1、剪力弯矩弯曲正应力及强度条件弯曲切应力及强度条件弯曲刚度分析静不定梁分析弯曲变形的计算第七章第七章 弯曲变形弯曲变形弯曲内力弯曲内力弯曲强度弯曲强度弯曲变形弯曲变形1、齿轮传动 轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动； 加速轴承磨损，降低使用寿命；若变形过大，使传动失效。7-1 7-1 引言引言一、弯曲实例一、弯曲实例弊端：弊端：12122、继电器中的簧片电磁力当变形足够大时，可以有效接通电路；触点当变形不够大时，不能有效接通电路；簧片工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。xw挠曲轴mmnn（1）挠度 w ：横截面形心在垂直于轴线方向的位移 （2）转角 ：横截面绕中性轴的转过的角度 w符号
2、规定：向上为正，向下为负。 xww 符号规定：逆时针为正，顺时针为负。 x（3）轴向位移x ：横截面形心在轴线方向的位移 ， 小变形情况下，略去不计。Xx（连续、 光滑平坦的平面曲线）wz二、梁变形的表示方法二、梁变形的表示方法(通常 0M 00 w0 w（2）正负号确定：M 与w保持同号 EIxMw （1）线弹性范围（2）小变形条件（3）平面弯曲适用条件：二、积分法计算梁的变形二、积分法计算梁的变形 CdxEIxMw DCxdxEIxMw EIxMw C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。 边界条件：边界条件：00AAw，(2)铰支座：ABC00BAww，AB（1）固定端约束：连续条
3、件连续条件 ：右左右左CCCCwwC例1：悬臂梁AB，弯曲刚度 EI EI 为常数，受力F F 和力偶M = FL M = FL 作用，求w(x)，(x)(x)；并计算B截面的挠度和转角值。解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分A端约束反力 F FAyAy=F=F梁的弯矩方程：LBM MAF FF FAyAyxFxxM)(挠曲轴近似微分方程： CEIFxxw2)(2DCxEIFxw63EIFxw xw2、确定积分常数A端为固定端约束，x=0, w=0 x=0,=0C=0 , D=03、挠度方程、转角方程及B截面的转角EIFxxw2)(2EIFLwB63EIFLB22将 x=L 代入转角方程：LBM
4、 MAF FF FAyAyxwx FxxMax 0 FxxMwEI 112121CFxwEI113161DxCFxEIw例例2：由积分法求图示梁的：由积分法求图示梁的wA、 A。解：解：1) 坐标系如图；坐标系如图；AC段：段：则近似微分方程为：则近似微分方程为：积分可得：积分可得：xwxxFaaaFEICAB2) 分两段进行分析：分两段进行分析： FaFxxMaxa2BC段：段： FaFxwEI 222221CFaxFxwEI222322161DxCFaxFxEIw积分可得：积分可得：则近似微分方程为：则近似微分方程为：利用约束和连续条件确定利用约束和连续条件确定C1 、D1 、C2、D2四
5、个常数：四个常数：ax2时时，约束条件：约束条件：022 ww连续条件：连续条件：ax 处处，22122121FaFaCFa2121wwww；由此可得：由此可得：33311332216161FaFaFaDaCFa即：即：；21FaC 3167FaD02C由此可得：由此可得：3232FaDEIFaDwwxA673101EIFaCwxA2101最后可得：最后可得：（向下）（逆时针）(2) 由约束和连续条件求积分常数；由约束和连续条件求积分常数；(1) 两段：四个常数，每增加一段，就增加两段：四个常数，每增加一段，就增加 两个积分常数；两个积分常数；小结：小结：(3) 坐标原点一律放在左边，分段写出
6、坐标原点一律放在左边，分段写出M(x)；(4) 注意注意x的范围。的范围。7-3计算梁位移的叠加法由于：由于：1）小变形，轴向位移可忽略；小变形，轴向位移可忽略；简单载荷下梁的挠度和转角见附录简单载荷下梁的挠度和转角见附录E。 因此，因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。2）线弹性范围工作。）线弹性范围工作。例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自的悬臂梁自由端由端B截面的挠度和转角。截面的挠度和转角。解：原荷载可看成为图解：原荷载可看成
7、为图a和和b两种荷载的叠加，对应两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。的变形和相关量如图所示。FlllEIFABCDB1FC1wC1wC1C12l直线直线wB1(a)D1B2wD1FD1BD直线直线wD1wB2(b)EIFlwC331EIFlC221EIFllEIFlEIFlBCwwCCB34223323111EIFlCB2211对图对图a，可得，可得C截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：由位移关系可得此时由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）B1FC1wC1wC1C12l直线wB1(a)EIFllEIFlEIFlBDwwD
8、DB3142438323222EIFlDB2122 EIlFwD3232 EIlFD2222对图对图b，可得，可得D截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：同理可得此时同理可得此时B截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）D1B2wD1FD1BD直线wD1wB2(b) EIFlEIFlEIFlwwwBBB33321631434 EIFlEIFlEIFlBBB252222221将相应的位移进行叠加，即得：将相应的位移进行叠加，即得：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）例：由叠加原理求图示弯曲刚度为例：由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁的外伸梁C截面截面 的
9、挠度和转角以及的挠度和转角以及D截面的挠度。截面的挠度。解：可将外伸梁看成是图解：可将外伸梁看成是图a和和b所示的简支梁和悬臂所示的简支梁和悬臂 梁的叠加。梁的叠加。BC(b)F=qaAEIDBqaqa2/2(a)ACaaaF=qaBDEI（1）对图）对图a，其又可看成为图，其又可看成为图c和和d所示荷载的组合。所示荷载的组合。+AF=qa(c)qa2/2(d)图图c中中D截面的挠度和截面的挠度和B截面的转角为：截面的转角为：EIaqawD48231EIaqaB16221图图d中中D截面的挠度和截面的挠度和B截面的转角为：截面的转角为：EIqawD16242EIqaB332EIqaEIqaEI
