1、第一章第一章 行列式行列式习题课习题课一、要点复习一、要点复习二、典型例题介绍二、典型例题介绍第一章第一章 行列式行列式一、要点复习一、要点复习行列式行列式定义定义性质性质特殊形式特殊形式常用计算方法常用计算方法克莱姆法则克莱姆法则定理定理推论推论1.排列与逆序数排列与逆序数定义：定义： 由1,2，n组成的一个有序数组称为一个n阶排列。定义：定义： 一个排列中，如果一个大数排在一个小数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。记作：定义：定义： 逆序数是偶数的n阶排列称为偶排列；逆序数是奇数的n阶排列称为奇排列。定义：定义： 在排列中，将任意两个元素对调，其余
2、的元素不动，叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。定理：定理： 排列经过1次对换，其奇偶性改变。推论：推论： 奇排列调成自然排列的对换次数为奇数，偶排列调成自然排列的对换次数为偶数。称 ), 2 , 1,(个数2，设有njianijnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211阶行列式，表示数值为n2.行列式的定义行列式的定义nnnppppppaaa212121)() 1(的一个排列，为自然数其中npppn2 , 121也可定义为阶行列式Dnnqqqqqqnnaaa21)(2121) 1(的逆序数为行标排列其中nnqqqqqq2121)(n) 1 (的乘积的代数和nnpppaa
3、a2121排列的个元素的列（行）下标该项的每一项的正负号取决于n)2(逆序数无论是哪种定义，其本质相同，即阶行列式是一个数，是所有取自不同行、不同列元素3.行列式的性质行列式的性质 性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等。 此性质说明在行列式中行和列的地位是同等的，即对行成立的性质对列也同样成立。 性质性质2 2 互换行列式的两行(列)，行列式改变符号。 推论推论 若行列式中两行(列)对应元素完全相同，则此行列式为零。 性质性质3 3 行列式中某一行(列)元素的公因子可以提到行列式外面。 推论推论1 1 若行列式某一行(列)的元素全为零，则该行列式为零。 推论推论2 2 若行列式某两行(列
4、)对应元素成比例，则该行列式为零。 性质性质4 4 若行列式的某一行(列)的每一个元素都可表示为两数的和，则该行列式可以表示为两行列式之和 性质性质5 5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数再加到另一行(列)对应的元素上去，则该行列式的值不变。性质性质6 6 (Laplace展开法则) 1100nnnnikjkkikjkkDijDija Aa Aijij或的代数余子式为元素其中ijijaA4.几种常见的行列式几种常见的行列式上三角行列式 111212221122000nnnnnnnaaaaaDa aaa下三角行列式 112122112212000nnnnnnnaaaDa aaaaa对角行
5、列式 11221122000000000nnnnnaaDa aaa范德蒙(Vandermonde)行列式122221212111112111( ,)()nnnnijj i nnnnnxxxD x xxxxxxxxxx 三角行列式与对角行列式是指对主对角线而言三角行列式与对角行列式是指对主对角线而言5.行列式常用计算方法行列式常用计算方法 首先观察行列式元素的规律（数字规律与排列规律），首先观察行列式元素的规律（数字规律与排列规律），常用计算方法有：常用计算方法有：利用行列式的定义；利用行列式的定义；利用行列式的性质化为三角形行列式；利用行列式的性质化为三角形行列式；利用行列式的性质做恒等变形化
6、简利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现尽量使行列式中出现尽量多的零元素，然后按零元素最多的行或列展开；多的零元素，然后按零元素最多的行或列展开；拆行列式为几个行列式的和；拆行列式为几个行列式的和；递推公式法；递推公式法；数学归纳法；数学归纳法；应用范德蒙行列式；应用范德蒙行列式；加边法。加边法。6.克莱姆法则克莱姆法则定理：定理： 如果线性方程组 11 11221121 1222221 122,.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb的系数行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa那么此线性方程组有惟一解，且： jjDx
7、D推论：推论： 如果齐次线性方程组11 1122121 122221 1220,0,0.nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x的系数行列式 0D，则它只有零解 推论：推论： 如果齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式0D 00000003.21nnaaaD 用定义计算行列式解 niinaD1) 1(.2) 1(21)2)(1(nnnnn的逆序数排列niinnnaD12)1() 1(所以二、典型例题二、典型例题1.的系数与中求设43)(,312323123215)(. 4xxxfxxxxxxxf解 )(xf4x在的4阶行列式中,位于不同行不同列的4个元素乘积含的
8、项只有1项 4144322311)1324(15)3(5) 1() 1(xxxxxaaaa而含3x的项有2项 3244312312)2314(3)3(1) 1() 1(xxxxaaaa3641322314)4321(33) 1() 1(xxxxaaaa015)(34的系数为，的系数为中故xxxf2abbbbbabbbbaDn求. 6解 abbbbabbbbnaDn111) 1(bababbbbna0000001) 1(.)() 1(1nbabna（行和相等的行列式）（行和相等的行列式）3、.:xbbbaxbbaaxbaaaxDn求 例4则有若由例3知若 解，；，baaxanxDbann1)()
