1、误差理论与数据处理误差理论与数据处理Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering2第二章第二章 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理教学目标：本章阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。在随机误差的数据处理中，分别掌握等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。 重点与难点：三大类误差的特征、性质以及减小各类误差对测量精度影响的措施；掌握等精度测量的数据处理方法；掌握不等精度测量的数据处理方
2、法。 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering3第一节第一节 随机误差随机误差 随机误差产生的原因随机误差产生的原因 随机误差的本质特征随机误差的本质特征 等精度测量的算术平均值等精度测量的算术平均值 等精度测量的标准差等精度测量的标准差-贝塞尔公式贝塞尔公式 标准差的几种计算方法标准差的几种计算方法 算术平均值的标准差算术平均值的标准差 测量的极限误差测量的极限误差 不等精度测量不等精度测量 随机误差的其它分布随机误差的其它分布 减小随机误差的技术途径减小随机误差的技术途径Hebei Universit
3、y of Technology - School of Mechanical Engineering42 2、随机误差产生的原因、随机误差产生的原因1 1、随机误差、随机误差概念概念：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering5 测量装置方面的因素测量装置方面的因素 环境方面的因素环境方面的因素 人为方面的因素人为方面的因素零部件变形及其不稳定性，信号处理
4、电零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光照强度、温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。电磁场变化等。瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering6n单次误差的随机性单次误差的随机性n多次误差的统计性多次误差的统计性通常服从正态分布规律通常服从正态分布规律0)(),()(fff且n对称性对称性n单峰性单峰性n有界性有界性n抵偿性抵偿性服从正态分布规律的随机误差特点：服从正态分布规律
5、的随机误差特点：)0()(),0()(0maxffff且时，当kk,0lim1nniinHebei University of Technology - School of Mechanical Engineering7设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的随机设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的随机误差可表示为：误差可表示为： 式中。式中。 oLilioiiLl ni,2,1)2/(2221)(efdeF)2(2221)(服从正态分布的随机误差的分布密度函数为服从正态分布的随机误差的分布密度函数为服从正态分布的随机误差的分布函数为服从正态分布的随机误差的分布函数为Hebei
6、 University of Technology - School of Mechanical Engineering80)(dfE数学期望为：数学期望为： 方差为：方差为：平均误差为：平均误差为： 或然误差为或然误差为: 22)(dfD随着测量次数的增加，随机变随着测量次数的增加，随机变量的算术平均值为量的算术平均值为0。评价随机误差分散性的定量指评价随机误差分散性的定量指标标。547979. 0)(|df326745. 0Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering9 图图2-12-1为正态分布曲线以及
7、各精度参数在图中的坐标。为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。值值为曲线上拐点为曲线上拐点A A的横坐标，的横坐标，值为曲线右半部面积重心值为曲线右半部面积重心B B的横坐的横坐标，标，值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering10(一)算术平均值的意算术平均值的意义 设 为n次测量所得的值，则算术平均值为:niinlnnlllx1211nlll,21算术平均值算术平均值x作为作为被测量真值被测量真值的的最佳估计值。最佳估计值。 无偏
8、估计值（无偏估计值（unbiased estimator）：在有限次测量时，由样）：在有限次测量时，由样本值求得的本值求得的估计值估计值在待估参数的在待估参数的真值真值附近摆动，且其附近摆动，且其期望值期望值就是待估参数的真值。就是待估参数的真值。 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering11下面来证明当测量次数无限增加时，下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值算术平均值必然趋近于真值L Lo o。 oiiLl onnnLlll)(2121nioiniinLl11nnlLniiniio1
