算中，因为一级蝶
35、形运算中，因为 所以每一所以每一级的每个蝶形输出到乘以级的每个蝶形输出到乘以1/2. MN)2/1 (/14.2.6 IDFT的高效算法的高效算法DIT-FFT用于计算用于计算IFFT时，称为时，称为DIF-IFFTDIF-FFT用于计算用于计算IFFT时，称为时，称为DIT-IFFT对对IDFT公式两边取共轭公式两边取共轭101( )( ),01NnkNnx nXk WnNN所以所以1011( )( )( )NnkNnx nXk WDFT XkNN先将先将X(k)取共轭，就可以直接利用取共轭，就可以直接利用FFT子程序，最后子程序，最后将结果再取一次共轭，并乘以将结果再取一次共轭，并乘以1/N，即得到，即得到x(n)101( )( )NnkNnx nX k WN作业：作业：一、一、P127 P127 ：1 1，3 3，4 4下次课内容: 1. Matlab 语言简介 2. 实验 3. 期中考试.学校书库只有少量数字信号处理实习指导书，为此，同学们可不必购买，而直接在网上下载电子版的该书。我已经放在学院教案下载处说明: 学校书库只有少量数字信号处理实习指导书，为此，同学们可不必购买，而直接在网上下载电子版的该书。我已经放在学院教案下载处。