9、 1(xbbbaxbbaaxbaaaaaxDn000)(4、xbbaxbaxbbbaxbbaaxbax111000bxbabxaDaxn000111)(1.)()(11nnbxaDax.)()( 11nnnaxbDbxDba，知的对称性，由 ,)()(,)()( 1111nnnnnnaxbDbxDbxaDaxD解).( )()( babaaxbbxaDnnn，则 求 例5.:xyyxyxyxDn则列展开按第将解，1 :nDyxyxyyxyxyxyxxDnn1) 1(nnnnnyxyx)() 1(1注：此题也可按第注：此题也可按第n行展开计算行展开计算. 在行列式的计算中，在行列式的计算中，这是
10、一类比较典型的题目这是一类比较典型的题目.5、)(.求例0 :6未写出的为dcdcdcbababaDn6、则按第1行展开将 解，nD200) 1(00122cdcdcbababddcdcbabaaDnn.)( 22222221112nnncrDbcadbcDadDn展开个按展开，第个按第，得由此递推式及bcadD2.)(2nnbcadDnnnnnnnnndcdcdcbababaD111111112 完全类似地可以计算）（未写出的元素为0. )(1niiiiicbda.00000000000000求:例nD 7000000000000)( 11nrnDD展开按解.)( 2121nncDD展开个按
11、第7、.)( 21nnnDDD即有递推式),( 211nnnnDDDD由此得).( 211nnnnDDDD或，由于2221 DD.)()( ,)()( 122211122211nnnnnnnnnnnnDDDDDDDDDDDD故有得解方程组 ,11nnnnnnDDDD . ) 1( 11nnnnnD，注：1.利用行列式按行（列）展开定理，可以得到关于所求行列式值的递推式. 一般来说，递推式的形式多种多样，如例4、例6、例7中介绍的，不同的递推式有不同的解法，应注意这一点. 2.当行列式的某一行（列）中零较多时，考虑将行列式按行（列）展开，目的是将行列式降阶，以计算出行列式的值.利用矩阵的一些性质
12、，可简化方阵行列式的计算. | 64,| 5 32 532 3 14422122432ACBCBA求, 5|若)2()()(阶方阵设:8例131，|532 | 24321解A|5 |3 |2 |221421321 | |3| |2421321. | |3| |24211238、)5 32 2( 144221由于C，130022501) (421,130022501| |64 421C两边取行列式，得：2.| |32130022501 421，故由于42352 | |3| |2| 421123）（从而A. *8)31(81|3 131AAAA，求阶方阵且为设例111|83*8)31( AAAAA
13、解1|)|83(AA.64|12223131AAA注：一般而言，|A+B|A|+|B|，故没有公式求|A+B|，通常是用矩阵恒等变形的技巧，将其化为乘积的形式.9、.的系数与中111123111212)(计算:0例34 1xxxxxxxxf2. )(2 )( I424的系数为中，故，且这一项带正号，为才出现主对角线上的元素相乘的性质知，只有）由行列式的定义及（用行列式的定义求解解xxfxxxf. 1 1.4 3 1 2 ,1 333-xf(x)xxxxx的系数为中故，逆序数为为而且列标所构成的排列的项也只有一项，为同理，含10、xxxxxxfrr11112330021212)( II12）（用
14、行列式的性质求解解,11123123111221) 12(2xxxxxxxr展开按2. 1- 1 34343的系数为，的系数为可以得到个行列式的项，从第与阶行列式不含显然第二个xxxx. 0347534453542333322212223212)( 15的根的个数求例xxxxxxxxxxxxxxxxxf.9118411332123212)( 1413124,3,2xxxxxxfrrrrrr解. 2 0 2 的根的个数为次多项式，故为由行列式的定义知f(x)f(x)11、. 18 8181493269128991 4 . 18 1818 2394 2196 1998 16整除也能被阶行列式证明整
15、除都能被，已知例.18181812394932219691219989918181493269128991 1234100010010cccc证. 18 4 18 18 4 整除行列式能被阶，从而整除，即可以提出因子项各数均可以被由于第121222111. 7yxxzzyyxzxzyzyxD求解 . 0111121111121yxzyxzxzyzyxxzyyxzxzyzyxD（拆分行列式）（拆分行列式）13、nDn001030100211111. 9求解 !.11000030000201111122njnjDnjnjn14、0532004140013202527102135.10D求（展开法则
16、）（展开法则）解 53204140132021352) 1(053200414001320252710213552D5324141325266027013210.1080)1242(206627)2(1015、，和依次记作的余子式和代数余子式中元素设ijijijAMaDD,3142313150111253.114131211114131211MMMMAAAA及求解 行所得行列式，即的第代替等于用注意到11 , 1 , 1 , 114131211DAAAA314231315011111114131211AAAA. 4205200120251116、又按定义知,314131315011125141
