1、眼睛仰角仰角俯角俯角視線視線1. 仰角與俯角：仰角與俯角：物體與地心的連線稱做鉛垂線鉛垂線，和鉛垂線垂直的線稱為，觀測高處或低處目標時，視線與水平線所形成的夾角，分別稱作仰角仰角和俯角俯角。PBHBHx中， 設 ，PAHPHAH中， ( 31)100 x10031x3PHx所求 3xxA45 HB60 100P30 2. 範例：範例：欲觀測某大樓高度，在地面上的 A 點測得樓頂 P 的仰角為 45，面向大樓的方向前進 100 公尺到達 B 點再測得樓頂 P 的仰角為 60，求此大樓的高度?解：解：設過 P 的垂直線交地面於 H，3PHx ，1300 xx50 3( 31)50( 31)50(3
2、3) 公尺。APBABx中， 設 ，3ACHCHPBx中， ，32BCxxx214x3ACx所求 3xAHB60 CP30 60 14馬上練習.小新從家裡頂樓的窗口測得對面一棵大樹樹頂的俯角為 30，又樹底的俯角為 60，已知大樹的高度為 14 公尺，求小新眼睛與地面的距離是多少?解：解：設小新眼睛在 A 點，樹頂為 P，樹底為 H，3PBx ，3ACx ，7x21 公尺。3xACD如圖，中，由正弦定理得20 32CDC(丙)20120 A(甲)B(乙)45 D(丁丁)3. 範例：範例：假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里。兩條筆直的公路交於丁鎮，其中之一通過甲、乙兩鎮而另一通過丙
3、鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路解：解：204512n0sinsiCD10 6 () 公里 。的夾角為4 5，試求丙、丁兩鎮間的距離。2020150CBCD ，2ABCAB 中， 50 7AB所求 。ADB60 150C30 5030 馬上練習. 如右圖，A、B 兩點分別位於一河口的兩岸邊。某人在通往 A 點的筆直公路上，分別距離 A 點 50 公尺的 C 點與距離 A 點 200 公尺的 D 點，解：解：CBD CDB 30 測得 ACB 60， ADB 30， 17500，= 502 1502 250150cos 60 求 A 與 B 的距離。150北北東東西西南南50 30 70 6
4、0 ABDC20 40 O45 45 4. 方位：方位：地理上常用方位方位來描述物體所在的位置或方向，除了東南西北四個主要方位之外，若要更精確則需配合角度，例如：A 點的位於 O 點的北 30 東B 點的位於 O 點的北 70 西C 點的位於 O 點的南 40 西D 點的位於 O 點的東 45 南(或東南方)，(或西 50 南)，(或西 20 北)，(或東 60 北)，400200OAOB ， ，2AB如圖， 200 3ABAB15 O45 2004005. 範例：範例：氣象局測出在 20 小時期間，颱風中心的位置試求颱風移動的平均速度(四捨五入取整數)。解：解：設恆春為 O，則 AOB 60
5、 ， 所求平均速度 = 346.4 20 17.32 17 (km / hr)。 2001.732 346.4 4002 2002 2400200cos60 由恆春東南方 400 公里直線移動到恆春南15西的200公里處， 2002 (4 1 2) 20023，2222003120002 200 300 cosAB 如圖， 190000 。100 19 ()AB所求 公尺 。AB50 O70 200300解：解：馬上練習. 一汽艇在湖上沿直線前進，有人用儀器在岸上先測得汽艇在正前方偏左 50，距離為 200 公尺。一分鐘後，於原地再測，知汽艇駛到正前方偏右 70，距離為 300 公尺。那麼此汽