9、101Lnlxnii即即0lim1nniin由正态分布随机误差的第四特征可知由正态分布随机误差的第四特征可知 ，因此，因此算术平均值认为是测量真值的最佳估计。算术平均值认为是测量真值的最佳估计。 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering12一般情况下，被测量的真值一般情况下，被测量的真值 未知，不能按式未知，不能按式 求得随求得随机误差，这时可用算术平均值机误差，这时可用算术平均值 代替被测量的真值进行计算。此代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差，用时的随机误差称为残余误差，简称
10、残差，用 来表示：来表示：oiiLl oLxxlviiiv残差与误差的区别残差与误差的区别误差误差=测量值测量值真值；真值；残差残差=测量值测量值测量值的算术平均值测量值的算术平均值残差可以通过计算得到残差可以通过计算得到误差一般不能通过计算得到误差一般不能通过计算得到它的具体值它的具体值在实际应用时，用残差来计算在实际应用时，用残差来计算得到得到随机误差的估计值随机误差的估计值Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering13残差的代数和等于残差的代数和等于0； 残差的平方和为最小：残差的平方和为最小： 01
11、1111nlnlxnlxlvniiniiniiniiniimin12niiv若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量望的一个最佳的估计量 ，即满足无偏性、有效性、一致性，并满足最小二乘法原理；在正态分布条件下满足最大似然原理。关键问题：算术平均值关键问题：算术平均值数学期望数学期望 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering14例例2-12-1：测量某物理量：测量某物理量1010次，得到结果见表次，得到结果见表2-12-1，求算术平均值。，求算术平均
12、值。il64.187901. 065.1879x序号123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.0101. 01niiv01.0101010iilxiliv12表0lil0 x64.1879x解：任选参考值解：任选参考值 =1879.65， 计算差值计算差值 和和 列于表列于表 中，求得算术平均值中，求得算术平均值00100
13、1101xlnllnnllnllnlxniiniiniiniiHebei University of Technology - School of Mechanical Engineering15(二)算术平均值的计算校核方法算术平均值的计算校核方法1、用残差的代数和来校核算术平均值、用残差的代数和来校核算术平均值 ；niniiixnlv11xnlnii1x当当时，求得的时，求得的为非凑整的准确数时，残差和为零；为非凑整的准确数时，残差和为零；xnlnii1xx时，求得的时，求得的为非凑整的准确数时，残差和为正为非凑整的准确数时，残差和为正，x其大小为求其大小为求 时的余数；时的余数；当当xn
14、lnii1xx时，求得的时，求得的 为非凑整的准确数时，残差和为负，为非凑整的准确数时，残差和为负，x其大小为求其大小为求 时的亏数；时的亏数；当当Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering16算术平均值的计算校核方法算术平均值的计算校核方法2、用残差代数和的绝对值来校核算术平均值、用残差代数和的绝对值来校核算术平均值 ；当当n 为偶数时，为偶数时，Anvnii21 当当n 为奇数时，为奇数时，Anvnii5 . 021 A 为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。 Hebei University of
15、Technology - School of Mechanical Engineering17例2-2：用例用例2-12-1数据对计算结果进行校核。数据对计算结果进行校核。 解：因解：因n n为偶数，为偶数，A A0.010.01，由表，由表2-12-1知知 故计算结果正确。故计算结果正确。, 52102n05.0201.0101AnviiHebei University of Technology - School of Mechanical Engineering18例2-3 测量某直径测量某直径1111次，得到结果如表次，得到结果如表2-22-2所示，求算术平均值所示，求算术平均值并进行
16、校核。并进行校核。 mmmmxnmmlii737.22000067.20001174.22000111xmmmmlxii0673.20001174.2200011111序号 (mm) (mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.00374.22000111iil003. 0111iiv22表解：算术平均值为：解：算术平均值为：
17、x取取2000.067 用第一种规则校核，则有：用第一种规则校核，则有：mmmmmmxlviiii003. 0737.2200074.2200011111111Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering19mmAnmmvmmAnii005. 05 . 02003. 0001. 0, 55 . 02115 . 02111用第二种规则校核，则有：用第二种规则校核，则有：故用两种规则校核皆说明计算结果正确。故用两种规则校核皆说明计算结果正确。Hebei University of Technology - Sch
