1、第二章第二章 波函数和薛定谔方波函数和薛定谔方程程 ),(zyx),(tr),(tzyx ),(tr)(r)(rc3.3.波函数的性质和特点波函数的性质和特点微粒的微粒的波动性反映波动性反映了其运动的一种统计性规律。了其运动的一种统计性规律。电子的双缝衍射实验中电子的双缝衍射实验中：明暗条纹是波动性的体现：明暗条纹是波动性的体现屏上接收的只是一个一个的亮点（电子）屏上接收的只是一个一个的亮点（电子）亮纹处（亮点密）亮纹处（亮点密）电子投射的数目多电子投射的数目多电子投射几率大电子投射几率大取的面积大取的面积大里的电子数目多里的电子数目多几率大几率大因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具
2、有因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计统计特点特点 德国德国玻恩玻恩在在1924年提出了波函数的统计解释，即：年提出了波函数的统计解释，即：波函数的一个重要性质。波函数的一个重要性质。波函数是一种几率波，而不是真实存在的实体，不是可观测的物波函数是一种几率波，而不是真实存在的实体，不是可观测的物理量。理量。ddxdydz2|( )|rdrd 波恩是著名的理论物理学家，量子力学的奠基人之一。 从1923年开始，他致力于发展量子理论，年轻的海森伯当时是他的助教和合作者，1925年海森伯天才地提出其“关于运动学和力学关系的量子理论”，波恩当即看到海森伯理论的表达形式与矩阵代数相一致，
3、随后他和海森伯、约旦合作发表了长篇论文，以严整的数学形式全面系统的阐明了海森伯的理论。 因为因为是复数，有物理意义的是是复数，有物理意义的是 ，而不是，而不是。经典物理：经典物理：一个经典波可以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅一个经典波可以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅仅是为了数学上的方便，实际上只有实部才有物理意义。仅是为了数学上的方便，实际上只有实部才有物理意义。量子力学：量子力学：所以在量子力学中，用所以在量子力学中，用 来描述波函数的物理意义。来描述波函数的物理意义。量子力学的波函数一般必须用复数表示，有物理意义的即量子力学的波函数一般必须用复数表示，有物理意义的即不是实部，
4、也不是虚部，而是它的绝对值不是实部，也不是虚部，而是它的绝对值的平方的平方 ，所以，所以也叫几率振幅，或几率幅。也叫几率振幅，或几率幅。2|2|2|2|练习1:2|,dxx dx yy dy zz dz2(| ),dydzdxy zxxdx 范围内的几率范围内的几率 则则可为任意范围，可为任意范围， 为为内的几率内的几率设粒子波函数为，求在范围内发现粒设粒子波函数为，求在范围内发现粒子的几率？子的几率？练习2: 设在球坐标中，粒子波函数为设在球坐标中，粒子波函数为( , , )r , r rdr, 求：求：在球壳（在球壳（ ）中找到粒子的几率）中找到粒子的几率 ) )方向的立体角方向的立体角d
5、d中找到粒子的几率中找到粒子的几率 在（在（ 解： 2sindr drdd 22200|( , , )| sinrd dr dr 220|(,) |sinrr d r dddd 2|c2|22112222|( )|( )|( )|( )|crrcrr这与经典波完全不一样，经典波的振幅增加一倍这与经典波完全不一样，经典波的振幅增加一倍cos2 cosxAtxAt与不同态则其波动能量增加为原来的则其波动能量增加为原来的4 4倍，完全不同的态。倍，完全不同的态。实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现，在整个空间出现的几率为1 数学上表示为：2|, )|1r td（波函数的归一化条件*1d 满足
6、上式的波函数, )r t（ 归一化的波函数为方便引入符号*,d 归一化条件： *1d ,1|1 或量子力学基本假设告诉我们量子力学基本假设告诉我们w 与与 描写同一量子状态，即描写同一量子描写同一量子状态，即描写同一量子状态的波函数形式是不唯一的，对是不是归状态的波函数形式是不唯一的，对是不是归一化的波函数一化的波函数,（ ，C为常数）通常需为常数）通常需要把波函数归一化（要把波函数归一化（利用波函数的归一化条利用波函数的归一化条件件）。）。2221|1|cdcd cc 归一化常数归一化常数C的解不确定，可以是正负实数，的解不确定，可以是正负实数，也可是复数也可是复数 为常数，可取任意常实数值