6、艇在這一分鐘內行駛了多少公尺?:1:5AF BFBD CD ，22153BCDBC 中， 1245CBO 。13A(27,8)B(2,3)3225351325234CDFE解：解： 6. 範例：範例：如右圖所示，有一船位於甲港口的東方 27 公里北方 8 公里 A 處，直朝位於港口的東方 2 公里北方 3 公里 B 處的航標駛去，試問船在航標處的航向修正應該向左轉多少度？到達航標後即修正航向以便直線駛入港口。ABFBCD如圖，234 ，2131234 13cos23234BCOCBO 中， 所求為左轉 45 。角度角度角度角度1. 查表：查表：常用的三三角函數值表最左邊一行為介於 0 到 45
7、 之間的銳角度數，由上而下遞增，由最上一列查出對應這些角的函數值；表的右一列為介於 45 到 90 之間的銳角度數，由下而上遞增，其所對應的函數值由最下一列查出。為了使測量更精密，我們將 1 度分成 60 分，即 1 度 = 60 分 ， 1 分 = 60 秒。1 分再分成 60 秒，以符號表示為 1 = 60 ， 1 = 60 。.0175.0349.6947.70711 2 44 45 sincostancossintan89 88 46 45 .9998.9994.7193.7071.0175.0349.96571.00057.2928.641.0361.000例如：欲查 sin44 之
8、值，得 sin44 0.6947 。而查 cos46 之值時，亦得 cos46 0.6947 。發現 sin44 和 cos46 的值是一樣的，而查 cos45 40 之值時，亦得 cos46 20 0.6988 。欲查 sin44 20 之值，得 sin44 20 0.6988 。因為此兩角互為餘角的關係。角度角度角度角度.0175.0349.6947.70711 2 44 45 sincostancossintan89 88 46 45 .9998.9994.7193.7071.0175.0349.96571.00057.2928.641.0361.000c20osABAH如圖：11 0.
9、9397(1 .3 6)0 3 7查表 ，sin30AHAHACC 在 中， s30inACAH所求旗竿的長度10.332367120.6734 。A東B30 10 60 西HC60 20 10 解：解：故選故選(3)。2. 範例：範例：在與水平面成 10 的東西向山坡上，鉛直 (即與水平面垂直)立起一根旗竿。當陽光從正西方以俯角 60 平行投射在山坡上時，旗竿的影子長為 11 公尺，如右圖所示(其中箭頭表示陽光投射的方向，請問旗竿的長度最接近以下哪一選項？(1) 19.1 (2) 19.8 (3) 20.7 (4) 21.1而粗黑線段表示旗竿的影子)。(5) 21.7 公尺。(2)CBAA
10、由 斜率 斜率0.5805.548310.583143500440k 30.58310.002310ky = sinxA (3540, 0.5831)P(35 43 , y )B (3550, 0.5854)C(35 43 , k )3. 內插法：內插法：若要查的三角函數值無法由查表求得，範例：範例：(1) 利用查表，求出 sin3540 與 sin3550的值。(2) 利用(1)的結果，以內插法求sin3543 的近似值。可仿照對數表的線性內插法來估算。解：解：(1) 查表得 sin3540 0.5831 ，故所求 y = sin3543 ksin3550 0.5854 。0.583790.
11、5838 。 0.5838 。(2)CBAA 由 斜率 斜率0.7800.878260.782638 340030k ，0.78260.782638 3030.78080.4078017 ，0.000938 30100.0018故所求 y = cosxA(3830, 0.7826)B(3840, 0.7808)C( , k )P( , 0.7817 )馬上練習. 利用查表與內插法，求 cos = 0.7817 的銳角 的近似值。解：解：(1) 查表得 cos3830 0.7826 ，0.7817k 其中 。38 35 。cos3840 0.7808 。3AHh ，hBH ，222503co(
12、3 )322s30hhhh 。50h 解之得 。BAH30 45 30 50Ph3h1. 範例：範例：自塔的正東方 A 點測得塔頂仰角為 30 ；而在塔的東 30 南 B 點測得塔頂仰角為 45 。解：解：設塔高 h，已知 A 與 B 相距 50 公尺，求塔高。ABH 中，h600PHAH故所求 。BA45 600P60 60 60060060045 H馬上練習. 某人隔河測一山高，在 A 點觀測山時，山的方位為東偏北 60，山頂的仰角為 45，某人自 A 點向東行 600 公尺到達 B 點，山的方位變成在西偏北 60，則山有多高解：解：如圖， PAH 為等腰直角， ABH 為正，1000 3
13、 公尺的高度，1000 3BCDCD 中， ，1000ACOCO 中， ，COD 中，1000 2 。1002100所求100 2 ()公尺秒 。BAO45 60 10001000 31000 3C1000 3D1000 22. 範例：範例：小明發現正北方仰角 60 處有一架飛機，等速朝東方飛行，經過 10 秒後再測得飛機的仰角只有45，問飛機的速度每秒多少公尺解：解：且此架飛機正保持22(1000 31 0)0 0OD 1305BCsinABBs nCiA 中， 62400100( 62)4BC 。sin75BCDCDBC 中， 62100( 62)1004 。100200010CH故所求
14、。3. 範例：範例：有人於山麓測得山頂的仰角為 45 ，再測得山頂的仰角為 75 。求山的高度。解：解：由此山麓循 30 斜坡上行 200 公尺，100 3BHC75 200A100100300100D15 200124005( , 8)2D通知在 的砲臺；8893分別為 及。88tantan93BCBACA8298( 4)3yxyx 又 225()425()( 8)2DC 故所求 OyxB( 4, 0)A(2, 0)5( , 8)2DC(x, y)(x,0)馬上練習. 在坐標平面的 x 軸上有 A(2 , 0)，B( 4 , 0) 兩觀測站，同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點，測得 BA
15、C 及 ABC 之值後，此兩個角的正切值求砲臺 D 至目標 C 的距離。解：解： C 較靠近 B。89168332xyxy 524xy 。2251213 。300OAAOH 中， ， 150OH ，2212 0505OBHBH 中， 200 。20020050所求8 () 小時。4. 範例：範例：根據氣象局發布的颱風消息，颱風目前的中心位置在鵝鑾鼻正南方 300 公里處，以每小時 50 公里的速度朝北 30 西等速直線前進，暴風半徑為 250 公里。如果此颱風的速度方向及暴風半徑解：解：都不變，那麼鵝鑾鼻在暴風圈內前後共計多少小時BAO300HC250150250200200PQQR故 。OP
16、H則為 中點，PQQkR令 ，ROHOHt則中， ，33tan22tRPHt 中， ，2233tan()24故所求 。OyxP30 RH kk60 ttQ3t2t馬上練習. 某人在 O 點測量到遠處有一物作等速直線運動。開始時該物位置在 P 點，一分鐘後，其位置在 Q 點，且POQ90。再過一分鐘後，該物位置在 R 點，且QOR30。請以最簡分數表示 tan2(OPQ)_。解：解：因作等速直線運動，過 R 作垂線交 x 軸於 H，POOHt ，3RHt ，3PAHAHh 中， ，ABHBHh 中， ，3hBCHCH 中， ，222( 3 )3030()2s3cohAhhBH中222( 3 )3
17、505)(0)3(2hHhACh中10 15h 解之得 。BA303060 45 h3h3hhPCH20且起初測得湖邊飯店頂的仰角為 30，5. 範例：範例：一船在湖面上直線前進，若船的行進方向與飯店不共線，再前進 20 公尺後測得飯店頂的仰角為 60，求飯店的高度。解：解：設飯店高 h， 前進 30 公尺後測得飯店頂的仰角為 45 ，30 , 50ACBAB若 公尺，3AOBOChO ，ABC 中，由正弦定理得350122h50 3h 。 6. 範例：範例：自地面上 A、B、C 三點，分別測得空中一氣球的仰角求此氣球的高度。解：解：設汽球高 h，皆為 60。50302sinRBCA60 5060 60h3h3h3hPO30(1)0f(2)0f