18、ool of Mechanical Engineering20（一）均方根误差（标准偏差）一）均方根误差（标准偏差） 物理意义物理意义：值反映了值反映了测量值或随机误差的分散程度测量值或随机误差的分散程度。 222)2(1)(ef21h2221)(hefHebei University of Technology - School of Mechanical Engineering21（二）等精度测量列中的单次测量标准差（二）等精度测量列中的单次测量标准差1、离散型随机变量标准差的定义、离散型随机变量标准差的定义 nnnin222221单次测量的标准差（离散型随机变量标准差）定义公式单次测量的
19、标准差（离散型随机变量标准差）定义公式 前提条件：前提条件：当测量次数趋于无穷大时； Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering221.方差的概念D(X)=Var(X)=EX-E(X)22. 方差的几何意义 随机变量随机变量X的方差反映出的方差反映出X的取值与其数学期望的偏离程的取值与其数学期望的偏离程度度若若 较小，则较小，则X取值比较集中，否则，取值比较集中，否则，X取值比较分取值比较分散因此，方差散因此，方差 是刻画是刻画X取值分散程度的一个量取值分散程度的一个量()DX()DX 定义定义 设设X是随
20、机变量，如果是随机变量，如果EX - E(X)2存在，则称存在，则称EX-E(X)2为为X的方差，记为的方差，记为D(X)或或Var(X)，即，即并称并称 为为X的标准差或均方差记为的标准差或均方差记为 。()D X()X2、方差的概念及计算公式回顾、方差的概念及计算公式回顾Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering23其中其中 PX = xk = pk k=1, 2, 3, .21()()kkkD XxE Xp连续型随机变量连续型随机变量 离散型随机变量3.方差的计算22()() ()D XE XE X4
21、. 方差计算公式2()()( )dD XxE Xf xx2、方差的概念及计算公式回顾、方差的概念及计算公式回顾Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering243、离散型随机变量标准差的定义公式推导、离散型随机变量标准差的定义公式推导iPl其中其中为测量值取其中任何一个为测量值取其中任何一个时的概率大小。时的概率大小。 ill设测量列中每个测量值设测量列中每个测量值可看成随机变量可看成随机变量离散型随机变量的方差定义：离散型随机变量的方差定义： 21()()kkkD XxE Xp的可能取值，采用的可能取值，采用
22、 2122iniiiPlEllElElD可得：可得： 对于等精度测量条件下对于等精度测量条件下 nPi1 nLlPLllElElDniiiniii112012022nnLlniinii121201Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering254、被测量标准差的估计值、被测量标准差的估计值 xiiiivLxxlLl00 xnnxxvvv2211xniiniinv11niiniiniixnvnn111111残差的代残差的代数和等于数和等于0所有随机误差的算术平均值就是算术平均值的误差所有随机误差的算术平均值就是
23、算术平均值的误差。 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering264、被测量标准差的估计值、被测量标准差的估计值22222xxiixiivvv2122112122xniixniixniiniinvnvv2121221221nnnnjijiniiniix当测量次数适当增大时，正态分布的对称性越明显当测量次数适当增大时，正态分布的对称性越明显 01njiji2122nniixHebei University of Technology - School of Mechanical Engineering274、
24、被测量标准差的估计值、被测量标准差的估计值21212xniiniinv212121221niiniiniivnvn1122nvnii112nvnii贝塞尔公式贝塞尔公式单次测量的标准差估计值单次测量的标准差估计值 贝塞尔公式计算量比较贝塞尔公式计算量比较大，但它的可靠性相比大，但它的可靠性相比于其它方法是最高的于其它方法是最高的 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering28评定单次测量不可靠性的其它参数评定单次测量不可靠性的其它参数平均误差为：平均误差为： 或然误差为或然误差为: 1545412nvnii
25、1323212nvniiHebei University of Technology - School of Mechanical Engineering295、标准差的其它几种计算方法、标准差的其它几种计算方法标准差的定义标准差的定义 （1）别捷尔斯法）别捷尔斯法 nnnii12标准差的计算公式（由贝塞尔公式）标准差的计算公式（由贝塞尔公式） 112nvnii所以所以 11212nvnniinii11212nvnniiniiniiniivnn12121niiniivnn111近似为近似为 Hebei University of Technology - School of Mechanica
26、l Engineering305、标准差的其它几种计算方法、标准差的其它几种计算方法（1）别捷尔斯法）别捷尔斯法 niiniivnnn1111平均误差平均误差 1253. 1253. 17979. 011nnvnii别捷尔斯公式可由残余误差的绝对值之和求出单次测量的标准差别捷尔斯公式可由残余误差的绝对值之和求出单次测量的标准差，最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的，最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速计算速度较快度较快，但，但计算精度较低计算精度较低，计算误差为贝氏公式的，计算误差为贝氏公式的1.07倍。倍。Hebei University of Technolo