10、qawwwDDD248644421EIqaEIqaEIaqaBBB12316233221将相应的位移进行叠加，即得：将相应的位移进行叠加，即得：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）（2）对图）对图b，C截面的挠度和转角分别为：截面的挠度和转角分别为：EIqawCq84EIqaCq63 EIqaaEIqaEIqawC2451218434EIqaEIqaEIqaC4126333所以：所以：awwBCqCCqBC原外伸梁原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）ACaaaF=qaBDEIBCqBawCq例：利用叠加原理求
11、图示弯曲刚度为例：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁的中间铰梁铰铰 接点接点B处的挠度和处的挠度和B点右截面的转角以及点右截面的转角以及D截面截面的挠度，其中：的挠度，其中：F=2qa。 解：可在铰接点处将梁分成图解：可在铰接点处将梁分成图a和和b所示两部分，并所示两部分，并可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：qaFFFBB2qAEIEIFBCa/2DaaF/2wB直线BwDFw/2+F/2wBqBCAF(a)BCq(b)F/2BC图图a和和b中分别给出了两部分的变形情况。中分别给出了两部分的变形情况。(c)并且图并且图b又可分解为图又可分解
12、为图c所示两种载荷的组合。所示两种载荷的组合。 EIqawBBF348EI4qawBqEIqaBBF23EIqaBq63（1）对图）对图b，可得其，可得其B截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：EIqaEIqaEIqwwwBqBFBB241183a444EIqaEIqaEIqaBqBFBB3262333右进行相应的叠加可得：进行相应的叠加可得：（向下）（向下）（逆时针）（逆时针）EIqaEIqaEIqawwwBDFD4813481148221444（2）图）图a可看成为右支座有一定竖直位移（位移量可看成为右支座有一定竖直位移（位移量为为wB）的简支梁，此时）的简支梁，此时D截面的挠度为：截面
13、的挠度为：（向下）（向下）F/2wB直线BwDFw/2AF(a) max7-4 梁的刚度条件提高梁的刚度的措施1、梁的刚度校核 保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生的保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生的变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：变形也不能太大，应满足刚度条件，即有：lwlwmaxlw与与 为许可值，可查设计手册。为许可值，可查设计手册。其中，其中，例：图示空心圆截面外伸梁，已知例：图示空心圆截面外伸梁，已知D=80mm，d=40mm，E=200GPa，C点挠度不得大于点挠度不得大于AB跨长的跨长的10-4，B截面转角不得大于截面转角不得大于10-3rad，校核刚度。校核刚
14、度。解：首先解：首先可利用图可利用图a由叠加原理求由叠加原理求wC和和 B。 200200100ADBCF2=1kNF1=2kNDd (a)AF2CF1BlF1 BDEIlFwC48321EIlFB16221EIlBDFwC16212EIlBDFB312图图a可看成由图可看成由图b和和c的叠加而得，图的叠加而得，图b和和c分别有：分别有：wC1B1wC2B2ABF2(b)ACBM(c)叠加可得：叠加可得：EIlBDFEIlFwC16482132EIlBDFEIlFB3161224644m10885. 164dDI因为：因为：0.4mmm400l0.1mmm100BDN10231FN10132F
15、所以：所以：mm10768. 110885. 1102164 . 01 . 010210885. 1102484 . 01036112361133Cwrad1042. 410885. 110234 . 01 . 010210885. 1102164 . 0105611361123B刚度满足。刚度满足。则：则：46101042. 4lwCrad103B2）减少梁的跨度或增加支承。）减少梁的跨度或增加支承。2、提高刚度措施 除外加载荷外，梁的位移除外加载荷外，梁的位移w、 还与梁的弯曲刚还与梁的弯曲刚度度EI成反比，与跨长成反比，与跨长l的的n次方成正比，因此，提高次方成正比，因此，提高刚度的措施
16、有：刚度的措施有：1）升高）升高EI。 各种钢材各种钢材E相差不大，主要提高相差不大，主要提高I，在截面面积，在截面面积A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。如工字形、箱形等截面。如工字形、箱形等截面。如下图所示结构：如下图所示结构：超静定梁超静定梁:BABACB6-5 简单超静定梁 超静定问题：平衡方程不能完全求解，有多超静定问题：平衡方程不能完全求解，有多余约束，需列补充方程。余约束，需列补充方程。 解除多余约束，得到相当系统，根据变形解除多余约束，得到相当系统，根据变形协调条件，列补充方程协调条件，列补充方程列补充方程：列补充方程：0BFBqwwFBq
17、ABFAAMABqlAqBBqwAFBBwBF 可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集可分别求出（也可查表）梁在均布载荷和集中力作用下的挠度为中力作用下的挠度为 EIlFwEIqlwBBBBq3,834 补充方程变为补充方程变为 03834EIlFEIqlB解得解得qlFB83 也可以取支座也可以取支座 A 处阻止梁端面转动的约束作为处阻止梁端面转动的约束作为“多余多余”约束，解除后可得相当系统约束，解除后可得相当系统 根据原超静定梁端面根据原超静定梁端面 A 的转角应等于零的变形的转角应等于零的变形相容条件，可由变形协调条件建立补充方程来求相容条件，可由变形协调条件建立补充方程来求解。解。 可从右向左作出剪力图和弯矩图可从右向左作出剪力图和弯矩图 Fs图M图MAABqlql83Aql8521289ql281qll83谢谢！谢谢！再见！再见！