7、为常数，可取任意常实数值w为了方便，一般规定归一化常数为了方便，一般规定归一化常数C取正实数。取正实数。不讨论相因子（不讨论相因子（=0），即归一化的波函数），即归一化的波函数不会有相因子的不确定性。不会有相因子的不确定性。222|1 | |iiiieeecce 量子力学基本假设告诉我们量子力学基本假设告诉我们例一例一22122( , )ixtx tAe已知一维粒子波函数为 （正数）， 为已知常数，A为任意常数。 求：归一化的波函数 粒子坐标的几率密度分布 粒子在何处出现的几率最大？,1 2 22 211*22222|1iixtxtdAeedx 222|a xAedx 2220| 2a xAe
8、dx2|1Aa解：解： 12()aA2 211222( , ) ()ixtaxte2 22( , ) | ( , )|a xax tx te由由0ddx 222(2 )00a xaeaxx 时时有极值有极值 2 22 22 22332200022()2|( 2)|a xa xa xxxxda d exaeea xdxdx 320a 0 x 点为极大值即 粒子在 0 x 处出现的几率最大4.自由粒子运动的波函数自由粒子运动的波函数平面波平面波w自由粒子自由粒子不受外场的作用不受外场的作用保持原态保持原态能能量量E和动量和动量P不随时间变化不随时间变化 即：自由粒子即：自由粒子E，P为常量为常量(
9、 ), ( )k cos()yAkxt由德布罗意公式由德布罗意公式 数学上为平面波数学上为平面波数学上沿力轴正向传播的平面波可表示为数学上沿力轴正向传播的平面波可表示为：为常数为常数量子力学中的波函数一般取复数形式，不能用实数量子力学中的波函数一般取复数形式，不能用实数形式形式 所以描写一维自由粒子的平面波波函数取为：所以描写一维自由粒子的平面波波函数取为：()( , ),i kxtx tAepEk沿沿X轴正向传播轴正向传播 具有确定动量 xp的一维平面波： 单色平面波具有确定的动量、能量。()( , )xxxiiip x Etp xEtpx tAeAee具有确定动量具有确定动量p()( ,
10、)iiipx EtpxEtpx tAeAee0t p某一时刻，如某一时刻，如，具有确定动量，具有确定动量的平面波函数为：的平面波函数为：( )ip rprA e w 我我们们知道知道实实物粒子波具有波粒二象性物粒子波具有波粒二象性 可以用波函可以用波函数数的的统计统计解解释释表表现现出出来来 还还可以用可以用态态的迭加原理表的迭加原理表现现出出来来1.1.态的迭加原理态的迭加原理 若体系具有一系列不同的可能状态 1,2, n, , 则这些不同的可能状态的线形叠加态,即 1122nnnnnccccnc为复常数)( 也是该体系的一个可能的状态.2. 量子力学对态迭加原理的解释量子力学对态迭加原理的
11、解释w 1,2在在 状态下状态下无论何时测量某物理量无论何时测量某物理量G(G(如能量如能量),),都有一个确定值都有一个确定值在在 状态下状态下无论何时测量某物理量无论何时测量某物理量G(G(如能量如能量),),都有一个确定值都有一个确定值根据态叠加原理根据态叠加原理: :1122cc 体系可能态体系可能态1g2g在态下测量力学量G,能得到什么样的结果呢? 在态下测量力学量G的结果,每次测得的结果是不确定的,即可能是 1g,也可能是 2g但不会是另外的值,而测得 1g及 2g的相对概率是确定的. 3.3.任意波函数的平面波展开任意波函数的平面波展开以一个确定的动量 p 运动的粒子的波函数为一
12、个平面波:()(, )ip rE tpr tAe 按照波函数的平面波展开规则有:( , )( )( , )ppr tc pr t = ( , )ip rAC P ted p 取归一化常数取归一化常数 321( 2)A321( , )( , )(2)ip rr tC P ted p 上式在数学上即是 ( , )r t的傅立叶展开 即:任意波函数 ( , )r t可以看成是将任意动量值 p 平面波叠加在一起, 实际上就是数学上的 (, )r t的傅立叶展开(变换). 4.动量表象中的波函数动量表象中的波函数 ( , )c p t 傅立叶逆变换:321( , )( , )(2)ip rc p tr