27、gy - School of Mechanical Engineering31例2-4：用别捷尔斯法求得表：用别捷尔斯法求得表2-32-3的标准差。的标准差。 mmmmmmmmx0104. 011010250. 0253. 10330. 011010250. 0253. 1)(mmli)(mmvimmx045.750101iiv序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250
28、.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.0012252101200825. 0mmvii)(2mmvi32表解：计算得到的值分别填于表中，因此有解：计算得到的值分别填于表中，因此有Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering325、标准差的其它几种计算方法、标准差的其它几种计算方法若等精度多次测量测得值若等精度多次测量测得值 服从正态分布，在其中选取服从正态分布，在其中选取最大值和最小值，两者之差称为极差。最大值和最小值，两者之差称为极
29、差。 （2）极差法）极差法 nxxx,21 minmaxxxn根据极差的分布函数，可以得出极差的数学期望根据极差的分布函数，可以得出极差的数学期望 nndE)()(nndEnnd的无偏估计量的无偏估计量 -当测量次数当测量次数10n时，采用极差法，精度比贝塞尔公式要高时，采用极差法，精度比贝塞尔公式要高 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering33例2-5：仍用表仍用表2-32-3的测量数据，用极差法求得标准差。的测量数据，用极差法求得标准差。 解：解：08. 309. 000.7509.7510minm
30、axdmmmmmmllnmmmmdn0292.008.309.010Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering345、标准差的其它几种计算方法、标准差的其它几种计算方法（3）最大误差法）最大误差法 如果被测量的真值（约定真值）已知，当测量值服从相互独立的如果被测量的真值（约定真值）已知，当测量值服从相互独立的正态分布规律时，建立起计算正态分布规律时，建立起计算无偏估计量的标准差无偏估计量的标准差就是就是 ), 2 , 1(|1maxnnKin 如果被测量真值不可知，可以用最大残余误差来进行计算：如果被测量真
31、值不可知，可以用最大残余误差来进行计算： ), 3 , 2(|1maxnnvKin 10n最大误差法简单、迅速、方便，且容易掌握，因而有广泛用途。最大误差法简单、迅速、方便，且容易掌握，因而有广泛用途。当当 时，最大误差法的精度高于贝氏公式。时，最大误差法的精度高于贝氏公式。对于破坏性实验，只能用最大误差法。对于破坏性实验，只能用最大误差法。 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering35 例2-7 某激光管发出的激光波长经检定为某激光管发出的激光波长经检定为 ，由于某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来
32、又用更精由于某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法测得激光波长确的方法测得激光波长 ，试求原检定波长的，试求原检定波长的标准差。标准差。 解：因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测解：因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测得值为实际波长得值为实际波长( (或约定真值或约定真值) )，则原检定波长的随机误差，则原检定波长的随机误差 为：为： 故标准差为：故标准差为： m63299130. 0m63299144. 0mmm8101463299144. 063299130. 025. 111KmmK7811075. 1101425. 1Hebei University
33、of Technology - School of Mechanical Engineering36标准差的四种计算方法优缺点标准差的四种计算方法优缺点贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要；等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要； 别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的式的1.07 倍；倍； 用极差法计算用
34、极差法计算，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当n10时可用来计算时可用来计算，此时计算精度高于贝氏公式；，此时计算精度高于贝氏公式； 用最大误差法计算用最大误差法计算更为简捷，容易掌握，当更为简捷，容易掌握，当 n10时可用最时可用最大误差法，计算精度大多高于贝氏公式，尤其是对于破坏性实大误差法，计算精度大多高于贝氏公式，尤其是对于破坏性实验验(n=1)只能应用最大误差法。只能应用最大误差法。 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering37（三）多次测量的测量列算术平