17、31211141312111AAAAMMMM311501121) 1(0010313150111251. 031150150100000.12321323132231211312nnnnnnnnDnaaaaaaaaaaaaD为奇数时，证明当设证 利用行列式性质,有 DaaaaaaaaaaaaDDnnnnnnnnT) 1(0000) 1(3213231322312113120,DDDn即为奇数时有当17、453522532.133221321xxxxxxxCramer法则求解线性方程组用略是否仅有零解判定齐次线性方程组032023032032.144321432143214321xxxxxxxx
18、xxxxxxxx略19、20、有非零解？仅有零解？程组为何值时，齐次线性方问)2() 1 (0)1 (0)3(2042)1 (.15321321321xxxxxxxxx解 111132421D101112431),3)(2(时，方程组有非零解。或或当时，方程组仅有零解；且且即当有零解，时，齐次线性方程组仅当系数行列式3203200D推论：若齐次线性方程组的系数行列式D0，则方程组仅有零解21、12121123nnnxaaaaxaaDaaax22、求行列式、求行列式1211121211121121121211123231ninninnninninnnnnninninninixaaaaaxaaaa
19、xaxaaaaxaaaaaxaa cccxaaxaaaaaaxxaaaax1211112210000(,1,3,2)000000ninniiinnxaaaaaxarrin naxxaaxxa解11()()nniiiixaxa0000000000000000nababaDabba23、求行列式、求行列式按第一列展开,得 解1111000000000( 1)( 1)00000000000nnnnnnnabbababDababaabab 111212122212nnnnnnnababababababDababab24、求行列式、求行列式1n 时， 111Dab2n 时， 1112212122122(
20、)()ababDaabbabab3n 时， 1121112122221222212nnnnnnnnnnnnaababbababaababbababDaababbabab1211122122210nnnnnnabbbaaabbbaaabbbaa解25、证明、证明2bccaababcqrrppqpqryzzxxyxyz证 本题可以分别计算等式左右的行列式，得到数值相等，但本题可以分别计算等式左右的行列式，得到数值相等，但这样比较繁琐。注意到左边行列式的形式，考虑应用矩阵的这样比较繁琐。注意到左边行列式的形式，考虑应用矩阵的乘法，根据乘法运算规则可知：乘法，根据乘法运算规则可知：011101110z
21、yxrqpcba左式2011101110而右式左式故zyxrqpcba221000121000120010002100012nDn26、证明、证明2 1112100021000100001210012100121000120001200012002( 1)000210002100021000120001200012nnnD 证与与nD形式相同，记为形式相同，记为2121001200002100122nnD1nD212nnDD（递推公式）（递推公式）根据递推公式根据递推公式122D 221312D 32124DDD43225DDD1 nDn1111221100001000001nnnnnnnnx
22、xDxa xaxaxaaaaxa27、证明、证明证应用数学归纳法 时，当2n2212211xDxa xaaxa命题成立假设对于(1)n阶行列式命题成立,即： 121121nnnnnDxa xaxa则nD按第一列展开: 11111000100( 1)001nnnnnnnxDxDaxDax将归纳法假设代入,得 12121()nnnnnnDx xa xaxaa111nnnnxa xaxa因此,对任意正整数n,都有 111nnnnnDxa xaxa28、证明、证明1221111111 11122122222222112111122111111111()nnnnnnnnnnjnnninnj i nijn
23、nnnnnnnnnnnnaababa bbbaababa bbbDa aaaaaabababb (0,1,2,1)iain证提取公因子,应用范德蒙行列式, 得 21111121111121222221222221112133332133332111112111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbaaaabbbbaaaaDa aabbbbaaaabbbbaaaa12111()jnnninj i nijbba aaaa 29、证明、证明211213122122322313233212311011nnnnnnnnaa aa aa aa aaa aa aDa
24、aa aaa aa aa aa aa，其中 22221211niniaaaa证应用加边法,得 nD 12321121312212232123132332123101010101nnnnnnnnnaaaaaa aa aa aa aaa aa aDa aa aaa aa aa aa aa12312113110000100(1,2, )00100001niinaaaaaara r inaa212311110100000100(1,2, )0001000001ninijjaaaaaca cjn21110niniaD 10nnnDDD又又.为正整数，求矩阵,) 101 (设:例nAaEnA，TT 1，2 :T101101由于解 利用矩阵乘法的结合律有：利用矩阵乘法的结合律有：,22)()(2AATTTTT30、.21AAnn依次类推，有，1 010 00 101 又101101A).2(202002022故有211111nnnnnnnaaaaaAaEAaE