13、tedr 我们从两个傅立叶变换式子中可看到,两式互为傅氏变换已知 ( , )r t( , )c p t 就完全确定了,反之亦然. ( , )r t ( , )c p t 描写同一个量子状态描写同一个量子状态,同一状态的两种不同描写方式同一状态的两种不同描写方式一般在量子力学中讨论坐标几率密度分布与动量几率密度分布,我们只讨论一维情况121( , )(, )(2)ip xx tCp tedp121( , )( , )(2)ip xc p tx tedx取某时刻,如取t=0121( , )()(2)ip xx tCpedp121(, )( )(2)ip xc p txedx例例 题题一维运动的粒子
14、处在状态 322,0,0( )0,0 xx exxx 求: 粒子在动量表象中的波函数 粒子坐标几率密度分布 粒子动量几率密度分布解: ( )x不随时间变化,所以是一维 121(, )( )(2)ip xc p txedx32121( , )2(2)ip xxc p tx eedx = 3221()ip= 23222()2() pip 2*2322|( ) |( )( )( )4xxxxxx e 32*22221| ( )|( )( )()() ()c pcp c pppii33322222222212()()pp = 2.3 2.3 薛定谔方程薛定谔方程量子力学基本假设量子力学基本假设I(波函
15、数假设)完全描述体系状态通过态的叠加原理可以以坐标表象 ( , )r t也可以以动量表象 ( , )c p t 来完全描述 量子力学基本假设量子力学基本假设II(薛定谔方程假设)体系状态波函数 ( , )r t满足薛定谔方程: ( , )( , )r tiHr tt其中 H为体系的哈密顿算符 ( , )r t( , )r t也可以以动量表象 ( , )r t也可以以动量表象 ( , )r t也可以以动量表象 ( , )r t1.自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程一个自由粒子( ( )0U r )波函数的一个平面波: ()( , )ip rE tr tAe 是自由粒子薛定谔方程的解对时间求
16、其一阶偏导及对坐标求其一阶和二阶偏导,可得:222( , )( , )()( , )( , )r tiEr ttir tpr t对于自由粒子,能量与动量的关系: 22pE (为粒子的质量) 两边同乘 ( , )r t2( , )( , )2pEr tr tEipit 22( , )( , )2r tir tt 自由粒子的薛定谔方程2.2.势场中的粒子的薛定谔方程势场中的粒子的薛定谔方程势场中运动的粒子，总能E = 动能T + 势能 ( )U r2()2pEUr两边同乘 ( , )r t2( , )( )( , )2pEr tUrr tEipit 22( , )( ) ( , )2ir tU r
17、r tt 势场中运动粒子的薛定谔方程经典分析力学经典分析力学中，通常用哈密顿量H 表示粒子总能量等于动能与势能的和，H = T + U 即， 2()2pHUrpi 22( )2HU r 哈密顿算符自由粒子 ( )0U r ，所以 222H ( , )( , )ir tHr tt 薛定谔方程或含时薛定谔方程3.3.多粒子体系的薛定谔方程多粒子体系的薛定谔方程N粒子体系，其坐标分别为 12, ,Nr rr ，体系总波函数 为 12, ,Nr rr 的函数，即 12( , )Nr rrt 体系总能量为： ETU2121( ,)2NiNiipEU r rr 体系势能（N个粒子在外场中的势能 1()Ni
18、iUr+粒子间的相互作用能 1 2( , ,)NVr rr 两边同乘 12( , )Nr rrt ,() ,iiiiiiEipiijkUUtxyz 且 221212121( , , )( , ,) ( , , )2NNiNNiiir rrtU r rrr rrtt 练习：练习：写出氦原子（核写出氦原子（核+2e电荷）中的两电子体系的哈密顿算符及相应的薛定谔方程。电荷）中的两电子体系的哈密顿算符及相应的薛定谔方程。222222110012211()244|iiiiieeHrrr 4. 4. 算算 符符 小小 结结 能量算符： 动量算符： 动能算符： 势能算符： 哈密顿算符： EEit,ixxpp
19、ippix 22222pTT ( )( )( )U rU rU r22( )( )( )2HTU rHTU rU r 2.4 2.4 定态与定态薛定谔方程定态与定态薛定谔方程含时薛定谔方程 波函数如何随时间演化 这个波函数是普遍的，可以描写任意量子态 这些量子态中包括能量本征态（每次测得都是确定的能量值， 平面波（自由粒子态），动量本征态（动量测得确定值的态）， 能量叠加状态（能量测不出确定值）1.1.定定 态态能量具有确定值的状态。（ ( )U r不含时，保守场） 定态时，波函数及薛定谔方程是什么样的数学形式？?2. 不显含时间时，薛定谔方程的解不显含时间时，薛定谔方程的解( )U r含时薛
