1、多媒体教学课件多媒体教学课件李文科 制作第三章第三章 流体动力学基础流体动力学基础第一节第一节 流体流动的起因流体流动的起因第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类第三节第三节 迹线与流线迹线与流线第四节第四节 流管、流束、流量和平均流速流管、流束、流量和平均流速第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程第六节第六节 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程第三章第三章 流体动力学基础流体动力学基础第七节第七节 理想流体沿流线的伯努利方程及理想流体沿流线的伯努利方程及其应用其应用第八节第八节 沿流线非稳定流动的伯努利方程沿流线非稳定流动的伯努利方程第九节第九节 沿流线主法线方向速
2、度和压力的沿流线主法线方向速度和压力的变化变化第十节第十节 动量方程和动量矩方程动量方程和动量矩方程第一节第一节 流体流动的起因流体流动的起因内内 容容 提提 要要 1 1、浮力造成的自然流动浮力造成的自然流动 2 2、压差造成的强制流动压差造成的强制流动第一节第一节 流体流动的起因流体流动的起因 由不同的起因所造成的流体的流动过程具有不同的流动特征。造成流体流动的原因可分为两大方面：造成流体流动的原因可分为两大方面： 一是由浮力造成的，二是由外力或压差造成的。一是由浮力造成的，二是由外力或压差造成的。 根据流体流动的起因不同，可将流体的流动分为自然流动根据流体流动的起因不同，可将流体的流动分
3、为自然流动和强制流动。和强制流动。 1.1.自然流动：自然流动：在流体流动的体系内，因各部分流体的温度在流体流动的体系内，因各部分流体的温度不同所导致的密度不同，而产生的浮力作用所造成的流动，不同所导致的密度不同，而产生的浮力作用所造成的流动，称自然流动。称自然流动。在某流体中，当流体的某一部分受热时，则会因温度的升高而使其密度减小，此时，将在周围温度较低、密度较大的流体所产生的浮力作用下产生上浮的流动；反之，则产生下降的流动。第一节第一节 流体流动的起因流体流动的起因 流体的自然流动一般都是和热量的传递过程同时存在的，流体流动的特征流体流动的特征则直接和换热过程有关，流场的特征与换热则直接和
4、换热过程有关，流场的特征与换热的温度场相互制约而并存。的温度场相互制约而并存。因此，自然流动中的动量交换过自然流动中的动量交换过程一般来说是较为复杂的。程一般来说是较为复杂的。 2.2.强制流动：强制流动：在流体流动的体系内在流体流动的体系内, ,流体在外力或压差的流体在外力或压差的作用下所产生的流动称为强制流动。作用下所产生的流动称为强制流动。如在泵或风机所提供的压力以及在喷射器所提供的喷射力作用下的流体的流动都属于强制流动。 对于流体流动的分类，除按流体流动的起因分类外，还有其它一些分类方法，如前已提到过的不可压缩流体的流动和可不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动；理想流体的流动和粘性流体
5、的流动；压缩流体的流动；理想流体的流动和粘性流体的流动；以及第一节第一节 流体流动的起因流体流动的起因 以后我们将要学到的稳定流动和非稳定流动；层流流动和紊流稳定流动和非稳定流动；层流流动和紊流流动；有旋流动和无旋流动；亚音速流动和超音速流动流动；有旋流动和无旋流动；亚音速流动和超音速流动等。第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类内内 容容 提提 要要一、一、 流场的概念流场的概念二、二、 研究流体运动的方法研究流体运动的方法三、三、 稳定流场和非稳定流场稳定流场和非稳定流场四、四、 一维流场、二维流场和三维流场一维流场、二维流场和三维流场五、五、 控制体的概念控制体的概念第二节第二节
6、 流场的特征及分类流场的特征及分类 一、流场的概念一、流场的概念 流体是由无限多的连续分布的流体质点所组成，流体的运流体是由无限多的连续分布的流体质点所组成，流体的运动一般都是在固体壁面所限制的空间内外进行的。动一般都是在固体壁面所限制的空间内外进行的。例如，室内空气的流动、室外大气的绕流、管道中水、蒸气或煤气的流动等，都是在建筑物的墙壁、管道的管壁等固体壁面所限制的空间内外进行的。因此，流体在流动过程中将连续地占据这些空间。我们把流体流动所占据的全部空间称为把流体流动所占据的全部空间称为流场流场。流体力学的主要任务就是研究流场中流体的运动规律。 二、研究流体运动的方法二、研究流体运动的方法
