1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 平面向量的应用举例 1 (2016 年湖北优质高中联考 )已知向量 a (3,1)， b (1,3)， c (k， 2)，若 (ac) b，则向量 a 与向量 c 的夹角的余弦值是 ( ) A. 55 B.15 C 55 D. 15 2 (2017 年广西南宁第二次适应性测试 )线段 AD， BE 分别是边长为 2 的等边三角形 ABC在边 BC， AC 边上的高，则 AD BE ( ) A 32 B.32 C 3 32 D.3 32 3在平行四边形 ABCD 中， AD 2， BAD 60 ， E 为 CD 的中点若 AD BE 1，则 AB的长
2、为 _ 4 (2014 年新课标 )已知 A， B， C 是圆 O 上的三点，若 AO 12(AB AC )，则 AB 与 AC 的夹角为 _ 5 (2014 年江苏 )如图 X441，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB 8， AD 5， CP 3PD ，AP BP 2，则 AB AD _. 图 X441 6 (2015 年安徽 ) ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a， b 满足 AB 2a， AC 2a b，则下列结论中正确的是 _ (写出所有正确结论的序号 ) a 为单位向量； b 为单位向量； a b； b BC ； (4a b) BC . 7 (2015 年天津 )在
3、等腰梯形 ABCD 中，已知 AB DC， AB 2， BC 1， ABC 60 ， 点E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD 上，且 BE 23BC ， DF 16DC ， 则 AE AF 的值为 _ 8 (2015 年上海 )已知平面 向量 a， b， c 满足 ab ，且 |a|， |b|， |c| 1,2,3，则 |a b c|的最大值是 _ 9已知向量 a ? ?cos x， 12 ， b ( 3sin x， cos 2x)， x R，设函数 f(x) ab . (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在 ? ?0， 2 上的最大值和最小值 =【 ;精品教育资源文库 】
4、 = 10如图 X442，已知点 P(4,4)，圆 C： (x m)2 y2 5(mb0)有一个公共点 A(3,1)， F1， F2分别是椭圆的左、右焦点，直线 PF1与圆 C 相切 (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程； (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点，求 AP AQ 的取值范围 图 X442 =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 平面向量的应用举例 1 A 解析 ： a c (3 k,3)，因为 (a c) b，所以 (3 k)3 31. 解得 k 2.当 k 2 时， cos a， c a c|a|c| 4102 2 55 .故选 A. 2 A 解析：由等边三角形的性质，
5、得 |AD | |BE | 3， AD ， BE 120 ，所以 AD BE |AD |BE |cos AD ， BE 3 3 ? ? 12 32.故选 A. 3 6 解析： BE BC CE AD 12AB ， AD BE AD ? ?AD 12AB AD 2 12AD AB |AD |2 12|AD | AB |cos 60 4 122| AB |cos 60 1，则 AB 的长为 6. 4 90 解析： AO 12(AB AC )，则 O 为 BC 的中点，直角三角形斜边的中线长等于斜边长的一半，所以 AB 与 AC 垂直 5 22 解析：由题意，得 AP AD DP AD 14AB ，
6、 BP BC CP BC 34CD AD 34AB ， 所以 AP BP ? ?AD 14AB ? ?AD 34AB AD 2 12AD AB 316AB 2， 即 2 25 12AD AB 31664. 解得 AB AD 22. 6 解析： ABC 是边长为 2 的等边三角形， AB 2a， |AB | 2|a| 2， |a| 1，故 正确； AC AB BC 2a b， AB 2a， BC b. |b| 2，故 错误且 正确； AB 2a， BC b， a 与 b 的夹角为 120 ，故 错误； (4a b) BC (4a b) b 4a b b2 412 ? ? 12 22 0， (4a
7、 b) BC ，故 正确 7.2918 解析：在等腰梯形 ABCD 中，由 AB DC， AB 2， BC 1， ABC 60 ，得 AD BC 12， AB AD 1， DC 12AB ，所以 AE AF (AB BE )( AD DF ) ? ?AB 23BC ? ?AD 112AB AB AD 23BC AD 112AB2 118BC AB 1 13 13 118 2918. 8 3 5 解析：因为 a b，设 a (1,0)， b (0,2)， c (3cos ， 3sin )， 0,2) ，所以 a b c (1 3cos ， 2 3sin )所以 |a b c|2 (1 3cos
8、)2 (2 3sin )2 14 6 5sin( )，其中 sin 66 5 55 . 所以当 sin( ) 1 时， |a b c|取得最大值，即 14 6 5 3 5. 9 解 ： (1)f(x) ab cos x 3sin x 12cos 2x =【 ;精品教育资源文库 】 = 32 sin 2x 12cos 2x sin? ?2x 6 . 最小正周期 T 22 . 所以 f(x) sin? ?2x 6 ，最小正周期为 . (2)当 x ? ?0， 2 时， ? ?2x 6 ? ? 6 ， 56 ，由函数 y sin x 在 ? ? 6 ， 56 上的图象知， f(x) sin? ?2x
9、 6 ? ?f ， f? ? 3 ?121. 所以 f(x)在 ? ?0， 2 上的最大值和最小值分别为 1， 12. 10解： (1)将点 A(3,1)代入圆 C 方程，得 (3 m)2 1 5. m 3， m 1，圆 C 的方程为 (x 1)2 y2 5. 设直线 PF1的斜率为 k， 则 PF1： y k(x 4) 4，即 kx y 4k 4 0. 直线 PF1与圆 C 相切， C(1,0)， |k 0 4k 4|k2 1 5.解得 k 112 或 k 12. 当 k 112 时，直线 PF1与 x 轴交点的横坐标为 3611，不合题意；当 k 12时，直线 PF1与 x轴交点 的横坐标为 4. |OF1| c 4，即 F1( 4,0)， F2(4,0) 2a |AF1| |AF2| 5 2 2 6 2. a 3 2， a2 18， b2 a2 c2 2. 椭圆 E 的方程为 x218y22 1. (2)AP (1,3)，设 Q(x， y)，则 AQ (x 3， y 1)， AP AQ (x 3) 3(y 1) x 3y 6. x218y22 1，即 x2 (3y)2 18. x2 (3y)22| x|3y|， 186 xy18. 则 (x 3y)2 x2 (3y)2 6xy 18 6xy 0,36，即 x 3y 6,6 AP AQ 的取值范围是 12,0