20、定谔方程： 22( , )( ) ( , )2ir tU rr tt U不含时分离变量法：设 ( , )( )( )r trf t代入 得： 22( )() ( )( ) ( ) ( )2f tirU rrf tt 整理后可得到两个方程:( )( )ftiEftt22( ) ( )( )2U rrEr 求求 得得： ( )( )df tiE f tdt( )( )( )df tiEd tf t( )iEtf tC e求求 得得： ( )( )HrEr定态薛定谔方程（不含时）定态薛定谔方程（不含时）( )( )( )( )iEtrrf tCre( , )( )iEtr tre 定态波函数定态波函
21、数练习练习1 1自由粒子的单色平面波是否处于定态？答：是。无外场定态。( , )( )iiip rEtp rr tAeere 练习练习2 2几个不同单色平面波的叠加态是否为定态？答：不是，因为能量不确定。11221212( , )( , )( , )( )( )ppppppiiE tEtppr tCr tCr tr er e练习练习3 3 两个沿相反方向传播的具有相同能量（同色）的平面波叠加态是否为定态？ 答：是，驻波。（详见教材37页）求体系定态波函数 ( , )r t及与此定态相对应的能量E（ ( )U r）。 解薛定谔方程： ( )( )HrEr( , )( )iEtr tre( )U
22、r不含时时，含时薛定谔方程的通解： ( , )( , )( )niE tnnnnnnr tCr tCre 不是定态， nC是常数定态波函数的初试状态（设t=0）( , )( )iEtr tre( ) r任意时刻波函数的坐标部分 t=0时： ( ,0)( )rr222|( ,0)|( , )|( )|rr tr定态下，坐标几率密度分布不随时间变化。 ( , )( ,0)iEtr tre( )U r不含时，知道初试时刻的波函数，乘时间因子就能知道t时刻的波函数。 练习练习1 1一维自由粒子，设一维自由粒子，设 121( ,0)(2)ip xxe，求，求 ( , )x t 解： ( ) 0U r 不
23、显含t ,( )0U rt定态 ( , )( ,0)iEtr tre22022ppEmm202121( , )(2)piitp xmr tee 练习练习2 2设一非定态设一非定态t=0时时， 1212( ,0)( )( )EErcrcr，求，求 ( , )x t 解：解： 12( , )( , )( , )EEr tr tr t1212121212( ,0)( ,0)( )( )iiE tE tEEiiE tE tEErerecrecre练习练习3 3当体系势能改变一常数，即当体系势能改变一常数，即 ，粒子的能量本征，粒子的能量本征函数是否改变？能量本征值是否改变？函数是否改变？能量本征值是否
24、改变？ 2.5 2.5 几率流密度与几率流密度与 几率守恒定律几率守恒定律 体系波函数随时间的变化规律满足薛定谔方程，体系波函数随时间的变化规律满足薛定谔方程，而而无经典物理意义，有物理意义的是无经典物理意义，有物理意义的是 2|( , )r t几率密度，那么一个在势场几率密度，那么一个在势场 ( )U r它的几率密度随时间的变化满足什么样的方程呢？它的几率密度随时间的变化满足什么样的方程呢？中运动的粒子中运动的粒子，1.几率守恒定律几率守恒定律体系状态波函数体系状态波函数： ( , )r t坐标几率密度：坐标几率密度： 2*( , ) |( , )|( , )( , )r tr tr tr
25、t随时间的变化率：随时间的变化率： *ttt- 22( )2iHU rt 21( )2iU rti-假定 ( )U r不含时，并且为实数，即 *UU则上式的复共轭方程为： *2*1( )2iUrti- 将，代入中，得： 2*2*11()()22iiUUtii *22*()()2()2()2iii 令 *()2iJ 则 Jt 即： 0Jt经典物理的连续性方程，量子称为经典物理的连续性方程，量子称为几率守恒定律几率守恒定律（微分式）（微分式）也叫粒子数守恒定律。也叫粒子数守恒定律。2.2.几率流密度与几率守恒的物理解释几率流密度与几率守恒的物理解释0Jt物理意义：物理意义： 2|位置（坐标）几率密