7、流体力学中，研究流体运动的方法有两种：拉格朗日法拉格朗日法和欧拉法欧拉法。第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 1. 拉格朗日法拉格朗日法 拉格朗日法是将整个流体的运动看作是各个单一流体质点拉格朗日法是将整个流体的运动看作是各个单一流体质点运动的总和。他首先着眼于描述单个质点在运动时的位置、运动的总和。他首先着眼于描述单个质点在运动时的位置、速度、压力及其它流动参量随时间的变化规律，然后把全部速度、压力及其它流动参量随时间的变化规律，然后把全部质点的运动情况综合起来，得到整个流体的运动。质点的运动情况综合起来，得到整个流体的运动。拉格朗日法实质上是利用质点系动力学质点系动力学来研究连
8、续介质的运动。 既然拉格朗日法首先描述单个质点沿其轨迹的运动，而流体又是由无数质点组成的，这就需要设法标明所描述的是哪个质点的运动。为此，选取在某一初始时刻0各个质点的位置坐标a、b、c来作为它们的标记。不同的质点在0时必然占有各自不同的位置，因此，把a、b、c作为变数就能代表所有的第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 流体质点。同时，每个流体质点在运动过程中的空间位置都是随时间在不断变化。所以，在直角坐标系中在直角坐标系中流体质点的轨迹流体质点的轨迹方程方程可表示为可表示为 (3-1) 式中a，b，c和和称为拉格朗日变数。称为拉格朗日变数。 )()()(，cbazzcbayycba
9、xx第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 将式(3-1)对时间求导，可得到某个流体质点的速度为流体质点的速度为 (3-2)(dd)(dd)(dd，cbazzzucbayyyucbaxxxuzyx第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 同理可得到某个流体质点的加速度为流体质点的加速度为 (3-3) 流体质点的其它流动参量可以类似地表示为a、b、c和的函数。如222222)()()(，cbazuacbayuacbaxuazzyyxx)(，cbapp )(，cba第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 2. 2. 欧拉法欧拉法 欧拉法是以流体运动的空间作为观察对象，即着眼于
10、整个欧拉法是以流体运动的空间作为观察对象，即着眼于整个流场的状态。研究某一时刻位于各不同空间点上流体质点的流场的状态。研究某一时刻位于各不同空间点上流体质点的速度、压力、密度及其它流动参量的分布，然后把各个不同速度、压力、密度及其它流动参量的分布，然后把各个不同时刻的流体运动情况综合起来，从而得到整个流体的运动。时刻的流体运动情况综合起来，从而得到整个流体的运动。 实质上，欧拉法是研究表征流场内流体流动特征的各物理各物理量的场量的场向量场和标量场。向量场和标量场。如速度场、压力场和密度场等。 一般情况下，同一时刻不同空间点上流动参量是不同的，因此，流动参量是空间点的坐标(x，y，z)的函数，而
11、在不同时刻同一空间点上流动参量也是不同的，因而，流动参量也是时间的函数。如第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 (3-4) 或 (3-4a) (3-5) (3-6) 式(3-4)至式(3-6)所表示的函数式依次代表速度场、压力场和密度场。对于流体运动中的其它物理参量也可用同样的函数形式来表示。)()()()()()(，zyxzyxppzyxuuzyxuuzyxuuzyxuuzzyyxx第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 在欧拉法中，通过流场中某点的流体质点的加速度可表示为： (3-7) 或 (3-7a)ddddddddzzuyyuxxuuuaddddddddddddddd
12、dddddddddzzuyyuxxuuuazzuyyuxxuuuazzuyyuxxuuuazzzzzzyyyyyyxxxxxx第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 由于在流场中任一流体质点都沿着一定的轨迹运动，可见，运动的流体质点所经过的空间点的坐标也是随时间变化的，即x，y，z都是时间的函数： (a) 式(a)是流体质点的运动轨迹方程。将式(a)对时间求导即得到流体质点沿运动轨迹的三个速度分量为 (b) 将式(b)代入式(3-7)和式(3-7a)得 (3-7b)zyxuzuyuxdddddd，zuuyuuxuuuazyx)()()(zyxx，第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征