35、均值的标准差（三）多次测量的测量列算术平均值的标准差)()()(1)(21221nnlDlDlDnnlllDxD取方差取方差 由于各次测量是相互独立的由于各次测量是相互独立的 )()()()(21lDlDlDlDnnlllxn21设设 为为n n次测量所得的值，则算术平均值为次测量所得的值，则算术平均值为: :nlll,21)(1)(1)(2lDnlnDnxDnllll,321 在等精度测量条件下，在等精度测量条件下，服从同一标准差服从同一标准差的正态概率的正态概率分布，所以分布，所以221)()()()(lDlDlDlDnHebei University of Technology - Sc
36、hool of Mechanical Engineering38（三）多次测量的测量列算术平均值的标准差（三）多次测量的测量列算术平均值的标准差 nnnxDx22221nx用算术平均值的标准差表征用算术平均值的标准差表征同一被测量的各个独立测量列算术平同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散程度均值分散程度，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。 112nnvnniix算术平均值标准算术平均值标准差的计算公式差的计算公式 增加测量次数，可以提高测量精增加测量次数，可以提高测量精度，但测量精度是与度，但测量精度是与n的平方根的平方根成反比，因此要显著提高测量精
37、成反比，因此要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动。一般度，必须付出较大的劳动。一般情况下取情况下取n=10较为适宜。较为适宜。Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering39算术平均值的精度指标算术平均值的精度指标或然误差或然误差 nnRxx32326745. 0) 1(3212nnvRniinnTxx54547979. 0) 1(5412nnvTnii平均误差平均误差 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering401、
38、极限误差的概念：、极限误差的概念： 在相对固定的测量条件下，测量结果不超出在相对固定的测量条件下，测量结果不超出限定的测量范围，限定的测量范围，叫极限误差或极端误差。叫极限误差或极端误差。 测量结果的误差不超过该极端误差的概率为测量结果的误差不超过该极端误差的概率为p，并使差值（，并使差值（1-p）可予忽略。可予忽略。 测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时，根据概测量列的测量次数足够多和单次测量误差为正态分布时，根据概率论知识，正态分布曲线和横坐标轴间所包含的面积等于其相应率论知识，正态分布曲线和横坐标轴间所包含的面积等于其相应区间确定的概率：区间确定的概率： 2、概率积分、概率积
39、分 121)(222dedfpHebei University of Technology - School of Mechanical Engineering41dedfp22221)(误差落在区间（误差落在区间（-,+）之间的概率）之间的概率当当0时时 0022022221)(022002200tdededfp由于正态分布的对称性，为了方便计算引入了一个变量由于正态分布的对称性，为了方便计算引入了一个变量t， ddtt, tdteptt22202020Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering42txl
40、im测量列测量列单次测量的极限误差单次测量的极限误差表示为：表示为： tp1-置信系数；置信系数；-为显著度或显著水平为显著度或显著水平 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering43测量列的算术平均值与被测量的真值之差称为测量列的算术平均值与被测量的真值之差称为算术平均值误差算术平均值误差 xoxLx xtxlimx), 2 , 1(Nii x当多个测量列的算术平均值误差当多个测量列的算术平均值误差 为正态分布时为正态分布时测量列算术平均值的极限表达式为：测量列算术平均值的极限表达式为：t为置信系数，为置
41、信系数， 为算术平均值的标准差为算术平均值的标准差Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering44xatxlim当测量列的测量次数比较少时，用当测量列的测量次数比较少时，用t分布分布测量列算术平均值的极限表达式为：测量列算术平均值的极限表达式为：确定。确定。 t1P1 nv为置信系数，由给定的置信概率为置信系数，由给定的置信概率 和自由度和自由度Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering45不等精度测量：在不等精度测量：在
42、不同的测量精度条件不同的测量精度条件下，只要变化其中的某下，只要变化其中的某一因素，对同一待测量进行的测量。一因素，对同一待测量进行的测量。对于不等精度测量所获得的数据，应对于不等精度测量所获得的数据，应区别对待区别对待。 在一般测量过程中，常见的有两种情况：在一般测量过程中，常见的有两种情况：用不同测量次数进行对比测量；用不同测量次数进行对比测量；用不同精度的仪器进行对比测量。用不同精度的仪器进行对比测量。 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering462、权：用数值来表示精度不同的测量值对最终测量结果的
43、影响程、权：用数值来表示精度不同的测量值对最终测量结果的影响程度（测量结果的可靠程度），记为度（测量结果的可靠程度），记为p。1、 “权权”概念的引入：对于概念的引入：对于不等精度测量不等精度测量来讲，来讲，各测量精度不各测量精度不同的测量值对于最终测量结果的影响是不一样同的测量值对于最终测量结果的影响是不一样，所以，我们引入，所以，我们引入一个权的概念。一个权的概念。Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering47权大小的确定原则：按测量结果的可靠程度来确定。权大小的确定原则：按测量结果的可靠程度来确定。
44、在相同的测量条件下由于测量次数不同而造成的不等精度测量，在相同的测量条件下由于测量次数不同而造成的不等精度测量，可由测量的次数来确定权的大小可由测量的次数来确定权的大小 iinp 假定同一被测量有m组不等精度的测量结果，这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值求得的算术平均值。 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering48结论：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比结论：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比 因为单次测量精度都相同，其标准差均为因为单次测量精度都相同，其标准
45、差均为，则各组的算术平均值的标准差为则各组的算术平均值的标准差为minii x, 2 , 122222211mxmxxnnniinp 22222211mxmxxppp22221211:1:1:mxxxmppp 因为因为 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering49若对同一被测量进行若对同一被测量进行m组不等精度测量，得到组不等精度测量，得到m个测量结果为个测量结果为mxxx,21,11111nlxnii,21222nlxniimniimmnlxm1,miinininiimiinlllxm111121/)(
46、12，设相应的测量次数为，设相应的测量次数为 ，即：，即：mnnn,21x根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值根据等精度测量算术平均值原理，全部测量的算术平均值 为：为： Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering50ppppm21当各组的权相等，即当各组的权相等，即时，时，mxmpxpxmiimii11加权算术平均值可简化为：加权算术平均值可简化为：miimiiimmmmmmpxppppxpxpxpnnnxnxnxnx11212211212211等精度测量是不等精度测量的等精度测量是不等精度
47、测量的特殊情况特殊情况Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering51等于等于1的权为单位权。的权为单位权。作用：将不等精度测量列转换为等精度测量列奠定了基础。作用：将不等精度测量列转换为等精度测量列奠定了基础。 单位权化：单位权化：将权数不同的不等精度测量列转化为具有单位权的等将权数不同的不等精度测量列转化为具有单位权的等精度测量列精度测量列。-将某些不等权的测量问题化为等权测量问题来将某些不等权的测量问题化为等权测量问题来处理。处理。 单位权化的实质，是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，单位权化的实质，
48、是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为得到新的量值权数为1。 Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering52将不等精度测量的各组测量结果将不等精度测量的各组测量结果 皆乘以自身权数的平方根皆乘以自身权数的平方根 ，此时得到的新值，此时得到的新值z z的权数就为的权数就为1 1。ixip22)()(i xiziipxDpzD22221211:1:1:mxxxmppp1111ziizpppp不等精度测量列，经单不等精度测量列，经单位权化处理后，就可按位权化处理后，就可按等精度测量列来处理。等精
49、度测量列来处理。证明：证明：mixpzii, 2 , 1设设取方差取方差Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering53miniix, 2 , 1miixn1miiixxnni1miimiiiinpnp11miimiiixxpppi11,21mxxx对同一个被测量进行对同一个被测量进行 m 组不等精度测量，得到组不等精度测量，得到 m 个测量结果为：个测量结果为：若已知单位权测得值的标准差若已知单位权测得值的标准差，则，则x全部（全部（mn个）测得值的算术平均值个）测得值的算术平均值 的标准差为：的标准差为：
50、Hebei University of Technology - School of Mechanical Engineering54xxvixixpxpvpiiixii当各组测量结果的标准差为未知时，必须由各测量结果的残余误当各组测量结果的标准差为未知时，必须由各测量结果的残余误差来计算加权算术平均值的标准差。差来计算加权算术平均值的标准差。已知各组测量结果的残余误差为：已知各组测量结果的残余误差为：ix将各组将各组 单位权比，则有：单位权比，则有：等精度测量的标准差计算公式中：等精度测量的标准差计算公式中： 111212mvpnvmixiniiimiimiximiimiximiixpmvp