26、度，表示t时刻， r点附近单位体积内发现粒子的几率。?J 按照连续性方程， J应具有流密度 的含义，所以叫几率流密度。 为了进一步说明，对连续性方程两边，对空间任意体积为了进一步说明，对连续性方程两边，对空间任意体积V求积分得：求积分得：VVdJ dt ()VSVdJd st 几率守恒定律（积分形式）几率守恒定律（积分形式） *()2iJ 几率流密度几率流密度几率为什么会流动呢？几率为什么会流动呢？在外场在外场 ( )U r的作用下，粒子在的作用下，粒子在 r处出现的几率密度处出现的几率密度 可能会随时间变化，有的地方密度增加了可能会随时间变化，有的地方密度增加了,有点地方密度减少了有点地方密
27、度减少了, (而非相对流粒子不产生，不湮灭，总数目不变），这表明几率而非相对流粒子不产生，不湮灭，总数目不变），这表明几率在流动。在流动。？J大小：单位时间内流过垂直于流动方向单位面积的几率。 方向：该点几率流动的方向。（算出 J矢量的方向）。 练习：练习： 若波函数 ( , )r t与坐标有关的部分是实数， 证明几率流密度等于零。 证明： 为实数波函数，即 *,0J，即实数波函数的 几率流密度为零。 对几率守恒定律的积分式，对全空间积分V ，则无S界面（V）之外的几率（粒子），所以通量为00dt 2|0dddt2| d常数即，对一个粒子来说，在全空间发现该粒子的几率即，对一个粒子来说，在全空
28、间发现该粒子的几率 与时间无关，为常数；但是在有效体积与时间无关，为常数；但是在有效体积V内找到内找到 粒子的几率与时间有关。粒子的几率与时间有关。3.3.波函数的标准条件：波函数的标准条件： 单值性、连续性、有限性单值性、连续性、有限性 波函数的物理特点：完全描述状态。 数学要求满足哪些条件呢？2|( , )|r t坐标几率密度，物理上要求它是单值的这样 ( , )r t不一定是单值的，但只要 ( , )r t是 rt的单值函数， 2|就是单值的，这就是波函数单值性的含义。 及 J连续薛定谔方程： 22()2rt，对坐标的二阶导数 要求 及其对坐标的一阶导数 x连续： 1212( )()()
29、()ararara r=a势场跳跃处 一个粒子不可能进入一个粒子不可能进入U=的空间，这就是意味着的空间，这就是意味着=0。 0022|VV 有限值，即粒子在有限的空间范围内出现的几率有限。 在势能间断点处边界条件的实质是，要求概率密度连续和概率流密度连续。在多数情况下，这种要求可以简化为波函数连续和其一阶导数连续。在特殊情况下（如U=），其波函数一阶导数不连续，但其几率流密度却是连续的。2.6 2.6 定态问题定态问题 一维无限深势阱一维无限深势阱对称势场： 0,|( ),|xaU xxa一个质量为 的粒子在 ( )U x中做一维运动。 ( )U x-aa1023x一维无限深势阱最简单的势形
30、式，少数几个有解析解的。 金属中自由电子的运动就可以简化为近似的这种势， U ,电子跑不出去。 列方程，解出 ( ,)nr与 nE( )U x 不含时，定态薛定谔方程HE222( )2HU xx 阱外， | | xa222( )( )( )2dxxExdx定态薛定谔方程（能量本征方程）波函数连续,有限 ( ( )x,粒子进不到势场为的区域： ( )0 x|xa13( )( )0 xx阱内， |xa222()()2dxExd x 其解为： 212( )sin()xckxc经过整理计算,我们可以得到:1( )sin(),| |2( ) 0| |nnxx axaaaxxa 第n个能量本征函数对称势场
31、22221,2,38nnEna 22221,2,38nnEna1( )sin()2nnxxaaa束缚态与分立能级 粒子被束缚在 axa 的区域内，不可能进入 r 处。 束缚态束缚态：粒子的运动被限制在一定（有限）的空间范围内，即 ()0r ，称为束缚态。束缚态能级是分立的分立能级（方程的解不只一个，具有周期性, )1,2,3n 基态：体系能量最低的状态1n 基态221208Ea量子特征：微粒波动性的体现，没有能量为零的波，量子力学 中没有静止（E=0）的粒子。经典物理：有E=0的静止的粒子。激发态（n1）能级-aax1E基态2E第一激发态3E4E1( )x2( ) x3( ) x4( )x第二
