1、创新型数列问题的研究创新型数列问题的研究陈言高二数学研究性学习高二数学研究性学习一、以新概念、新定义给出的创新型数列一、以新概念、新定义给出的创新型数列【创设情境，温故知新【创设情境，温故知新】 定义：一般地，如果一个数列从第定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母差，公差通常用字母d表示表示. 定义：一般地，如果一个数列从第定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每项起，每一项与它的前一项的比等于同一个
2、常数，那么这一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母公比，公比通常用字母q表示（表示（q0）.一、以新概念、新定义给出的创新型数列一、以新概念、新定义给出的创新型数列【创设情境】（【创设情境】（2004北京）定义北京）定义“等和数等和数列列”：在一个数列中，如果每一项与它的：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列公和已知数列an是等和数列，且是
3、等和数列，且a1=2，公和为公和为5，那么，那么a18的值为的值为 拓展研究拓展研究1：是否有：是否有“等积数列等积数列”？若有，请类比？若有，请类比“等和数列等和数列”或或“等比数列等比数列”，给出，给出“等积数列等积数列”的定义的定义.举例：举例：-2,5，-2,5，-2,5，定义：定义：在一个数列中，如果从第在一个数列中，如果从第2项开始，每一项与它项开始，每一项与它的前一项的积是一个不为零的常数，那么这个数列就叫的前一项的积是一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积（不妨用字做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积（不妨用字母母B表示）表示）. 定义：定义
4、：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积是一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等积数列，是一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积（不妨用字母这个常数叫做等积数列的公积（不妨用字母B表示）表示）.拓展研究拓展研究2： 类比类比“保等比数列函数保等比数列函数”，给出，给出“保等差数保等差数列函数列函数”的定义的定义（1）常数函数）常数函数f(x)=c (2)一次函数一次函数f(x)=kx+b(k0) (3)二次函数二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0,b,c不全为不全为0)（4）幂函数）幂函数 f(x)=xm(m0)
5、(5)指数函数指数函数f(x)=ax(a0,a 1) (6)对数函数对数函数f(x)=logax(a0,a 1)问题研究问题研究 以上的函数中哪些是以上的函数中哪些是“保等比数列函数保等比数列函数”，哪些，哪些是是“保等差数列函数保等差数列函数”？ 数列新定义赏析：数列新定义赏析：数列新定义赏析：数列新定义赏析：二、“动态”型数列问题研究“静态静态”数列向数列向“动态动态”数列转化数列转化【研究【研究1】从特殊数列入手解决】从特殊数列入手解决.【研究【研究2】寻找数列中相邻两个奇数项以及相】寻找数列中相邻两个奇数项以及相邻两个偶数项之间的关系邻两个偶数项之间的关系 【思考】为何求前【思考】为何
6、求前60项和？项和？【创新活动【创新活动】（1）将题目所给条件中的）将题目所给条件中的2n-1换为换为1 ，探究，探究S60 的值的值（3）考虑到原题中条件左右的对称性，将条件）考虑到原题中条件左右的对称性，将条件变为变为 三、图表、数表型数列问题研究杨杨辉辉三三角角变式变式1：2007年高考湖南卷理年高考湖南卷理15.将杨辉三角中的奇数换成将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成，偶数换成0，得到如图，得到如图1所示的所示的0-1三角数表从上往下数，第三角数表从上往下数，第1次全行的次全行的数都为数都为1的是第的是第1行，第行，第2次全行的数都为次全行的数都为1的是第的是第3行，行，第次全行的数都
7、为，第次全行的数都为1的是第的是第 行；第行；第61行中行中1的个数是的个数是 第第1行行 1 1第第2行行 1 0 1第第3行行 1 1 1 1 第第4行行 1 0 0 0 1 第第5行行 1 1 0 0 1 1 变式变式2：福州市：福州市2012届第一学期期末高三数学（理科）届第一学期期末高三数学（理科）15题：题：如图的倒三角形数阵满足：如图的倒三角形数阵满足： 第第1行的行的n个数，分别是个数，分别是1，3，5，2n-1； 从第二行起，各行中的每一个数都等于它从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；肩上的两数之和； 数阵共有数阵共有n行问：当行问：当n=2012时，第时，第
8、32行的第行的第17个数是个数是 变式变式3：2006年湖北卷理年湖北卷理15：【课堂小结】高中数学新课程十分关注对创新【课堂小结】高中数学新课程十分关注对创新精神和实践能力的培养，因此在学习中应更加精神和实践能力的培养，因此在学习中应更加注重对注重对“探索性问题探索性问题”和和“创新题型创新题型”的研究的研究.数列是数列是高中数学高中数学的重要内容，蕴含着丰富的数的重要内容，蕴含着丰富的数学思想，对创新型数列问题的研究需要同学们学思想，对创新型数列问题的研究需要同学们通过观察、分析、综合、归纳、类比、猜想、通过观察、分析、综合、归纳、类比、猜想、抽象、概括等探究活动，以灵活的思维方式解抽象、概括等探究活动，以灵活的思维方式解决问题决问题.数列创新问题还以知识交汇的形式呈现，数列创新问题还以知识交汇的形式呈现，如数列与概率交汇、数列与解几交汇、数列与如数列与概率交汇、数列与解几交汇、数列与不等式交汇等，需要进一步的研究不等式交汇等，需要进一步的研究.