13、及分类 (3-7c) 由式(3-7b)可知，用欧拉法求得的流体质点的加速度由两用欧拉法求得的流体质点的加速度由两部分组成，部分组成，第一部分是第一部分是由于某一空间点上的流体质点的速度由于某一空间点上的流体质点的速度随时间变化而产生的，称为随时间变化而产生的，称为当地加速度当地加速度或或时变加速度时变加速度，即式(3-7b、c)中等式右端的第一项；第二部分是第二部分是由于某一瞬时流体由于某一瞬时流体质点的速度随空间点的变化而引起的，称为质点的速度随空间点的变化而引起的，称为迁移加速度迁移加速度或或zuuyuuxuuuazuuyuuxuuuazuuyuuxuuuazzzyzxzzyzyyyxyy
14、xzxyxxxx第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 位变加速度位变加速度，即式(3-7b)中等式右端的后三项。当地加速度与当地加速度与迁移加速度之和称为迁移加速度之和称为总加速度总加速度。 为了加深对当地加速度与迁移加速度的理解，现举例说明这两个加速度的物理意义。如图3-1所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面2比截面1小，则截面2 图3-1 流体在变截面管道内的流动第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 的速度就要比截面1的速度大。所以当流体质点从1点流到2点时，由于截面的收缩引起速度的增加，从而产生了迁移加速度；如果在某一段时间内流进管道的流体输入量有
15、变化(增加或减少)，则管中每一点上流体质点的速度将相应发生变化(增大或减少)，从而产生了当地加速度。 在流体运动过程中，流体质点的其它流动参量的变化率也可写成与式(3-7b)同样的形式，如zuyuxuzpuypuxpuppzyxzyxdddd第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 在圆柱坐标系下，流体质点的加速度计算式为： (3-8)zuuruuruuuaruuzuuruuruuuaruzuuruuruuuazzzzrzzrzrrzrrrrr2第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 三、稳定流场和非稳定流场三、稳定流场和非稳定流场 流体质点的流动参量是位置坐标(x，y，z)和时
16、间的函数，一般情况下流体质点的流动参量是随位置坐标和时间而变化的。 当流场中的流体在流动时，若流体质点的流动参量当流场中的流体在流动时，若流体质点的流动参量( (如速如速度度u和压力和压力p等等)不随时间不随时间而变化，而只是位置坐标而变化，而只是位置坐标(x，y，z)的函数，这种流场被称为的函数，这种流场被称为稳定流场稳定流场。稳定流场中流体的流动参量，如速度u和压力p等表达式可写成00),(),(puzyxppzyxuu或第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 稳定流场内流体的流动称为稳定流场内流体的流动称为稳定流动稳定流动。如图3-2(a)所示，在容器的侧壁开一小孔，液体从小孔向
17、外流出。如果设法使容器内的液面高度保持不变(如连续往容器内注入一定量的液体)，那么所观察到的从小孔流出的流股轨迹也是不变的。这说明孔口处的流速以及流股内各空间点上的流速都不随时间而变化，这种情况下的流动即为稳定流动。但是，在流股内不同的位置上的流体质点的运动速度则是不同的。就是说，稳定流动时，流场中各点的流动参量虽然与时间无关，但一般仍是空间坐标的函数。 如果流场中的流体在流动时，流体质点的流动参量既随时如果流场中的流体在流动时，流体质点的流动参量既随时间而变化又随坐标而变化，这种流场则称为间而变化又随坐标而变化，这种流场则称为非稳定流场非稳定流场。第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分
18、类 (a)稳定流 (b)非稳定流 图3-2 稳定流动和非稳定流动第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 这时的流动参量是时间和坐标(x，y，z)的函数，如速度、压力的表达式可写为 非稳定流场内流体的流动则称为非稳定流场内流体的流动则称为非稳定流动非稳定流动。如图3-2(b)，如果不往容器内补充液体，显然随着流体从小孔向外流出，容器内液面不断下降。这时可观察到，随着时间的增长，从小孔流出的流股的轨迹从初始状态逐渐向下弯曲。这说明流股内部各点的流速等各流动参量不仅是坐标的函数，而且随时间在不断地变化。这种情况下的流动则为非稳定流动。00),(),(puzyxppzyxuu或第二节第二节 流
19、场的特征及分类流场的特征及分类 非稳定流动是比较多见的。但如果我们观察的时间比较长，其流动参量的变化平均值趋于稳定；或者流体的流动参量随时间的变化非常缓慢，且在较短的时间内研究这种流动时，都可以近似地认为它们是稳定流动或作为稳定流动来处理。这样做，方法比较简便，而且能满足工程上的实际需要。第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 四、一维流场、二维流场和三维流场四、一维流场、二维流场和三维流场 一般地，流体的流动都是在三维空间内进行，流体的流动流体的流动参量多是三个坐标的函数，这种流场称为参量多是三个坐标的函数，这种流场称为三维流场三维流场。如自然环境中风或水的流动等都属三维流场内的流动
20、。如果流场中流如果流场中流体的流动参量是两个坐标或是一个坐标的函数，则它们分别体的流动参量是两个坐标或是一个坐标的函数，则它们分别被称为被称为二维流场二维流场和和一维流场一维流场。很显然，自变量的数目越少，问题就越简单，因此，在流体力学的研究和实际工程技术中，在可能的条件下应尽量将三维的流场简化为二维流场甚至一维流场予以解决或近似求解。 例如图3-3所示一变截面圆管内粘性流体的流动，流体质点的速度既是半径r的函数，又是沿轴线距离x的函数，即第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 显然这种流场为二维流场，但在工程上常将其简化为一维流场来求解。其办法就是在每个截面上取速度的平均值，图3-3
21、中的就是速度 在相应截面上的平均值。于是有 即速度场只是x的函数，这就是一维流场的问题。 图3-3 管内流速分布图u)(xfu )(xru，u第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 五、控制体的概念五、控制体的概念 所谓所谓控制体控制体，就是根据所研究问题的需要，在流场中划定，就是根据所研究问题的需要，在流场中划定的某一个确定的空间区域。这个区域的周界称为的某一个确定的空间区域。这个区域的周界称为控制面控制面。控控制体的形状是根据流体的流动情况和边界位置任意选定的，制体的形状是根据流体的流动情况和边界位置任意选定的，但一旦选定之后，则不再随流体的流动及过程的进行而变化。但一旦选定之后，
22、则不再随流体的流动及过程的进行而变化。同时，控制体的形状和位置相对于所选定的坐标系来说也是固定不变的。另外，控制面可以是实际存在的表面，也可以是设想的表面。如图3-4所示的1234区域为所选的控制体，它相对于坐标系xoy是固定的不变的，图中1-3控制面和2-4控制面是实际存在的表面，1-2控制面和3-4控制面为设想的表面。第二节第二节 流场的特征及分类流场的特征及分类 图3-4 控制体和控制面第三节第三节 迹线与流线迹线与流线内内 容容 提提 要要一、一、迹线迹线二、二、流线流线 1. 1. 流线的概念流线的概念 2. 2. 流线具有的两个特点流线具有的两个特点 3. 3. 流线的性质流线的性
23、质 4. 4. 流线的微分方程流线的微分方程第三节第三节 迹线与流线迹线与流线 为了使整个流场形象化，进而得到不同流场的运动特征，需要研究同一流体质点在不同时间内或者同一瞬时众多流体质点间流动参量的关系，也就是质点参量的综合特性。前者称为迹线研究法迹线研究法，后者称为流线研究法流线研究法。 一、迹线一、迹线 迹线迹线就是流体质点在一段时间内的运动轨迹线。就是流体质点在一段时间内的运动轨迹线。如在水流中撒入细微的铝粉或镁粉，然后去跟踪某些铝粉或镁粉微粒(每一铝粉或镁粉微粒可近似表示一个流体质点)，就可观察到它们的运动轨迹，也就是流体质点的迹线。通过迹线可以看出流体质点是作直线运动，还是作曲线运动
24、，以及它们的运动途径在流场中是如何变化的。第三节第三节 迹线与流线迹线与流线 一般情况下，只有以拉格朗日法表示流体质点的运动时才能作出迹线。迹线的特点是：迹线的特点是：对于每一个质点都有一个运动对于每一个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一族曲线，而且迹线只随质点不同而异，轨迹，所以迹线是一族曲线，而且迹线只随质点不同而异，而与时间无关。而与时间无关。研究流体质点的迹线是拉格朗日法的内容，为了适应欧拉法的特点，还必须引入流线的概念，它也能形象地描绘出流场内的流动形态。 二、流线二、流线 流线流线是在同一瞬时流场中连续分布的不同位置的质点的流是在同一瞬时流场中连续分布的不同位置的质点的流动方向线。
25、动方向线。或者说，或者说，流线流线是某一瞬时的一条空间曲线，该曲是某一瞬时的一条空间曲线，该曲线上每一流体质点的速度方向都与曲线在该点的切线方向相线上每一流体质点的速度方向都与曲线在该点的切线方向相重合。重合。亦即亦即流线上各质点的流速都与流线相切。流线上各质点的流速都与流线相切。第三节第三节 迹线与流线迹线与流线 如图3-5(a)所示，设在某一瞬时，流场内某一空间点a处的流体质点速度为ua，沿ua方向无穷小距离b处的流体质点在同一瞬时的流速为ub，沿ub方向无穷小距离c处的流体质点在同一瞬时的流速为uc，依次类推，在同一瞬时的流场空间内，有一条经过流体质点a、b、c、d、e的折线abcde。
26、如果把这条折线上相邻点间的距离无限缩短并趋于零，则该折线就成为一条光滑的曲线，如图3-5(b)，这条光滑的曲线就是瞬时流场中的一根流线。我们还可以用简单的实验来显示出流场中的流线形状。例如在水流中撒布闪光铝粉或镁粉，在摄影灯光照射下，用快速照相机在极短的曝光时间内拍摄水流的照片，即可得到流线图。在照片上可以看出，这第三节第三节 迹线与流线迹线与流线 (a)折线 (b)流线 图3-5 流线示意图 些流线是由很多闪亮的短线汇聚组成的，这些短线是在短促的曝光时间内，由很多铝粉或镁粉颗粒各自划出的。可见流线是客观存在的，它直接显示出流场内的流动形态。第三节第三节 迹线与流线迹线与流线 流线具有以下两个
27、特点：流线具有以下两个特点： (1)(1)流线是在某一瞬时所得到的一条曲线，而不流线是在某一瞬时所得到的一条曲线，而不是在一段时间内跟踪流体质点运动所得到的曲线。是在一段时间内跟踪流体质点运动所得到的曲线。 (2)(2)它不是某一流体质点在运动中的轨迹线，而它不是某一流体质点在运动中的轨迹线，而是通过很多个位于不同坐标点上的流体质点的运动速是通过很多个位于不同坐标点上的流体质点的运动速度向量所描绘出的曲线。度向量所描绘出的曲线。第三节第三节 迹线与流线迹线与流线 流线的性质：流线的性质： (1)(1)在稳定流场中，流线在空间的位置和形状都在稳定流场中，流线在空间的位置和形状都不随时间而变化。在
28、非稳定流场中，流线在空间的位不随时间而变化。在非稳定流场中，流线在空间的位置和形状是随时间而变化的。置和形状是随时间而变化的。 (2)(2)在稳定流场中，流线和迹线相重合。在非稳在稳定流场中，流线和迹线相重合。在非稳定流场中，流线和迹线不重合。定流场中，流线和迹线不重合。 (3)(3)流线与流线之间不能相交，同时，流线也不流线与流线之间不能相交，同时，流线也不可能有分支，即不可能有横过流线的流体流动。可能有分支，即不可能有横过流线的流体流动。 (4)(4)流线不能发生突然折转。流线不能发生突然折转。第三节第三节 迹线与流线迹线与流线 现用反证法解释第三个性质的结论。如图3-6所示，假定有两条流
29、线1、2在A点相交，按流线的定义，在A点所作出的代表流体质点速度向量的切线 应有两条。可是在同一瞬时， 一个流体质点只能有一个速度 向量，不可能同时有两个不同 的速度向量，即一个流体质点 在同一瞬时不可能同时向两 个方向运动。除非A点的速度点的速度 为零，是一个为零，是一个驻点驻点；或者A点点 的速度无穷大，是一个的速度无穷大，是一个奇奇点点。 图3-6 假定流线相交图第三节第三节 迹线与流线迹线与流线 这样，流线已被分割成了四条，而不再是两条相交的流线。所以过A点只能有一条流线。故流线是不可能相交的。同时，流线也不可能有分支(两条流线在某点两条流线在某点相切相切除外除外)。 另外，流体被视为
30、连续介质，其中各点的流动参量都是坐标的连续函数。如果出现流线急剧折转现象，则必然破坏函数的连续性规律。所以只有在平滑曲线形状时才能保证连续流动条件。在工程设计中，对于和流体运动有直接关系的物体表面，如管嘴的入口和风机的叶片等总是尽量作成流线型的，以减少能量损失。 第三节第三节 迹线与流线迹线与流线 流线的微分方程式：流线的微分方程式： 如图3-7所示，在流线上A点处的流体质点的速度为u，它在x，y，z坐标轴上的投影分别为ux、uy、uz，A点处流线上的一微元段长为ds，其投影分别为dx、dy、dz。根据流线的定义，A点的速度u必与A点的切线相重合，于是有 由此得到 (3-9) 式式(3-9)就
31、是直角坐标系下的就是直角坐标系下的流线微分方程式流线微分方程式。suusyuusxuuzyxdzddddd，zyxuuyuxzddd第三节第三节 迹线与流线迹线与流线 在圆柱坐标系下的流线微分方程式为 (3-10) 图3-7 流线上速度向量分解zruzururddd第四节第四节 流管、流束、流量和平均流速流管、流束、流量和平均流速内内 容容 提提 要要 1 1、流管和流束的概念流管和流束的概念 2 2、有效截面的概念有效截面的概念 3 3、均匀流的概念均匀流的概念 4 4、流量的概念及其计算流量的概念及其计算 5 5、平均流速的概念平均流速的概念第四节第四节 流管、流束、流量和平均流速流管、流
32、束、流量和平均流速 流线只能表示流场中流体质点的流动参量及流场的形态，但不能表明流过的流体数量。为此引入流管和流束的概念。 如图3-9所示，在给定的瞬时在流场内任作一条不是流线在给定的瞬时在流场内任作一条不是流线的封闭曲线的封闭曲线B，通过封闭曲线，通过封闭曲线B上各点作流线，这些流线所构上各点作流线，这些流线所构成的管状表面称之为成的管状表面称之为流管流管。因为流管是由流线构成的，所以因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性。它具有流线的一切特性。即流管上各点的流速方向都与流管的表面相切，流体质点不能穿过流管流进或流出。流体质点不能穿过流管流进或流出。流管就象固体管子一样，将流体限制
33、在管内(或管外)流动。流管内部流动的流管内部流动的流体，亦即充满流管的一束流线族，则称为流体，亦即充满流管的一束流线族，则称为流束流束。在稳定流在稳定流场中，流束或流管的形状不随时间而改变；在非稳定流场中，场中，流束或流管的形状不随时间而改变；在非稳定流场中，将随时间改变其形状和位置。将随时间改变其形状和位置。第四节第四节 流管、流束、流量和平均流速流管、流束、流量和平均流速 图3-9 流管示意图 图3-10 有效截面第四节第四节 流管、流束、流量和平均流速流管、流束、流量和平均流速 在流束中与各流线都相垂直的在流束中与各流线都相垂直的横截面称为流束的横截面称为流束的有效截面有效截面(或或过流
34、截面过流截面)。流束中流线互相平行时，其有效截面为平面；流束中流线互相平行时，其有效截面为平面；流线不平行时，其有效截面为曲面。流线不平行时，其有效截面为曲面。如图3-10所示。 对于不可压缩流体，当流线皆为平行直线时的流动称为对于不可压缩流体，当流线皆为平行直线时的流动称为均均匀流匀流；否则，称为；否则，称为非均匀流非均匀流。均匀流同一流线上各质点的速均匀流同一流线上各质点的速度相等，因此，其迁移加速度皆为零。度相等，因此，其迁移加速度皆为零。 有效截面面积为无限小的流束或流管，称为有效截面面积为无限小的流束或流管，称为微元流束微元流束或或微微元流管元流管。对于微元流束，其有效截面上各点的速
35、度可以认为是相同的。 单位时间内通过有效截面的流体的数量，称为单位时间内通过有效截面的流体的数量，称为流量流量。流体的数量可以用体积、质量或重量来计量，因此流量又分为流量又分为体积体积第四节第四节 流管、流束、流量和平均流速流管、流束、流量和平均流速 流量流量(米米3/秒秒)、质量流量质量流量(千克千克/秒秒)和和重量流量重量流量(牛顿牛顿/秒秒)，并分，并分别用别用Q、M和和G来表示。来表示。 在流管内取一微小的有效截面dA，在dA上可以认为流体的各个流动参量各点都相同(如图3-9)。因此，通过有效截面A的体积流量Q、质量流量M和重量流量G分别为 (3-11) (3-11a) (3-11b)
36、 式中 u有效截面上任意一点的速度，m/s； 与速度u相对应的流体的密度(kg/m3)。AdAuMAdAuQAdAugG第四节第四节 流管、流束、流量和平均流速流管、流束、流量和平均流速 以上计算必须先找出微元流束的速度u在整个有效截面A上的分布规律，然后才能积分求解，但其速度分布规律在大部分工程问题中是很难能用解析法来确定的。因此，在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均流速是一个假想平均流速是一个假想的流速。的流速。即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上流体的体积流量仍与各点以真实流速这时通过该有效截面上流
37、体的体积流量仍与各点以真实流速u u流动时所得到的体积流量相同。流动时所得到的体积流量相同。 若以 表示流管有效截面上的平均流速，按其定义可得 则 (3-12)uAAAuAAQuAuAuQd1d第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程内内 容容 提提 要要一、一、 直角坐标系下的三维连续性方程直角坐标系下的三维连续性方程二、二、 圆柱坐标系下的三维连续性方程圆柱坐标系下的三维连续性方程三、三、 一维稳定管流的连续性方程一维稳定管流的连续性方程第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认为流体
38、是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流面时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内就一定会有流体密入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内就一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分
39、方程，称为体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程，称为连连续性方程续性方程。第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 一、直角坐标系下的三维连续性方程一、直角坐标系下的三维连续性方程 在流场中任取一个微元平行六面体作为控制体，其边长分别为dx，dy，dz(如图3-11)。假设微元六面体形心a的坐标为(x，y，z)，密度为(x，y，z，)，速度为 。现在来讨论流体经微元六面体各表面的流动情况。 首先确定微元体六个面上的有关流动参量。由于微元六面体的各个表面都是很小的，故可以认为每个表面上各不同流体质点的流动参量都是相同的。因此，六个微元表面上的有关的流动参量可利用泰勒公式展开成以点a
40、(x，y，z)的有关流动参量来表示。现在先讨论x轴方向上的流动情况，在垂直于x轴的左侧面上(b点)流体的密度和流速按泰勒级数展开后分别为u第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 图3-11 微元六面体第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 上两式忽略二阶以上无穷小量，并简化后为 222222)2d(! 21)2d(! 11)()2d()2d(! 21)2d(! 11)()2d(xxxxuxxxxuzyxuzyxxuxxxxxxxxzyxzyxxxxxx，2d)()2d(2d)()2d(xxuzyxuzyxxuxxzyxzyxxxxx，第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方
41、程 应用同样的分析方法，可写出垂直于x轴的右侧面上(c点)流体的密度和流速表示式，即 所以，在单位时间内从左侧微元面dydz流入微元体的流体质量为 同样在单位时间内从右侧微元面dydz流出微元体的流体质量为 单位时间内沿x轴方向流体质量的变化为2d)()2d(2d)()2d(xxuzyxuzyxxuxxzyxzyxxxxx，zyxxuuxxxxdd)2d)(2d(zyxxuuxxxxdd)2d)(2d(第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 同理，在单位时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为 因此，在单位时间内经过微元六面体的流体质量总变化为 (a) 由于流体是作为连续介质来研究的
42、，所以式(a)所表示的六面体内流体质量的总变化，必然引起六面体内的流体的密度zyxxuzyxxuxuzyxxuuxxzyxxuuxxxxxxxxxddd)(ddd)(dd)2d)(2d(dd)2d)(2d(zyxzuzyxyuzyddd)(ddd)(；zyxzuyuxuzyxddd)()()(第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 的变化。在单位时间内，微元六面体内流体因密度变化而引起的质量变化为 (b) 根据流体流动的连续性，式(a)和式(b)必然是相等的，即 全式通除以dxdydz，移项后得 (3-13) 或写成 (3-13a)zyxzyxzuyuxuzyxdddddd)()()(
43、zyxddd0)()()(zuyuxuzyx0)(divu第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 将式(3-13)中各项展开、合并整理后，可得到连续性微分方程的另一种形式，即 (3-13b) 式式(3-13)就是直角坐标系下可压缩流体不稳定流动的三维连续就是直角坐标系下可压缩流体不稳定流动的三维连续性方程，性方程，该式具有普遍意义。 对于可压缩流体的稳定流动，由于 ，则上式可写为 (3-14) 或 (3-14a)0)(ddzuyuxuzyx00)()()(zuyuxuzyx0)(divu第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 若流体是不可压缩的，则不论是稳定流动或非稳定流动，其
44、密度均为常数，故式(3-13)可简化为 (3-15) 或 (3-15a) 式式(3-15)为不可压缩流体的三维连续性方程。为不可压缩流体的三维连续性方程。它对于稳定流动它对于稳定流动和非稳定流动都适用。和非稳定流动都适用。物理意义是：物理意义是：在单位时间内通过单位在单位时间内通过单位体积流体表面流入和流出控制空间的流体体积是相等的。体积流体表面流入和流出控制空间的流体体积是相等的。 对于二维流动的不可压缩流体，式(3-15)可写为 (3-16)0zuyuxuzyx0yuxuyx0divu第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 二、二、 圆柱坐标系下的三维连续性方程圆柱坐标系下的三维连
45、续性方程 在圆柱坐标系下的流场中，取出一微元六面体ABCD作为控制体，如图3-12所示。与上述推导方法相似，在忽略高阶无穷小量后，作如下简化推导： 单位时间内经AB、BC和CA面流入微元体的流体质量分别为 同样，单位时间内经CD，DA和BD面流出微元体的流体质量分别为rruzruzruzddddddr第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 图3-12 圆柱坐标系下的微元体第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 则单位时间内，微元体中的流体质量改变量为 (a) 同时，在单位时间内由于微元体中流体的密度变化而引起的微元体中流体质量的改变量为 (b)rrzzuuzruuzrrrruu
46、zzrrddd)(ddd)(dd)d(d)(zrzurururuzrrddd)()()(zrrddd第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 根据质量守恒原理可知，式(a)必然与式(b)相等，即 上式两边同除以rddrdz，并整理后得 (3-17) 式式(3-17)就是圆柱坐标系下的三维连续性方程。就是圆柱坐标系下的三维连续性方程。 对于不可压缩流体，密度=常数，连续性方程为 (3-18)zrrzrzurururuzrrdddddd)()()(0)()()(zurururuzrr0zurururuzrr第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 三、一维稳定管流的连续性方程三、一维稳
47、定管流的连续性方程 如图3-13所示，A1、A2为流管的两个有效截面。dA1、dA2为微元流束的有效截面，相应截面上的速度为u1和u2，流体的密度为1和2。选取控制体如图中虚线所示。根据质量守恒定律，在稳定流动的条件下，单位时间内流入控制体的质量应等于流出控制体的质量，即控制体内的质量应保持不变，即 (3-19) 式中 A整个控制体的表面积，即控制面的面积，m2； un控制面上各点的外法向速度，m/s。 根据流管的性质，不可能有流体穿过流管管壁流进流出，即在流管侧表面上的法向速度un=0，因此，式(3-19)可以写成0dAAun第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 图3-13 流管内
48、的流动第五节第五节 流体的连续性方程流体的连续性方程 (3-20) 如果取1、1和2、2分别表示A1和A2截面上的平均密度和平均流速，则式(3-20)可写为 (3-21) 对于不可压缩流体，为常数，则有 (3-22) 或 (3-22a) 式式(3-22)是不可压缩流体一维稳定管流的连续性方程。是不可压缩流体一维稳定管流的连续性方程。它说明管截面上的平均流速与有效截面的面积成反比，即对于同一根流管(或固体管道)，在不可压缩流体稳定流动的条件下，管径在不可压缩流体稳定流动的条件下，管径12212211AAuuAuAu222111AuAu21A222A111ddAuAu第五节第五节 流体的连续性方程
49、流体的连续性方程 大的截面上平均流速小，而管径小的截面上平均流速大。大的截面上平均流速小，而管径小的截面上平均流速大。 应当指出，在推导流体连续性方程的过程中，并没有涉及到作用于流体上的力。故上述推导的各连续性方程式对于理想流体和粘性流体都是适用的。第六节第六节 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程内内 容容 提提 要要一、一、 直角坐标系下理想流体的运动微分方程直角坐标系下理想流体的运动微分方程二、二、 圆柱坐标系下理想流体的运动微分方程圆柱坐标系下理想流体的运动微分方程三、三、 理想流体沿流线的运动微分方程理想流体沿流线的运动微分方程第六节第六节 理想流体的运动微分方程理想流体的运
50、动微分方程 理想流体的运动微分方程是牛顿第二定律在流体力学上的理想流体的运动微分方程是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用。具体应用。它建立了理想流体的密度、流速、压力和外力之间的关系。下面就来讨论理想流体的运动微分方程。 一、直角坐标系下理想流体的运动微分方程一、直角坐标系下理想流体的运动微分方程 如图3-15所示，在流动的流体中取出一边长分别为dx、dy、dz，平均密度为的微元平行六面体作为研究对象。由于是理想流体，所以作用在微元六面体上的外力只有质量力和垂直于表面的压力，而没有粘性力。若微元六面体的形心A点的坐标为(x，y，z)，速度为u，速度分量分别为ux、uy、uz，压力为p，则作用在