32、激发态第三激发态阱内驻波完全束缚在阱内，粒子处于束缚态一点也传不出去驻波驻波条件：-a与a处为节点处.2 ,1,2,32nan 将实物粒子波 2hhpE代入上式，并平方得： 222442nhaEnE：体系可能的能量， 22 221,2,38nnEEna 对称势阱中波函数的宇称宇称：波函数在空间反演 ()rr 下的奇偶性。偶宇称态()( )rr()( )rr 奇宇称态1( )sin()2nnxxaaa|xa1,2,3n n为奇数： 1sin()22nnxnaa( )cos()1,3,52nnxAxna()( )nnxx 偶宇称态基态波函数 111,( )cos()2nxxaan为偶数:( )si
33、n()2,4,62nnxBxna()( )nnxx 奇宇称态 第一激发态 212,sin()nnxaa阱内粒子的第n定态波函数1( , )( )sin()2nniiE tE tnnnx txexaeaa练习练习1 1：P52 2.6 只有对称势场（对原点对称）即 ()( )UxU x,相应的能量本征函数才有确定的宇称。练习练习2 2：势变为： 0|2( )|2axU xax或 00( )xaU x其它问: 是否变? 是否变?试求之。nEn2.7 2.7 定态问题定态问题 一维线性谐振子一维线性谐振子4.4.讨论讨论1()0,1,22nEnn()U x ()x 束缚态 分立能级nEn 无限深势阱
34、 2nEn 012E零点能，与经典不同，量子力学中没有“能量为0、静止”的波能级差： 10nEE 均匀能级 0 x0E1E2E3E基态第一激发态 ( )nx ()( 1)( )0,1,2nnnxxn n为奇数 奇宇称 n为偶数 偶宇称 22120( )xxe22200( ) |( )|xxxe 正态分布，高斯分布 0 x经典X=0处，几率密度最大，找到谐振子的概率最大。 而经典： X=0处，动能最大，最小, 0|xt时间最短，所以找到 粒子的几率最小；两边找到粒子的几率大0( ) x粒子在原点出现的几率要么最大（n为偶数），要么为0（n为奇数） 粒子有一定的几率出现在经典禁区内 ,(0ET U
35、 E U T 量子不成立）,(即粒子的 总能量小于势能 ( )U x的区域），即势能曲线以外的区域 2|0n，量子效应。 量子数n增大，几率密度分布与经典的几率密度分布接近， 大量子数极限，量子论趋近于经典理论。222222221()()22Hxyxy ( , )( , )Hx yEx y 分离变量法，设分离变量法，设 xyEEE( , )( )( )x yxy 得到两个方程：得到两个方程： 22222222221() ( )( )221() ( )( )22xydxxExdxdyyEydy 两方程与一维线性谐振子方程形式一致，所以其解的形式两方程与一维线性谐振子方程形式一致，所以其解的形式也
36、与一维形式一样。也与一维形式一样。 11()()(1)22nxyEnnn2 22 21122( , )( )( )x ynnnnxyxyxynnxyN N Hx Hy ee,0,1,20,1,2xyn nn练习练习1 1：利用厄密多项式的求导关系，证明 111( )22nnndnnxdx练习练习2 2：利用厄密多项式的递推关系，证明 1111( )( )( )22nnnnnxxxx2.8 2.8 定态问题定态问题 一维势垒贯穿一维势垒贯穿 一维无限深势阱与一维线性谐振子一维无限深势阱与一维线性谐振子 定态问题中的定态问题中的束束缚态问缚态问题题: ()()0U rr 求 ( , )nr t及
37、nE这节讨论定态问题中的非束缚态问题: ()0()rU r 有限(如等于0) 可以讨论粒子被势垒散射的问题可以讨论粒子被势垒散射的问题 :如势垒如势垒: 000( )00,0UxaU xxx 方形势垒方形势垒ax0E( )U x0U具有一定能量E的粒子有左向右运动.经典物理经典物理: 只要 0EU,粒子可以越过势垒运动到 xa处,0EU被反射,不能透射. 量子力学量子力学: 0EU,有透射,也有反射; 0EU,有反射,也有透射. 一维谐振子: 0( )EU x,粒子有几率进入到经典禁区. x( )U x0Exxa0EJRJDJJ : 入射波的几率流密度RJ：反射波的几率流密度 DJ：透射波的几率流密度 |RJRJ：反射系数 | 1DJDRJ : 透射系数( )U x0U 这种粒子能量小于势垒高度时仍能穿过势垒这种粒子能量小于势垒高度时仍能穿过势垒的现象称为隧道效应的现象称为隧道效应. .隧道效应： 粒子总能量E小于势垒高度时，仍能穿过势垒的现象。 在非相对论量子力学中，除无穷势垒外，粒子总可以贯穿势垒。势垒高度越高，宽度越大，透射系数越小。（小崂山道士） 实际生产生活中的隧道效应:粒子衰变:
