概率论第四章习题课.课件.ppt

1、1 2022-6-5 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2 2022-6-5 q r.v.的平均取值的平均取值 数学期望数学期望 q r.v.取值平均偏离均值的情况取值平均偏离均值的情况 方差方差q 描述两描述两 r.v.间的某种关系的数间的某种关系的数 协方差与相关系数协方差与相关系数本本章章内内容容随机变量某一方面的概率特性都可用数字数字来描写3 2022-6-5 1()( )kkkx pE Xxf x dx 1()( )( ) ( )iiig x pE Yg x f x dx r.v.函数函数 Y = g(X ) 的数学期望的数学期望数学期望的计算数学期望的计算4 202

2、2-6-5 ,1(,)()( , )( , )ijiji jg xypE Zg x y f x y dxdy r.v.函数函数 Z = g(X，Y) 的数学期望的数学期望q E (C ) = Cq E (aX ) = a E (X ) q E (X Y ) = E (X ) E (Y ) q 当当X ,Y 独立时，独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .数学期望的性质数学期望的性质常数常数11()()niiniiXXE XE X 5 2022-6-5 方差的计算方差的计算2()() D XEXE X (1) (1) 利用利用公式公式计算计算 22()()() .D XE XE

3、 X22()()()E XD XE X 212()()()( )kkkxE XpD XxE Xf x dx (2) (2) 利用利用定义定义计算计算 常用于有关常用于有关方差的证明方差的证明6 2022-6-5 方差的性质方差的性质(1). 0)( CD(2)2()().D CXC D X ()()( ).D XYD XD Y (3) 设设 X, Y 相互独立相互独立, 证证)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE ).()(YDXD ()()( )2(,)D XYD XD YCov X Y7 2022-6-5 分布分布参

4、数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布几何分布几何分布10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba () 2ab 12)(2ab 0 /12/1 0, 210 pp/12/ )1 (pp常见随机变量的期望与方差常见随机变量的期望与方差8 2022-6-5 ()()XE XXD X X 的标准化随机变量的标准化随机变量()0,()1E XD X 4.2 方方 差差 9 2022-6-5 几个重要的几个重要的 r.v. 函数的数学期望函数的数学期望()kE X X 的的 k 阶原点矩阶原点矩

5、(| )kE X X 的的 k 阶绝对原点矩阶绝对原点矩( ) )kE XE X X 的的 k 阶中心矩阶中心矩2( ) )( )E XE XD X X 的方差的方差()klE X Y X ,Y 的的 k + l 阶混合原点矩阶混合原点矩 ( ) ( )klE X E XY EY X ,Y 的的 k + l 阶混合中心矩阶混合中心矩()E XY X ,Y 的的 二阶原点矩二阶原点矩 ( )( )E X EX Y EY X ,Y 的二阶混合中心矩的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差的协方差( )( )( )( )XYXE XYE YED XDY X ,Y 的相关系数的相关系数10 2022-6-

6、5 cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) 1.1.定义定义 cov(X1+X2,Y)= cov(X1,Y) + cov(X2,Y) cov(X,Y)= cov(Y,X)2.2.简单性质简单性质 cov(aX,bY) = ab cov(X,Y) a,b是常数是常数cov(X,X)=D(X) 协方差协方差11 2022-6-5 4. 4. 随机变量随机变量和和( (差差) )的方差与协方差的关系的方差与协方差的关系D(X Y)= D(X)+D(Y) 2cov(X,Y) cov( X,Y ) 1()( )( )2DX YDXDY 3. 3. 协方差的计算协方差的计算 cov(X,Y)=E(

7、XY) - -E(X)E(Y) 12 2022-6-5 (,)()()XYCov X YD X D Y 相关系数相关系数q | 1XY 相关系数的性质相关系数的性质q | 1XY 存在常数存在常数a,b,使使 1PYaX b (,)()()XYcov X YD XD Y 13 2022-6-5 1010题题某人有某人有n把钥匙，其中只有一把能打开门，把钥匙，其中只有一把能打开门，从中任取一把试开，试过的不再重复，直至把门从中任取一把试开，试过的不再重复，直至把门打开为止，求试开次数的数学期望。打开为止，求试开次数的数学期望。 解解kA表示事件表示事件“第第k次试开是成功的次试开是成功的”。X表

8、示试开次数表示试开次数.()P121() ()P A P A A 112()kkP A A AA 312()P A A A1nn 21nn 12n kn k 11n k 1n ()P 112kkA AAA Xk kn 1,2,14 2022-6-5 1 n12nXP1 n1 n1(1)()2n nE Xn 12n 15 2022-6-5 .)(;,)(:,)(.,)(的数学期望与方差的数学期望与方差随机变量随机变量的值的值求求且已知且已知其它其它的概率密度为的概率密度为设随机量设随机量XeYcbaXPXExbcxxaxxpX 213431304220 解解,d)()(11 xxp因为因为111

9、1题题216 2022-6-5 xbcxxxaxxXEd)(d)(4220 , 2)( XE, 2 bca 35638,4331 XP,432523d)(d2132 bcaxbcxxax,262bca 2042dd1xbcxxax所以所以17 2022-6-5 , 1 b,41 a解之得解之得.41 c .432523, 235638, 1622cbabcacba因此有因此有18 2022-6-5 ,)1(16124 e22)()()(XXXEeeEeD 得得22224)1(41)1(161 ee.)1(41222 eexxexxeeExxXd)141(d41)()2(4220 ,)1(412

10、2 exxexxeeExxXd)141(d41)(4222022 19 2022-6-5 1313题题求求设随机变量设随机变量X,Y的密度函数分别为：的密度函数分别为：22,0( )0,0 xXexfxx 2(),(23).E XYEXY 44,0( )0,0yYeyfyy ()( )XE Xxfx dx 解解202xxedx ( )( )YE Yyfy dy 404yyedy 12 14 ()()( )E XYE XE Y 34 20 2022-6-5 22()( )YE Yy fy dy 2404yyedy 18 2(23)EXY 22 ()3 ()E XE Y 2(23)EXY 213

11、()E Y 58 21 2022-6-5 1818题题将将n只球只球 (1n号号)随机的放进随机的放进n只盒子只盒子(1n号号)中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记号码的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个为配对的个数，求数，求E(X). 解解iX引入随机变量引入随机变量 ，10iX 第第i个球配对成功个球配对成功第第i个球配对失败个球配对失败1n10iXP11n 1niiXX 1()iE Xn 1()()1niiE XE X 22 2022-6-5 1919题题在长为在长为l的线段上任意取两点，求两点间的线段上任意

12、取两点，求两点间距离的数学期望与方差距离的数学期望与方差. 解解 设设X,Y分别表示两点坐标，由题知分别表示两点坐标，由题知X与与Y相互相互独立，且均服从区间独立，且均服从区间0到到l的均匀分布的均匀分布.1, 0( )0,xlf xl 其他X与与Y的联合密度函数为的联合密度函数为21, 0,0( , )0,xlylf x yl 其他23 2022-6-5 设设Z表示两点间距离，则表示两点间距离，则ZXY ( )()E ZE XY 2001llxydxdyl 0 x y 0 x y 2001()lxdxx ydyl 2001()lydyy xdxl 3l 22()() E ZE X Y 220

13、01()llxydxdyl 26l 22( )()( )D ZE ZE Z 218l 24 2022-6-5 2323题题 解解 X,Y的分布律分别为：的分布律分别为：( )P A10XP( )P A( )P B10YP( )P B0()() ( )XYE XYE X E Y XY的分布律为：的分布律为：()P AB10XYP1()P AB ()()E XYP AB ( )( )E YP B ()( )E XP A ()( ) ( )P ABP A P B 故故A,B相互独立相互独立25 2022-6-5 ()( ) ( )P ABP A P B (1,1)P XY (1) (1)P XP Y

14、 ()( ) ( )P ABP A P B (1,0)P XY (1) (0)P XP Y ()( ) ( )P ABP A P B (0,1)P XY (0) (1)P XP Y ()( ) ( )P ABP A P B (0,0)P XY (0) (0)P XP Y 故故X,Y相互独立相互独立26 2022-6-5 2828题题相关系数为相关系数为0.4，求，求 解解25362 0.42536 ()()( )2cov(, )D XYD XD YX Y 0.4XY 设随机变量设随机变量X与与Y的方差分别为的方差分别为25和和36，(),().D XYD XY ()25,( )36.D XD

15、Y ()( )2()( )XYD XD YD XD Y 6124 ()85D XY ()37D XY 27 2022-6-5 2929题题 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立相互独立 ,且都服从正态且都服从正态分布分布 ，令，令 ，(a,b 2(0,)N ,UaXbY VaXbY UV 均为非零常数）求均为非零常数）求 解解 由题知，由题知，()( )0E XE Y2()( )D XD Y ()()E UE aXbYcov(,)()( )UVU VD UD V ()( )aE XbE Y0 ( )0E V 222()ab ()()D UD aXbY又又X与与Y相互独立，故相互独立，故22()

16、( )a D Xb D Y28 2022-6-5 解法解法1222()ab ( )()D VD aXbY22()( )a D Xb D Ycov(,)()() ( )U VE UVE U E V ()()()E UVEaXbYaXbY2222()E a Xb Y2222()()a E Xb E Y22()()()E XD XEX2 2()E Y 2 ()E UV2222ab 222()ab cov(,)U V 222()ab UV 222222()()abab 2222abab 29 2022-6-5 解法解法2cov(,)cov(,)U VaXbY aXbYcov(,)cov(,)U VaX

17、bY aXbYcov(,)cov(,)aX aXbYbY aXbYcov(,)cov(,)aX aXaX bYcov(,)cov(,)bY aXbY bY22()( )a D Xb D Y222()ab UV 222222()()abab 2222abab 30 2022-6-5 解法解法3cov(,)()( )U VE UE UVE Vcov(,)()( )U VE UE UVE V()E UV ()()E aXbYaXbY2222()E a Xb Y222()ab UV 222222()()abab 2222abab 31 2022-6-5 解法解法41cov(,)()()( )2U VD

18、 UVD UD VD(X Y)= D(X)+D(Y) 2cov(X,Y) ()D UV()()D aXbYaXbY(2)DaX 24()a D X 224a 222221cov(,)42()2U Vaab22221(22)2ab222()ab UV 222222()()abab 2222abab 32 2022-6-5 3030题题 设设X,Y,Z为三个随机变量为三个随机变量,且且()( )1E XE Y (),().E XYZD XYZ 0XY 求求()1,E Z ()( )( )1,D XD YD Z 12XZ 12YZ 解解()E XYZ ()( )( )E XE YE Z 1 ()D XYZ ()( )2cov(,)D XYD ZXY Z ()( )2cov(, )D XD YX Y ( )2cov(,)cov( ,)D ZX ZY Z 3